1输入输出和状态空间模型

麻省理工学院
电气工程与计算机科学系
6.243j（2003秋季）非线性系统动力学
A.Megretski
讲座1：输入/输出和状态空间模型1
本章介绍非线性动力系统建模的一些基本定义和简单例子。

1.1动态模型
描述一个系统，最普遍的方法是采用动态输入/输出模型（尽管不一定是最方便的方法）。

1.1.1什么是信号？
在这一章中，信号是指局部可微的函数z:R+→R k，其中R+表示非负实数。

“局部可微”的概念来自于Lebesque测度原理，是指在有限区间内的微分有意义。

广义函数，例如δ(t)，就不是局部可微的。

在信号函数中，一般将自变量t∈R+看作“时间”（通常是这样）。

例1.1函数z=z(·)由
z(t)=
t−0.9sgn(cos(1/t))t>0,
0t=0
定义，当
z(t)=
1/t for t>0,
0for t=0
时是一个有效信号，当z(t)=˙δ(t)时不是。

上面的定义形式包含了所谓的连续时间（CT）信号。

离散时间（DT）信号可以作为特殊CT信号由上面的形式表示。

准确地说，如果信号z:R+→R k 在每个时间间隔[k,k+1)(k=0,1,2,...)内都是常数，那么它就是一个DT 信号。

1.1.2什么是系统？
系统是产生信号（称为输出信号）的，通常依赖于其它信号（输入）和一些参数（初始条件）。

在大部分应用中，系统的数学模型由行为集决定（通常绝对如此）。

对于自治系统（也就是没有输入的系统），行为集B={z}，其中信号z:R+→R k（对于所有B中的信号，k必须是一致的）。

对于输入为v、输出为w的系统，行为集包含所有的输入/输出对，即z=(v(·),w(·))。

这12003年9月3日版
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两种定义并没有实质性差别，可以认为信号对z=(v(·),w(·))就是包含依次排列的输入和输出的单向量信号z(t)=[(v(t);w(t)]。

在这种定义中，一个确定的输入v(·)可以出现在(v,w)∈B的很多输入/输出对中，也可以不出现在任何一对中，所以行为集不一定能把系统输出定义为任意一个系统输入的函数。

典型例子就是唯一确定一个输出，除了要知道输入外，还需要知道一些其它信息（初始条件和不确定参数）。

例1.2由包含所有标量信号对(v,w)的行为集确定常见的理想积分系统（传递函数为G(s)=1/s）如下：
w(t2)−w(t1)= t
2
t1
v(τ)dτ,∀t1,t2∈[0,∞]
在这个例子中，只要知道v和w(0)，就可以唯一确定输出。

在例1.1.2中，系统由一个积分方程描述。

对于相同的系统，描述方法很多（例如传递函数和微分方程等）。

1.1.3什么是线性/非线性系统？
当一个系统的行为集满足叠加原理时，这个系统称为线性系统。

也就是说，对于任何z1,z2∈B和c∈R，有z1+Z2∈B和cz1∈B。

除去一些没有意义的例子2，由关于v和w呈线性的方程定义的系统是线性系统。

特殊地，例1.1.2涉及的理想积分系统是线性的。

1.2系统状态
任意行为模型B={z(·)}都可以定义系统状态，认识到这一点是很重要的。

1.2.1在t时刻，定义同一状态的两个信号
给定时间t0，假设系统状态包含所有过去（t<t0）和未来（t>t0）行为的相关信息，我们得到以下定义。

定义假设B是一个行为集，信号z1,z2∈B，如果信号
z12(t)=
z1(t)for t≤t0,
z2(t)for t>t0
和
z21(t)=
z2(t)for t≤t0,
z1(t)for t>t0
也属于行为集，那么我们称t0时刻，z1,z2可交换。

定义假设B是一个行为集，信号z1,z2,z∈B，如果t0时刻，z和z1交换与z和z2交换是一样的，我们称z1,z2在B上定义了相同的状态。

2例如由非线性方程(v(t)−w(t))2=0∀t定义的（线性）系统
2
定义假设B 是一个行为集，X 是一个任意集合，如果只要x (t,z 1(·))=x (t,z 2(·))，z 1和z 2在t 时刻就定义B 中的相同状态，那么我们称函数x :R ×B →X 是系统B 的一个状态。

例1.3假设系统输入v 和输出w 是二进制信号，也就是取值集合为{0,1}的DT 信号。

输入/输出关系为：仅当v (t )=1时，w (t )=1;当t 1,t 2∈Z +时，w (t 1)=w (t 2)=1；当t ∈(t 1,t 2) Z 时，w (t )=0；当区间(t 1,t 2)内刚好有两个整数t 时，v (t )=1。

也就是说，系统在输入的时候记数一，记到三时，系统计数器清零，输出1（否则输出0）。

很容易得出，当且仅当N (t 0,z 1)=N (t 0,z 2)时，输入/输出对z 1=(v 1,w 1)和z 2=(v 2,w 2)在（离散）时间t 0可交换，其中N (t 0,z )是v (t )中的数字一，z =(v,w )∈B ，t ∈(t 0,t 1) Z ，t 1是下一次（t 0之后）w (t )=1时对应的整数时间t 。

因此，系统状态可以由函数x :R +×B →{0,1,2},x (t,z )=N (t,z )来定义。

在这个例子中，已知系统状态可以写出系统的状态空间方程
x (t +1)=f (x (t ),v (t )),w (t )=g (x (t ),v (t ))(1.1)
其中
f (x,v )=(x +v )mod3,
并且当且仅当x =2和v =1时g (x,v )=1。

3。