高等数学基础第一次作业

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高等数学作业AⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( )．（A ）⎰∞+2d ln x xx；（B ）⎰∞+2d ln 1x x x ；（C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分发散的是( )．（A ）⎰-11d csc x x ；（B ）⎰--112d 11x x；（C ）⎰∞+23d 1x x；（D ）⎰∞+23d )(ln 1x x x ．3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d baf xg x x -⎰；（D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）02S y =⎰；（C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）02S x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( )．（A ）x 为同阶无穷小；（B ）2x 为同阶无穷小；（C ）3x 为同阶无穷小；（D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( )．（A ）(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x π-+-⎰；（B ）(2()())(()())d bam f x g x f x g x x π---⎰；（C ）(()())(()())d bam f x g x f x g x x π-+-⎰；（D ）(()())(()())d bam f x g x f x g x x π---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a ．2．⎰=-41)4(d x x x ．３．2d 25xx +∞-∞=+⎰．４．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件时收敛． 5．由曲线2cos2r θ=所围成的平面图形面积为．三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．2．判断反常积分的收敛性：1x+∞⎰3．用定义判断反常积分4⎰．的收敛性，如果收敛则计算积分值．4．求由曲线2xy=与32+=xy围成图形的面积．5．计算由x轴，曲线1-=xy及其经过原点的切线围成的平面图形绕x轴旋转所生成立体体积．6．求摆线(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩的一拱(02)tπ≤≤的长度以及摆线与x轴所围图形的面积．7．在曲线2(0)=≥上某点A处作一切线，使之与曲线以x轴所围图形的面积为y x x1，试求：12（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体体积．8．半径为r的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．平面1=+z y （）．（A ）平行于yoz 平面；（B ）平行于x 轴；（C ）平行于xoz 面；（D ）平行于xoy 平面．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （）．（A ）不相交；（B ）交于一点；（C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一条抛物线．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（）．（A ）椭球面；（B ）柱面；（C ）双曲抛物面；（D ）旋转抛物面．4．过点(1,2,4)-且与平面234x y z -+=垂直的直线方程是（）．（A ）124231x y z -+-==--；（B ）238x y z -+=；（C ）124124x y z -+-==-；（D ）124231x y z ---==-． 5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（）．（A ）6π；（B ）4π；（C ）3π；（D ）2π． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （）．（A ）平行于π；（B ）在π上；（C ）垂直于π；（D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为． 2．与直线⎩⎨⎧=+-=++0132z y x z y x 平行的单位向量为．3．点0(1,2,1)M 到平面2210x y z π++=:的距离为．4．若||3=a ，||=b a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b ，||⨯=a b ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为．6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为．7．已知向量a ，b ，c 两两相互垂直，且||1=a ，||=b ，||1=c ，则有||++=a b c ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离．3．设空间三点)2,1,1(-A ，)4,5,4(B ，)2,2,2(C ，求三角形ABC 的面积．4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面:0x y π+=求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．6．模长为2的向量a 与x 轴的夹角是4π，与y 轴的夹角是3π，试求向量a 的坐标．第三次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y →→=+（）．（A ）32；（B ）0；（C ）65；（D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（）．（A ）连续，偏导数存在；（B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=；（B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（）．（A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界；（B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续；（D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（）．（A ）21xy x -+；（B ）21xy y ++；（C ）221x y y -+；（D ）221x y y ++．二、填空题1．z =的定义域为．2．00x y →→= ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f ，=')4,3(y f ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u = ． 5．设yz x =，则2z x y∂=∂∂ ．三、计算题1．已知2)z f =，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．3．设(1)y z xy =+，求d z ．4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．四、证明题1．设r=0r≠时，有2222222r r rx y z r∂∂∂++=∂∂∂．2．证明函数(,)f x y=(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．第四次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（）．（A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----． 2．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（）．（A ）13F F '-'；（B ）13F F ''；（C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．3．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂；（B ）1x zz x∂∂=∂∂；（C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（）．（A ）0C ∇=；（B ）()Cu C u ∇=∇；（C ）()u v u v ∇+=∇+∇；（D ）()uv v u u v ∇=∇+∇．5．()u f r =，而r =，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( )．（A ）1()()f r f r r '''+；（B ）2()()f r f r r '''+；（C ）211()()f r f r r r'''+；（D ）212()()f r f r r r '''+．6．函数(,)u f x y =在点00(,)x y 处沿任一方向的方向导数都存在是它在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在的( )条件．（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）既非充分又非必要．二、填空题1．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为．2．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为．3．r 在点（0, 0）处沿x 轴正向的方向导数为．4．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--处的方向导数的最大值等于．三、计算与解答题 1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂．2．设32(32)x yz x y-=-，求d z．3．设f，ϕ是C(2)类函数，x yz yf xy xϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（1）222z zx yx x y∂∂+=∂∂∂；（2）222222z zx yx y∂∂-=∂∂．4．设arctan yx，求22ddyx．5．设e sin,e cos,uux u vy u v⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u vx y∂∂∂∂．6．设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===，其中求f ，ϕ是C (1)类函数，求d d u x．7．求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数．第五次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线( )．（A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条；（D ）不存在．2．设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则( )．（A ）d (0,0)3d d z x y =+；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}；（C ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3}；（D ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}．3．曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( )．（A ）垂直于一定直线；（B ）平等于一定平面；（C ）与一定坐标面成定角；（D ）平行于一定直线．4．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( )．（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部；（B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上；（D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 5．函数sin sin sin u x y z =满足条件(0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值为( )．（A ）1；（B ）0；（C ）16；（D ）18．二、填空题1．如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=，则切点M 的坐标是．２．曲面224x y z +=与平面4y =的交线在2x =处的切线与x 轴正向所成的角为．３．曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是．４．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是．５．函数u 在点(1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是．三、计算题1．求曲线222226,x y z z x y ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程．2．过直线102227,x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求其方程．3．证明曲面2/32/32/32/3(0)++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距x y z a a平方和等于2a．4．求函数22=++的极值．(,)(2)lnf x y x y y y5．求函数22D x y x y{(,)|25}=+≤上的最大值和=+-+在区域22(,)1216f x y x y x y最小值．6．求曲面1=的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大．阶段测试题学院班级姓名学号一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1．曲面2222x y z a ++=与222x y ax +=（0a >）的交线是（）．（A ）抛物线（B ）双曲线（C ）椭圆（D ）圆2．极限00limx y xyx y →→+（）．（A ）为0 （B ）为1 （C ）为∞ （D ）不存在3．双纽线22222()x y x y +=-所围成区域面积可用定积分表示为（）．（A ）42cos2d πθθ⎰（B ）404cos2d πθθ⎰（C）2θ⎰（D ）2401(cos 2)d 2πθθ⎰4．曲线22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线必平行于（）．（A ）xoy 平面（B ）yoz 平面（C ）zox 平面（D ）平面0x y z +-=5．(,)arctan xf x y y=的(0,1)处的梯度等于（）．（A ）i（B ）j （C ）-j （D ）-i6．已知(,)x f x y 、(,)y f x y 在（0，0）连续，则(,)z f x y =在（0，0）处，()(,0)x f x φ=在0x =处（）．（A ）均连续（B ）均不一定连续（C ）均不连续（D ）()x φ一定连续，(,)f x y 不一定连续二、填空题（每小题3分，满分21分） 1．2d 25xx +∞-∞=+⎰．2．若向量(3,5,8)=-a 与(1,1,)z =-b 的和与差的模相等，则z = ．3．已知3(,)e ln 2x f x y y =，则1(0,)2x f '= ，(0,1)yyf ''= ． 4．23u xy z xyz =+-在点(1,1,1)M 处沿b = 方向的方向导数最大，方向导数的最大值为．5．设11[()()]()d 22x atx atu x at x at f t ta φφ+-=++-+⎰，其中(2),f C φ∈，则22222u u a t x ∂∂-=∂∂ ． 6．曲面224x y z +=与平面4y =的交线在2x =处的切线与x 轴正向所成的角为．7．设20(,e )d x y tz f t t =⎰，其中f 具有一阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ ．三、解答题（每小题8分，满分40分） 1．判断反常积分e1⎰2．设直线0:30x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上，且平面π又与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求,a b 的值．3．求曲线y =的一条切线l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的图形面积最小．4．(2,sin )(e ln )x z f x y y x xg y =-+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数。

吉林大学高数BII作业答案.

高等数学作业答案BⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y→→=+（ D ）．（A ）32；（B ）0；（C ）65；（D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ C ）．（A ）连续，偏导数存在；（B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=；（B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ C ）．（A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界；（B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续；（D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+；（B ）21xy y ++；（C ）221x y y -+；（D ）221x y y ++．二、填空题1．z =的定义域为2224,01y x x y ≤<+<． 2．00x y →→= 1/2 ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u =3232dx dy dzx y z-+-+．5．设yz x =，则2z x y∂=∂∂()11ln y x y x -+．三、计算题1．已知2)z f =+，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．将1,y z x ==代入，)12x f =+有)21fx =-解一：)))222423f=-+ ∴()243f t t t =-+解二：令2t =，则()22x t =-∴()()221f t t =--∴)22211z x =--=-2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时，当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，∴()0lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim 11x x y kx k x x xy k x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦解二：()()()()ln 1ln 1e ,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．5．设r =0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．222223xr x rr x r xr r-⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ ∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．证明函数(,)f x y =(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．（1）0ε∀>0=≤0ε-<ε<<取δ=，则当0δ<<0ε<，∴()()000lim ,lim00,0x x y y f x y f →→→→===（或：()00lim00,0x y f →→==），(),f x y =（2）()(),00,0,0x f x f =；()()0,0,0,00y f y f == （3）()()0,00,0x y z z f x f y =-⋅-=V V V V 考察：000limlimx x y y →→→→=V V V V 当(),p x y 沿直线y kx =趋于0（0，0）有00limlimx x y k x →→=⋅→=V V V V 与k 有关∴上式不存在，不可微第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ B ）．（A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----．2．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（ D ）．（A ）13F F '-'；（B ）13F F ''；（C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．3．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ C ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂；（B ）1x zz x∂∂=∂∂；（C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（ A ）．（A ）0C ∇=；（B ）()Cu C u ∇=∇；（C ）()u v u v ∇+=∇+∇；（D ）()uv v u u v ∇=∇+∇．5．()u f r =，而r =，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( B )．（A ）1()()f r f r r '''+；（B ）2()()f r f r r '''+；（C ）211()()f r f r r r '''+；（D ）212()()f r f r r r '''+．二、填空题1．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 192 ．2．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 d dy x +．3．r 在点（0, 0）处沿x 轴正向的方向导数为 1 ．4．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--．三、计算与解答题 1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂．2．设32(32)x y z x y -=-，求d z ．解一：解二：,32,32vz u u x y v x y ==-=- ∴()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦3．设f ，ϕ是C (2)类函数，x y z yf x y x ϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（1）2220z z x y x x y ∂∂+=∂∂∂；（2）2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂．证21z y y yf x f x y x x ϕϕϕϕ∂⎛⎫''''=⋅++⋅⋅-=+- ⎪∂⎝⎭4．设arctan yx，求22d d y x ．''2222x yy y x yx y x y+-=++∴ ()(),x yy x y x y y x y+''-=-+=-一阶：()()22222222112,ln arctan ,221x y y x x y x F x y x y F x x y x y y x -+=+-=⋅-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222211221y y y x x F y x y x y x-=⋅-=+++∴d d y Fx x y x y x Fy y x x y ++=-=-=-- 二阶：5．设e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u v x y ∂∂∂∂． ∴()()1sin cos d d d sin cos 1sin cos 1u D v vu x y D e v v eu v v ==--+-+ ∴()sin e sin cos 1u u v x v v ∂=∂-+ ∴()()()2u cos e d e sin d d e sin -cos 1u uv x v y D v D u v v -++==⎡⎤+⎣⎦∴()e sin e sin cos 1u u v vy u v v ∂+=∂-+ 6．设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===，其中求f ，ϕ是C (1)类函数，求d d ux． ∴''12''332e ,y x z Fx z Fyx Fz y Fz ϕϕϕϕ∂∂=-=--=-=--∂∂ 解二：全微分'''123'''123d d d d 2d e d d 0d cos d y u f x f y f z x x y z y x x ϕϕϕ⎧=⋅++⎪⋅+⋅⋅+=⎨⎪=⎩ 即'''231'''231d d d d e d d 2d d cos d yu f y f z f x y z x x y x x ϕϕϕ⎧--=⎪+=-⎨⎪=⎩代入消元解得：'sin ''''12123'32cos d cos d x x e x u f f x f x ϕϕϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭∴…… 7．求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数．∴()()()111,21111,2cos 1,2cos 32323zzx zy αβ∂=⋅+=⋅+⋅=∂l第三次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线( B )．（A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条；（D ）不存在．2．设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则( C )．（A ）d (0,0)3d d z x y =+；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}；（C ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3}；（D ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}．3．曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( D )．（A ）垂直于一定直线；（B ）平等于一定平面；（C ）与一定坐标面成定角；（D ）平行于一定直线．4．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( B )．（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部；（B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上；（D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上．二、填空题1．如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=，则切点M 的坐标是（-1，2，-3）．2．曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是 13x -10y -3z -6=0 ．3．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是12．4．函数u 在点(1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是13．三、计算题1．求曲线222226,x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程．解一：22222yy zz x yy z x ''⎧+=-⎪⎨''-+=⎪⎩①②①+②：0z '=代入(),1,1,21xy y y''=-=- ∴()1,1,0s =-v切成：112110x y z ---==，即112x y z -=-⎧⎨=⎩解二：()()2221,,6,2,2,2,2,2,4F x y z x y z Fx x Fy y Fz z n =++-====u u v取()1121,1,2,n s n n ==⨯u v v u v u u v1s 切平面：()()()1111220260x y z x y z ⋅-+⋅-+-=+-=即+2s 切平面：()()()21212020x y z x y z -+---=--=即:2+2∴2602220x y z x y z ++-=⎧⎨+--=⎩2．过直线102227,0x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求其方程．解：设切点为0000(,,)M x y z ，切平面方程为：0003270x x y y z z +--=……① 过已知直线的平面束方程为()1022270x y z x y z λ+--++-= 即：()(10)2(2)270x y z λλλ++++---=……②当①②为同一平面时有：000103,2,2x y z λλλ+=+=--=-且222000327x y z +-=解得00000033117117x x y y z z ==-⎧⎧⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩或对应的切平面方程为：927091717270x y z x y z +--=+-+=3．证明曲面2/32/32/32/3(0)x y z a a ++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于2a ．.设000M x 0（,y ,z ）为曲面上任一点切平面方程为：()()111333000000222()0333x x x y y y z z z ----+-+-=即：11123333000x x y y z z a --++= 令0y z ==得x 轴截距1233x n a = 同理121233332,Y z a Z z a ==∴222422223333()X Y Z x y z a a ++=++=4．求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值．.①令222(2)02ln 10x y f x y f x y y '⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩ ②得驻点10,e M ⎛⎫ ⎪⎝⎭③2212(2),4,2xx xy f y f xy fyy x y =+==+④M 处： AC-B 2>0，A>0，∴极小值110,f e e⎛⎫=-⎪⎝⎭5．求函数22(,)1216f x y x y x y =+-+在区域22{(,)|25}D x y x y =+≤上的最大值和最小值．2120621608fx x x fy y y =-==⎧⎧⎨⎨=+==-⎩⎩ 不在D 内，∴D 内无极值点在边界2225x y +=上，(),251216f x y x y =-+12201620Lx x Ly y λλ=-+=⎧⎨=+=⎩ 解得3344x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ()3,475f -=- 最小()3,4125f -= 最大61的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大．设切点为()()0000,,,,,1M x y z F x y zFn Fy ==)))0000x x y y z z -+--=1=令0y z==，得x轴截距X=x z==，得y轴截距Y=x y==，得z轴截距Z=令113 fx yz yzx xfy xz xzy yfz xy xyz z⎧===⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎨⎪=+==⎪====19x y z===即切点为111,,999⎛⎫⎪⎝⎭切平面为：13x y z++=第四次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =所围区域，则(,)f x y 等于( C )．（A ）xy ；（B ）2xy ；（C ）18xy +；（D ）1xy +．2．设D 是xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰等于( A )．（A ）12cos sin d d D x y x y ⎰⎰；（B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）；14cos sin )d d D xy x y x y +⎰⎰（（D ）0．3．设平面区域22:14,(,)D x y f x y ≤+≤是在区域D 上的连续函数，则d d Df x y ⎰⎰等于 ( A )．（A ）212()d rf r r π⎰；（B ）21002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（C ）2212()d rf r r π⎰；（D ）2122002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰．4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:x y z R Ω++≤，0x ≥，0y ≥，0z ≥，则( C )．（A ）12d 4d x V x V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（B ）12d 4d y V y V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）12d 4d z V z V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）12d 4d xyz V xyz V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．积分2220d e d y x x y -=⎰⎰()-411e 2-． 2．交换积分次序：14012d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+=⎰⎰⎰⎰()2221d ,d y yy f x y x +-⎰⎰．3．设区域D 为||||1x y +≤，则(||||)d d Dx y x y +=⎰⎰43． 4．设区域D 为222x y R +≤，则2222d d Dx y x y a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰422114R a b π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．5．直角坐标中三次积分22110d (,,)d x y I x y f x y z z +-=⎰⎰⎰在柱面坐标中先z 再r 后θ顺序的三次积分是()221d d cos ,sin ,d r r f r r z r z πθθθ⎰⎰⎰三、计算题1．计算|cos()|d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由直线,0,2y x y x π===所围成的三角形区域．原式()()12cos d d cos d d D D x y x y x y x y =+-+⎰⎰⎰⎰=[][]240411cos 2cos 2122242y x ππππππ+++=- 2．计算sin d d Dx yx y y⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的区域． ①图交点，先x，②:01y x D y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩③21100sin sin d d d 22y y y y F f x y y y ⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭⎰⎰3．计算22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中{(,)|02,D x y x y =≤≤≤．①图，极坐标，方程②2cos 2:02r D θπθ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ ③22202cos d d I r r r πθθ=⋅⎰⎰4．计算23d xy z V Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =与平面,1y x x ==和0z =所围成的闭或区域．①图，投影域Dxy②0:001z xy y y x ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩③1230d d d x xyI x y sy z z =⎰⎰⎰5．计算d I xyz V Ω=⎰⎰⎰，其中222{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z Ω=++≤≥≥≥．①图，已求坐标r=1②01:0202r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪Ω≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩③1222d d sin cos sin sin cos sin d I x r r r r r ππϕϕθϕθϕϕ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰6．设()d F t fV Ω=⎰⎰⎰，其中2222:,()x y z t f t Ω++≤在0t =可导，且(0)0f =，求4()lim t F t tπ+→． ∴()()()()()()02043000040lim lim lim lim '040t t t t F t f t t f t f t f f t t t t πππ→→→→⋅-+====- 四、证明题设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且恒大于零，证明2d ()d ()()bbaaxf x x b a f x ≥-⎰⎰．证明：设:a x bD a y b≤≤⎧⎨≤≤⎩∵2d d 0D x y ≥⎰⎰ 即：()()()()d d 2d d D Df x f y x y x y f y f x ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ∴()()()()()211d d d d 2b bb b aaa a f x x y f y y xb a f y f x +⋅≥-⎰⎰⎰⎰∴()()()212d d 2bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰∴()()()21d d bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰第五次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d nL x y s +=⎰Ñ(D ) ．（A ）2n a π；（B ）12n a π+；（C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰Ñ( A )．（A（B ）2+（C ）（D ）2+3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( D )．（A ）1300d d r r πθ⎰⎰；（B ）21300d d r r πθ⎰⎰；（C 1300d d r r πθ⎰；（D 21300d d r r πθ⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有(C )．（A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰1d π1LS =⋅⎰．2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2tx t y t z t π==≤≤，则222()d xy z s Γ++=⎰332ππ23+． 4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰3a h π．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰36A ．三、计算题1．计算L s ⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：所以：原式=2（1-ae ）+4aπa e2．2d z s Γ⎰Ñ，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．（222d d d rrrx s y s z s ==⎰⎰⎰Q蜒?）3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。

高等数学《中值定理》习题课课件一

ba
整理得e [ f () f ()] e
即证
(5) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
例9. 设函数
在
上二阶可导,
且
证明
证: x [0, 1] , 由泰勒公式得
f
(1)
f
(x)
f
( x)(1
m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由罗分f (尔c析) 定: 所想理f (f3给到知()c条找), 必1件一,且存f 可点(0在f)写c(xf,为)3(使1在)(cf[fc(,f(0,32(3)))c])上f 3(11(连)0f,(续3f0())2,,)在使f3(1(1)cf,,(f3f()(2)3内))可01.导 ,
1 f ( ) (0 1)
24
f ( ) 24
例11 求下列极限 :
1) lim [x2 ln(1 1) x];
x
x
2)
lim
x0
1 x100
e
1 x2
;
3) lim ln(1 x x2 ) ln(1 x x2 ).
x0
sec x cos x
解: 1) lim [x2 ln(1 1) x]
(2)所证式中出现两端点, 可考虑用拉格朗日定理 .
例5 设f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b)内可导
证明至少存在一点 (a,b)使得 bf (b) af (a) f ( ) f ( )
ba

高等数学基础形成性考核册及答案

高等数学基础第一次作业第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A.x x sin B. x1C. xx 1sinD. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是（3， +∞)．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2 - x ．⒊=+∞→xx x)211(lim e 1/ 2 ． ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 x=0 ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为无穷小量．（三）计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e⒉求函数xx y 12lglg -=的定义域．解：由012>-xx 解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞) ⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：如图梯形面积A=(R+b)h ，其中22h R b -=∴hh R R A )(22-+=3sin 3x⒋求 ⒌求⒍求⒎求．⒏求 ⒐求⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f 讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．解：∴函数在x=1处连续不存在，∴函数在x=-1处不连续2)1()1sin(1lim )1sin(1lim 121-=-++=+--→-→x x x x x x x 33cos 33sin 3lim 3tan lim 00==→→x xx x x x x xx x x x x x x sin )11()11)(11(lim sin 11lim 222020++-+++=-+→→0sin 11lim sin )11(1)1(lim 2220=++=++-+=→→xxx xx x x x x xx xx x x x x x x x )341(lim )343(lim )31(lim +-+=+-+=+-∞→∞→∞→43443)341(])341[(lim ---+∞→=+-+-+=e x x x x 32)4)(1()4)(2(lim 4586lim 4224=----=+-+-→→x x x x x x x x x x 1)(lim 1)21()(lim 121===-=-+→→x f x f x x )1(1)(lim 1f x f x ==→011)(lim 1)(lim 11=+-=≠-=-+-→-→x f x f x x )(lim 1x f x -→高等数学基础第二次作业第3章导数与微分（一）单项选择题 ⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim→存在，则=→xx f x )(lim 0（ B ）．A. )0(fB. )0(f 'C. )(x f 'D. 0 ⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '- ⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim（A ）．A. eB. e 2C.e 21 D. e 41 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）． A. 99 B. 99- C. !99 D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x xxf e 5e)e (2+=，则=xx f d )(ln d (2/x)lnx+5/x ．⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是1/2．⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是y=1．⒌设xxy 2=，则='y2x 2x (lnx+1)．⒍设x x y ln =，则=''y 1/x ．（三）计算题⒈求下列函数的导数y '：⑴x x x y e )3(+= y=(x 3/2+3)e x ，y ＇=3/2x 1/2e x +(x 3/2+3)e x=(3/2x 1/2+x 3/2+3)e x⑵x x x y ln cot 2+= y ＇=-csc 2x + 2xlnx +x⑶xx y ln 2= y ＇=(2xlnx-x)/ln 2x⑷32cos x x y x += y ＇=[(-sinx+2x ln2)x 3-3x 2(cosx+2x )]/x6⑸xxx y sin ln 2-==⑹x x x y ln sin 4-= y ＇=4x 3-cosxlnx-sinx/x⑺xx x y 3sin 2+= y ＇=[(cosx+2x)3x -(sinx+x 2)3x ln3]/32x=[cosx+2x-(sinx+x 2)ln3]/3x⑻xx y x ln tan e += y ＇=e x tanx+e x sec 2x+1/x=e x (tanx+sec 2x)+1/x ⒉求下列函数的导数y '：221(2)sin (ln )cos sin x x x x x xx---⑵3cos ln x y =⑶x x x y = y=x 7/8 y ＇=(7/8)x -1/8 ⑷3x x y += ⑸x y e cos 2= ⑹2e cos x y =⑺nx x y n cos sin = y ＇=nsin n-1xcosxcosnx - nsin n xsin nx ⑻2sin 5x y = ⑼x y 2sin e = ⑽22e x x x y += ⑾xxx y e e e +=⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ： ⑴y x y 2e cos = 方程对x 求导：y ＇cosx-ysinx=2 y ＇e 2yy ＇=ysinx / (cosx-2e 2y )⑵x y y ln cos = 方程对x 求导：y ＇= y ＇(-siny)lnx +(1/x)cosyy ＇=[(1/x)cosy] / (1+sinylnx)⑶yx y x 2sin 2= 方程对x 求导：2siny + y ＇2xcosy=(2xy-x 2 y ＇)/y 2y ＇=2(xy –y 2siny) /(x 2+2xy 2cosy)⑷y x y ln += 方程对x 求导：y ＇=1+ y ＇/y ， y ＇=y /(y-1)⑸2e ln y x y =+ 方程对x 求导：1/x+ y ＇e y =2y y ＇， y ＇=1/x(2y-e y ) ⑹y y x sin e 12=+ 方程对x 求导：2y y ＇=e x siny + y ＇ e x cosyy ＇= e x siny/(2y- e x cosy)⑺3e e y x y -= 方程对x 求导：y ＇e y =e x -3y 2 y ＇， y ＇=e x /e y +3y 2 ⑻y x y 25+= 方程对x 求导：y ＇=5x ln5 + y ＇2y ln2， y ＇=5x ln5 /(1-2y ln2) ⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot += ⑵xxy sin ln =⑶xxy +-=11arcsin ⑷311xxy +-= ⑸x y e sin 2= ⑹3e tan x y =⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x x y ln = ⑵x x y sin = ⑶x y arctan = ⑷23x y = （四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数．证明：由 f(x)= - f(-x) 求导f ＇(x)= - f ＇(-x)(-x)＇ f ＇(x)= f ＇(-x)， ∴f ＇(x)是偶函数高等数学基础第三次作业第4章导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(x f 满足条件（D ），则存在),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=)()()(ξ．A. 在),(b a 内连续B. 在),(b a 内可导C. 在),(b a 内连续且可导D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（D ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 ⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（C ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（C ），则)(x f 在0x 取到极小值．A. 0)(,0)(00=''>'x f x fB. 0)(,0)(00=''<'x f x fC. 0)(,0)(00>''='x f x fD. 0)(,0)(00<''='x f x f⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的⒎设函数a ax ax ax x f ---=23)()(在点1=x 处取得极大值2-，则=a （）．A. 1B.31 C. 0 D. 31-（二）填空题⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的极小值点．⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f 0 ． ⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 (-∞，0) ． ⒋函数2e )(x xf =的单调增加区间是 (0，+∞) ．⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 f(a) ． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是 x=0 ．⒎若点)0,1(是函数2)(23++=bx ax x f 的拐点，则=a ，=b ．（三）计算题⒈求函数223)5()1(-+=x x y 的单调区间和极值．解：y ＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y ＇=0求得驻点x=1，5. 列表max min ⒉求函数322)2(x x y -=在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值．解：y ＇=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间[0，3]上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。

高等数学II

2010年秋季学期高等数学（II-2）第一次作业一、单项选择题（共10题、总分30分、得分30分）1. 点（ 0 ， 0 ）是函数 z=xy 的（）A、驻点B、极大值点C、极小值点D、间断点正确答案： A2. 对于函数f(x,y)=x2+y2，则点（0，0）（）A、不是驻点B、是驻点而非极值点C、是极大值点D、是极小值点正确答案： D3. 极限lim（x,y）→(0,0)x2yx4+y2A、等于0B、等于0.5C、不存在D、存在但不等于0或0.5正确答案： C4. 点 P(x0,y0) 是函数 z=f(x,y)的驻点，则（）A、P 是 f(x,y) 的极大值点B、P是f(x,y)的极小值点C、P不是f(x,y)的极值点D、不能确定P是否为f(x,y)的极值点正确答案： D5. 函数的可能极值点有（）A、（0，0），（1，1）B、（0，1），（1，1）C、（0，0），（0，1），（1，0）D、（1，1），（0，1），（1，0）正确答案： C6.设u=ln(x+y2+z3)，则=（）A、B、C、D、正确答案： A7.如果函数z=f(x,y)的偏导数y在点（x，y）连续，则函数在该点( )A、不一定可微B、一定可微C、不一定连续D、不能确定情况正确答案： B8. 函数 f(x,y)=xy(x+y-9) 的极值点是（）A、（0，0）B、（9，0）C、（0，9）D、（3，3）正确答案： D9.极限的含义是( )A、B、C、D、正确答案： C10.极限( )A、B、2C、0D、不存在正确答案： A二、判断题（共2题、总分12分、得分12分）1. 点 (0,0) 是函数 z=x2-y2的驻点。

(本题分数：6 分，本题得分：6 分。

)A、正确B、错误正确答案： A2. 函数 z=x2-y2 在点 (0,0) 取极大值 (本题分数：6 分，本题得分：6 分。

)A、正确B、错误正确答案： B三、填空题（共11题、总分33分、得分27分）1. 已知函数1正确答案：2. 函数 z = e x y 的全微分为 1正确答案： e x ydx+e x dy3. 设z=ln⁡(x+y2)，则dz|(1,0)= 1正确答案： dx4. 设u=xy+x2，则u在点(1,0)处的全微分du|(1,0)= 1正确答案： 2dx+dy5. 函数f(x,y)=xy-xy2-x2 y的可能极值点有 1正确答案： (0，0），（0，1），（1，0）；6. 函数z=x22p+y22q(pq≠0)的驻点为 1正确答案：（0，0）7.若 u=xy+y3，则= 1正确答案： 6y8.= 1正确答案： 29.设u=e x siny,x=2st,y=t+s2，则= 1 (本题分数：3 分，本题得分：0 分。

高等数学基础作业1(改)

高等数学基础第一次作业第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2 -x ．⒊=+∞→xx x)211(lim． ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 x=0 ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 x →x0 时的无穷小量．（三）计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．⒉求函数xx y 12lg-=的定义域．⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．⒋求xxx 2sin 3sin lim0→．⒌求)1sin(1lim21+--→x x x ．⒍求xxx 3tan lim0→．⒎求xx x sin 11lim 20-+→．⒏求xx x x )31(lim +-∞→．⒐求4586lim224+-+-→x x x x x ．⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性．。

吉林大学作业及答案-高数A1作业

高等数学作业AⅠ吉林大学数学中心2017年8月第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．下列结论正确的是( )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ；（B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0；（C ）x arctan 是无界函数；（D ）4-22arccosπ=． 2．下列函数中不是奇函数的为( )．（A ）xx x x ee e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( )．（A ）π；（B ）π32；（C ）π2；（D ）π6．4．. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ=（）（A ）0；（B ）1；（C ）0. 5；（D ）2．5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1=+∞→nn n a a 则( )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞→c a n n ；（C ）n n a ∞→lim 不存在；（D ）0lim =∞→n n a ．二、填空题1．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→n n n n n 22241241141lim Λ ． 2．设⎩⎨⎧<+≥+=,0,2,0,12)(2x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ．3．函数1)(+=x xe e xf 的反函数)(1x f -= ．4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 条件. 5.=++--+++∞→])2()11(1sin[lim 1n n nn n n n n n ．三、计算题 1．设633134)11(x x x f ++=+，求)(x f ．2．求nn n x 13)|1(lim |+∞→，3．设函数()f x 满足关系式22()(1)f x f x x +-=，求()f x 的表达式．四、证明题设Λ,2,1,11,111=++==+n x x x x n nn ，证明n x x ∞→lim 存在，并求其值．第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．已知1)1)(lim21-=-→x x f x （，则下列结论正确的是( )．（A ）0)1(=f ；（B ）0)(lim 1<→x f x ；（C ）存在0>δ，当δ<-1x 时，0)(<x f ；（D ）存在0>δ，当δ<-<10x 时，0)(<x f ．2．已知0)(lim ≠=→A x f ax 存在，则下列结论不正确的是 ( )．（A ）若)(lim x g ax →不存在，且∞≠→)(lim x g ax .则)()(lim x g x f ax →不存在，且∞≠→)()(lim x g x f ax ；（B ）若∞=→)(lim x g ax ，则∞=→)()(lim x g x f ax ；（C ）若)(lim x g ax →不存在，则)()(lim x g x f ax →可能存在也可能不存在；（D ）．B x g ax =→)(lim ,则)()(lim x g x f ax →=AB.3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在”是“)(lim 0x f x x →存在”的( )条件．（A ）充分；（B ）必要；（C ）充分且必要；（D ）非充分且非必要．4．当+∞→x 时，x e y xsin =是( )．（A ）无穷大；（B ）无界函数但不是无穷大；（C ）有界函数但不是无穷小；（D ）无穷小． 5．（A ）当0→x 时，x x +是8x 的2阶无穷小；（B ）当0→x 时，8x 是x x +的2阶无穷小；（C ）当0→x 时，x x +是8x 的4阶无穷小；（D ）当0→x 时，8x 是x x +的4阶无穷小．上面结论正确的是 ( )．6．0=x 是函数( )的可去间断点．（A ）x x x f 1arctan )(2+=; （B ）xx f 1sin )(=；（C ）xx x f 2cos 1)(-=；（D ）xx x f 1sin)(3=． 7．0=x 是( )函数的跳跃间断点．（A ）xx x f 1)1)(+=（; （B ）2sin )(xxx f =；（C ）xx f 1cos)(=；（D ）xxxxee e e xf 1111)(--+-=．二、填空题1．设)(lim 1x f x →存在，且)(lim 2)(1`2x f x xx f x →+=则)(x f = ．2．已知xt xx t xt x f sin sin )sin sin (lim )(-→=，则)(x f =3．+∞→x lim )2(22x x x x +-+= . ． 4．已知当0→x 时,)(x f 与32x 是等价无穷小量,则=--+→11sin )(1lim2x x e x x f ．5．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>+=0,0,)21ln(1)(2tan x x a x xe xf x- 在0=x 点连续，则a = ．6．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是．三、计算与解答题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-=0)21ln()arctan(0sin tan )(3x x ax x x xx x f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求常数a ．2．求]1[lim 0x x x →．其中]1[x 是不超过x1的最大整数。

(统考版)高考数学二轮专题复习课时作业16 函数的图象与性质文(含解析)-人教版高三全册数学试题

课时作业16 函数的图象与性质[A·基础达标]1．已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ≤12}B ．{x |－4≤x <12}C ．{(x ，y )|x <12且y ≥－4}D ．∅2．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝xC ．y ＝|x |D ．y ＝－x 2＋13．[2020·某某市第一次模拟考试]已知定义在[m －5,1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )的值为( )A ．－15B ．－7C ．3D ．154．[2020·某某市质量检测]函数y ＝x 2e x 的大致图象为( )5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－26．已知函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≥0时，f (x )＝2＋m2x－1，则f (－1)＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－127．将函数f (x )的图象向右平移一个单位长度后，所得图象与曲线y ＝ln x 关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( )A ．ln(x ＋1)B ．ln(x －1)C ．e x ＋1D ．e x －18．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[0,1]D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)9．如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )10．[2020·某某西工大附中3月质检]已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则( )A ．sgn f (x )>0B ．f (4 0412)＝1C ．sgn f (2k )＝0(k ∈Z )D ．sgn f (k )＝|sgn k |(k ∈Z ) 11．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)12．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)； ②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0.则f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)，f (3)的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)>f (3)B ．f (3)>f (2)>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f (3)>f (2)D ．f (3)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)13．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)＝________.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则t 的取值X 围是________．15．[2020·某某某某一中模拟]黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0,1]上的函数R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，x ＝q p (p ，q 都是正整数，q p 是既约真分数)，0，x ＝0，1或无理数.若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有f (2－x )＋f (x )＝0，当x ∈[0,1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝________.16．[2020·某某市第一次适应性考试]已知函数f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ，则f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)的值是________．[B·素养提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤e ，ln x ，x >e ，则函数y ＝f (e －x )的大致图象是( )2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －a |＋1，x >1，a x ＋a ，x ≤1(a >0且a ≠1)，若f (x )有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1 B ．(1，＋∞)C.⎝⎛⎦⎤0，23∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞) 3．[2020·某某某某新都诊断测试]已知定义在R 上的函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且满足对∀x ∈R ，都有f (x )－f (－x )＝0，则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1B ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |C ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x4．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)，其图象连续不间断，当x >2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4的所有x 之积为( )A ．3B ．－3C ．－39D ．395．已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于函数f (x )的性质，有以下四个推断：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中推断正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax，x ∈[－4，－1]的值域为________．7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上是增函数．给出以下结论：①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减； ④函数f (x )在[0,100]内有25个零点．其中正确的是________．(把你认为正确结论的序号都填上) 8．如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，0，x <1；⑤y ＝x x 2＋1. 其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)在(0，＋∞)上单调递减，可知D 正确．故选D.答案：D3．解析：由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.答案：A4．解析：y ＝x 2e x ≥0，排除选项C ；函数y ＝x 2e x 既不是奇函数也不是偶函数，排除选项D ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除选项B.综上，选A.答案：A5．解析：由题中图象可得a (－1)＋b ＝3. ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1.故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：C6．解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (x )为奇函数．又当x ≥0时，f (x )＝2＋m 2x －1，则f (0)＝2＋m1－1＝0，∴m ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝12x －1.∴f (－1)＝－f (1)＝－⎝⎛⎭⎫12－1＝12.故选C. 答案：C7．解析：因为y ＝ln x 关于直线y ＝x 的对称图形是函数y ＝e x 的图象，且把y ＝e x 的图象向左平移一个单位长度后，得到函数y ＝e x ＋1的图象，所以f (x )＝e x ＋1.故选C.答案：C8．解析：由题意，得f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x －1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x ≤1.故选C.答案：C9．解析：当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.答案：D10．解析：根据题意得函数f (x )是周期为2的函数，作出函数f (x )的大致图象，如图所示，数形结合易知f (x )∈[0,1]，则sgn f (x )＝0或sgn f (x )＝1，可知A 错误； f ⎝⎛⎭⎫4 0412＝f ⎝⎛⎭⎫2 02012＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，可知B 错误； f (2k )＝0(k ∈Z )，则sgn f (2k )＝0(k ∈Z )，可知C 正确；当k ＝2时，sgn(f (2))＝sgn(0)＝0，|sgn 2|＝1，可知D 错误．答案：C11．解析：由函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，可得其图象关于y 轴对称，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，又f (x )在(－∞，a )上是增函数，所以函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，所以x 1到对称轴的距离比x 2到对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．答案：A12．解析：对任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)，则f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数；因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称；因为对任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)>0，所以该函数在[0,1]上单调递增．因为f (3)＝f (1)，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)＝f (0)，1>12>0，所以f (3)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，故选D. 答案：D13．解析：方法一令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.方法二由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e＝e ，即f (2)＝e.答案：e14．解析：如图，画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)的大致图象，可知函数f (x )是增函数，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则只需要t ＋1>2t －4，解得t <5.答案：(－∞，5)15．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以2是函数f (x )的周期，则f ⎝⎛⎭⎫185＝f ⎝⎛⎭⎫185－4＝f ⎝⎛⎭⎫－25＝－f ⎝⎛⎭⎫25＝－R ⎝⎛⎭⎫25＝－15， f (lg 30)＝f (lg 3＋lg 10)＝f (lg 3＋1)＝f (lg3－1)＝－f (1－lg 3)＝－R (1－lg 3)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝－15.答案：－1516．解析：f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ＝x (e x ＋1)＋2e x ＋1＋sin x ＝2e x＋1＋x ＋sin x ，所以f (－x )＝2e －x ＋1－x ＋sin(－x )＝2e x e x ＋1－x －sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋2e xe x ＋1＝2，所以f (0)＋f (0)＝2⇒f (0)＝1，所以 f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝5×2＋1＝11. 答案：11[B·素养提升]＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣⎡⎦⎤－2，－12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，－12 7．解析：令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，得f (－2)＝0，由于函数f (x )为偶函数，故f (2)＝f (－2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的一个周期为4，故①正确．由于函数f (x )为偶函数，故f (－4＋x )＝f (4－x )＝f (4－8－x )＝f (－4－x )，所以直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，画出函数图象的大致趋势如图所示．由图可知，函数f (x )在[－6，－4)上单调递减，故③错误．根据图象可知，f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (98)＝0，零点的周期为4，所以f (x )在[0,100]内共有25个零点，故④正确．综上所述，正确的序号有①②④.答案：①②④8．解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4>0，所以y ＝3x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数，故其是“H 函数”；对于③，y ＝1－e x是R 上的减函数，故其不是“H 函数”；对于④，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，0，x <1，当x <1时，是常函数，当x ≥1时，是增函数，故其是“H 函数”；对于⑤，y ＝x x 2＋1，当x ≠0时，y ＝1x ＋1x ，不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.答案：②④。

2015高数上作业答案(mzhy)

高等数学上册作业参考答案(2014)印刷错误：1. Page 1: 二、1. ()c in os s 1f x x =+应改为sin 21cos x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2. Page 36：一. 5. ()arcsin xf x dx x C =+应改为()arcsin xf x dx x C =+⎰.第一次函数与极限(P. 1)Ⅰ 函数一．选择题 1. B ；2. D ； 3. C ； 4. B. 二．填空题1. 1cos x -(或222cos 2x -) ；2. ]2,2[-；3. ,2x x a a y x R --=∈； 4. 4122-+xx ；5. (1,1)-. 三．解答题1. 21x -≤<且0x =/；2.221x x+；3. )11(12≤≤--x x ，其它为0； 4. 递推即得.Ⅱ 数列极限与函数极限(P. 3)一．填空题1. 3)01(,3)01(+=+=-a f f . 二．选择题 1. B ；2. C ；3. D.三．解答题 1)(l i m 0=→x f x ，1→x 时)(x f 的极限不存在.第二次无穷大与无穷小极限运算法则(P. 5)Ⅰ 无穷大与无穷小一．填空题 2→x ；+→1x 或+∞→x . 二．选择题 D三．解答题 1．①、②、⑥为无穷小，③、④、⑤为无穷大.2．当3,0p q =-=时)(x f 是∞→x 时的无穷小量；当0,q p ≠为任意实数时)(x f 是∞→x 时的无穷大.Ⅱ 极限运算法则一．填空题 1. 1 ； 2. 6 ； 3. 0 ； 4. 7. 二．选择题 1. A ； 2. D.三．解答题 1. (1) 1； (2) 65； (3) ∞； (4) 25； (5) 0； (6)20035⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 6,7=-=b a .第三次极限收敛准则两个重要极限无穷小比较(P. 8)Ⅰ 极限收敛准则和两个重要极限一．填空题 1. 51； 2. 5-e ； 3. 0； 4. e .二．选择题 1. C ； 2. C ； 3. C ； 4. D.三．解答题 1. (1) 1； (2) 49； (3) e ； (4) 2. 2. 2ln =a .四．证明题 1. 利用两边夹定理即得； 2. 1lim =∞→n n xⅡ 无穷小比较(P. 10)一．填空题 1. 2=a ； 2. 2n =； 3. 同阶(非等价). 二．选择题 1. B ； 2. C.三．解答题 (1) 23； (2) 14； (3) 1； (4) 12.第四次函数的连续性与间断点初等函数的连续性(P. 11)一．填空题 1. ]2,1()1,2[⋃--； 2. ）为整数k k (π；3. 1； 4. 1a =-； 5 1y =. 二．选择题 1. C ； 2. C ； 3. B ； 4. D ； 5. D.三．解答题 1. (1) )(x f 在0=x 处右连续、是跳跃间断点，其余点都连续；(2) )(x f 在0x =处右连续；在1x =处连续，在2=x 处间断，且为跳跃间断点，在3x =处左连续，在(0,2)(2,3)⋃上连续；2. (1) 2=x 为可去间断点，3=x 为无穷型间断点；(2) 1=x 为第二类间断点(不是无穷间断点)；(3) 0=x 为可去间断点，2=x 为振荡型间断点，）为整数k k x (2ππ+=为无穷间断点； (4) 0=x 为可去间断点.第一章综合练习题(P. 14)一．填空题1. )2,0(；2. 0,1=-=b a ；3. 2=a ；4. ⎩⎨⎧-≥-<+1,11,2x x x (注：等号在上在下均可)； 5. 3 .二．选择题 1. B ； 2. A ； 3. A ； 4. D ； 5. B.三．解答题 1. (1) 23； (2) 21-e ； (3) 34e ； (4) 14； (5) 1；(6) 21； (7) 0； (8) 2e .2. 20,25==b a ；3. 21,1==b a ；4. 12 ；5. )(x f 在0=x 处不连续，是跳跃间断点. 四．证明题 2. (1)0lim =∞→n n x ，(2) 61-e.第五次导数概念函数的求导法则(P. 16)Ⅰ 导数概念一．填空题 1. 2 ；2. 21；3. 1+=x y ； 4. 3； 5. 2(21)x e x +； 6. 2014!. 二．选择题 1. C ； 2. A ； 3. A ； 4. B ； 5. A.三．解答题 1. 1 ；2. )(x f 在0=x 处连续但不可导；3. 1,1==b a .Ⅱ 函数的求导法则一．填空题 (l n 1)x x x + 二．选择题 1. D ； 2. C. 三．解答题 1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<<<<<-='10,21,010,201,1)(x x x x x x x f 或不存在.2. (1) 332231x x+；(2) 2523227sec tan 3x x x x x ++； (3) )22ln ()2(12--+x x x ；(4)cos 2sin xx+；(5) 22224++x x x；(6) xe e e x x e e eeexx e ++--+⋅+⋅111；(7) ])cos(1[cos sin sin x xe x e+⋅⋅；(8))ln (ln ln 63x x x ⋅⋅. 3. )3(2)(,2)3(-='=+'x x f x x f .4. 110,2sin cos ,()0,0.x x f x x xx ⎧-⎪=≠'⎨⎪=⎩. 第六次高阶导数隐函数的导数函数的微分(P. 20)Ⅰ 高阶导数一．填空题 1. x e n n nx x ])1(2)1([2-+++； 2. 1111(1)!(1)(2)n n n n x x ++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭； 3. 363623sin32xx e +. 二．选择题 1. A ；2. C.三．解答题 1. 1111(1)!114(2)(2)n n n n x x ++⎡⎤--⎢⎥-+⎣⎦； 2. 31215sin 535sin 522n n n n x x n x x ππ--⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23233(1)5sin 5(1)(2)5sin 522n n n n n n x x n n n x ππ----⎛⎫⎛⎫+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Ⅱ 隐函数的导数相关变化率一.填空题 1.ye+11； 2. 212-=x y . 二.选择题 1. A ； 2. C. 三.解答题 1. e ，22e ；2. cos t t -，63π-； 3. (1) )tan sin cos ln cos ()(cos sin x x x x x x ⋅-⋅ (2)22223123x x y x xx ⎛⎫⋅--⎪---⎝⎭. Ⅲ 函数的微分及应用一.填空题 1.x x1tan 12； 2. R R ∆24π. 二.选择题 1. D ； 2. A. 三.解答题 1. 0.0250.81044π+≈； 2. min /45m π.第二章综合练习题(P. 24)一.填空题 1. 23-；2. 3243+-=x y ；3. 22221122sin()sin cos()sin x x x x x x --⋅；4. n m ；5. 1.二.选择题 1. B ；2. C ； 3. A ； 4. A ； 5. C.三.解答题 1. 243)1(4x x -； 2. 4-； 3. 1,0a d b c ====； 4. 2y x e π=-+； 5. (1)0>α 时连续，(2)1>α时可导，(3)2>α有连续的导数；6. 0067.1.第七次微分中值定理洛必达法则(P. 26)Ⅰ 微分中值定理一.填空题 1. 25； 2. 1 . 二.选择题 1. B ； 2. C. 三.解答题有两个实根，且两根分别在(0,3)与(3,5)内.Ⅱ 洛必达法则(P. 28)一.填空题 1. 导函数之比的极限不存在； 2. 1； 3. 12y x =-. 二.选择题 1. B ； 2. D.三.求下列极限 (1) 2；(2) 1；(3) 61；(4)31-；(5) e ；(6) 61-e.第八次函数的单调性曲线的凹凸性与拐点(P. 29)Ⅰ 函数的单调性一.填空题在)0,1(-单调减少,在),0[∞+单调增加. 二.选择题 1. C ； 2. A. 三.解答题 1. 在)1,0(上单调减少,其它区间单调增加.Ⅱ 曲线的凹凸性与拐点一.填空题 1. )2,2(2-e ； 2. 32,92,(,1],[1,)a b =-=-∞-+∞；二.选择题 1. C ； 2. D ； 3. C. 三.解答题 1. 曲线在]3,2[上是凸的，其它区间上是凹的，拐点为和；2. 2,0,1a b c =-==.Ⅲ 函数的极值及最值一.填空题 1. 21-e ，极小值； 2. 3a =-； 3. 13 . 二.选择题 1. A ； 2. C ； 3. D ； 4. C.三.解答题 1. 极小值点为11,ln 222⎛⎫+ ⎪⎝⎭，极小值2ln 21)21(+=f ；2. 2=a ，极大值； 3. 上底为R 时(圆心角πθ=)，最大面积为2433R ； 4. 3a <时无实根，3=a 时有唯一实根，3a >时有两实根.第九次函数图形描绘曲率(P. 33)一.填空题 1. 0=x ，x y =； 2. 曲率2=K . 二.选择题 1. C ； 2. B.三.解答题 1. (1))(x f 在),2[)0,(∞+⋃-∞上单调增加，在]2,0(上单调减少；极小值(2)3f = (2)定义域上是凹的，无拐点；(3) 0=x 和x y =为渐近线.第三章综合练习题(P. 34)一.选择题 1. B; 2. C; 3. C; 4. B; 5. C; 6. C. 二. 1. 1；2. 2e-； 3. 0；4. 1. 八. 驻点(1,1),且此点处，为极小值点. 九.时，面积最大. 十一.，极大值，极小值，拐点. 十二.第十次不定积分(一) (P. 36)Ⅰ不定积分的概念与性质一.填空题 1. dx x f )(,C x f +)(,)(x f ； 2. 21-，21，515x e ，21ln(1)2x +；3. C ，0；4. 22(1)x --； 5. 打印有误，()d xf x x 应为()d xf x x ⎰，C . 二.选择题 1. A ； 2. C ； 3. C ； 4. C.三.求不定积分 1. 214x x C -++； 2. 1cot x C x--+； 3. tan cot x x C -+(或2cot 2x C -+)； 4. 2tan x x C -+； 5. C x x ++-4147474；6.C e x x ++⋅2ln 214； 7. 52223ln 3xx C ⎛⎫-+⎪⎝⎭； 8. 3arctan x x C ++； 9. 2ln(1)xx e C -+++； 10. tan sec x x x C -++.Ⅱ 第一类换元积分法一.填空题 1. C ex++313；2. cot csc x x C --+(或cot 2x C -+)，tan sec x x C -+(或cot 24x C π⎛⎫-++ ⎪⎝⎭)；3. 1sin()t C ωϕω⋅++C ； 4. 21cos 2x C +， ln |cos |x C +.二.选择题 1. B ； 2. B.三.求下列不定积分 1. C e x +-)cos(； 2. C x x ++-1002)13(1001； 3. 25C -；4. 322113C x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭； 5. ln |ln |x C +； 6. ln C -+； 7. 1ln(34)4x e C --++； 8. 321cos 3cos393x x C -++；9. C x x +---10121022)1(2021)1(2041； 10 C x x +-32)cos (sin 23；11 C x x +-3sin 31sin ； 12 13arctan 22x C x --+；13. ln ||x x e e C --+(或)； 14. 2015201711(sin )(sin )20152017x x C -+；15. 20131ln |1|2013x C --++)；16. ln |1tan |x C ++. Ⅲ 第二类换元积分法一.填空题 1. C x x +---2325)21(61)21(101； 2. C . 二.选择题 1. A ； 2. C .三.求下列不定积分 1. 21arcsin 2||x a C a ；2. 3arccos ||C x +(或 arctan 3C +)；3. C x x +---232252)1(31)1(51；4.5325C ++；5.11arcsin ln 22x x C +++；6. C +.第十一次不定积分(二) (P. 42)Ⅰ 分部积分法一.填空题 1.C x x x x +-)2sin 2cos (41； 2. C x x +-++]1)1ln()[1(2122. 二.选择题 1. D ； 2. B. 三.求下列不定积分 1.C e e x x x +-+2241)1(21； 2. C e e x x x +----2221212；3. C ；4. ln(x x C -++；5. )x x C ；6. C x x x +-])cos(ln )[sin(ln 21； 7. C x x x +-4ln 2； 8.C x x e x+--)2cos 2sin 2(812； 9. C x x x ++-sin cos ； 10 C x x x +-+21arcsin ；11 21ln(1)(01)2x x C x ---+<<.Ⅱ 特殊类型函数的不定积分一.求有理函数的不定积分1. 211ln ||ln(9)918x x C -++；2. 2ln |310|x x C +-+；3. C x x +++-11|1|ln 212；4.2211ln(14)832x x C -++；二.求三角有理函数的不定积分1. 1tan x C ⎛⎫+ ⎪+；2. 21ln |cot |cot 2x x C --+； 3.211tan tan ln tan 42222x x x C +++； 4.C x x x ++-|cos sin |ln 212. 三.求简单无理式的不定积分1. C x x x +++-)1ln(44244；2. 21333(1)3(1)3ln 12x x C +-++++；3. 11C -+；4. C . 第四章综合练习题(P. 46)一.求不定积分1. 388cot 2cot 23x x C --+( 或 31311tan 3tan 3tan tan 33x x x x C ----+++)； 2. C x x +---10121022)1(2021)1(2041； 3. 12142x arctg C ++；4. (x C +；5. C e e e e e x x xxx+-++--11ln 2)1ln(2； 6. C xx x +--222ln 21ln 21 7. 211sin 2cos 2242x x x x C ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；8. ln |cos |x x C -+. 9. C x x x +-++12122ln 122ln 1；10. C x x x +-ln ； 11. 1(ln |3|ln |3|2ln ||)18x x x C ++--+ (或21|(3)(3)|ln 18x x C x +-+)； 12 C x +arcsin 2(或1)]2x C -+) 13. 2111ln ||ln |1|arctan ln(1)224x x x x C -+--++；14. C x x +)ln(ln ； 15. C b x a x +++)ln()ln(. 二 xx x f )1(22)(+=. 三 1)(ln --=n nn nI x x I . 四 22x x C -+五 1111ln x x x x x x e e C e e e ⎛⎫-+- ⎝++⎪⎭+. 六 1arctan 4y x x π=+-.第十二次定积分的概念性质及积分基本公式(P. 47)Ⅰ 定积分的概念及性质一.填空题 1. > ； 2. 4π. 二.选择题 1. A ； 2. C.Ⅱ 微积分基本公式一.填空题 1. C ； 2. 2sin 2x xe ； 3. 0； 4. 3； 5. 2()f x ； 6. 0，1. 二.选择题 1. B ； 2. A ； 3. D ； 4. A ； 5. C.三.解答题 1. 6271； 2. 6π； 3. 611； 4. 41π-； 5. 3 ； 6. )sin(2)sin(4xy x yexy y y +-.第十三次定积分的计算(P. 50)Ⅰ 定积分的换元法一.填空题 1. 41； 2. 516π. 二.选择题 1. A ； 2. A ； 3. A ； 4. D . 三.解答题 (1) 32；(2) )13(2-；(3) 61；(4) 1；(5) 0；(6) 51； (7) 2ln 21-；(8) 0；(9) 81(1)3e --；(10) 32.Ⅱ 定积分的分部积分法(P. 53)一.填空题 1. 22e ； 2. ln 222π-+. 二.选择题 1. C ；2. B三.解答题 1. (1)214-π； (2) e 21-； (3) 1； (4) )11(2e -；(5) )1cos 1(sin 221--e ；(6) 315128. 2.-2； 3. 21--=n n I n n I ；π25635. 第十四次反常积分(P. 55)一.填空题 1. π4； 2. 2π； 3. 2； 4.1ln 32；5. 2π. 二.选择题 1. B ； 2. B ； 3. C ； 4. B. 三.解答题 1. (1) 1； (2) α1； (3) 3π； (4) 1； (5) 不存在； (6) 1arcsin .2. 1>k 时收敛，)2ln(ln 11-=k 时，反常积分取最小值. 3. 25=c .第五章综合练习题(P. 57)一.填空题 (1) 0；(2) )1ln(2ln 1e +-+；(3) )2(51-πe ；(4) 1；(5) )(2x xf . 二.选择题 1. A ； 2. A ； 3. C ； 4. A ； 5. C.三 1,4==b a . 七，最小值为0. 八 (1) 2ln ；(2) 6π. 十 22c o s y e x -, -1. 十一 (1) 0；(2) 21-；(3) 3ln 211-；(4) 34；(5) 8；(6) 1212e ；(7) 4π-；(8) 1ln 242π+.十二x 2ln 21. 十四 3(l n 1)x +. 第十五次定积分的应用(P. 59)Ⅰ 定积分在几何上的应用一.填空题 1. 1/6； 2.π35512； 3. 21)3. 二.选择题 1. B ； 2. A ； 3. B.三.解答题 1. (1) 21； (2) 32； (3) π6； (4) 23a π.2. 72a =；3.π564； 4. 310532a π； 5. (1) 3432-； (2) )21ln(+； (3) a 8.Ⅱ 定积分在物理上的应用(P. 63)解答题 1.)(91553Nm g 水γπ⨯；2. )(5.22cm kg ⋅； 3. g 水γ34400； 4. 22la a lkm F y +=ρ， 22l a km a km F x +-=ρρ.第六章综合练习题(P. 65)一 342+π；二 213ln -；三 0,2,35==-=c b a ；四 12-；五 32(1)R R +；六 221a r c c o s =t 时，)(t V 最大.。

吉林大学作业及答案-高数A2作业答案

高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )．（A ）⎰∞+2d ln x xx；（B ）⎰∞+2d ln 1x xx ；（C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分收敛的是（ D ） A ．0cos d x x +∞⎰B ．221d (1)x x -⎰C ．01d 1x x +∞+⎰D ．321d (21)x x +∞-∞+⎰3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d b af xg x x -⎰；（D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）402d S y y =⎰；（C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）402d S x x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小；（B ）2x 为同阶无穷小；（C ）3x 为同阶无穷小；（D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）π(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x -+-⎰；（B ）π(2()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰；（C ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x -+-⎰；（D ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长 8 ．3．2d 25x x +∞-∞=+⎰π5． 4．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线22,y x x y ==围成图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 3π10．三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性：13sin d x x x+∞⎰解：33sin 1x xx≤Q而131x +∞⎰收敛． 13sin d xx x+∞∴⎰收敛．3．已知22lim 4e d xx a x x a x x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值．解：()21e lim lim e e1xa ax a a x a x x a a a x a x x a a x ----→∞→∞⋅⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 222222222222222222224e d 2de 2e 4e d 2e 2de 2e 2e 2e d 2e 2e e (221)e .x xaaxx aaa xaa xx aaa a x aa x x x x x xa x a x xa a a a +∞+∞--+∞+∞--+∞--+∞+∞---+∞----=-=-+=-=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰⎰由已知222e (221)e a a a a --=++，即(1)0a a +=．所以0a =或1a =-．4．求连续曲线π2cos d x y t t -=⎰的弧长.解：由cos 0x ≥可知ππ22x -≤≤. 因此所求弧长为 π22π21d s y x -'=+⎰()π22021cos d x x =+⎰π2022cos d 42xx ==⎰.5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为0001()21Y y X x x -=--令0,0X Y ==，得002,1x y ==．2212211π12π(1)d 32πππ.362x V x xx x =⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．在第一象限内求曲线21y x =-+上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．解：设所求点为(,)x y ，则过此点的切线方程为2()Y y x X x -=-．由此得切线的x 轴截距为212x a x+=，y 轴截距为21b x =+．于是，所求面积为12031()(1)d 21112.4243S x ab x xx x x =--+=++-⎰令2211()32411130,4S x x x x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得驻点13x =．又因为3131126043x S x x =⎛⎫⎛⎫''=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13x =为极小值点，也是最小值点．故所求点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，而所求面积为12(233)93S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积．解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1. 平面10x y z +--=与22230x y z +-+=的关系（ A ）．（A ）平行，但不重合；（B ）重合；（C ）垂直；（D ）斜交．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）．（A ）不相交；（B ）交于一点；（C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）．（A ）椭球面；（B ）柱面；（C ）双曲抛物面；（D ）旋转抛物面．4．曲面2222x y z a ++=与22(0)x y zax a +=>的交线在xoy 平面上的投影曲线是（ D ）．（A ）抛物线；（B ）双曲线；（C ）椭圆；（D ）圆．5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）π6；（B ）π4；（C ）π3；（D ）π2． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π；（B ）在π上；（C ）垂直于π；（D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为π2． 2．设向量x 与向量2=-+a i j k 共线，且满足18⋅=-a x ，则=x (6,3,3)-- ．3．过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面是 340x y z --+= ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b 5，||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=． 6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．若直线L 平行于平面π：3260x y z +-+=，且与已知直线132:241x y zL -+==垂直，则L 的方向余弦(cos ,cos ,cos )αβγ为 65585,,25525⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离．解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k ∴ 0||621||7d ⨯==S MM S3．求曲面220x y z +-=与平面10x z -+=的交线在Oxy 平面上的投影曲线．解：因为曲线220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩ 在Oxy 平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy 平面的柱面与Oxy 平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z 的项，则可得到垂直于Oxy 平面的柱面方程．由220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩消去z ，得到关于Oxy 平面的投影柱面2210x y x +--=，于是得到在Oxy 平面上的投影曲线为2210,0.x y x z ⎧+--=⎨=⎩4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=．即(42)(2)360x y z λλ++++-=．由222|6|2(42)(2)3λλ-=++++得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面π:0x y +=，求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||41sin ||||2422θ⋅===⋅S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．向量a 与x 轴的负向及y 轴、z 轴的正向构成相等的锐角，求向量a 的方向余弦．解：依题意知ππ,,02αθβθγθθ⎛⎫=-==<< ⎪⎝⎭，因为222cos cos cos 1αβγ++=，即222cos ()cos cos 1πθθθ-++=，所以23cos 1θ= 或 3cos 3θ=．故333cos ,cos ,cos 333αβγ=-==.第三次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．()220lim ln x y xy x y →→+=（ B ）．（A ）1；（B ）0；（C ）12；（D ）不存在．2．二元函数()()()()()22,,0,0,,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点)0,0(处（ D ）．（A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=；（B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ B ）. (A)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+；（B ）21xy y ++；（C ）221x y y -+；（D ）221x y y ++．二、填空题1．0011limx y xyxy →→--= 1/2 ．2. 设函数44z x y =+，则(0,0)x z '= 0 .3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．设函数(,)()()()d x yx y u x y f x y f x y g t t +-=++-+⎰，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，则2222u ux y∂∂-=∂∂ 0 ．三、计算题1．设()0,1y z x x x =>≠，证明12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂．证明：因为1,ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，所以 12ln y y x z zx x z y x x y∂∂+=+=∂∂. 2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim11x x y kx k x x xyk x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦ 4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e d e d xz yzt u t t =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂ 2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂ 5．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：22222r x xx rx y z ∂==∂++ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？解:（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,故函数在点(0,0)处偏导数存在. （2）当 (,)(0,0)x y ≠时， 222222222112(,)2sin()cos ()x x f x y x x y x y x y x y -'=++⋅+++2222221212sincos x x x y x y x y=-+++, 又 22222200121lim (,)lim(2sincos )x x x y y x f x y x x y x y x y→→→→'=-+++，当(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，上式222121lim(2sincos )x y x x x x y →==-+ 不存在，故偏导数(,)x f x y '在点(0,0)不连续.由函数关于变量,x y 的对称性可知，(,)y f x y '在点(0,0)不连续。

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高等数学基础第一次作业
第1章函数
第2章极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（）中的两个函数相等．
A. 2)()(x x f =，x x g =)(
B. 2)(x x f =，x x g =)(
C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=
D. 1)(+=x x f ，11
)(2--=x x x g
⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（
）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. x y =
⒊下列函数中为奇函数是（）．
A. )1ln(2x y +=
B. x x y cos =
C. 2x
x a a y -+= D. )1ln(x y +=
⒋下列函数中为基本初等函数是（）．
A. 1+=x y
B. x y -=
C. 2x y =
D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10
,1x x y
⒌下列极限存计算不正确的是（）．
A. 12lim 22
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x
C. 0sin lim =∞→x x
x D. 01
sin lim =∞→x x x
⒍当0→x 时，变量（）是无穷小量．
A. x x
sin B. x 1
C. x x 1
sin D. 2)ln(+x
⒎若函数)(x f 在点0x 满足（），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→
B. )(x f 在点0x
的某个邻域内有定义
C. )()(lim 00x f x f x x =+→
D. )(lim )(lim 0
0x f x f x x x x -+→→=
（二）填空题
⒈函数)1ln(39
)(2x x x x f ++--=的定义域是．
⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．
⒊=+∞→x x x )21
1(lim ．
⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,
0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．
⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0
,sin 0,1x x x x y 的间断点是． ⒍若A x f x x =→)(lim 0
，则当0x x →时，A x f -)(称为．
（三）计算题
⒈设函数
⎩⎨⎧≤>=0
,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．
⒉求函数x
x y 12lg lg -=的定义域． ⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
⒋求x
x x 2sin 3sin lim
0→． ⒌求)
1sin(1lim 21+--→x x x ． ⒍求x x x 3tan lim 0→． ⒎求x
x x sin 11lim 20-+→． ⒏求x x x x )3
1(lim +-∞→． ⒐求4
586lim 224+-+-→x x x x x ． ⒑设函数
⎪⎩
⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f
讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．。