最新-高二数学期末考试模拟试题 精品
2018－2018学年第一学期
江苏省西亭高级中学高二数学期末考试模拟试题18.01
班级 姓名 得分
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1、直线l 的倾斜角为α，且3
sin 5
α=，则直线l 的斜率是
A.43-
B.34
C.43或43-
D.34或34-
2、已知直线1:,03:21+-=+y kx l y x l =0若l 1与l 2夹角为600
，则k 值
A.3或0
B.3-或0
C.3
D.3-
3、若方程1492
2=-+-m
y m x 表示双曲线,则m 的取值范围是
A.m<4
B.m>9
C.4<m<9
D.m<4或m>9
4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成的角的余弦值是
A.15-
B.15
D.25
5、若直线2=-y x 被圆4)(2
2=+-y a x 所截得的弦长为22,则a 为
A .3 B.1或3 C. –2或6 D. 0或4
6、已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,
01,
02y x y x 表示的平面区域内，则z ＝x －y 的取值范围是
A. [－2，－1]
B. [－2，1]
C. [－1，2]
D. [1，2]
7、从椭圆短轴的一个端点看长轴两个端点的视角为︒120,那么此椭圆的离心率为 A. 2
2 B.
3
3 C. 2
1 D. 3
6
8、平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为 A.2
2y x = B.2
4y x = C. 2
2y x =或0(0)y x =≤ D. 2
4y x =或0(0)y x =≤ 9、如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l βγ=⋂，//l α，,m m αγ⊂⊥，那么必有
A.,l m αγ⊥⊥
B. ,//m αγβ⊥
C.//,m l m β⊥
D.//,αβαβ⊥ 10、如果椭圆125
812
2
=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2, N 是1MF 的中点,O 是
坐标原点,则ON 的长为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 2
3
11、抛物线y x =2上的点到直线y=2x+b 的最短距离为5,则b 的值为 A. –6 B. 4 C. 8 D. 4或6
12、1B 2、B 是椭圆短轴的两端点，过左焦点1F 作长轴的垂线，交椭圆于P ，若12F B 是|O 1F |
和
12B B 的比例中项（O 为椭圆中心）
，则12
PF OB 的值为
B.
D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13、在正方体ABCD -1111A B C D 中，1BC 与平面11BDD B 所成角的大小为 . 14、椭圆5522=+ky x 的一个焦点为（0，2），那么k=_____
15、设双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为,F
且,FA FB ⊥则双曲线的离心率为 .
16、正方体ABCD -1111A B C D 的棱长为1，E 、F 分别是1111B C C D 、的中点，那么点C 到截面BEFD 的距离是 .
17、以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且被抛物线的准线截得的弦长为2的圆的方程
是 ．
18、AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大
值为 ．
三、解答题（共5小题，满分66分）
19、如图，直线2y x =-与抛物线22y x =相交于点A 、B,求证：OA OB ⊥
20、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 交BD
于N 。
问：棱BB 1上是否存在点M ，使D 1M ⊥平面B 1EF ，并说明理由；若存在，试求A 1N 与D 1M 所成角。
21、设双曲线13
2
2
2
=-x a
y 的焦点分别为1F 、2F ，离心率为2.
（1）求此双曲线的渐近线`1l 、2l 的方程；
（2）若A 、B 分别为`1l 、2l 上的动点，且2|AB |=5|1F 2F |，求线段AB 的中点M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线. C A B
D A 1 B 1 C 1 D 1
E
F N
22、在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E 为DC 的中点，沿AE 将△AED 折起，使二面角D －
AE －B 为0
60．
（1）求DE 与平面AC 所成角的大小； （2）求二面角D －EC －B 的大小．
23、已知椭圆C ：22a x ＋22
b
y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线
l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB . （1）证明：λ＝1－e 2；
（2）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.
A
D B
C
E B
C E
D
2018－2018学年第一学期
江苏省西亭高级中学高二数学期末考试模拟试题答案
一、选择题
DACBD CDDAC AB 二、填空题 300， 1，
23，(x-1)2+y 2=5, 52
三、解答题
19．由x 1x 2+y 1y 2=0可得。
20．BB 1的中点即点M ，A 1N 与D 1M 所成的角为
. 21.（1
）渐近线为3
y x =±；
（2）AB 中点的轨迹方程为22125753
x y +=。
22．（1）DE 与平面AC 所成的角为
arcsin
26;(2)二面角的大小为
arctan 6
23．(1)A 2,0a c ⎛⎫- ⎪⎝⎭
、B （0，a ）、M （－c ，2
b a ）；22
b A M A M a =,所以2
1e λ=-
（2）2
3
λ=。
2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（）A ．18B ．14C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.2．下列式子错误的是（）A ．2577C =C B ．323544C =C +C C ．333553A =C A D ．4356A =4A 【正确答案】D【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，2577C =C ，323544C =C +C ，所以A 、B 正确；对于C ，因为m m n nm mA C A =得m m n n m m A C A =，所以333553A =C A ，所以C 正确.对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创=，4356A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.3．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交【正确答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4．已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【正确答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Txxx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 【正确答案】B【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以11A D CC ⊥，因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =，所以1A C =，在1Rt ACD中，1A C =，1A D =，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B故选：B.6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）A ．74B ．2C ．94D ．52【正确答案】C【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，∴焦点1(0,4F ，准线l 方程14y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，如图所示，∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94，故选：C.7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【正确答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有336A =种方法，再分配护士有422364233390C C C A A =，由分步计数原理可得：422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=，应选答案：D ．本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以33A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为A ．3B 1CD 【正确答案】D【分析】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=，解得ce a==故选：D ．二、多选题9．已知双曲线22:14x C y -=，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12y x =±D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线22:14x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=，则2,1,a b c ===所以双曲线C的离心率为c aA 正确；双曲线的焦点为()到渐近线12y x =±1=，故B 正确，C 正确；双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F的距离为22PF c a ≥++2，故D 不正确.故选：ABC.10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）A ．28y x=B ．218x y=C ．()221044x y m m m+=<<-D ．()221044y x m m m -=<<-【正确答案】BC分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以22p=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由218x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B正确；对于选项C ：2214x y m m+=-，因为04m <<，所以40m -<，所以原方程可化为2214y x m m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线()221044x y m m m+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：2214y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，原方程可化为：2214y x m m+=-，当4m m =-即2m =时，22122y x +=表示圆，没有焦点当4m m >-即m>2时，2214y x m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，()222424c a b m m m =-=--=-，焦点为(0,，不符合题意，当4m m <-即02m <<时，2214y x m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，()222442c a b m m m =-=--=-，焦点为()，不符合题意，故选项D 不正确；故选：BC.11．已知圆C 的方程为()()22114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；对于B 项：由圆C 的方程()()22114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为==C 正确；对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123F MF π∠=，则下列说法正确的是（）A ．21e e =B ．1234e e =C ．22122e e +=D ．221232e e -=【正确答案】AC设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则22221()()4m n m n mn a a +--==-，在12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2e 【详解】解：设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。
2023-2024学年河南省平顶山市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省平顶山市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．直线50x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线50x +=可化为33y x =--，则斜率tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，1-，2-与数列2-，1-，0，1是相同的数列B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【正确答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当1n =时，120a =≠，故C 错误；对于选项D ，因为123a a ===4a =…，所以数列的一个通项公式为n a =D 正确.故选：D3．已知直线l 过点()3,4-且方向向量为()1,2-，则l 在x 轴上的截距为（）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【正确答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率2k =-，然后利用点斜式可求得直线方程，再令0y =，即可得到本题答案.【详解】因为直线l 的方向向量为()1,2-，所以直线斜率2k =-，又直线l 过点()3,4-，所以直线方程为42(3)y x -=-+，即220x y ++=，令0y =，得=1x -，所以l 在x 轴上的截距为-1.故选：A4．已知m ∈R ，“直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行”是“3m =±”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行则210=91m m m ≠--，所以29m =，解得3m =±，经检验，3m =±均符合题意，故选：C.5．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【正确答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.6．已知圆221:230C x y x ++-=关于y 轴对称的圆2C 与直线x m =相切，则m 的值为（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【正确答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆2C 的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆221:230C x y x ++-=，可得标准方程22(1)4x y ++=，圆心为(1,0)-，半径2r =，故关于y 轴对称的圆2C 的圆心为(1,0)，半径2r =，则其标准方程为22(1)4x y -+=，又因为圆2C 与直线x m =相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即12m -=，解得1m =-或3m =.故选：C7．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，则数列{}2n a n +的前5项和为（）A ．151-B ．91-C ．91D ．151【正确答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列{}n a 为等比数列，再使用分组求和法求解即可.【详解】∵数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，∴数列{}n a 是首项为1-，公比为3的等比数列，∴11133n n n a --=-⨯=-，∴数列{}2n a n +的前5项和为，()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+91=-.故选：B.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点()3,2-且与双曲线22132x y -=有相同焦点，则椭圆的离心率为（）A ．6B C D 【正确答案】C【分析】由题可得225a b -=，22941a b+=，联立方程可求得22,a b ，然后代入公式e =，即可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线22132x y -=有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为12(F F ，则2225c a b =-=①，又椭圆过点()3,2P -，所以22941a b +=②，结合①，②得，2215,10a b ==，所以3e =，故选：C9．已知圆221:2220C x y x y +-+-=与圆222:20(0)C x y mx m +-=>的公共弦长为2，则m 的值为（）A ．62B ．32C D ．3【正确答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立222220x y x y +-+-=和2220x y mx +-=,得(1)10m x y -+-=，由题得两圆公共弦长2l =，圆221:2220C x y x y +-+-=的圆心为(1,1)-，半径r 2，圆心(1,1)-到直线(1)10m x y -+-===，平方后整理得,2230m -=，所以2=m 或m =（舍去）；故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，设其前n 项和为n S ，若2021S m =，则2023a =（）A ．1m -B ．mC ．1m +D ．2m【正确答案】C【分析】由斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，归纳可得21m m a S +=+，令2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++，……21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ ，则2023202111a S m =+=+.故选：C11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，M ，N 分别是11B C ，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）A ．304B 2305C ．302D ．3305【正确答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标，根据两点距离公式表示MP ，利用二次函数求值域，即可得到本题答案.【详解】以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，所以(1,2,3)M ，∵点P 在xOy 平面上，∴设点P 的坐标为()[],,0,0,1x y y ∈，∵P 在DN 上运动，∴2AD x y AN==，∴2x y =，∴点P 的坐标为(2,,0)y y ，∴()()()22222454122305814555MP y y y y y ⎛⎫=-+-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭∵[]0,1y ∈，∴当45y =时，MP 3305故选：D12．已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>l 与C 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为()1,2N ，则直线l 的斜率为（）A ．1-B ．1C D ．2【正确答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l 的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为2221(0)y x b b-=>，所以它的一个焦点为(,0)c ，一条渐近线方程为0bx y -=，所以焦点到渐近线的距离d =，化简得2222(1)b c b =+，解得22b =，所以双曲线的标准方程为2212y x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以221112y x -=①，222212y x -=②，①-②得，222212121())02x x y y ---=，化简得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=③，因为线段AB 的中点为()1,2N ，所以12122,4x x y y +=+=，代入③，整理得1212x x y y -=-，显然1212,x x y y ≠≠，所以直线l 的斜率12121y y k x x -==-.故选：B 二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________.【正确答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量AB 与AC 共线，即ABk AC = ，(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，124348x y -+==-，解得12x =-，4y =-，∴2xy =．空间三点共线．14．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线2x =与抛物线交于点M ，且2MF =，则p =_______.【正确答案】2【分析】先求点M 的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得p 的值.【详解】把2x =代入抛物线标准方程22(0)x py p =>，得2(2,)M p，根据抛物线的定义有，222p MF MH p==+=，化简得，244p p +=，解得2p =.故215．已知点(1,1)--P ，点M 为圆22:1C x y +=上的任意一点，点N 在直线OP 上，其中O 为坐标原点，若|||MP MN =恒成立，则点N 的坐标为______.【正确答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设N 和M的坐标，由|||MP MN =，列等式，利用点M 在圆上，点N 在直线OP 上，化简得恒成立的条件，求得点N 的坐标.【详解】易知直线OP 的方程为0x y -=，由题意可设00(,)N x x ，设(,)M x y ''，则可得221x y ''+=，由||||MP MN =，可得22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++，则2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦，化简得200(24)()41x x y x ''++=-，即[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=，若|||MP MN =恒成立，则0120x +=，解得012x =-，故11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与抛物线28y x =的焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若122PF PF -=，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为_______.【正确答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出12PF PF ⋅的值，然后代入三角形的面积公式1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠ ，即可得到本题答案.【详解】由双曲线右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合，可得2(2,0)F ，所以124F F =，设1122,PF r PF r ==，则122r r -=，因为22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，所以22121212162r r r r +-⨯=，则21212()16r r r r -+=，解得1212r r =，所以，12121sin 602F PF S r r =︒=.故三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，且点111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)121n a n =-(2)21n n +【分析】（1）先求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中数列{}n a 的通项公式，可写出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消的方法即可求得前n 项和n T .【详解】（1）由题意得1112n na a +=+，即1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为2的等差数列，故1112(1)21n n n a a =+-=-，即121n a n =-.（2）由（1）知11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- -+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.18．已知ABC 的顶点坐标分别是()3,0A ，()1,2B ，()1,0C -.(1)求ABC 外接圆的方程；(2)若直线l ：3480x y +-=与ABC 的外接圆相交于M ，N 两点，求MCN ∠.【正确答案】(1)22(1)4x y -+=(2)60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点,,A B C ，求出方程组的解，即可得到本题答案；（2）先求出圆心到直线MN 的距离，即可得到30PMN ∠=︒，然后求出MPN ∠，即可得到本题答案.【详解】（1）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->，代入点(3,0),(1,2),(1,0)A B C -得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩，解得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆的一般方程为：22230x y x +--=，标准方程为.22(1)4x y -+=（2）圆心(1,0)P 到直线:3480l x y +-=的距离1d ==，又因为2PM =，在等腰PMN 中，30PMN ∠=︒，所以圆心角260120MPN ∠=⨯︒=︒，则60MCN ∠=︒.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)1010【分析】（1）先证AC CD ⊥，PA CD ⊥，由此即可证得CD ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，求出(0,2,1)PD =- ,平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- ，然后利用公式sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ ，即可求得本题答案.【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形.所以1CF AF DF ===，222CD CF DF =+又222AC AB BC =+=因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD = ，(0,2,1)PD =- ，111(,,)222AE = .设平面AED 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- .设PD 与平面AED 所成角为θ，则110sin cos ,1025n PD n PD n PDθ⋅-===⨯⋅ .20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过C 上一点P 向抛物线的准线作垂线，垂足为Q ，PQF △是面积为43.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()1,0M -作直线l 交C 于A ，B 两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为1k ，2k ，证明.120k k +=【正确答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边QF 的长，再求出Rt FQN 中FN 的长，即可求出p 的值，从而求出抛物线的标准方程；（2）设过M 的直线方程，与抛物线方程联立，借助A ，B 坐标表示12k k +，化简证明即可.【详解】（1）如图所示，PQF △的面积21sin 602PQF S PQ PF =︒== ∴4PF PQ QF ===，设准线与x 轴交于点N ，则在Rt FQN 中，906030FQN ∠=︒-︒=︒，∴122p FN QF ===，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意知，过点()1,0M -的直线l 的斜率存在且不为0，∴设直线l 的方程为l ：()1y k x =+（0k ≠），直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，得2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得，()2222240k x k x k +-+=，当()2242440k k ∆=-->，即()()1,00,1k ∈-⋃时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k=-+-，121=x x ，由第（1）问知，()1,0F ，∴直线FA 的斜率1111y k x =-，直线FB 的斜率2221y k x =-，∴()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+.∴原命题得证.21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且12314++=a a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2n n b n a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的n *∈N ，不等式()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)2nn a =(2)3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，公比2q =，代入到12314++=a a a ，算出1a ，即可得到本题答案；（2）根据错位相减的方法求得n T ，然后将不等式()2224844n n T n n λ++-≥-，逐步等价转化为2112n n λ-≥，再利用单调性求出2112n nn c -=的最大值，即可得到本题答案.【详解】（1）因为12n n a a +=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，所以1231112414a a a a a a ++=++=，故12a =，故2n n a =.（2）1222n n n b n n +=⋅=⋅，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= ，两式相减得，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，因此2(1)24n n T n +=-⋅+.由()2224844n n T n n λ++-≥-，可得222844n n n n λ+⋅≥-，所以2112nn λ-≥，该式对任意的n *∈N 恒成立，则max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令2112n n n c -=，则()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=，当6n ≤时，10n n c c +->，即数列{}n c 递增，当7n ≥时，10n n c c +-<，即数列{}n c 递减，所以当7n =时，()max 3128n c =，所以实数λ的取值范围是3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点()1,1Q -的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且,AB CD 共线，求直线AB 的斜率.【正确答案】(1)22193x y +=(2)13【分析】（1）由短轴长可求出23b =可求出29a =，由此即可求得本题答案；（2）设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为,AB CD 共线，可设,AQ QC BQ QD λλ== ，可得13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，24241(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案.【详解】（1）因为短轴长为b =23b =，因为离心率e 2222213c b a a =-=，所以2213b a =，可得29a =，所以椭圆M 的方程为22193x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .设AQ QC λ= ，则13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩，即13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，得()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=，即()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭①同理可得()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭②由②-①，得11229393x y x y -=-，所以()12123y y x x -=-，所以直线AB 的斜率121213y y k x x -==-.思路点睛：把,AB CD 共线这个条件，转化为,AQ QC BQ QD λλ== ，是解决此题的关键.。
湖南省2023年高二数学第二学期期末模拟考试卷(共八套)
湖南省2023年高二数学第二学期期末模拟考试卷(共八套)一、选择题（共50分）1. 一根木棒长为20cm，在一支点灯的蜡烛上刻下四个等分点，然后点燃蜡烛。
若蜡烛燃烧速度为每分钟1cm，当蜡烛燃烧完时，距离木棒的哪个等分点最近？A. 第一个等分点B. 第二个等分点C. 第三个等分点D. 第四个等分点2. 某公司打算发行一种投资理财产品，该产品预期每年收益率为8%，若现在投资元，则5年后可获得多少钱？A. 元B. 元C. 元D. 元3. 若函数f(x)满足f(2) = 1，且f'(x) = x^2 - 3x + 2，求函数f(x)在区间[2, 4]内的平均值。
A. 1B. 2C. 3D. 4...二、填空题（共30分）1. 若直线kx - y = 2与2x - ky + 3 = 0互相垂直，则k的值为\_\_\_\_\_\_。
2. 设M是集合{1, 2, 3, 4}的非空子集，则M的个数为\_\_\_\_\_\_。
3. 已知函数f(x)的导函数f'(x)=3x^2+2，若f(x)过点(1,4)，则f(x)=\_\_\_\_\_\_。
...三、解答题（共20分）1. 求方程2x^2 - 3x + 1 = 0的两个根。
2. 设函数f(x)满足f'(x) = 2x，且f(1) = 3，求f(x)的解析式。
...四、综合题（共50分）1. 设函数f(x) = ax + b，其中a>0，给定两个已知点A(2, 3)和B(5, 7)，求函数f(x)的解析式。
2. 已知三角形ABC中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 4，则AC的长度为多少？...以上是湖南省2023年高二数学第二学期期末模拟考试卷的部分内容。
根据需要，可以选择适当数量的题目进行考试。
祝您顺利！。
浙江省温州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)含答案
2023学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（B 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线方程10x y ++=，则倾斜角为（）A.45° B.60°C.120°D.135°【答案】D 【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线10x y ++=的斜率为-1，设直线的倾斜角为θ，则tan 1θ=-，因为[)0,πθ∈，所以3π1354θ== .故选：D.2.抛物线24y x =的准线方程为（）A.2x =-B.=1x - C.1y =- D.=2y -【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求解.【详解】由抛物线24y x =得：焦点在x 轴上，开口向右，p =2，所以其准线方程为=1x -，故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.3.在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则()12AB BD BC ++=（）A.ADB.GAC.AGD.MG【答案】C 【解析】【分析】根据已知可得2BD BC BG +=，代入即可得出答案.【详解】因为，点G 是CD 的中点，所以，2BD BC BG +=，所以，()12AB BD BC AB BG AG ++=+=.故选：C.4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则4a =（）A.2B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】由443a S S =-直接计算即可.【详解】由题意()()4344321218a S S =-=---=.故选：C.5.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1A 到平面1AB C 的距离为（） A.13B.12C.23 D.33【答案】D 【解析】【分析】设点1A 到平面1AB C 的距离为h ，根据1111A AB C C A AB V V --=，结合锥体的体积的计算，即可求解.【详解】如图所示，设点1A 到平面1AB C 的距离为h ，由1111A AB C C A AB V V --=，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，可得11AC CB B A ===三棱锥11A AB C -的体积为11113A ABC AB C V S h -=⨯⨯ ，所以11121113432h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得h ，所以点1A 到平面1AB C 的距离为3.故选：D.6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如下图的1，3，6，10称为三角形数．．．．，1，4，9，16称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是（）A.55B.49C.36D.28【答案】C 【解析】【分析】由题意，整理数列的通项公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意，三角形数可看作11=，312=+，6123=++，101234=+++，则第n 个三角形数为()11232n n n +++++=；正方形数可看作211=，242=，293=，2164=，，则第n 个正方形数为2n ；对于A ，令255n =，其解不是正整数，所以55不是正方形数，故A 错误；对于B ，令249n =，解得7n =，令()1492n n +=，其解不是正整数，所以49不是三角形数，故B 错误；对于C ，令236n =，解得6n =，令()1362n n +=，解得8n =，故C 正确；对于D ，令228n =，显然其解不是正整数，所以28不是正方形数，故D 错误.故选：C.7.已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（）A.13B.12C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，利用条件结合圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积，利用二次函数的图象和性质求解即可．【详解】设圆锥的底面半径为R ，高为h ；圆柱的底面半径为r ，高为x ，画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，如图则r h x R h-=，∴h x xr R R R h h-==-．∴圆柱侧面积22π2π·2π·2π(0)x R S r x R R x x Rx x h h h ⎛⎫==-=-+<< ⎪⎝⎭．22ππ(0)22R h Rhx x h h ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭∴当2hx =时，圆柱侧面积最大，此时圆柱与圆锥的高之比为21x h =．故选：B.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3，点P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y =交于点Q ，且12QF QF ⊥，则12tan F PF ∠=（）A.B.C.2 D.23【答案】A 【解析】【分析】不妨设3a =，12F PF θ∠=，则c =21,,sin tan c c PF PQ F Q θθ===，结合椭圆定义可列关于θ的方程由此即可得解.【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3，不妨设3a =，则c =点P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y =交于点Q ，且12QF QF ⊥，所以260QOF ∠=，又O 是12F F 的中点，所以12212QO F F OF ==，所以2QOF △是正三角形，所以2QF c ==，可得2130F F P ∠= ，设12F PF θ∠=，21,,sin tan c c PF PQ F Q θθ===，所以2sin tan c c a θθ++=，即336sin tan θθ+=，所以22cos 1cos 12sin 2sin cos tan 222θθθθθθ+===tan 23θ=，又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3θ=，所以12tan F PF ∠=故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含θ的式子表示出21,,PF PQ FQ ，从而即可顺利得解.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知圆221:870C x y x +-+=和圆222:60C x y y m +++=外离，则整数m 的一个取值可以是（）A.4B.5C.6D.7【答案】CD 【解析】【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心距，利用两圆外离的关系列出不等式，求出整数m 的值.【详解】因为方程22870x y x +-+=可化为()2249x y -+=，所以圆1C 的圆心1C 的坐标为()4,0，半径为3，因为方程2260x y y m +++=可化为()2239x y m ++=-，由已知90m ->，且m 为正整数，所以圆2C 的圆心2C 的坐标为()0,3-，所以圆心距125C C ==，因为圆1C 和圆2C 外离，所以53>+，所以59m <<，故m 的可能取值有6,7,8，故选：CD.10.以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（）A.22142x y -=与22142x y += B.22142x y -=与22124y x -=C.22142x y +=与22124x y += D.240y x +=与220x y +=【答案】CD 【解析】【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.【详解】对于A 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；椭圆22142x y +=的离心率为22e ===≠，故A 错误；对于B 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；双曲线22124y x -=的离心率为62e ===≠，故B 错误；对于C 项，椭圆22142x y +=的离心率为2e ===；椭圆22124x y +=的离心率为2e ===，故C 项正确；对于D 项，方程240y x +=可化为抛物线24y x =-，方程220x y +=可化为抛物线22x y =-，而且抛物线的离心率均为1，故D 项正确.故选：CD.11.已知三棱锥-P ABC 如图所示，G 为ABC 重心，点M ，F 为,PG PC 中点，点D ，E 分别在,PA PB 上，PD mPA = ，PE nPB =，以下说法正确的是（）A.若12m n ==，则平面DEF ∥平面ABC B.111333PG PA PB PC=++ C.111266AM AP AB AC=++ D.若M ，D ，E ，F 四点共面，则111m n+=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由中位线得//,//DE AB DF AC ，结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证；对于BC ，直接由图形的性质分解向量即可；对于D 由B 中结论变形为111663PM PD PE PF m n =++，由四点共面的充要条件即可判断.【详解】对于A ，若12m n ==，即,D E 分别为,PA PB 的中点，又点F 为PC 的中点，所以//,//DE AB DF AC ，又DE ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以//DE 面ABC ，同理可证//DF 面ABC ，又,,DE DF D DE DF =⊂ 面DEF ，所以平面DEF ∥平面ABC ，故A 正确；对于BCD ，如图所示：设BC 中点为H ，连接,AH AM ，因为点G 为ABC 重心，所以点G 在线段AH 上面，所以()221332PG PA AG PA AH PA AB AC =+=+=+⨯+ ()11113333PA AP PB AP PC PA PB PC =++++=++，故B 正确；对于C ，1111122333AM AP PM AP PG AP PA PB PC ⎛⎫=+=+=+++ ⎪⎝⎭ ()()511111666266AP PA AB PA AC AP AB AC =++++=++，故C 正确；因为()11112233PG PM PA PB PC PD PE PF m n ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，所以111663PM PD PE PF m n =++ ，若M ，D ，E ，F 四点共面，则1111663m n ++=，解得114m n +=，故D 错误.故选：ABC.12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a <，120a a +>，则下列命题正确的是（）A.若{}n a 为等差数列，则数列{}n S 为递增数列B.若{}n a 为等比数列，则数列{}n S 为递增数列C.若{}n a 为等差数列，则数列{}n a 为递增数列D.若{}n a 为等比数列，则数列{}n a 为递增数列【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，得到公差0d >，110a d a +>->，结合等差数列求和公式得到110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，A 正确，推出()11n n a a n +>≥得到C 正确；BD 选项，得到公比211a q a =<-，举出反例得到C 错误，由10a >，且11n na q a +=>，得到D 正确.【详解】因为10a <，120a a +>，所以20a >，且211a a a >=-，AC 选项，若{}n a 为等差数列，则公差210d a a =->，110a d a +>->，则()112n n n S na d -=+，110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，则数列{}n S 为递增数列，A 正确；由于21a a >，故21a a >，又0d >，故()102n n a a n +>>≥，则()11n n a a n +>≥，数列{}n a 为递增数列，C 正确；BD 选项，若{}n a 为等比数列，则公比211a q a =<-，不妨设2q =-，11a =-，则232,4a a ==-，故1313S S =->=-，则数列{}n S 不为递增数列，B 错误；由于1q >，故11n na q a +=>，又10a >，故数列{}n a 为递增数列，D 正确.故选：ACD非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程可以是______．（只需填写满足条件的一个方程）【答案】2241y x -=（答案不唯一）.【解析】【分析】由相同渐近线的双曲线的共性即可求解.【详解】若双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程可设为()224,0y x λλ-=≠，在这里不妨取1λ=即可满足题意.故答案为：2241y x -=（答案不唯一）.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，32123S a a =+，且516a =，则1a =______．【答案】1【解析】【分析】由等比数列前n 项和以及等比数列基本量的计算可先算的公比q ，从而由514a a q =即可得解.【详解】设公比为(),0q q >，由题意31232123S a a a a a =++=+，所以231211122a a q a a a q a ==+=+，又10a ≠，所以220q q --=，解得20q =>满足题意，所以51441612a q a ===.故答案为：1.15.已知点P 为圆()()22:448C x y -+-=上一动点，()2,0A ，()0,2B ，则点P 到直线AB 的距离的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先得出圆心()4,4C 到直线:20AB x y +-=的距离，以及圆()()22:448C x y -+-=的半径，由此结合1d r d d r -≤≤+即可求解.【详解】显然点()2,0A ，()0,2B 在圆()()22:448C x y -+-=的外面，而直线:122x y AB +=，即:20AB x y +-=，又圆()()22:448C x y -+-=的圆心、半径分别为()4,4,C r =所以圆心()4,4C 到直线:20AB x y +-=的距离为d ==设点P 到直线AB 的距离的为1d ，则1d r d d r =-≤≤+=，即点P 到直线AB 的距离的取值范围是.故答案为：.16.两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为______．【答案】33【解析】【分析】建立空间坐标系，设点坐标的得到线段长度表达式，配方利用二次函数最小值.【详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =,BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ,根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，BC BE ∴⊥，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()()()()1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,0A C F E (),,,CM a BN b a b ⎡==∈⎣ ，∴M ，N ．MN =，当33a b ==时，MN 最小，最小值为3；故答案为：33四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1AB =，2'AD AA ==，90BAD DAA '∠=∠=︒，60BAA '∠=︒，设AB a =，AD b = ，AA c '= ．（1）用向量,,a b c 表示A C ' ；（2）求BC A C ''⋅ ．【答案】（1）a A C b c'=+- （2）1BC A C ''⋅=【解析】【分析】（1）直接分解向量即可求解；（2）首先分解向量得B b C c '=+ ，进一步结合,,a b c 两两之间的数量积即可求解.【小问1详解】由题意A C A A AC AA A AD a B b c '''=+=-++=+- .【小问2详解】由题意BC BC CC AD AA b c '''=+=++=，因为1AB =，2AD AA '==，90BAD DAA '∠=∠=︒，60BAA '∠=︒，所以2210,121,42a b a c b c ⋅=⋅=⨯⨯=== ，所以()()2201441B b c a b c a b a c b c C A C ⋅''⋅++-+⋅+-==+-==+ .18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足33a =，425S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前10项和10T ．【答案】（1）n a n=（2）102101T =【解析】【分析】（1）直接由等差数列前n 和以及等差数列基本量的计算可得公差d ，由此即可得解；（2）直接由等差数列、等比数列求和公式分组求和即可得解.【小问1详解】由题意33a =，()4123423225S a a a a a a a =+++=+=，因为33a =，解得22a =，所以等差数列的公差321d a a =-=，所以数列{}n a 的通项公式为()22n a a n d n =+-=.【小问2详解】由题意22n a n n n b a n =+=+，所以数列{}n b 的前10项和210101210222T =+++++++()()10212101105520462101212⨯-⨯+=+=+=-.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的菱形，2π3ABC ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD =，M 为PB 的中点．（1）求证：平面MAC ⊥平面PDB ；（2）求CP 与平面MAC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见讲解.（2）4【解析】【分析】（1）利用直线与平面的垂直的性质，平面与平面的判断定理进行证明.（2）利用空间向量求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，因为PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，因为AC ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PDB .【小问2详解】连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为BD 的中点，因为M 为PB 的中点，所以MO 为PBD △的中位线，所以MO PD ∥，因为PD ⊥平面ABCD ，所以MO ⊥平面PBD ，如图建立空间直角坐标系.根据题意有0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,0,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以1,,122CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知平面MAC 的一个法向量为()1,0,0n =，设CP 与平面MAC 所成角为θ，则·2sin cos ,4CP n CP n CP n θ==== ，所以CP 与平面MAC所成角的正弦值4.20.已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：20x y -=的距离为5，求该圆的方程．【答案】或【解析】【详解】（法一）设圆P 的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题意可知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°圆P 截x 轴所得的弦长为，2|b|=，得r 2=2b 2，圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2=a 2+1，得2b 2-a 2=1．又因P （a ，b ）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圆的方程是，或（法二）设圆的方程为，令x =0，得，所以，得再令y=0，可得，所以，得，即，从而有2b 2-a 2=1．又因为P （a ，b ）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r 2=2b 2=2所求圆的方程是，或21.已知数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，112a =．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ，且2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）13k <【解析】【分析】（1）证明111n na a +-为定值即可；（2）先求出数列{}n a 的通项，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n n b S S =-，利用单调法求出数列{}n b 的最小项即可得解.【小问1详解】因为11n n n a a a +=+，所以11111n n n n a a a a ++==+，即1111n na a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为112a =，公差为1的等差数列；【小问2详解】由（1）得11n n a =+，所以11n a n =+，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n n b S S =-，则()1221222211n n n n n n n n n b b S S S S a a a ++++++-=---=+-11111111023222232422324n n n n n n n n =+->+-=->++++++++，所以数列{}n b 是递增数列，所以()1212min 13n b b S S a ==-==，即()2min 13n n S S -=，所以13k <.22.已知点()2A 在双曲线C ：22221x y a a -=上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）221x y -=（2）3(,1) 4【解析】【分析】（1）由点()2A在双曲线C上，代入求得a的值，即可求解；（2）根据题意，设直线l为2y x m=+，联立方程组，由0∆>，求得12m<-，且21212,4(1)x x x x m+=-=+，利用弦长公式求得则PQ=，进而得到229S m=-，再由直线AP和AQ 的方程，得到254121MNm=-，求得AMN的面积3521Sm=-，进而得到122511,24209S mS m m=-<--+，结合函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由点()2A在双曲线2222:1x yCa a-=上，可得22541a a-=，解得21a=，所以双曲线C的方程为221x y-=.【小问2详解】解：由直线l垂直于OA，可得直线l的斜率为12OAkk=-=，设直线l 的方程为52y x m=+，且1122(,),(,)P x y Q x y，联立方程组2221y x mx y⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，整理得224(1)0x m+++=，因为直线l与双曲线C的右支交于,P Q两点，则()()2212212Δ16(1)0410mx xx x m⎧=-+>⎪⎪+=->⎨⎪=+>⎪⎩，解得12m<-，可得21212,4(1)x x x x m+=-=+，则12PQ x=-===又由点A到直线220l y m-+=的距离为1293d m==-，所以21292S PQ d m=⋅=-，直线AP的方程为2y x-=+，令0x=，可得2My=+，直线AQ的方程为2y x-=+，令0x=，可得2Ny=+则M NMN y y=-===21m==-，所以AMN的面积354121Sm=-，又由23312221S S SSS S S-==-，则12255111,(21)(29)24209S mS m m m m=-=-<----+，令()22542094(162f m m m m=-+=--，可得函数()f m在1(,2-∞-上单调递减，且1(202f-=，所以()20f m>，所以123(,1)4SS∈，即12SS的取值范围为3(,1)4.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围；（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析
成都高2025届高二期末考试数学复习试题（三）（答案在最后）一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.设直线l sin 20y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î，，，则由直线可得tan a q =Î，所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕，故选：D2.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,3d =可得(c ∈-⋃，经验证，3c =∈，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.3.若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的）A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =，由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -，结合222a b c =+可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为：22221x ya b+=，由题意b =，a c -=所以2a c ===，c =a =，3b =，所以椭圆方程为：221129x y +=，当椭圆焦点在y 轴上时，同理可得：221912x y+=，故选：B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ，对于B 项把月利润增长指数从小到大排列，计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A 不正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，故B 错误；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C 正确；P （2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）26211C 3C 11==，故D 错误.故选：C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -，则下列结论不正确的是（）A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =，则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据共面向量基本定理判断C ，根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==，||7AC ==，故A 正确；因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=，所以AB AC ⊥，故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--，(4,1,9)AP →=-，所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-，所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内，故B 正确；因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ，显然不成立，故D 错误.故选：D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为80706090+=+，因此平均数不变，即70X =，设其他48个数据依次为1248,,,a a a ，因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ，()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ，()250751004001004000s -=--=-<，∴275s <，故选：D ．7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =.如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB = ，()0,4,2CP = ，()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ （其中AB 为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（）A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ∈(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ，∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,===b a c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠，∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选：B.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ，求出A B ⋃的概率判断C ，由公式()()()P AB P A P B =判断D ．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，事件A 含有的基本事件有：16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56，共12个，事件B 含有的基本事件有：11,14,15,21,31,41,51，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A 正确；基本事件15发生时，事件,A B 均不发生，不对立，B 正确；事件A B ⋃中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此19()20P A B =，C 正确；123()205P A ==，7()20P B =，()0P AB =()()P A P B ≠，,A B 不相互独立，D 错．故选：ABC ．10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等，1AB =，2BC BE ==，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ；利用空间两点间距离公式即可判断选项B ；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知：,,BA BC BE 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥，故选项A 正确；又MN===∴当2a=时，min||MN=，故选项B正确；当MN最小时，,,2a M N=分别是,AC BF的中点，取MN中点K，连接AK和BK，,AM AN BM BN==，,AK MN BK MN∴⊥⊥，AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中，,2BM BN MN===，可得2BK==，同理可得2AK=，由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==，故选项C 正确；2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭，故选项D错误.故选：ABC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C上的点()11,A x y反射后，再经C上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB =，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，圆22:(2)1M x y +-=，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =，则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =，则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =，则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知，数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，进而求离心率范围；B 令(,)P x y ，求得||MP =，结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断；C 由题设123,1PF PF ==，令(,)P x y，进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围；D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =，圆M 中圆心(0,2)M ，半径为1，如下图示，A ：由于02b <<，由图知：当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭，对；B ：当1b =时，令(,)P x y，则||MP =，而224(1)x y =-，所以||MP =，又11y -≤≤，故max ||MP =所以||PQ1+，错；C ：由1224PF PF a +==，若213PF PF =，则123,1PF PF ==，由12(F F ，令(,)P x y ，且2221)(4x y b =-，则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩，所以(0,2]x =，则23b ≤，且02b <<，故0b <≤D ：令(,)Q x y，若12QF =，所以2222(3[(]x y x y +=-+，则222(4)0x b y -+-+=，所以222(3(4)x y b -+=-，Q轨迹是圆心为的圆，而(0,2)M与的距离为，要使点Q 存在，则1|1-≤≤，可得22(1)0b -≤，且02b <<，即1b =，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C ，根据已知得到123,1PF PF ==，设(,)P x y ，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解(0,2]x =为关键；对于D ，问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，则这两条平行线之间的距离是__．【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-，再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，∴2(1)4111m m +-=≠-，解得2m =-，故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=，2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.14.曲线1y =+与直线l ：y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】53124，纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线l 是过定点()24，的直线，利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A （2，4），又曲线1y =+0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r，2=，解得512k =.当直线l 过点B （－2，1）时，直线l 的斜率为()413224-=--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为53124，纟çúçú棼.故答案为：53124，纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：()11233635x =++++＝，方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝＝，可以出现点数6；对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>，所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6.综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为：乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求得22b a的范围，从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-，当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式，此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤，从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）228870x y x y +--+=，D 在圆M 内；（2）43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可；（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；【小问2详解】由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径=5r ，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a ▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b 合计▓▓（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004（2）35（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96【解析】【分析】（1）利用频率＝100%⨯频数样本容量，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．【小问1详解】由题意可知，样本容量n ＝8500.16=，∴b ＝250＝0.04，第四组的频数＝50×0.08＝4，∴508202416a ＝----＝.y ＝0.0410＝0.004，x ＝1650×110＝0.032．∴a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004．【小问2详解】由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）＝93155=．∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．【小问3详解】∵[50，70）的频率为：0.160.320.48+＝，[70，80）的频率为0.4，∴中位数为：0.50.48701070.50.4-+⨯=，平均数为：550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝．方差为：()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣＝．19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB DC ，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明：//BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析；()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，利用三角形中位线性质得出12EG CD =，因为底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ，得出四边形ABEG 为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出//BE 平面PAD ；()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标，进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解：()1证明：在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，图象如下：G 和E 分别为PD 和PC 的中点，∴EG //CD ，且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =∴AB //CD ，且12AB CD =，∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ,()0,2,0D ，()002P ,,，()1,1,1E ，()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点，设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥，得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩，令1c =，则3a =-，则()3,0,1n =- ，取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ，则二面角F AD C --的平面角α满足：cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.21.已知O 为坐标原点，()120F -，，()220F ，，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线.E （1）求曲线E 的方程；（2）过点()220F ，的直线l 与曲线E 交于A B ，两点，求+ OA OB 的取值范围．【答案】（1）()2211.3y x x -=≥（2）[)4∞+，【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点P 的轨迹是双曲线的右支，求出,a b 的值，即得；（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数m 的范围，将所求式等价转化为关于m 的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -，，()220F ，，且动点P 满足12122PF PF F F -=<，由双曲线的定义知：曲线E 是以12F F ，为焦点的双曲线的右支，且2c =，1a =，则2223b c a =-=，故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，直线l 与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l 方程为：2x my =+，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---，2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意：()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩，解得：210.3m ≤<OA OB +=====，令2131t m =-，因210,3m ≤<故1t ≤-，而OA OB +== ，在(],1t ∞∈--为减函数，故4OA OB +≥ ，即OA OB + 的取值范围为[)4∞+，.22.如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±，过椭圆1C 上一点P （2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQ NR 的取值范围.【答案】（1）12-（2）11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >，由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线PA 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+，即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++，又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得23n x -±=，所以1Q R x NQ NR x ====，又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即29<，所以1121019NQNR+<<，所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。
2022-2023学年高二数学下学期期末模拟试卷(选修+必修)(解析版)
绝密★考试结束前2022-2023学年高二下学期期末数学模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2023春·湖南长沙·高二望城一中校考期末）已知集合{|27}A x x =−≤<，2{|1}B x x=≥，则()R A B 为（ ）A ．{|27}x x −≤<B ．{|20x x −≤<或27}x <<C ．{|20x x −≤≤或27}x <<D ．{|20x x −≤<或27}x ≤< 【答案】C【解析】因为2{|1}{|02}Bx x x x=≥=<≤，则{|0R B x x =≤ 或2}x >， 所以(){}|27{|0R A B x x x ∩−≤<∩≤ 或2}x >，{|20x x =−≤≤或27}.x <<故选：C 2．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知()sin ,1a α= ，()1,2cos b α= ，若a b ⊥ ，则πtan 4α−=（ ）A ．3−B ．13− C ．1− D ．3 【答案】D【解析】因为a b ⊥，所以有sin 2cos 0αα+=，即tan 2α ， 所以πtan 13tan 341tan 1ααα−−−=== +−.故选：D 3．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（ ） A ．12 B ．35C ．23 D ．25【答案】A【解析】令事件A 为甲被选中的情况，事件B 为乙被选中的情况，故()P A 2435C 3C 5=，()1335C 3C 10P AB ==， 故()1(|)()2P AB P B A P A ==．故选：A ． 4．（2022春·山东德州·高二校考期末）已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则A ．()5,()3E X D X => B ．()5,()3E X D X =< C ．()5,()3E X D X <> D ．()5,()3E X D X << 【答案】B【解析】根据题意可知，58559E X ×+==（），238(55)8()393D X ×+−==<，故选B. 5．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A EF C −−的大小为45 ，四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 两点间的距离是（ ）A【答案】B【解析】因为四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则AE EF ⊥，DE EF ⊥，又因为二面角A EF C −−的大小为45，即45AED ∠=，则,45EA ED =， 因为DB DE EA AB EA ED AB =++=−+ ，由图易知AB EA ⊥ ，AB ED ⊥，=故选：B.6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x −是偶函数，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线=1x −对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f −=D ．()f x 的一个周期为8 【答案】C【解析】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x −+=−+∴−+=−+， 即()()2f x f x −+=−，即()()20f x f x +−+=， 故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x −是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x −−=−∴−−=−， 即()()2f x f x −−=，故()f x 的图象关于直线=1x −对称，A 结论正确； 由以上可知()()()22f x f x f x =−−=−−+，即()()22f xf x −=−+，所以()()4f x f x +=−，则()()4()8x x f f f x =−=++， 故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x −+=−+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =−∴=， 而()f x 的图象关于直线=1x −对称，故()30f −=，C 结论错误，故选：C 7．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数()f x 的定义域为ππ,22−，其导函数是()f x ′. 有()()cos sin 0f x x f x x ′+<，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x<的解集为（ ）A ．ππ,32B ．ππ,62C ．ππ,63−− D ．ππ,26 −−【答案】A【解析】构造函数()()cos f x g x x=，其中ππ,22x∈−，则()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x′+′=<，所以，函数()g x 在ππ,22−上单调递减，因为ππ,22x ∈− ，则cos 0x >，由()π2cos 3f x f x < 可得()π3πcos cos 3f f x x<， 即()π3g x g < ，所以，π3ππ22x x >−<< ，解得ππ32x <<， 因此，不等式()πcos 3f x x <的解集为ππ,32.故选：A.8．（2023春·山东济南·高二统考期末）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作圆D 的切线与C 的两支分别交于M ，N 两点，且1245F NF ∠=°，则C 的离心率为（ ） AC【答案】D【解析】如图，设双曲线的方程为22221x y a b−=，则AD a =. 设切线MN 与圆D 相切于点A ，过点2F 作2F B MN ⊥，垂足为B ，则2//AD BF .所以，有121212AD DFBF F F ==，所以222BF AD a ==. 又1245F NF ∠=°，2F B MN ⊥，所以2F BN 为等腰直角三角形， 所以22BN BF a ==，根据双曲线的定义可得，122NF NF a −=，所以12NF a =+.在12F NF △中，由余弦定理可得，222121212212cos F F NF NF NF NF F NF =+−⋅∠.所以，()()()2222422212ca a a =++−×+×，所以，223c a =，c =.所以，C 的离心率==c ea.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有1333C A 种排法B ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有4343A A 种C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种【答案】ACD【解析】对于A ：先排最左端，有13C 种排法，再排剩余3个位置，有33A 种排法，则共有1333C A 种排法，故A 正确；对于B ：3名男生相邻，有33A 种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有55A 种排法，所以共有5335A A 种排法，故B 错误；对于C ：先排4名女生，共有44A 种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有35A 4345A A 种排法，故C 正确；对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有3334A A 种排法，所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有4345A A -3334A A =1296种，故D 正确.故选：ACD10．（2022春·湖北孝感·高二统考期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*112,22n n a a S n N +==+∈，下列说法正确的有（ ）A ．数列{}n a 是等比数列B ．123n n a −=×C ．数列{}n a 是递减数列D ．数列{}n a 是递增数列 【答案】ABD【解析】由122n n a S +=+，则()1222n n a S n −+≥ 两式相减可得12n n n a a a +=−，即()132n n a a n +=≥ 由题意21122226a S a =+=+=，满足213a a =所以()*13n n a a n N +=∈,所以数列{}n a 是等比数列，故选项A 正确. 则11123n n n a a q −−==×，故选项B 正确.又1112323430n n n n n a a −−+−=×−×=×>，所以数列{}n a 是递增数列 故故选项C 不正确，故选项D 正确.故选：ABD11．（2022春·山东泰安·高二统考期末）对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据()()()1122,,,,,,i i x y x y x y 则下列结论正确的是（ ）A ．若求得的经验回归方程为0.60.3y x =−，则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系 B ．若这组样本数据分别是()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5，则其经验回归方程ˆˆˆybx a =+必过点()3,2.25 C ．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为11E =.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为1 2.1E =，则模型1的拟合效果更好D ．若用相关指数2R 来刻画回归效果，回归模型3的相关指数230.41R =，回归模型4的相关指数240.91R =，则模型4的拟合效果更好 【答案】ACD【解析】对于A ：因为回归方程为0.60.3y x =−，0.60>， 所以变量y 和x 之间具有正的线性相关关系，故A 正确； 对于B ：样本数据()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5的样本中心点为()3,2.5，且经验回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点，但()3,2.25不是样本中心点，故B 错误； 对于C ：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C 正确；对于D ：相关指数2R 越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D 正确；故选：ACD12．（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期末）已知函数()32142f x x x x =+−，则（ ） A ．1x =是()f x 的极小值点 B ．()f x 有两个极值点 C ．()f x 的极小值为1 D ．()f x 在[]0,2上的最大值为2 【答案】ABD【解析】因为()32142f x x x x =+−，所以()()()234134f x x x x x ′=+−=−+， 当()4,1,3x ∈−∞−+∞时，()0f x >′；当4,13x∈− 时，()0f x <′， 故()f x 的单调递增区间为4,3 −∞−和()1,+∞，单调递减区间为4,13−，则()f x 有两个极值点，B 正确； 且当1x =时，()f x 取得极小值，A 正确； 且极小值为()512f =−，C 错误；又()00f =，()22f =，所以()f x 在[]0,2上的最大值为2，D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若232nx x−展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答） 【答案】40【解析】因为二项式系数和232n =，因此5n =，又()()5521055132C C 2kkk kkk k T x x x −−+ =−=−， 令2k =，常数项为()225C 240−=. 故答案为：40.14．（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考期末）已知π3sin()34x −=，且π06x <<，则π2πsin()cos()63x x +−+的值为___________.【解析】令πππ,363t x=−∈，则ππ2π,π623x t x t +=−+=− ∵π3sin()sin 34x t −==，则cos t =()π2ππsin cos sin cos π2cos 632x x t t t+−+=−−−==15．（2022春·湖北·高二统考期末）某地区调研考试数学成绩X 服从正态分布()295,N σ，且(70)0.15P X <=，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在[]70,120的人数为随机变量ξ，则ξ的方差为________． 【答案】2.1【解析】由正态分布知，均值95µ=，且(70)0.15P X <=，所以(120)0.15P X >= 每个人的数学成绩在[]70,120的概率为(70120)P X ≤≤=2(0.50.15)0.7×−=， 所以10名学生的数学成绩在[]70,120的人数~(10,0.7)B ξ， 所以()100.70.3 2.1D ξ=××=． 故答案为：2.1．16．（2022春·山东临沂·高二统考期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x −>−，则m 的最小值是________. 【答案】3【解析】由于当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x −>−，所以121212213()33ln ln x x x x x x x x −−<=−，即121233ln ln x x x x +<+， 令3()ln f x x x=+，所以当任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有12()()f x f x <， 所以()f x 在(),m +∞上递增， 因为由22133()0x f x xx x−′=−=>，得3x >， 所以()f x 在(3,)+∞上递增，所以3m ≥，所以m 的最小值是3， 故答案为：3四．解答题：本小题共6小题，共70分。
高二数学期末模拟(一)
2022高二期末模拟试卷（一）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．2e 3i 表示的复数在复平面中所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线l ：2x ﹣y +1＝0的倾斜角为α，则sin(π−α)sin(π2+α)的值为（ ） A ．−25B ．−15C ．15D ．253．已知M （﹣2，0），N （2，0），|PM |﹣|PN |＝4，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线C ．双曲线左支D ．双曲线右支4.平移坐标轴，将坐标原点移至O ′(1,-1),则直线2x-3y+1=0在新坐标系中的方程为（ ）5．若抛物线2y =2px(p 〉0)的准线与圆（x-3）²+y ²=16相切，则p 的值为（ ）A.21B. 1C. 2D. 4 6．已知点A （﹣2，1），y 2＝﹣4x 的焦点是F ，P 是y 2＝﹣4x 上的点，为使|P A |+|PF |取得最小值，则P 点的坐标是（ ） A ．（−14，1）B ．（﹣2，2√2）C ．（−14，﹣1）D ．（﹣2，−2√2）7．若二项式（12−x ）n 的展开式中所有项的系数和为164，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．−52x 3B ．154x 4C ．﹣20x 3D ．15x 48．若双曲线的渐近线l 方程为，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 （ ）A ．2B ．C ．D ．29．若椭圆和双曲线有公共焦点，则椭圆的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．1922=−myx x y 35±=1455222212x y m n +=222212x y m n−=2643032.''=−y x B 0532.''=+−y x D 0632.''=+−y x A 0232.''=+−y x C10．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ={−1，0，14，13，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A ．15B ．16C ．32D ．256二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．若直线l 的参数方程为{x =1−ty =1+√3t（t ∈R ），则直线l 的倾斜角为 ．12．C 22+C 32+C 42+⋯⋯+C 102= ．13. 已知 nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛−2的展开式中所有的二项式系数和为64，则展开式中常数项是______14．6个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有_______种排法. 15．若直线2x −y +1=0与椭圆x 24+y 2m =1的交点被点（−14，12）平分，则m=_______. 三．解答题（共8小题，满分90分）16.（10分）已知复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝﹣x 上，且复数z +1z为实数． （1）求复数z ；（2）已知z 2+z 4是方程x 2﹣ax +b ＝0的根，求实数a ，b 的值．17．（10分）在△ABC 中， 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且CBc a b cos cos 2−=+ （1）求角C 的大小；（2）B=π6，BC 边上的中线AM=√7，求△ABC 的面积18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率=2e ，连接椭圆四个顶点菱形的面积为4（1）求椭圆的方程;（2）设直线l 过点A (-a ,0),与椭圆交与另一点B,=5AB ,求直线l 的倾斜角.20．（12分）现有6本不同的书，分给3名同学，各有多少种分法：（1）甲1本，乙2本，丙3本；（2）其中一人1本，一人2本，一人3本（3）甲2本，乙2本，丙2本；（4）甲乙丙每人2本.21．（10分）2021年3月25日《人民日报》报道：“作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020﹣2021年度棉花产量约595万吨．其中，新疆棉产量520万吨，占国内总产量约87%．除了新疆，河南、河北、山东、湖北等也是我国的棉花主要产地．”某公司为响应国家扶贫号召，为某小型纺织工厂提供资金和技术的支持，并搭建销售平台．现该公司为该厂提供新疆棉2.5吨，河南棉12吨．该工厂打算生产两种不同类型的抱枕，A款抱枕需要新疆棉100g，河南棉300g，B款抱枕需要新疆棉50g，河南棉400g，且一个A款抱枕的利润为10元，一个B款抱枕的利润为8元．假设工厂所生产的抱枕可全部售出．（1）求工厂生产A款抱枕和B款抱枕各多少个时，可获得最大利润，最大利润是多少？（2）若工厂有两种销售方案可供选择，方案一：自行出售抱枕，则所获利润需上缴公司10%；方案二：由公司代售，则公司不分抱枕类型，让工厂每个抱枕获得8元的利润．请问该工厂选择哪种方案更划算？请说明理由．22．（12分）已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2sin(π3+x)sin(π3−x)+a ，x ∈R ． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，f （x ）的最小值为2， ①求实数a 的值；②先将函数y ＝f （x ）的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移π12个单位，得到函数y ＝g （x ）的图像，求函数y ＝g （x ）的对称中心．23．（14分）已知椭圆一准线方程为x=3√22且离心率是方程3x 2-4√6x+6=0的根，（1）求椭圆方程;（2）一直线y=x+2与其相交于A 、B 两点，求以|AB|为直径的圆的面积;（3）又一直线y=kx+2(k ≠0)与椭圆相交于CD 两点，以CD 为直径的圆过点E(1,0)，求k.。
山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)
运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学 张阳朋运城中学 吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。
2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．直线1y x =+的倾斜角为（）A ．0B ．4πC ．2πD ．34π【正确答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线1y x =+的倾斜角为(0π)αα≤≤，由题意可知：tan 1α=，所以π4α=，故选.B2．已知(1,2,5),(2,1,)a b x x ==- ，若ab，则x =（）A ．2-B ．12C ．52D ．72【正确答案】C【分析】根据空间向量共线定理列方程求x .【详解】因为ab，所以可设b a λ= ，又(1,2,5),(2,1,)a b x x ==-，所以2,12,5x x λλλ-===，所以51,22x λ==.故选：C.3．曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．10x y +-=D ．10x y --=【正确答案】D【分析】先求函数在1x =处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.【详解】函数()ln x f x x =的定义域为()0+∞，，其导函数()21ln xf x x -'=，所以()11f '=，所以曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，又()10f =，故曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y --=.故选：D.4．已知F 是椭圆221167x y +=的左焦点，P 为椭圆上任意一点，点Q 的坐标为(2,1)-，则||||PQ PF +的最小值为（）A ．1B ．8C ．3D【正确答案】B【分析】将||||PQ PF +转化到8PQ PF '+－，当三点共线且P 在射线F Q '的延长线上时，取得最小值.【详解】椭圆221167x y +=的43a b c ===，，点Q 在椭圆内部，如图，设椭圆的右焦点为()3,0F '，则28PF PF a '+==；8PQ PF PQ PF '∴+=+－8PQ PF '=+－；由图形知，当P 在直线QF '上时，PQ PF QF ''==－，当P 不在直线'QF 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，PQ PF QF ''<=－，∴当P 在射线F Q '的延长线上时，'PQ PF －取得最小值PQ PF ∴+的最小值为8．故选：B5．在四面体ABCD 中，ABC 为正三角形，DB ⊥平面ABC ，且AB BD =，若3AE AB =，2C F C D= ，则异面直线DE 和BF 所成角的余弦值等于（）A．13B．13C．39D．39-【正确答案】A【分析】由条件建立空间直角坐标系，求异面直线DE 和BF 的方向向量，利用向量夹角公式求其夹角可得结论.【详解】因为DB ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形，故以B 为原点，以,BC BD为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设6AB =，则()()()()0,0,6,0,6,0,,0,0,0D C A B ，由3AE AB =，2C F C D =，可得()()2,0,0,3,3E F ，所以()()2,6,0,3,3DE BF =-=，所以cos ,13DE BF DE BF DE BF ⋅==-，所以异面直线DE 和BF故选：A.6．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{}n a ，在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．按新数列{}n b 的各项依次派遣支教学生．记50S 为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则50S 的值为（）A ．198B ．200C ．240D ．242【正确答案】B【分析】由已知确定数列{}n a 的通项公式，再确定数列{}n b 的项的取值规律，再求其前50项的和.【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．所以数列{}n a 为等差数列，且118a =，数列{}n a 的公差6d =，所以612n a n =+,数列{}n b 为数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2所得，所以数列{}n b 满足条件，118b =，当24n ≤≤时，2n b =，524b =，当614n ≤≤时，2n b =，1530b =，当1642n ≤≤时，2n b =，4336b =，当4450n ≤≤时，2n b =，所以数列{}n b 的前50项的和为18243036462200++++⨯=，故选：B.7．已知圆22:1C x y +=，椭圆22:143x y Γ+=，过C 上任意一点P 作圆C 的切线l ，交Γ于A ，B 两点，过A ，B 分别作椭圆Γ的切线，两切线交于点Q ，则||OQ （O 为坐标原点）的最大值为（）A ．16B ．8C ．4D ．2【正确答案】C【分析】先得到椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，考虑切线l 的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q 的坐标，求出当切线斜率不存在时，||4OQ =，当切线l 斜率存在时，设为y kx b =+，由l 与圆相切得到221b k =+，求出椭圆两切线方程，得到43,Q Q k x y b b =-=，求出4OQ <，求出||OQ 的最大值.【详解】当P 点坐标为()1,0±时，此时切线l 的斜率不存在，不妨设:1l x =，此时22:143x y Γ+=中令1x =得：32y =±，所以不妨令331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，下面证明椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，理由如下：当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，代入椭圆方程得：()22222222220a k b x a kmx a m a b +++-=，由()()()222222222240a km a k b a m a b ∆=-+-=，化简得：22220a k m b -+=，所以()22022222a km a kx m a k b --===+，把20a k x m -=代入00y kx m =+，得：20b y m =，于是2200022200mx x b x b k a a y a y =-=-⋅=-则椭圆的切线斜率为2020b x a y -，所以椭圆的切线方程为()200020b x y y x x a y -=--，整理得：222222220000a y y b x x b x a y a b +=+=，方程两边同除以22a b ，得到00221x x y ya b+=，当切线斜率不存在时，即此时(),0P a ，故切线方程为x a =，00221x x y ya b+=中令00,0x a y ==，可得x a =，故当切线斜率不存在，切线也满足00221x x y ya b+=，综上：椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，故过331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭的两切线分别为142x y +=和142x y -=，联立可得：()4,0Q ，此时4OQ =，同理可得:1l x =-时，4OQ =，当切线l 的斜率存在时，设为y kx b =+，因为y kx b =+与22:1C x y +=1=，即221b k =+，y kx b =+与223412x y +=联立得：()2223484120k xkbx b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则过()()1122,,,A x y B x y 的椭圆的切线方程为11143x x y y +=和22143x x y y+=，联立得：()()()()212112*********Q y y kx b kx b kx x y x y x kx b x kx bb-+--===--+-+，()()()()212121122112333Q x x x x y x y x y x kx b x kx b b--===-+-+，则4OQ ==<=，综上：OQ 的最大值为4.故选：C过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为.()()()()200x a x a y b y b r--+--=过椭圆22221x y a b+=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过双曲线22221x y a b-=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=8．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，过B 作l 的垂线交l 于点D ，若BDF V的面积为||||AF BF =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【正确答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，结合焦半径可得111AF BF+=，根据BDF V 的面积可解得23y =，进而得214BF BD y ==+=，即可求解43AF =.【详解】焦点()0,1F ,设直线AB 的方程为1y kx =+,联立直线与抛物线的方程得2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4x x k x x +==-，所以()22212121212242,116x x y y k x x k y y +=++=+==，故()()212212121111114211111111421y y k AF BF y y y y k +++++++=+===+++++++，()()()(22222221111422BDFS BD x y x y y ==+=+=V ，化简得()()22222351603y y y y -++=⇒=，所以214BFBD y ==+=，由111AF BF +=，所以43AF =,故||1||3AF BF =，故选：B二、多选题9．关于x ，y 的方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【正确答案】BC【分析】先得到0m ≠且1m ≠，再结合方程特点，分1m >，01m <<和0m <三种情况求出答案.【详解】显然0m ≠且1m ≠，若010m m >⎧⎨->⎩，即1m >时，此时2211x y m m +=-表示椭圆；若()10m m -<，即01m <<时，此时2211x y m m +=-表示双曲线；若0m <，此时2211x y m m +=-无解，综上：方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.故选：BC10．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若91580,1a S a ><-，则下列结论正确的是（）A ．98a a >B ．使0n S >的n 的最大值为16C ．公差0d <D ．当8n =时n S 最大【正确答案】ACD【分析】根据条件可得80a >，890a a +<，可判断A 正确，98820d a a a =-<-< 可判断C 正确，再根据15160,0S S ><可判断B 错误，又因为8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<可判断D 正确.【详解】 等差数列{}n a ，115815815()05,201S a a a a +=∴=>>，又99889810,0a a a a a a <-∴<-+<<，98a a ∴>，A 正确.98820d a a a =-<-< ,C 正确.89161168916160()()022a a S a a a a +<∴=+=+< ,150,S >使0n S >的n 的最大值为15.B 错误.890,0a a ><∴ 当8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<,所以当8n =时n S 最大.D 正确.故选：ACD11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点(0,1)A ，(2,1)B -，且其“欧拉线”与圆222:(4)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（）A ．题中的“欧拉线”为方程：10x y --=B ．圆M 上的点到直线0x y -=C ．若圆M 与圆22()8xy a +-=有公共点，则[4,4]a ∈-D ．若点(,)x y 在圆M 上，则1y x +的最大值是41【正确答案】ABD【分析】A 选项，分析得到其欧拉线过线段AB 的中点()1,0，且与直线AB 垂直，从而求出ABC 的欧拉线方程；B 选项，根据ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，列出方程，求出r ，得到圆M 上的点到直线0x y -=的最小值为圆心M 到直线0x y -=的距离减去半径，求出答案；C 选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出22a -≤≤；D 选项，1yx +的几何意义为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，数形结合得到当过()1,0-的直线l 与M相切，且斜率为正时，1yx +取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】线段AB 的中点坐标为0211,22+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0，直线AB 的斜率为()11102--=--，因为AC BC =，所以ABC 为等腰三角形，三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点()1,0，且与直线AB 垂直，故ABC 的欧拉线斜率为1，则方程为1y x =-，即10x y --=，A 正确；ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，故2r ==，圆心()4,0M 到直线0x y -=的距离为d ==则圆M 上的点到直线0x y -=的最小距离为d r -==B 正确；若圆229:(4)2M x y -+=与圆22()8x y a +-=有公共点，则3222≤，解得：a ≤C 错误；1yx +为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，当过()1,0-的直线l 与229:(4)2M x y -+=相切，且直线l 的斜率为正时，1y x +取得最大值，设直线():1l y k x =+2=，解得：41k =，故1y x +的最大值是41，D 正确.故选：ABD12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1PA PB PC PD AB =====，E ，F 分别为线段,PB BC （含端点）上动点，则（）A ．存在无数个点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面ABCDB ．存在唯一点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面PBCC ．若EF BC ⊥，则四面体P AEF -的体积最大值为96D ．若//EF 平面PCD ，则四面体A BEF -【正确答案】ACD【分析】连接,AC BD ，记其交点为O ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，证明EH ⊥平面ABCD ，连接AH ，并延长交BC 于点F ，证明平面AEF ⊥平面ABCD ，判断A ，将四棱锥补形为长方体，过点A 确定平面PBC 的垂线，结合面面垂直的判断定理判断B ，根据条件确定EF 的位置特征，结合锥体体积公式求四面体P AEF -，A BEF -的体积最大值，由此判断CD.【详解】因为1PA PB PC PD AB =====，底面ABCD 为正方形，所以四棱锥P ABCD -为正四棱锥，由已知可得AC =连接,AC BD ，记其交点为O ，由正四棱锥性质可得PO ⊥平面ABCD ，因为1PA =，2AO =，所以2PO =，对于A ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，EH 交BD 与H ，则EH ⊥平面ABCD ，连接连接AH ，并延长交BC 于点F ，因为EH ⊂平面AEF ，EH ⊥平面ABCD ，所以平面AEF ⊥平面ABCD ，故A 正确；对于B ，将正四棱锥补形为长方体1111ABCD A B C D -，过点P 作11//NM B C ，连接,BN MC ，又11//BC B C ，又11MN B C BC ==，所以四边形BCMN 为平行四边形，过点A 作AQ BN ⊥，垂足为Q ，因为BC ⊥平面11ABB A ，AQ ⊂平面11ABB A ，所以AQ BC ⊥，BC BN B = ，,BC BN ⊂平面PBC ，所以AQ ⊥平面PBC ，在线段BC 上任取一点F ，连接QF 交BC 于点E ，因为AQ ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ，B 错误；对于C ，因为四面体P AEF -的体积等于四面体A PEF -的体积，因为AQ ⊥平面PEF ，所以四面体A PEF -的高为AQ ，因为1121,2AB AA BB PO ====，所以32NA NB ==，因为1221224ABN S =⨯1224AQ BN ⨯=，所以63AQ =，作侧面PBC ，连接点P 和BC 的中点S ，则PS BC ⊥，因为EF BC ⊥，所以//EF PS ，设BF x =，则102x <≤，13,2EF SF x ==-，所以)211333222432PEF S x x x x ⎛⎫=⨯-=-≤ ⎪⎝⎭又四面体P AEF -的体积13P AEF A PEF PEF V V S AQ--==⋅所以四面体P AEF -的体积最大值为1362332396⨯=，C 正确；对于D ，因为//EF 平面PCD ，EF ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PCD PC =，所以//EF PC ，设BF x =，则01x <≤，BE x =，π3EBF ∠=，所以2BEF S =≤F 和点C 重合，点E 和点P 重合时取等号，又AQ ⊥平面BEF，AQ =，所以四面体A BEF -的体积最大值为1312=，D 正确；故选：ACD.本题是立体几何综合问题，主要考查面面垂直和线面垂直的关系，线面平行性质定理和锥体的体积计算，对学生的素质要求较高.三、填空题13．已知(1,2,1),(1,0,0)a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为________________．【正确答案】()1,0,0b = 【分析】根据投影向量的定义即可由数量积求解.【详解】由于1b = ，故a 在b 方向上的投影向量为()cos ,1,0,0a b a b b b b b⋅=== ，故()1,0,0b = 14．设函数()ln 2f x x mx =-（m 为实数），若()f x 在[1,)+∞上单调递减，则实数m 的取值范围_____________．【正确答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到[)1,x ∞∈+，()0f x '≤，再根据1y x=的单调性即可得到答案.【详解】()12f x m x'=-，因为函数()ln 2f x x mx =-在区间[)1,+∞上单调递减，所以[)1,x ∞∈+，120m x-≤恒成立，即[)1,x ∞∈+，max12m x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.又1y x =在[)1,+∞上单调递减，所以max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故21m ≥，即12m ≥，所以m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+，则n a =___________．【正确答案】1321n n -⋅--.【分析】由递推关系证明数列{}1n a n ++为等比数列，结合等比数列通项公式求其通项，由此可得n a .【详解】因为12n n a a n +=+，所以()1221n n a n a n +++=++，又11a =，所以123a +=，故数列{}1n a n ++为等比数列，首项为3，公比为2，所以1132n n a n -++=⋅，故1321n n a n -=⋅--，故答案为.1321n n -⋅--16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过左焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点）并延长交椭圆于点D ，若0,||4||AB DF DF BF ⋅== ，则椭圆的离心率为_____________．【分析】根据椭圆的焦点三角形满足的边关系，结合勾股定理即可求解.【详解】设右焦点为E ,连接,AE BE ,由0,AB DF ⋅= 故AB DF ⊥ ，由,OF OE OA OD ==,所以四边形AFDE 为平行四边形，由于AB DF ⊥ ，进而可得四边形AFDE 为矩形，设BF x =，则4DF x =，因此4,24,22AE x AF a x BE a BF a x ==-=-=-，在直角三角形ABE 中，222AE AB BE +=,即()()22216232x a x a x +-=-，解得3a x =，所以42,24,233AE a AF a x a EF c ==-==，故222164499c a a =+，故2295c a =，即3e =，故53四、解答题17．已知空间三点(1,0,2),(0,1,2),(3,0,4)A B C --，设,AB a AC b ==．(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka b + 与- a kb 互相垂直，求k 的值．【正确答案】(1)12-(2)3132【分析】(1)先求出向量,a b ，再利用空间向量的夹角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出k 的值.【详解】（1）因为(1,1,0)a AB OB OA ==-= ，(2,0,2)b AC ==- ，所以空间向量的夹角公式，可得1cos 21144a b a bθ==-+⨯+ ，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为12-.（2）由（1）可知(1,1,0)a = ，(2,0,2)b =- .因为向量ka b + 与- a kb 互相垂直，所以()()0ka b a kb +⋅-= ，所以222(1)0k a k b k a b -+-= ，所以2282(1)0k k k ---=，所以2310k k --=，解得3132k ±=.18．在①22n S n n =+；②3267,18a a a =+=；③153,35a S ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知等差数列{},n n a S 为其前n 项和，若______________．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12N n n n b n a a *+=∈，求证：数列{}n b 的前n 项和13n T <．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析.【分析】（1）选①由n a 与n S 的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得112123n b n n =-++，利用裂项相消法证明即可.【详解】（1）若选①：在等差数列{}n a 中，113a S ==，当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，1a 也符合，∴21n a n =+；若选②：在等差数列{}n a 中，326718a a a =⎧⎨+=⎩ ，11272618a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；若选③：在等差数列{}n a 中，1513545352a S a =⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；（2）证明：由（1）得211(21)(23)2123n b n n n n ==-++++，所以111111111.355721233233n T n n n =-+-+-=-<+++L 19．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=，直线:(1)(21)53l m x m y m +++=+．(1)判断并证明直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若点A ，B 分圆周得两段弧长之比为1:2，求直线l 的方程．【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交，证明见解析；(2)直线l 的方程为2y =或1x =.【分析】（1）由题可得()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得直线l 恒过定点，再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系；（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.【详解】（1）因为直线l 的方程为(1)(21)53m x m y m +++=+，所以()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得，12x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(1,2)P ，因为22(12)(23)4-+-<，所以点(1,2)P 在圆内，故直线l 与圆C 相交；（2）因为圆C 的方程为22(2)(3)4-+-=x y ，所以点C 的坐标为()2,3，半径为2，因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠= ,所以30CAB ∠= ，故圆心到直线的距离12r d ==，直线斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，因为点()2,3C 到直线1x =的距离为1，所以直线1x =满足条件，即直线l 的方程可能为1x =，当直线斜率存在时，设直线方程为2(1)y k x -=-，1=，解得0k =，所以直线l 的方程为2y =，故直线l 的方程为2y =或1x =.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S．若11,2n a a ==2n ≥且N n *∈）．(1)求证：数列为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若22n n n b a +=⋅，求{}n b 前n 项和n T ．【正确答案】(1)1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；(2)()12124n n T n +=-+.【分析】（1）由1n n n a S S -=-，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求；（2）由已知先求n b ，根据错位相减即可求和．【详解】（1）由题意得：当2n ≥时，22122()2(2(2(n n n a S S -=-=-=，因为0n a >，0>，12=，1=，所以数列是以1为首项，以12为公差的等差数列，111(1)22n n ++-=，所以21(2n n S +=，当2n ≥时，221121()()224n n n n n n a S S -++=-=-=，由于11a =不适合上式，故1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；（2）当1n =时，18b =，当2n ≥时，()22121224n n n b n n ++=+=⋅，所以18T =，当2n ≥时，()2438527292212n n T n =+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，()4153216527292212n n T n +=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，相减得()()()()()322311142128522222212122212122412n nn n n n T n n n -+++--=-+⨯+⨯++⋅⋅⋅+-+=+⨯-+=---，故()12124n n T n +=-+，此时18T =也适合，故()12124n n T n +=-+．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面π,,,3ABCD AD AB AB DC ABC ⊥∠=∥，,2AB BC PA ==．点A 在平面PBC 内的投影恰好为PBC 的重心E ，连接PE 并延长交BC 于F．(1)求证：AF BC ⊥；(2)求平面ACE 与平面ABCD 所成夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)平面ACE 与平面ABCD【分析】(1)方法一：由条件根据线面垂直判定定理证明BC ⊥平面AEF ，由此证明AF BC ⊥.方法二：由已知证明F 为BC 的中点，结合等腰三角形性质证明AF BC ⊥；(2)建立空间直角坐标系，求平面ACE 与平面ABCD 的法向量，再由向量夹角公式求其夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）方法一：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为AE ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE BC ⊥，又,PE PA ⊂平面PAE ，PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAF ，又AF ⊂平面PAF ，所以AF BC⊥方法二：因为点E 为PBC 的重心，点F 为PE 的延长线与BC 的交点，所以点F 为线段BC 的中点，因为AB BC =，π3ABC ∠=，所以ABC 为等边三角形，所以AF BC ⊥；（2）因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AD AB ⊥，如图以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AB t =，则()()(),,0,0,,0,0,0,2,0,0,022t C B t P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为点E 为PBC的重心，所以2,,623t E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2,23t AE ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,,2PB t =- ，由已知⊥AE 平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AE PB ⊥，即0AE PB ⋅= 所以214023t -=，所以t =所以C ⎫⎪⎪⎭，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0320333y x y z +=++=⎩，取1x =可得，y z ==所以(1,n = 为平面ACE 的一个法向量，又()0,0,1m = 为平面ABCD的一个法向量，cos ,3m n m n m n ⋅== ，所以平面ACE 与平面ABCD22．已知双曲线22:(0)C x y λλ-=>，焦点F(1)求λ；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点(2,1)A -，直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，AQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得||QT 为定值．【正确答案】(1)3λ=；(2)证明见解析.【分析】(1)由双曲线方程求其渐近线方程，由点到直线距离公式列方程求λ；(2)证明当MN 斜率不存在时不合题意，设直线MN 方程与双曲线C 的方程联立，根据直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称结合韦达定理即可求解.【详解】（1）由已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，因为焦点F=所以3λ=，（2）当直线MN 的斜率k 不存在时，此时,M N 两点关于x 轴对称，若直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称，则A 在x 轴上，与题意矛盾，因此直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为y kx m =+，联立223y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，整理得()2221230k x kmx m ----=，由已知210k -≠，且()()222244130k m k m ∆=--+>，所以1k ≠±，且2233k m -<，设()11,M x y ，()22,N x y ，12221km x x k +=-，212231m x x k --=-.直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点为1M ，1N ，∴直线AM 方程为()111212y y x x +=---，令0x =，则111120,2x y M x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，同理221220,2x y N x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，可得11221222022x y x y x x +++=--，∴()()11221222022x kx m x kx m x x +++++=--，即()()()()1221212221220k x m x k x m x ⎡⎤⎡⎤++-+++-=⎣⎦⎣⎦，∴()()1212422(42)80k m x x k x x m +-+-++=，∴()()22223422428011km m k m k m k k ---+⋅-++=--，∴()()()()22212213410k m km k m m k -+⋅++++-=，∴22222422263440k m km km km k m m mk -++++++-=，∴()224630m k m k ++++=，()()3210m m k +++=，当210m k ++=时，21m k =--，此时直线MN 方程为()21y k x =--恒过定点()2,1A -，与已知矛盾，∴3m =-，直线MN 方程为3y kx =-，恒过定点()0,3E -∵AQ MN ⊥，设AE 中点为T ，∴()1,2T -，∴12QT AE ==为定值，∴存在()1,2T -使QT .方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
高二数学下学期期末模拟卷02-高中数学专项训练测试卷(解析版)
2022-2023学年高二数学下学期期末模拟卷02一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为310，下雨的概率为1130，既刮东风又下雨的概率为415．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（）A ．1128B ．911C ．425D ．89【答案】D【解析】由题意，设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，则3()10P A =，11()30P B =，4()15P AB =，所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815(|)3()910P AB P B A P A ===．故选D ．2．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（）种.A.34A B.34 C.43 D.34C 【答案】C【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．【解析】由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有433333⨯⨯⨯=种可能．故选C ．3．222223418C C C C +++⋅⋅⋅+=（）A ．318CB ．319C C ．318C 1-D ．319C 1-【答案】B【解析】22222234518C C C C C ++++⋅⋅⋅+32222334518=C C C C C ++++⋅⋅⋅+322244518=C C C C +++⋅⋅⋅+3225518=C C C ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅321818=C C +319=C ．故选B ．4．某种作物的种子每粒的发芽概率都是0．8，现计划种植该作物1000株，若对首轮种植后没有发芽的每粒种子，需再购买2粒种子用以补种及备用，则购买该作物种子总数的期望值为（）A ．1200B ．1400C ．1600D ．1800【答案】B【解析】设没有发芽的种子粒数为X ，则(1000,0.2)X B ，所以()10000.2200E X =⨯=，故需要购买100022001400+⨯=粒种子，故选B5．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方，则()P B A =（）A.15B.310 C.35D.34【答案】D【分析】利用古典概型分别求出()P A ，()P AB ，根据条件概率公式可求得结果.【解析】事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方，则()2113332645C C C C A P +==，()1133263=5C C P C AB =，∴()()()335445P AB P B A P A ===.故选D.6．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若124AB BB ==，则点C 到直线1AB 的距离为（D ）A ．2155B ．2105C ．2153D ．23036．D 7．“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（）A.29 B.18 C.112 D.58【答案】A【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可.【解析】设事件A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件k B 表示丢失的一箱为,1,2,3k k =分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得()()()2223554222219999C C C 11382|2C 5C 10C C 9k k k P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯==∑．故选A8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中不正确．．．的是（）A ．若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B ．存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC ．当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D ．若16=2D Q ，那么Q 点的轨迹长度为24【答案】B【解析】选项A ，分别取111,BC CC 中点,E F ，连接11,,D E D F EF ，PF ，由PF 与11B C ，11A D 平行且相等得平行四边形11A PFD ，所以11//D F A P ，1D F ⊄平面1A DP ，1A P ⊂平面1A DP ，所以1//D F 平面1A DP ，连接1B C ，1//EF B C ，11//B C A D ，所以1//EF A D ，同理//EF 平面1A DP ，1EF D F F ⋂=，1,EF D F ⊂平面1D EF ，所以平面1//D EF 平面1A DP ，当Q EF ∈时，1D Q ⊂平面1D EF ，所以1//D Q 平面1A DP ，即Q 点轨迹是线段EF ，A 正确；选项B ，以1D 为原点，11111,,D A D C DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(1,0,0)A ，(0,0,1)D ，1(1,1,)2P ，设(,1,)Q x z （0,1x z ≤≤），1(1,0,1)A D =- ，11(0,1,)2A P = ，1(,1,)D Q x z = ，设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量，则11012m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1c =，则1(1,,1)2m =- ，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m ，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，12x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得2[0,1]x z ==-∉，因此正方形11B C CB 内（含边界）不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 错；选项C ，1A PD △面积为定值，当且仅当点Q 到平面1A PD 的距离最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，1(1,1,)AQ x z =- ，Q 到平面1A PD 的距离为12332A Q m d x z m ⋅==+- ，02x z ≤+≤，302x z ≤+≤时，23[()]32d x z =-+，当0x z +=时，d 有最大值1，322x z ≤+≤时，23[()32d x z =+-，2x z +=时，d 有最大值13，综上，0x z +=时，d 取得最大值1，故Q 与1C 重合时，d 取得最大值，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 正确；选项D ，11D C ⊥平面11BB C C ，CQ ⊂平面11BB C C ，111D C C Q ⊥，所以12C Q =，所以Q 点轨迹是以1C2为半径的圆弧，圆心角是2π，轨迹长度为12424ππ⨯⨯=，D 正确．故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。