山东省济南市2018届高考第一次模拟考试数学(文)试题含答案
(完整word版)2018-2019高三第一次模拟试题文科数学
高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合 题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕 分，共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如 厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线 产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查， 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题： (13) 20 三、 解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。
2018年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷及答案(文科)
2018年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4，5}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．162．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（10，7）B．（10，5）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，﹣1）3．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足i•z=（1﹣2i）2，则z=（）A．﹣4+3i B．﹣2+3i C．2+3i D．﹣4﹣3i4．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知点P在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C上，抛物线C的焦点为F，准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q，若∠PFQ=，△PFQ的面积为，则焦点F到准线l的距离为（）A．1 B．C．2 D．36．（5分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a=f（log 2），b=f（log3），c=f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”现有墙厚5尺，如下说法：①小鼠第二天穿垣半尺；②两鼠相遇需四天；③若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休．则以上说法错误的个数是（）个．A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（）A．[2+16k，10+16k]（k∈Z）B．[6+16k，14+16k]（k∈Z）C．[﹣2+16k，6+16k]（k∈Z）D．[﹣6+16k，2+16k]（k∈Z）9．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．4πB．（4+）πC．6πD．（5+）π10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．11．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．2 B．C．1 D．12．（5分）若存在（x，y）满足，且使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪[，+∞）B．[，+∞） C．（﹣∞，0）D．（0，]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知函数，若f（0）=2，则a+f（﹣2）=．14．（5分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，a2+a8=2a m=24，a1=2，则S2m=．15．（5分）已知点P和点Q分别为函数y=e x与y=kx图象上的点，若有且只有一组点（P，Q）关于直线y=x对称，则k=．16．（5分）已知点F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和双曲线C2：﹣=1（a′＞0，b′＞0）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足∠F1PF2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+=．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin（B+C）+acosA=0，且c=2，sinC=．（1）求证：A=+B；（2）求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC⊥平面PBD．（1）求证：PB=PD；（2）若M为PD的中点，AM⊥平面PCD，求三棱锥DACM的体积．19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程=bx+a；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：线性回归方程的系数公式为b==，a=．20．（12分）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B（A，B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M，N，且•=﹣，求a 的值．21．（12分）已知函数f（x）=a（x2﹣x）﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）在x=1处取到极值，求a的值；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当n≥2时，++…+＞．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）以直角坐标系的原O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线l的参数方程为为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）写出直线l的一般方程及圆C标准方程；（Ⅱ）设P（﹣1，1），直线l和圆C相交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||的值．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式|x+2|﹣|2x﹣2|＞2的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）已知t为集合M中的最大正整数，若a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b ﹣1）（c﹣1）=t，求abc的最小值．2018年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4，5}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．16【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，4，5}，则A∩B={1，3}，∴A∩B的子集个数为22=4．故选：C．2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（10，7）B．（10，5）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，﹣1）【解答】解：根据题意，点A（0，1），B（3，2），则向量=（3，1），又由，则向量=+=（﹣4，﹣3）；故选：C．3．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足i•z=（1﹣2i）2，则z=（）A．﹣4+3i B．﹣2+3i C．2+3i D．﹣4﹣3i【解答】解：∵i•z=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i，∴．故选：A．4．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．5．（5分）已知点P在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C上，抛物线C的焦点为F，准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q，若∠PFQ=，△PFQ的面积为，则焦点F到准线l的距离为（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：不妨以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例，如图，由题意，△PFQ是等腰三角形，设PQ=PF=a，则，解得：a=2，∴QF=，∴焦点F到准线l的距离为2•cos=3，故选：D．6．（5分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a=f（log 2），b=f（log3），c=f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，∴函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，a=f（log2）=f（﹣log25）=f（log25），b=f（log3）=f（﹣log 23）=f（log23），∵0＜2﹣0.8＜1＜log23＜2＜log25，∴f（2﹣0.8）＞f（log23）＞f（log25），即c＞b＞a，故选：A7．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”现有墙厚5尺，如下说法：①小鼠第二天穿垣半尺；②两鼠相遇需四天；③若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休．则以上说法错误的个数是（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，小老鼠前n天打洞的距离之和为=2﹣，①小鼠第二天穿垣1×即为半尺，正确；②两鼠相遇设为n天，可得2n﹣1+2﹣=5，解得2＜n＜3，即最多3天，故②错误；③若大鼠穿垣两日卒，此时共穿墙1+2+1+=，剩下5﹣=，设小老鼠需要k天，可得=，即为﹣=，显然方程无实数解．则小鼠至死方休，正确．故选：B．8．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（）A．[2+16k，10+16k]（k∈Z）B．[6+16k，14+16k]（k∈Z）C．[﹣2+16k，6+16k]（k∈Z）D．[﹣6+16k，2+16k]（k∈Z）【解答】解：由图象知A=﹣4，=6﹣（﹣2）=8，即T=16=，则ω=，则y=﹣4sin（x+φ），由图象知（﹣2，0），（6，0）的中点为（2，0），当x=2时，y=﹣4，即﹣4sin（×2+φ）=﹣4，即sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，即φ=+2kπ，∵|φ|＜，∴φ=，则y=﹣4sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，即16k﹣6≤x≤16k+2，k∈Z，即函数的单调递减区间为[16k﹣6，2+16k]（k∈Z），故选：D9．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．4πB．（4+）πC．6πD．（5+）π【解答】解：∵在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1，高为BC﹣AD=2﹣1=1的圆锥，∴几何体的表面积为：S=π×12+2π×1×2+=（5+）π．故选：D．10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．【解答】解：第一次循环，n=1，s=0，s=﹣1＜2017，第二次循环，n=2，s=﹣1+﹣=﹣1＜2017，第三次循环，n=3，s=﹣11＜2017，第四次循环，n=4，s=﹣1，…，第2017次循环，n=2017，s=﹣1，第2018次循环，n=2018＞2017，满足条件，跳出循环，输出s=﹣1，故选：A．11．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：多面体的三视图得该多面体是长方体ABCD﹣A1B1C1D1去掉两个三棱锥A1﹣AED1和B1﹣BEC1剩余的几何体，其中AB=2，AD=AA1=1，E是A1B1的中点，∴该多面体的体积：V=﹣﹣==．故选：B．12．（5分）若存在（x，y）满足，且使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪[，+∞）B．[，+∞） C．（﹣∞，0）D．（0，]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；A（1，4），B（3，3），C（4，6）；3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0可化为﹣=2（﹣2e）ln，设t=，其中1≤t≤4；∴﹣=2（t﹣2e）lnt，令m=（t﹣2e）lnt，（1≤t≤4），则m′=lnt+，m''=+＞0，当t＞e时，m′＞m′（e）=0，当0＜t＜e时，m′＜m′（e）=0，∴m≥m（e）=﹣e，∴﹣≥﹣2e，解得a＜0或a≥；又a值不可能为负值，∴实数a的取值范围是[，+∞）．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知函数，若f（0）=2，则a+f（﹣2）=2．【解答】解：∵函数，f（0）=2，∴f（0）=log2（0+a）=2，解得a=4，f（﹣2）=﹣=﹣2，∴a+f（﹣2）=4﹣2=2．故答案为：2．14．（5分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，a2+a8=2a m=24，a1=2，则S2m=．【解答】解：∵等差数列{a n}，其前n项和为S n，a2+a8=2a m=24，∴m=5，a5=12，∵a1=2，∴a5=2+4d=12，解得d=，∴S2m=S10==．故答案为：．15．（5分）已知点P和点Q分别为函数y=e x与y=kx图象上的点，若有且只有一组点（P，Q）关于直线y=x对称，则k=或k≤0．【解答】解：根据题意，函数y=e x的反函数为y=lnx，则函数y=lnx与函数y=e x 关于直线y=x对称，若有且只有一组点（P，Q）关于直线y=x对称，即函数y=lnx与直线y=kx有且只有一个交点，即方程lnx=kx只有一个根，当k≤0时，明显成立，当k＞0时，令f（x）=lnx﹣kx，（x＞0）方程lnx=kx有且只有一个根，即函数f（x）只有一个零点，f′（x）=﹣k=，分析可得：在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则f（x）有最大值f（），必有f（）=ln﹣1=0，解可得k=；故有k≤0或k=；故答案为：k≤0或k=．16．（5分）已知点F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和双曲线C2：﹣=1（a′＞0，b′＞0）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足∠F1PF2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+=2．【解答】解：可设P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a，由双曲线的定义可得m﹣n=2a'可得m=a+a'，n=a﹣a'，由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=（2c）2，即为（a+a'）2+（a﹣a'）2=4c2，化为a2+a'2=2c2，则+=2，即有+=2．故答案为：2．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin（B+C）+acosA=0，且c=2，sinC=．（1）求证：A=+B；（2）求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：因为bsin（B+C）+acosA=0，可得：bsinA+acosA=0，又由正弦定理得：bsinA=asinB，可得：asinB+acosA=0，可得：cosA=﹣sinB，所以A为钝角，B为锐角，可得：A=+B；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由正弦定理可得：==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）可得：a2+b2=，cosC==，所以由余弦定理可得：22=a2+b2﹣2abcosC，可得：4=﹣2ab×，解得：ab=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）则：S=absinC=×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）△ABC18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC⊥平面PBD．（1）求证：PB=PD；（2）若M为PD的中点，AM⊥平面PCD，求三棱锥DACM的体积．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结PO，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∴AC⊥BD，∵OA=OB=OC=OD，平面PAC⊥平面PBD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，∴PB=PD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解：（2）∵AM⊥平面PCD，AM⊥PD，PD的中点为M，∴AP=AD=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由AM⊥平面PCD，可得AM⊥CD，又AD⊥CD，AM∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又由（1）可知BD⊥PA，BD∩CD=D，∴PA⊥平面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）故V DACM=V MACD =PA×S△ACD =×2××2×2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程=bx+a；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：线性回归方程的系数公式为b==，a=．【解答】解：（I）设抽到相邻两个月的数据为事件A，∵从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴…（4分）（II）由数据求得x=11，y=24，由公式求得，由，求得∴y关于x的线性回归方程为…（9分）（III）当x=10时，，当x=6时，，所以该小组所得线性回归方程是理想的．…（12分）20．（12分）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B（A，B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M，N，且•=﹣，求a 的值．【解答】解：（1）将曲线C的方程化为x2+y2﹣2ax﹣y=0，∴（x﹣a）2+（y﹣）2=a2+，可知曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆．（2）△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y=0，得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），在曲线C方程中令x=0，得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），∴S=|OA||OB|=|2a|||=4（为定值），（3）直线l与曲线C方程联立可得5ax2﹣（2a2+16a﹣8）x+16a﹣16=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴•=x1x2+y1y2=5x1x2+8（x1+x2）+16=﹣，即（80a﹣80﹣16a2﹣128a+64+80a）=﹣，即2a2﹣5a+2=0，解得a=2或a=，当a=2或时，都满足△＞0，故a=2或21．（12分）已知函数f（x）=a（x2﹣x）﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）在x=1处取到极值，求a的值；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当n≥2时，++…+＞．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2ax﹣a﹣，∵y=f（x）在x=1处取得极小值，∴f′（1）=0，即a=1，此时，经验证x=1是f（x）的极小值点，故a=1，（2）∵f′（x）=2ax﹣a﹣，①当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴当x＞1时，f（x）＜f（1）=0矛盾．②当a＞0时，f′（x）=，∵△=a2+8a＞0恒成立，令f′（x）=0，解得x1=＜0，（舍去），x2=，（i）当≤1时，即a≥1时，f（x）在[1，+∞）单调性递增∴f（x）≥f（x）min=f（1）=0，满足题意，（ii）当＞1时，即0＜a＜1时，∴x∈（1，）时，f′（x）＜0，即f（x）递减，∴f（x）＜f（1）=0，矛盾．综上，f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，a≥1，（3）证明：由（1）知令a=1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，∴当x＞2时，x2﹣x﹣lnx＞0，即＞，令x=n，则＞=﹣，∴++…+＞﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）以直角坐标系的原O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线l的参数方程为为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）写出直线l的一般方程及圆C标准方程；（Ⅱ）设P（﹣1，1），直线l和圆C相交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为为参数），∴由直线l的参数方程消去参数t可得x﹣1=2（y﹣2），化简并整理可得直线l的一般方程为x﹣2y+3=0，∵圆C的极坐标方程为ρ=2，∴由ρ=2可得ρ2=4，即x2+y2=4，∴圆C的标准方程为x2+y2=4．（Ⅱ）∵P（﹣1，1），|PC|==＜R=2，点P（﹣1，1）代入直线l的方程，成立，∴点P在圆内，且直线l上，联立圆的方程和直线l的参数方程方程组，设A（x A，y A），B（x B，y B），则，∴，则，同理，∴．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式|x+2|﹣|2x﹣2|＞2的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）已知t为集合M中的最大正整数，若a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b ﹣1）（c﹣1）=t，求abc的最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，|x+2|﹣|2x﹣2|＞2，分3种情况讨论①，当x＜﹣2时，原不等式变形为：x﹣4＞2，解可得x＞6，又由x＜﹣2，此时不等式的解集为∅，②，当﹣1≤x＜2时，原不等式变形为：3x＞2，解可得x＞，又由﹣1≤x＜2，此时不等式的解集为{x|＜x＜2}；③，当x≥2时，原不等式变形为：﹣x+4＞2，解可得x＜2，又由x≥2，此时不等式的解集为∅，综合可得：M={x|＜x＜2}；（Ⅱ）根据题意，若t为集合M中的最大正整数，则t=1；若a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）=1，a=1+（a﹣1）≥2，b=1+（b﹣1）≥2，c=1+（c﹣1）≥2，则abc≥8（××）=8；abc的最小值为8．。
2018年山东省济南市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＝0}，B＝{﹣1，1}，则A∪B＝（）A．{1}B．{﹣1，1，3}C．{﹣3，﹣1，1}D．{﹣3，﹣1，1，3}2．（5分）若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则（）A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q都是假命题C．命题p是真命题，命题q是假命题D．命题p是假命题，命题q是真命题3．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x＝π时，e iπ+1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．5．（5分）若，，则sin A的值为（）A．B．C．或D．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z＝2x﹣y，则z的取值范围是（）A．[﹣5，6）B．[﹣5，6]C．（2，9）D．[﹣5，9]7．（5分）将函数的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）（）A．为奇函数，在上单调递减B．为偶函数，在上单调递增C．周期为π，图象关于点对称D．最大值为1，图象关于直线对称8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②9．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行如图所示的程序框图，当输入i＝2018时，输出的结果为（）A．﹣1008B．1009C．3025D．302811．（5分）已知双曲线C：的两条渐近线是l1，l2，点M是双曲线C 上一点，若点M到渐近线l1距离是3，则点M到渐近线l2距离是（）A．B．1C．D．312．（5分）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，满足||＝5，|2|＝5，||＝5，则||＝．14．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为．15．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝30°，，BC＝5，则线段BD的长度为．16．（5分）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）记S n为数列{a n}的前n 项和，已知，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，E，F分别为线段AD，PB的中点．（1）证明：PD∥平面CEF；（2）若PE⊥平面ABCD，PE＝AB＝2，求四面体P﹣DEF的体积．19．（12分）2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（2，1）在抛物线C：x2＝ay上，直线l：y＝kx+b（b≠0）与抛物线C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率之和为﹣1．（1）求a和k的值；（2）若b＞1，设直线l与y轴交于D点，延长MD与抛物线C交于点N，抛物线C在点N处的切线为n，记直线n，l与x轴围成的三角形面积为S，求S 的最小值．21．（12分）设函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，记f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）＜1．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）当x∈R时，f（x）≥﹣x+a恒成立，求实数a的取值范围．2018年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＝0}，B＝{﹣1，1}，则A∪B＝（）A．{1}B．{﹣1，1，3}C．{﹣3，﹣1，1}D．{﹣3，﹣1，1，3}【解答】解：∵集合A＝{x|x2+2x﹣3＝0}＝{﹣3，1}，B＝{﹣1，1}，∴A∪B＝{﹣3，﹣1，1}．故选：C．2．（5分）若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则（）A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q都是假命题C．命题p是真命题，命题q是假命题D．命题p是假命题，命题q是真命题【解答】解：命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则p是假命题，q是真命题，故选：D．3．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x＝π时，e iπ+1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位），所以e4i＝cos4+i sin4，因为4∈（π，），cos4＜0，sin4＜0，所以e4i表示的复数在复平面中位于第三象限．故选：C．4．（5分）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．【解答】解：离心率为＜1，排除A，B．因为．可得a＝3，b＝1，c＝2，所以e＝＝，满足题意，排除C．故选：D．5．（5分）若，，则sin A的值为（）A．B．C．或D．【解答】解：∵，，∴A+∈（，），可得：cos（A+）＝﹣＝﹣，∴sin A＝sin[（A+）﹣]＝[sin（A+）﹣cos（A+）]＝×（+）＝．故选：B．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z＝2x﹣y，则z的取值范围是（）A．[﹣5，6）B．[﹣5，6]C．（2，9）D．[﹣5，9]【解答】解：变量x，y满足约束条件不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝2x﹣y过点A时，z取得最小值，由，可得A（﹣2，1）时，在y轴上截距最大，此时z取得最小值﹣5．当直线z＝2x﹣y过点C时，z取得最小值，由，可得C（2，﹣2）时，因为C不在可行域内，所以z＝2x﹣y的最大值小于4+2＝6，则z的取值范围是：[﹣5，6）．故选：A．7．（5分）将函数的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）（）A．为奇函数，在上单调递减B．为偶函数，在上单调递增C．周期为π，图象关于点对称D．最大值为1，图象关于直线对称【解答】解：函数的图象向左平移个单位，得y＝cos[2（x+）﹣]＝cos2x的图象，∴函数g（x）＝cos2x；∴g（x）是偶函数，A错误；且周期为T，在[﹣+kπ，kπ]，k∈Z上单调递增，在[kπ，kπ+]，k∈Z上单调递减，∴B、C错误；关于点（kπ+，0）对称，关于直线x＝，k∈Z对称；∴g（x）的最大值为1，且图象关于x＝对称，D正确．故选：D．8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②【解答】解：从上下方向上看，△P AC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△P AC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△P AC的投影为④图所示的情况；故选：A．9．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数，可得：y′＝，x＜0时，函数是增函数，x＞0时是减函数，x＝0是函数的极大值点，函数的图象只有C满足．故选：C．10．（5分）执行如图所示的程序框图，当输入i＝2018时，输出的结果为（）A．﹣1008B．1009C．3025D．3028【解答】解：当输入i＝2018时，当n＝0时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝1，n＝1当n＝1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝1，n＝2当n＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝4，n＝3当n＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝2，n＝4当n＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝7，n＝5当n＝5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝3，n＝6当n＝6时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝10，n＝7……当n＝2k﹣1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝k，n＝2k，……当n＝2017时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝1009，n＝2018当n＝2018时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为1009，故选：B．11．（5分）已知双曲线C：的两条渐近线是l1，l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1距离是3，则点M到渐近线l2距离是（）A．B．1C．D．3【解答】解：双曲线C：的两条渐近线为：2x±3y＝0，设M（x1，y1）为双曲线上的点，则4x12﹣9y12＝36，由M到双曲线的渐近线的距离乘积为k ＝＝＝是常数，点M到渐近线l1距离是3，则点M到渐近线l2距离是：＝．故选：A．12．（5分）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程的解；x2是方程的解；则x1，x2分别为函数的图象与函数y＝y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以，有x1x2＝1，而x1≠x2则x 1+4x2＝x1+x2+3x2≥＞2+3＝5即x1+4x2∈（5，+∞）故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，满足||＝5，|2|＝5，||＝5，则||＝．【解答】解：向量，满足，，，可得4＝75，＝50，可得：6+3＝175．可得＝．故答案为：．14．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为2．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，甲的成绩为87、89、90、91和93；乙的成绩为88、89、90、91和92，∴乙的成绩分布均匀些，且乙的平均成绩为＝×（88+89+90+91+92）＝90，方差为s2＝[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]＝2．故答案为：2．15．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝30°，，BC＝5，则线段BD的长度为．【解答】解：AD和BC的延长线相交于E点，如图，∵∠A＝∠BCD＝90°，∠B＝30°，，BC＝5，∴BE＝＝＝6，可得：CE＝BE﹣BC＝1，又∵∠CED＝60°，∠EDC＝30°，∴CD＝＝＝，∴BD＝＝＝．故答案为：．16．（5分）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为．【解答】解：如图，要使任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，则液体的体积应大于三棱锥A1﹣ABD的体积，小于多面体BCDA1B1C1D1的体积．∵，∴．∴液体体积的取值范围为：．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）记S n为数列{a n}的前n项和，已知，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝2n2+n﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]＝4n﹣1．﹣1所以a n＝4n﹣1．（2）＝＝，所以＝．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，E，F分别为线段AD，PB的中点．（1）证明：PD∥平面CEF；（2）若PE⊥平面ABCD，PE＝AB＝2，求四面体P﹣DEF的体积．【解答】（1）证明：连接BE、BD，BD交CE于点O，∵E为线段AD的中点，AD∥BC，，∴BC∥ED，∴四边形BCDE为平行四边形，∴O为BD的中点，又F是BP的中点，∴OF∥PD，又OF⊂平面CEF，PD⊄平面CEF，∴PD∥平面CEF；（2）解：由（1）知，四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD，∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，∴AB＝AE＝BE，∴三角形ABE是等边三角形，∴，做BH⊥AD于H，则，∵PE⊥平面ABCD，PE⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面ABCD，又平面P AD∩平面ABCD＝AD，BH⊥AD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥平面P AD，∴点B到平面P AD的距离为，又∵F为线段PB的中点，∴点F到平面P AD的距离等于点B到平面P AD的距离的一半，即，又，∴＝．19．（12分）2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：【解答】解：（1）根据图1和表1得到2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算得：＝≈12.21．∵12.21＞6.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，设备改造前产品为合格品的概率约为；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好．（3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，180×960﹣100×40＝168800，所以该企业大约获利168800元．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（2，1）在抛物线C：x2＝ay上，直线l：y＝kx+b（b≠0）与抛物线C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率之和为﹣1．（1）求a和k的值；（2）若b＞1，设直线l与y轴交于D点，延长MD与抛物线C交于点N，抛物线C在点N处的切线为n，记直线n，l与x轴围成的三角形面积为S，求S 的最小值．【解答】解：（1）将点M（2，1）代入抛物线C：x2＝ay，得a＝4，，得x2﹣4kx﹣4b＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，解法一：＝＝，由已知得，所以，k＝﹣1．解法二：＝＝，由已知得k＝﹣1．（2）在直线l的方程y＝﹣x+b中，令x＝0得D（0，b），，直线DM的方程为：，即，由，得x2﹣2（1﹣b）x﹣4b＝0，解得：x＝2，或x＝﹣2b，所以N（﹣2b，b2），由x2＝4y，得，，切线n的斜率，切线n的方程为：y﹣b2＝﹣b（x+2b），即y＝﹣bx﹣b2，由，得直线l、n交点Q，纵坐标，在直线y＝﹣x+b，y＝﹣bx﹣b2中分别令y＝0，得到与x轴的交点R（b，0），E （﹣b，0），所以＝，，b∈（1，+∞），当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；∴当时，S最小值为．21．（12分）设函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，记f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）＜1．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），＝＝，当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，当x∈（0，a），f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（2）证明：由（1）知，f（x）min＝f（a）＝＝，即．解法一：＝，，∴g'（a）单调递减，又g'（1）＞0，g'（2）＜0，所以存在a0∈（1，2），使得g'（a0）＝0，∴当a∈（0，a0）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增；当a∈（a0，+∞）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；∴g（a）max＝g（a0）＝，又g'（a0）＝0，即，，∴＝，令t（a0）＝g（a0），则t（a0）在（1，2）上单调递增，又a0∈（1，2），所以t（a0）＜t（2）＝2﹣1＝1，∴g（a）＜1．解法二：要证g（a）＜1，即证，即证：，令，则只需证，＝，当a∈（0，2）时，h'（a）＜0，h（a）单调递减；当a∈（2，+∞）时，h'（a）＞0，h（a）单调递增；所以h（a）min＝h（2）＝，所以h（a）＞0，即g（a）＜1．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值．【解答】解：（1）由已知得：，消去t得，∴化为一般方程为：，即：l：．曲线C：ρ＝4sinθ得，ρ2＝4ρsinθ，即x2+y2＝4y，整理得x2+（y﹣2）2＝4，即：C：x2+（y﹣2）2＝4．（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中得：，即t2+t﹣3＝0，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则，∴＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）当x∈R时，f（x）≥﹣x+a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，f（x）＝﹣x+4，∴f（x）≥6⇒﹣x+4≥6⇒x≤﹣2，故x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，f（x）＝﹣3x，∴f（x）≥6⇒﹣3x≥6⇒x≤﹣2，故x∈ϕ；当x≥1时，f（x）＝x﹣4，∴f（x）≥6⇒x﹣4≥6⇒x≥10，故x≥10；综上可知：f（x）≥6的解集为（﹣∞，2]∪[10，+∞）．（2）由（1）知：，【解法一】如图所示：作出函数f（x）的图象，由图象知，当x＝1时，﹣1+a≤﹣3，解得：a≤﹣2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．【解法二】当x≤﹣2时，﹣x+4≥﹣x+a恒成立，∴a≤4，当﹣2＜x＜1时，﹣3x≥﹣x+a恒成立，∴a≤﹣2，当x≥1时，x﹣4≥﹣x+a恒成立，∴a≤﹣2，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．。
2018届山东省济南市高三第一次模拟考试理数试题
2018届山东省济南市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ） A ． B ． C ． D ．2.若集合，，则的一个充分不必要条件是（ ） A ． B ． C ． D ．3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4.已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 5.已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（ ） A ．4 B ．2 C ． D ．6.已知变量，满足约束条件，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰11212i i +++i 3535i 35-35i -{|12}A x x =<<{|,}B x x b b R =>∈A B ⊆2b ≥12b <≤1b ≤1b <x 2s 4x =22s <4x =22s >4x >22s <4x >22s >C 22221(0)x y a b a b+=>>2213632x y +=22198x y +=22195x y +=2211612x y +={}n a 31a =5a 432a 121a 1214x y 40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩2z x y =-z [5,6)-[5,6]-(2,9)[5,9]-直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A ．在上单调递减 B ．在上单调递增 C ．在上单调递增 D ．在上单调递减 9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出，的值分别为（ ）A ．13，21B ．34，55C ．21，13D ．55，34 10.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．11.设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，181431638()sin()f x x ωϕ=+)x ωϕ+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭π()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭MN 212()log (1)f x x =+112x++()(21)f x f x ≤-x (,1]-∞[1,)+∞1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦1F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ． 12.设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若与平行，则实数的值是 ． 14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底 边为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形， 左视图是个半圆.则该几何体的体积为 ．15.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含项的系数为 ．16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签： 原点处标数字0，记为；点处标数字1，记为； 点处标数字0，记为；点处标数字-1，记为； 点处标数字-2，记为；点处标数字-1，记为； 点处标数字0，记为；点处标数字1，记为； …以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（，均为整数），记，则 ．M 1F M N 13MNF M =2534331x 2x ()xf x x a -=-()log 1a g x x x =-1a >124x x +[4,)+∞(4,)+∞[5,)+∞(5,)+∞(1,1)a =(2,)b x =a b +3a b -x 512a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4x 0a (1,0)1a (1,1)-2a (0,1)-3a (1,1)--4a (1,0)-5a (1,1)-6a (0,1)7a (,)i j i j +i j 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2018S =三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）证明：；（2）若，且.18.如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面.如图2，点为中点，点在线段上（不同于，两点），连接并延长至点，使. （1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200ABC ∆A B C a b c cos cos 2b A a B c -=tan 3tan B A =-222b c a +=ABC ∆a ABCD //AB CD 6CD =12AB =1OO 1ADO O ⊥1BCO O P BC E AB A B OE Q //AQ OB OD ⊥PAQ 2BE AE =C BQ A --件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率．．．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望. 附：[20,40)22 [25,30)[20,25)[30,35)X X20.在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与抛物线交于，两点.（1）若直线，的斜率之积为，证明：直线过定点； （2）若线段的中点在曲线：上，求的最大值.21.已知函数有两个不同的零点. （1）求的取值范围；（2）设，是的两个零点，证明：.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++xOy 1C 24x y =l 1C A B OA OB 14-l AB M 2C 214(4y x x =--<<AB 2()ln (21)f x a x x a x =-+-()a R ∈a 1x 2x ()f x 122x x a +>（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数. （1）求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.xOy (1,2)P l 1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t Ox C 4sin ρθ=l C l C M N 11PM PN+()222f x x x =--+()6f x ≥x R ∈()f x x a ≥-+a2018年济南市高考数学模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD二、填空题 13. 2 14. 15. -48 16. -249三、解答题 17.【解析】 （1）根据正弦定理，由已知得：， 展开得：， 整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴由，得：，，∴由，得：，所以，， 由.18.【解析】（1）【解法一（几何法）】取的中点为，连接，；∴，3sin cos cos sin B A B A -2sin 2sin()C A B ==+sin cos cos sin B A B A -2(sin cos cos sin )B A B A =+sin cos 3cos sin B A B A =-tan 3tan B A =-222b c a +-=222cos 2b c a A bc+-===0A π<<6A π=tan A =tan B =0B π<<23B π=6C π=a c =12sin23S ac π=212==2a =1OO F AF PF //PF OB∵，∴，∴、、、四点共面， 又由图1可知， ∵平面平面， 且平面平面，∴平面， ∴平面， 又∵平面， ∴.在直角梯形中，，，，∴，∴，∴， ∴. ∵，且平面，平面，∴平面.（1）【解法二（向量法）】由题设知，，两两垂直，所以以为坐标原点，//AQ OB //PF AQ P F A Q 1OB OO ⊥1ADO O ⊥1BCO O 1ADO O11BCO O OO =OB ⊥1ADO O PF ⊥1ADO O OD ⊂1ADO O PF OD ⊥1ADO O 1AO OO =1OF O D =1AOF OO D ∠=∠1AOF OO D ∆≅∆1FAO DOO ∠=∠190FAO AOD DOO AOD ∠+∠=∠+∠=AF OD ⊥AFPF F =AF ⊂PAQ PF ⊂PAQ OD ⊥PAQ OA OB 1OO O，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设的长度为，则相关各点的坐标为，，，，，. ∵点为中点，∴，∴，，， ∵，，∴，，且与不共线， ∴平面.（2）∵，，∴， 则，∴，. 设平面的法向量为，∵，∴，令，则，，则，又显然，平面的法向量为，设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，OA OB 1OO x y z AQ m (0,0,0)O (6,0,0)A (0,6,0)B (0,3,6)C (3,0,6)D (6,,0)Q m P BC 9(0,,3)2P (3,0,6)OD =(0,,0)AQ m =9(6,,3)2PQ m =--0OD AQ ⋅=0OD PQ ⋅=OD AQ ⊥OD PQ ⊥AQ PQ OD ⊥PAQ 2BE AE =//AQ OB 132AQ OB ==(6,3,0)Q (6,3,0)QB =-(0,3,6)BC =-CBQ 1(,,)n x y z =1100n QB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩630360x y y z -+=⎧⎨-+=⎩1z =2y =1x =1(1,2,1)n =ABQ 2(0,0,1)n =C BQ A --θθ则.19.【解析】（1）根据图3和表1得到列联表：将列联表中的数据代入公式计算得：.∵，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图3和表1可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优. （3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为； 二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.由已知得：随机变量的取值为：240，300，360，420，480.，， ， 12126cos 6n n n n θ⋅==⋅22⨯22⨯22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.210≈12.210 6.635>1724320050=1922420025=121213131616X 240P X =（）1116636=⨯=300P X =（）12111369C =⨯⨯=360P X =（）1211115263318C =⨯⨯+⨯=， .∴随机变量的分布列为：∴.20.【解析】设，，（1）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得：， ，，，， 由已知：，所以， ∴直线的方程为，所以直线过定点.（2）设，则，， 将带入：得：，∴.∵，∴，又∵，∴，420P X =（）12111233C =⨯⨯=480PX =（）111224=⨯=X 240300369E X=⨯+⨯（）3604204804001834+⨯+⨯+⨯=()11,A x y ()22,B x y l l y kx m =+24x y y kx m⎧=⎨=+⎩2440x kx m --=()2160k m ∆=+>124x x k +=124x x m =-1212OA OBy y k k x x ⋅⋅=⋅2212121144x x x x ⋅=⋅12164x x m ⋅==-14OA OB k k ⋅=-1m =l 1y kx =+l (0,1)()00,M x y 12022x x x k +==2002y kx m k m =+=+()00,M x y 2C 214(4y x x =--<<22124(2)4k m k +=-243m k =-0x -<<2k -<<k <<()216k m ∆=+22216(43)32(2)0k k k =+-=->k <<故的取值范围是：.代入得：当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为.21.【解析】 （1）【解法一】函数的定义域为：.， ①当时，易得，则在上单调递增， 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当时，令得：，则∴. 设，∵，则在上单调递增. 又∵，∴时，；时，. 因此：（i ）当时，，则无零点，k (k ∈AB ==243m k =-AB =≤=2212k k +=-2k =±AB ()f x (0,)+∞'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=0a ≤'()0f x <()f x (0,)+∞()f x 0a >'()0f x =x a =max ()()f x f x =极大()(ln 1)f a a a a ==+-()ln 1g x x x =+-1'()10g x x=+>()g x (0,)+∞(1)0g =1x <()0g x <1x >()0g x >01a <≤max ()()0f x a g a =⋅≤()f x不符合题意，舍去.（ii ）当时，， ∵，∴在区间上有一个零点， ∵， 设，，∵， ∴在上单调递减，则， ∴，∴在区间上有一个零点，那么，恰有两个零点. 综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是. （1）【解法二】函数的定义域为：.， ①当时，易得，则在上单调递增， 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当时，令得：，则∴.∴要使函数有两个零点，则必有，即， 设，∵，则在上单调递增， 又∵，∴；1a >max ()()0f x a g a =⋅>12()(1)f a e e =-2110e e --<()f x 1(,)a e(31)ln(31)f a a a -=-2(31)(21)(31)a a a --+--[ln(31)(31)]a a a =---()ln h x x x =-(1)x >1'()10h x x=-<()h x (1,)+∞(31)(2)ln 220h a h -<=-<(31)(31)0f a a h a -=⋅-<()f x (,31)a a -()f x ()f x a (1,)+∞(0,)+∞'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=0a ≤'()0f x <()f x (0,)+∞()f x 0a >'()0f x =x a =max ()()f x f x =极大()(ln 1)f a a a a ==+-()f x ()(ln 1)0f a a a a =+->ln 10a a +->()ln 1g a a a =+-1'()10g a a=+>()g a (0,)+∞(1)0g =1a >当时： ∵， ∴在区间上有一个零点； 设， ∵，∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴，∴， 则，∴在区间上有一个零点， 那么，此时恰有两个零点.综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是. （2）【证法一】由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数； 当时，是减函数； 不妨设：，则：； 设，， 则： . 当时，，∴单调递增，又∵， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，1a >12()(1)f a e e =-2110e e--<()f x 1(,)a e()ln h x x x =-11'()1xh x x x-=-=()h x (0,1)(1,)+∞()(1)10h x h ≤=-<ln x x <2()ln (21)f x a x x a x =-+-22(21)3ax x a x ax x x ≤-+-=--23(3)ax x x a x ≤-=-(4)0f a <()f x (,4)a a ()f x ()f x a (1,)+∞()f x 1a >(0,)x a ∈()f x (,)x a ∈+∞()f x 12x x <120x a x <<<()()(2)F x f x f a x =--(0,2)x a ∈'()'()'(2)F x f x f a x =--2(21)2a ax a x a x=-+-+-2(2)(21)a x a --+-22()22(2)a a x a x a x x a x -=+-=--(0,)x a ∈'()0F x >()F x ()0F a =()0F x <()(2)f x f a x <-1(0,)x a ∈11()(2)f x f a x <-12()()f x f x =21()(2)f x f a x <-∵，，在上单调递减， ∴，∴. （2）【证法二】由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数； 当时，是减函数； 不妨设：，则：； 设，， 则 . 当时，，∴单调递增， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，，在上单调递减， ∴，∴.22.【解析】（1）由已知得：，消去得，，2(,)x a ∈+∞12(,)a x a -∈+∞()f x (,)a +∞212x a x >-122x x a +>()f x 1a >(0,)x a ∈()f x (,)x a ∈+∞()f x 12x x <120x a x <<<()()()F x f a x f a x =+--(0,)x a ∈'()'()'()F x f a x f a x =++-2()(21)a aa x a a x a x=-++-++-2()(21)a x a --+-222()()a a x a x a x a x a x =+-=+-+-(0,)x a ∈'()0F x >()F x (0)0F =()0F x >()()f a x f a x +>-1(0,)a x a -∈12()()f x f x =11(())(())f a a x f a a x =--<+-1(2)f a x =-2(,)x a ∈+∞12(,)a x a -∈+∞()f x (,)a +∞212x a x >-122x x a +>11222x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩t 21)y x -=-20y -+-=即：.曲线：得，，即，整理得， 即：：.（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得：，即， 设，两点对应的参数分别为，，则，∴.23.【解析】（1）当时，，∴，故； 当时，，∴，故； 当时，，∴，故； 综上可知：的解集为.（2）由（1）知：，【解法一】如图所示：作出函数的图象，l 20y -+-=C 4sin ρθ=24sin ρρθ=224x y y +=22(2)4x y +-=C 22(2)4x y +-=l 1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t C 221(1))42t ++=230t t +-=M N 1t 2t 121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩11PM PN +1212PM PN t t PM PN t t ++==⋅⋅1212t t t t -==⋅=2x ≤-()4f x x =-+()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-2x ≤-21x -<<()3f x x =-()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-x φ∈1x ≥()4f x x =-()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥10x ≥()6f x ≥(,2][10,)-∞+∞4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩()f x由图象知，当时，，解得：， ∴实数的取值范围为. 【解法二】当时，恒成立，∴， 当时，恒成立，∴， 当时，恒成立，∴， 综上，实数的取值范围为.1x =13a -+≤-2a ≤-a (,2]-∞-2x ≤-4x x a -+≥-+4a ≤21x -<<3x x a -≥-+2a ≤-1x ≥4x x a -≥-+2a ≤-a (,2]-∞-。
济南市2018届高三第一次模拟考试
济南市2018届高三第一次模拟考试文综试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷本卷共35小题。
每小题4分，共140分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
某校学生到我国一村落进行地理考察。
下车后，举目所见尽是沟渠纵横的水田，前方高山耸立、左侧椰林成排（如图）。
他们步行进入村落，但见民居间涌泉处处。
村长带领他们参观该村的祠堂，提及当初祖先因受连年灾荒，不得不渡海来此。
据此完成1～3题。
1．该村落所处地形为A．山地B．高原C．三角洲D．冲积扇2．该地可能位于我国A.山东B．台湾C．四川D．浙江3．村民的祖先渡海来此后，对当地改造最显著的自然景观是A．地形B．河流C．土壤D．植被2018年2月23日我国农业部公布，2018年全国轮作、休耕面积扩大到2400万亩，比上一年翻一番。
轮作指的是在同一田块上有顺序地轮换种植不同作物。
休耕则是在可种作物的季节停止种植活动。
据此完成4～5题。
4．我国实行轮作、休耕制度的主要目的是A.恢复土壤肥力B．提高复种指数C减少化肥使用D．调整农业结构5．下列地区适宜轮作的是A．新疆塔里木河流域B．江西稻谷低质低效区C.湖南重金属污染区D．河北地下水漏斗地区港航服务业是港口和航运业务的拓展，是服务于港口和航运的服务业。
近20年来，上海市港航服务业发展迅速，其功能结构不断向高价值链方向发展。
下图为港航服务业分类及部分企业示意图，据此完成6～8题。
6．上海市港航服务业快速发展，主要是因为上海港A水域条件优越B．陆地交通发达C．经济腹地广阔D．地形平坦开阔7．高级服务类港航服务企业，适宜布局在上海市A．中央商务区B．工业区C．文化区D．住宅区8．推测近20年来，上海市三类港航服务业的变化趋势为A．高级服务类企业产值占比先升后降B．代理与技术服务类企业产值始络占主导地位C.运输仓储类企业产值占比持续降低D．港航服务业各类企业数量的比重变化不大林线、．雪线的高度分布对人类活动具有很大影响，日益为地理学研究所重视。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|log2（4+x﹣x2）＞1}，集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．[，2）B．（﹣1，]C．（﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018（其中i是虚数单位），则复数z2的虚部等于（）A．﹣B．C．﹣D．﹣i3．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．“∃x0∈R，e≤0”的否定是“∀x∈R，e x≥0”B．已知a＞0，则“a≥1”是“a+≥2”的充分不必要条件C．已知平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是对立事件4．（5分）已知直线l1：x•sinα+y﹣1＝0，直线l2：x﹣3y•cosα+1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．5．（5分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（）A．2或B．2或C．D．26．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣4，2]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）7．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少大米？（）A．1170升B．1380升C．3090升D．3300升8．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，点P，Q，R在f（x）的图象上，坐标分别为（﹣1，﹣A）、（1，0）、（x0，0），△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f（x）的图象向右平移5个单位后得到函数g（x）的图象，则关于g（x）的说法中不正确的是（）A．g（x）是偶函数B．g（x）在区间[0，4]上是减函数C．g（x）的图象关于直线x＝2对称D．g（x）在[﹣1，3]上的最小值为﹣9．（5分）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π10．（5分）已知⊙O1，⊙O2，⊙O3的半径依次为1，2，3，⊙O1，⊙O2外切于点M，⊙O2，⊙O3外切于点N，⊙O1，⊙O3外切于点P，则•（+）＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，直线y＝x与抛物线C 交于O，A两点（O为坐标原点），过F作直线OA的平行线交抛物线C于B．D 两点（其中B在第一象限），直线AB与直线OD交于点E，若△OEF的面积等于1，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣1B．x＝﹣C．y＝﹣1D．y＝﹣12．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣x cos x，现有下列结论：①当x∈[0，π]时，f（x）≥0；②当0＜α＜β＜π时，α•sinβ＞β•sinα；③若n对∀x恒成立，则m﹣n的最小值等于1﹣；④已知k∈[0，1]，当x i∈（0，2π）时，满足＝k的x i的个数记为n，则n的所有可能取值构成的集合为{0，1，2，3}其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二.填空题．（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）13．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1+2S5＝3S3，则{a n}的公比等于．14．（5分）如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的a1，a2，…，a54为茎叶图中的学生成绩，则输出的S和n的值分别是．15．（5分）已知不等式组表示的区域为Ω，若存在点P（x0，y0）∈Ω，使得2kx0﹣2y0+k＝0，则实数k的取值范围是．16．（5分）已知曲线C1：y＝lnx（0＜x＜1）的切线l与曲线C2：y＝x2相切于点（m，m2），某学习小组的三名同学甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线l只有一条；乙说：m的取值介于与之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有．三、解答题．（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．（12分）如图，在△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝120°，AB＝3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD＝1．（Ⅰ）求sin A；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是CB，CD 的中点，点M在棱CC1上，CM＝tCC1（0＜t＜1）．（Ⅰ）三棱锥C﹣EFM，C1﹣B1D1M的体积分别为V1，V2，当t为何值时，V1•V2最大？最大值为多少？（Ⅱ）若A1C∥平面B1D1M，证明：平面EFM⊥平面B1D1M．19．（12分）某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5：3：2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元．经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n %，一般困难的学生中有3n %会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n %转为一般困难，特别困难的学生中有n %转为很困难．现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x 取13时代表2013年，x 与y （万元）近似满足关系式y ＝C 1，其中C 1，C 2为常数．（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变） （k i ﹣）2（y i ﹣）2 （x i ﹣）（y i）（x i ﹣）（k i ）其中k i ＝log 2y i ，＝k i （Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据（u 1，v 1），（u 2，v 2）…，（u n ，v n ），其回归直线方程＝+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣②20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长和焦距都等于2，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于﹣1的直线与椭圆C 交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．（Ⅰ）证明：直线BD的斜率为定值；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值，并求此时直线BD的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点m，n，其中m＜n且m是否存在整数k 使得不等式f（n）+k＜f（m）＜f（n）+3k+5ln2恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（Ⅱ）C1与C2相交于不同两点A，B，线段AB中点为M，点N（0，﹣1），若|MN|＝2，求C1参数方程中sinα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|；（Ⅰ）若2f（x﹣1）+f（2x﹣a）≥1对∀x∈R恒成立，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）函数g（x）＝3f（x）﹣f（x﹣t）（t≠0），若函数g（x）的图象与x轴围成的面积等于3，求实数t的值．2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|log2（4+x﹣x2）＞1}，集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．[，2）B．（﹣1，]C．（﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：集合A＝{x|log2（4+x﹣x2）＞1}＝{x|4+x﹣x2＞2}＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2），集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}＝{y|0＜y＜}，∴∁R B＝（﹣∞，0]∪[，+∞），∴A∩（∁R B）＝（﹣1，0]∪[，2）．故选：C．2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018（其中i是虚数单位），则复数z2的虚部等于（）A．﹣B．C．﹣D．﹣i【解答】解：∵i n（n∈N*）的取值呈现周期性，周期为4，且i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0，∴（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018＝i+i2＝﹣1+i，∴，∴，则z2的虚部等于﹣．故选：A．3．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．“∃x0∈R，e≤0”的否定是“∀x∈R，e x≥0”B．已知a＞0，则“a≥1”是“a+≥2”的充分不必要条件C．已知平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是对立事件【解答】解：对于A，“∃x0∈R，e≤0”的否定是“∀x∈R，e x＞0”，∴A错误；对于B，“a+≥2”恒成立的充要条件是a＞0，∴“a≥1”是“a+≥2”的充分不必要条件，B正确；对于C，当平面α⊥γ，β⊥γ时，α∥β或α与β相交，∴C错误；对于D，几何概型不满足P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是对立事件，∴D错误．故选：B．4．（5分）已知直线l1：x•sinα+y﹣1＝0，直线l2：x﹣3y•cosα+1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．【解答】解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（）A．2或B．2或C．D．2【解答】解：若焦点在x轴上，则方程为（a，b＞0），所以，则e＝＝＝2；若焦点在y轴上，则方程为（a，b＞0），所以，则e＝＝＝；故选：B．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣4，2]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）【解答】解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）＝f（x+1），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，由f（m+2）≥f（x﹣1）可得|（m+2）﹣1|≤|（x﹣1）﹣1|，即|m+1|≤|x﹣2|恒成立，又由x∈[﹣1，0]，则2≤|x﹣2|≤3，则有：|m+1|≤2，解可得﹣3≤m≤1；即m的取值范围为[﹣3，1]；故选：A．7．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少大米？（）A．1170升B．1380升C．3090升D．3300升【解答】解：设第n天派出的人数为a n，则{a n}是以64为首项、7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为S n＝a1+a2+a3+…+a n＝，所以前5天共分发的大米数为：3（S1+S2+S3+S4+S5）＝3[（1+2+3+4+5）×64+（1+3+6+10）×7]＝3300．故选：D．8．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，点P，Q，R在f（x）的图象上，坐标分别为（﹣1，﹣A）、（1，0）、（x0，0），△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f（x）的图象向右平移5个单位后得到函数g（x）的图象，则关于g（x）的说法中不正确的是（）A．g（x）是偶函数B．g（x）在区间[0，4]上是减函数C．g（x）的图象关于直线x＝2对称D．g（x）在[﹣1，3]上的最小值为﹣【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，＝2，所以＝8，解得ω＝；因为PQ＝QR＝4，作PH⊥x轴于点H，则QH＝2，所以A＝2，当x＝1时，ωx+φ＝0，所以φ＝﹣，所以f（x）＝2sin（x﹣）；所以g（x）＝f（x﹣5）＝2sin[（x﹣5）﹣]＝2cos x，根据余弦函数的性质可知g（x）是偶函数，A正确；x∈[0，4]时，x∈[0，π]，∴g（x）是单调减函数，B正确；x＝2时，g（2）＝2cos＝0，g（x）的图象不关于x＝2对称，C错误；x∈[﹣1，3]时，x∈[﹣，]，cos x∈[﹣，1]，∴g（x）∈[﹣，2]，则g（x）的最小值为﹣，D正确．故选：C．9．（5分）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π【解答】解：由三视图还原原几何体的直观图如图，该几何体为三棱锥O﹣ABC，在三棱锥O﹣ABC中，∠AOC＝∠ABC＝90°，∴其外接球的直径为AC，则半径R＝＝，∴外接球的表面积该几何体外接球的表面积为S＝4πR2＝32π．故选：D．10．（5分）已知⊙O1，⊙O2，⊙O3的半径依次为1，2，3，⊙O1，⊙O2外切于点M，⊙O2，⊙O3外切于点N，⊙O1，⊙O3外切于点P，则•（+）＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，O1O2＝3，O2O3＝5，O3O1＝4；∴O1O2⊥O1O3；＝＝＝；∴＝＝．故选：B．11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，直线y＝x与抛物线C交于O，A两点（O为坐标原点），过F作直线OA的平行线交抛物线C于B．D 两点（其中B在第一象限），直线AB与直线OD交于点E，若△OEF的面积等于1，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣1B．x＝﹣C．y＝﹣1D．y＝﹣【解答】解：如图所示，设B（x1，y1），D（x2，y2），则1＝＝＝，则y1+y2＝2p，取BD中点M、OA中点N，则E、M、N三点共线，且所在直线方程为y＝p，所以△OEF的面积S＝＝＝1，所以p ＝2，准线方程为x＝﹣1．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣x cos x，现有下列结论：①当x∈[0，π]时，f（x）≥0；②当0＜α＜β＜π时，α•sinβ＞β•sinα；③若n对∀x恒成立，则m﹣n的最小值等于1﹣；④已知k∈[0，1]，当x i∈（0，2π）时，满足＝k的x i的个数记为n，则n的所有可能取值构成的集合为{0，1，2，3}其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：当x∈[0，π]时，f′（x）＝x sin x≥0，所以f（x）≥f（0）＝0，①正确；令g（x）＝，由①知，当x∈[0，π]时，g′（x）＝≤0，所以g（α）＞g（β），＞，所以αsinβ＜βsinα，②错误；由②可知g（x）＝在（0，）上为减函数，所以g（x）＝＞g（）＝，则n≤，令φ（x）＝sin x﹣x，x∈（0，）时，φ′（x）＝cos x﹣1＜0，所以φ（x）＝sin x﹣x＜φ（0）＝0，所以＜1，所以m≥1，则（m﹣n）min＝m min﹣n max＝1﹣，③正确；令h（x）＝|sin x|，k表示点（x i，h（x i））与原点（0，0）连线的斜率，结合图象可知，当k∈[0，1]时，n的所有可能取值有0、1、2、3，④正确．综上，正确的命题序号是①③④．故选：C．二.填空题．（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）13．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1+2S5＝3S3，则{a n}的公比等于．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S1+2S5＝3S3，∴a1+2（a1+a2+……+a5）＝3（a1+a2+a3），化为：2（a5+a4）＝a3+a2，＝q2＝，∵{a n}的各项均为正数，∴q＞0，∴q＝．故答案为：．14．（5分）如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的a1，a2，…，a54为茎叶图中的学生成绩，则输出的S和n的值分别是86，13．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在54名学生的政治考试成绩中，S为大于等于80分的学生的平均成绩，计算得S＝86；n表示60分以下的学生人数，由茎叶图可知n＝13．故答案为：86，13．15．（5分）已知不等式组表示的区域为Ω，若存在点P（x0，y0）∈Ω，使得2kx0﹣2y0+k＝0，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）．【解答】解：作出可行域如图所示，联立，解得A（，），联立，解得B（1，1），由2kx0﹣2y0+k＝0，得，直线l：与区域有公共点，l过定点P（，0），PB的斜率等于，由图形可知实数k的范围为（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）．16．（5分）已知曲线C1：y＝lnx（0＜x＜1）的切线l与曲线C2：y＝x2相切于点（m，m2），某学习小组的三名同学甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线l只有一条；乙说：m的取值介于与之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有甲、乙．【解答】解：设直线l与曲线C1相切于（n，lnn），则直线l的方程为：y﹣lnn ＝（x﹣n），又直线l与C2：y＝x2相切于（m，m2），∴直线l的方程为：y﹣m2＝2m（x﹣m），∴，消去n得：ln（2m）+1＝m2（m＞1），令h（m）＝m2﹣ln（2m）﹣1＝m2﹣lnm﹣1﹣ln2，则h′（m）＝2m﹣＝＞0，∴h（m）单调递增，∵h（）＝1﹣ln（2）＜0，h（）＝2﹣ln（2）＞0，∴h（m）只有一个零点m0，故甲说法正确；又m0∈（，），所以乙说法正确．故答案为：甲、乙．三、解答题．（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．（12分）如图，在△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝120°，AB＝3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD＝1．（Ⅰ）求sin A；（Ⅱ）求△BCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB×BD×cos∠ABD＝9+1﹣2×3×1×＝7，所以AD＝；…3分由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝；…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cos A＝＝；…7分在△ABC中，sin C＝sin（120°+A）＝×﹣×＝；…8分在△BCD中，由正弦定理得＝，所以BC＝＝；…10分所以△BCD的面积为S＝×BD×BC×sin∠CBD＝×1××＝．…12分18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是CB，CD 的中点，点M在棱CC1上，CM＝tCC1（0＜t＜1）．（Ⅰ）三棱锥C﹣EFM，C1﹣B1D1M的体积分别为V1，V2，当t为何值时，V1•V2最大？最大值为多少？（Ⅱ）若A1C∥平面B1D1M，证明：平面EFM⊥平面B1D1M．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，CM＝2t，C1M＝2﹣2t，•CM＝＝，∴V1＝S△ECFV 2＝S•C1M＝（2﹣2t）＝（1﹣t），∴V1•V2＝≤•（）2＝．当且仅当t＝1﹣t，即t＝时等号成立．所以当t＝时，V1•V2最大，最大值为．（Ⅱ）连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，∵A1C∥平面B1D1M，平面A1CC1∩平面B1D1M＝OM，∴A1C∥OM，∴M为CC1的中点，连接BD，∵E，F为BC、CD的中点，∴EF∥BD，又AC⊥BD，∴AC⊥EF．∵AA1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴AA1⊥EF，又AA1∩AC＝A，∴EF⊥平面A1AC，又A1C⊂平面A1AC，∴EF⊥A1C．同理可得：EM⊥A1C，又EF∩EM＝E，∴A1C⊥平面EFM．又A1C∥平面B1D1M，∴平面EFM⊥平面B1D1M．19．（12分）某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5：3：2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元．经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难．现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x与y（万元）近似满足关系式y＝C 1，其中C1，C2为常数．（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）（k i﹣）2（y i﹣）2（x i﹣）（y i）（x i﹣）（k i）其中k i＝log2y i，＝k i（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线方程＝+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣②【解答】解：（Ⅰ）因为＝＝15所以：＝（﹣2）2+（﹣1）2+12+22＝10；关系式y＝C1，其中k i＝log2y i得：k＝log2C1，∴k＝log2C1+C2x，所以＝C1＝＝1.2∴log所以C1＝2﹣0.3＝0.8所以y＝当x＝18时，2018年人均可支配年收入y＝0.8×21.8＝2.8（万）（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%＝14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人2018年人均可支配收入比2017年增长所以2018年该市特别困难的中学生有2800×（1﹣10%）＝2520人，很困难的学生有4200×（1﹣20%）+2800×10%＝3640人一般困难的学生有7000×（1﹣30%）+4200×20%＝5740人所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000＝1624万．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长和焦距都等于2，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于﹣1的直线与椭圆C 交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．（Ⅰ）证明：直线BD的斜率为定值；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值，并求此时直线BD的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），2b ＝2c＝2，则a2＝b2+c2＝2，所以C的方程为…2分设D（x1，y1），B（x2，y2），则A（﹣x1，﹣y1），直线BD的斜率k＝，由，两式相减，＝﹣×，由直线k AB ＝＝﹣1，所以k ＝＝，∴直线BD 的斜率为定值； …5分（Ⅱ）因为A ，D 关于原点对称，所以S △ABD ＝2S △OBD ，由（Ⅰ）可知BD 的斜率k ＝，设BD 方程为y ＝x +t （﹣1＜t ＜且t ≠0），O 到BD 的距离d ＝＝…6分由，整理得：3x 2+4tx +4（t 2﹣1）＝0，所以x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝…7分所以S △ABD ＝2S △OBD ＝2××|BD |×d ＝×＝|t |×，＝|t |＝＝，＝≤×＝，…10分当且仅当2t 2＝3﹣2t 2，即t ＝﹣时等号成立，所以△ABD 面积的最大值为…11分此时直线BD 的方程为y ＝x ﹣，即x ﹣2y ﹣＝0，∴△ABD 面积的最大值，直线BD 的方程x ﹣2y ﹣＝0．…12分21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣ax +lnx ，其中a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数；（Ⅱ）若函数f （x ）有两个极值点m ，n ，其中m ＜n 且m是否存在整数k使得不等式f （n ）+k ＜f （m ）＜f （n ）+3k +5ln 2恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1） 【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣a+＝，令g（x）＝x2﹣ax+1，（x＞0），对称轴x＝，①≤0即a≤0时，g（x）在（0，+∞）递增，g（x）＞g（0）＝1，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，函数f（x）无极值；②＞0即a＞0时，g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）min＝g（）＝，当0＜a≤2时，g（x）＞0，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，函数f（x）无极值；a＞2时，g（）＜0，令g（x）＝0，解得：x＝，故f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，故函数f（x）2个极值点，综上，a≤2时，f（x）无极值点，a＞2时，f（x）2个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a＞2，m＝，n＝，故m（，1），令t＝m2，因为m∈（，1），所以t∈（，1），设g（t）＝﹣（t﹣）+lnt（t∈（，1））因为g′（t）＝﹣＜0，所以g（t）在（，1）上为减函数，所以g（1）＜g（t）＜g（），因为g（1）＜0，g（）＝﹣ln2，所以0＜g（t）＜﹣ln2，即0＜f（m）﹣f（n）＜﹣ln2，因为f（n）+k＜f（m）＜f（n）+3k+5ln2，所以k＜f（m）﹣f（n）＜3k﹣5ln2，所以，解得﹣2ln2≤k≤0，因为ln2≈0.7，所以﹣2ln2≈0.25﹣2×0.7＝﹣1.15，又因为k∈Z，所以k＝0或k＝﹣1，所以存在整数k＝0或k＝﹣1使得不等式f（n）+k＜f（m）＜f（n）+3k+5ln2恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（Ⅱ）C1与C2相交于不同两点A，B，线段AB中点为M，点N（0，﹣1），若|MN|＝2，求C1参数方程中sinα的值．【解答】解：（Ⅰ）由C2的极坐标方程，转化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．该曲线表示以（1，1）为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）将C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，整理得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+3＝0，t1和t2为A、B对应的参数，所以：t1+t2＝2cosα+4sinα，由于|MN|＝2，则：，整理得：cosα+2sinα＝2，所以：1﹣sin2α＝4（1﹣sinα）2，解得：sin，或sinα＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|；（Ⅰ）若2f（x﹣1）+f（2x﹣a）≥1对∀x∈R恒成立，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）函数g（x）＝3f（x）﹣f（x﹣t）（t≠0），若函数g（x）的图象与x轴围成的面积等于3，求实数t的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x|，可得2f（x﹣1）+f（2x﹣a）＝|2x﹣2|+|2x﹣a|≥|2x﹣2﹣2x+a|＝|a﹣2|，2f（x﹣1）+f（2x﹣a）≥1对∀x∈R恒成立，所以[2f（x﹣1）+f（2x﹣a）]min≥1，所以|a﹣2|≥1，解得a≥3或a≤1，因为a＞0，所以a的取值范围为0＜a≤1或a≥3；（Ⅱ）g（x）＝3f（x）﹣f（x﹣t）＝3|x|﹣|x﹣t|，由g（x）＝0得3|x|＝|x﹣t|，解得x1＝﹣，x2＝，因为g（0）＝﹣|t|＜0，g（t）＝3|t|＞0，所以g（x）的图象与x轴围成的图形为三角形，且落在x轴上的底边长为|x1﹣x2|＝|t|．高h＝|g（0）|＝|t|，所以面积S＝|x1﹣x2|•h＝t2＝3，所以t2＝8，所以t＝±2．。
山东省济南市届高三一模试题(数学理)
-1 -/ 11山东省济南市2018届高三年级第一次模拟考试数学试卷（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
共150分，测试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60 分）注意事项：1 •答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号，考试科目用上。
2 •每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集一1集合」==_■()A. _1B.C. _1D. 02•一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位cm）分布茎叶图如图，0 10 3 x 8 9记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为X,那么x 的值为() A. 5B. 6 C.7 D. 82B铅笔涂写在答题卡3•函数的图像为>1JL *r |U4.曲线C.A. B. D .-1!处的切线方程为5 .已知各项不为0的等差数列A. 2B. 4C. 86.已知复数A. B.为实数，则实数7.将函数A.C.&若椭圆A. B.-f °D,数列叵是等比数列，且D. 16m的值为D.的图象向左平移U个单位，所得图像的解读式是B.D.的离心率为I，则双曲线C.的渐近线方程为D. 可9.在如图所示的程序框图中，如果输入的A. 3B. 4 —，那么输出的i=C. 5D. 6rj^n/2 |«=3M+I]____r -------- --- ! ---------1=1+1-<>/输禹1t站束”第9题图10•已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为A. 16 二B. 8 JC. 4D. 2二11•设函数—定义在实数集上,A. B.C.12.已知椭圆的焦点为F1、D.F2，在长轴的直线交椭圆于P,A. B.，则有（）A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2点的概率为C. ID.第H 卷(非选择题，共90 分)15.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 对应的边分别为 a 、b 、c ,若丨c= ____ 。
山东省济南市2018届高考数学3月模拟考试文 精品推荐
山东省济南市2018届高三3月高考模拟考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分180分.考试时间180分钟.考试结束后将答题卡交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体体积公式：V=Sh ，其中S 为柱体底面的面积，h 为柱体的高.第Ⅰ卷(共60分)一、 选择题：本大题共18个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合U ={1,2，3，4，5，6，7},A ={1,2,4},B ={1,3,5}，则A ∩U B = A. {2,4,6} B. {1,3,5} C. {3,5} D. {2,4}2. 直线1l :kx -y -3=0和2l :x +(2k +3)y -2=0互相垂直，则k = A. -3 B. -2 C. -12或-1D.12或1 3. 复数55i 12i+的虚部是高考资源网A. -1B. 1C. iD. -i4. 若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是A. a b +<B. 1122a b > C. ln a ＞ln b D. 0.30.3a b < 5. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B 的值是 A. 5 B. 18 C. 23D. 476. 已知α为锐角，cos α=55，则tan π24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭= A. -3B. - 17C. -43D. -7 7. 若实数x ,y满足条件 ，目标函数z =x +y ,则A. z max =0B. z max =52C. z min =52D. z max =38. 若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所 示，则它的体积是ππ+3π9. 已知函数f (x )= ,若0x 是y =()f x 的 第8题图零点，且0＜t ＜0x ,则f(t)A. 恒小于0B. 恒大于0C. 等于0D. 不大于018. 设α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α内的两条不同直线，l 1,l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是A. m ∥1l 且n ∥2lB. m ∥β且n ∥2lC. m ∥β且n ∥βD. m ∥β且1l ∥α18. 设函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象如右图所示，则函数y =f (x ) ·g (x )的图象可能是 第18题图18. 下列命题：① 若函数2()23f x x x =-+,x ∈［-2,0］的最小值为2；② 线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+至少经过其样本数据点(1x ,1y ),(2x ,2y ),…,(n x ,n y )中的一个点；③ 命题p :∃x ∈R ，使得210x x ++<则⌝p :∀ x ∈R ,均有x 2+x +1≥0；④ 若x 1，x 2，…，x 18的平均数为a ，方差为b ，则x 1+5，x 2+5，…，x 18+5的平均数为a +5,方差为b +25.其中，错误．．命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3山东省济南市2018届高三3月高考模拟考试32x x -21log (0)3x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭（x ≤0）x +2y -5≤0 2x +y -4≤0x ≥0y ≥1第5题图π数学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 第Ⅱ卷共2页, 所有题目的答案考生须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.考试结束后将答题卡上交.2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效. 二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共18分.18. 在△ABC 中，sin 2C sin A sin B +sin 2B ，a b ，则角C = .18. 在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ﹡),且a 6-a 4=24,a 3a 5=64,则{a n }的前6项和是高考资源网.18. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .18. 观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+18=49 ……照此规律，第n 个等式为 .三、 解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分18分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5=35，a 5和a 7的等差中项为18. (Ⅰ) 求a n 及S n ； (Ⅱ) 令241n n b a =-(n ∈N ﹡)，求数列{b n }的前n 项和T n . 18. (本小题满分18分)已知向量m =(2cos ωx ，-1)，n =(sin ωx -cos ωx ，2)，函数f (x )= m ·n +3的周期为π.(Ⅰ) 求正数ω； (Ⅱ) 若函数f (x )的图像向左平移π8，倍，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )的单调增区间.19. (本小题满分18分)山东省《体育高考方案》于2018年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～180分数段的人数为2人. (Ⅰ) 请估计一下这组数据的平均数M ；(Ⅱ) 现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.20. (本小题满分18分)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC 的中点.且CC 1AC .(Ⅰ) 求证：CN //平面 AMB 1；(Ⅱ) 求证：B 1M ⊥平面AMG .21. (本小题满分18分) 第20题图济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研.据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0).现已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ,b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC =x (km).(Ⅰ) 试将y 表示为x 的函数；(Ⅱ) 若a =1时，y 在x =6处取得最小值，试求b 的值.22. (本小题满分18分)已知中心在原点O ，焦点F 1、F 2在x 轴上的椭圆E 经过点C (2, 2),且抛物线y 2= 的焦点为F 1. (Ⅰ) 求椭圆E 的方程；(Ⅱ) 垂直于OC 的直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求直线l 的方程和圆P 的方程.山东省济南市2018届高三3月高考模拟考试数学（文史类）参考答案一、 选择题1. D2. A3. B4. A5. C6. B7. D8. C9. B 18. A 18. A 18. D 二、 填空题 18.π618. n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2三、 解答题18. 解：(Ⅰ) 设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 5=5a 3=35，a 5+a 7=26，高考资源网第19题图所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,…………………………………………………………………2分解得a 1=3,d =2，…………………………………………………………………4分 所以a n =3+2(n -1)=2n +1；S n =3n +(1)2n n -×2=n 2+2n.………………………6分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知a n =2n +1，所以b n =241n a -= 1(1)n n +…………………………8分 =111n n -+，……………………………………………………………… 18分 所以T n = 11111111223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭….……18分 18. 解：（Ⅰ）f (x )=(2cos ωx ,-1)·(sin ωx -cos ωx ,2)+3……………………………………………1分=2cos ωx (sin ωx -cos ωx )+1………………………………………………………2分=2sin ωx cos ωx -2cos 2ωx +1 (3)分=sin2ωx -cos2ωx (4)分sin 24x πω⎛⎫-⎪⎝⎭.................................................................. 5分 ∵T =π,且ω>0，∴ω=1. (6)分（ Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f (xsin π24x ⎛⎫-⎪⎝⎭…………………………………… 7分 g (xsin ππ284x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2sin2x …………………………………9分∴2k π-π2≤2x ≤2k π+π2，k ∈Z ；……………………………………………18分 ∴k π- π4≤x ≤k π+ π4，k ∈Z ； (18)分 ∴函数g (x )的单调增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z.……………………18分 19. 解：（Ⅰ） 由频率分布直方图可知：50～60分的频率为0.1，60～70分的频率为0.25，70～80分的频率为0.45，80～90分的频率为0.18，90～180分的频率为0.18；…………………………………………………………………… 2分∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.18+95×0.18=73（分）…………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）∵90～180分数段的人数为2人，频率为0.18；∴参加测试的总人数为20.05=40人，…………………………………… 5分∴50～60分数段的人数为40×0.1=4人，………………………………… 6分设第一组50～60分数段的同学为A1,A2,A3,A4；第五组90～180分数段的同学为B1,B2…………………………………………………………………… 7分则从中选出两人的选法有：(A1，A2)，(A1，A3),(A1，A4),(A1，B1),(A1，B2),(A2，A3),(A2，A4),(A2，B1),(A2，B2),(A3，A4),(A3，B1),(A3，B2),(A4，B1),(A4，B2),(B1，B2)，共18种；………………………………………………………………………………………9分其中两人成绩差大于20的选法有：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8种 (18)分则选出的两人为“帮扶组”的概率为P=815……………………………… 18分20. 解：（Ⅰ）设AB1的中点为P，连结NP、MP……………… 1分∵CM 12AA1，NP12AA1，∴CM NP，…2分∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP……………3分∵CN⊄平面AMB1，MP⊂平面AMB1，∴CN∥平面AMB1……………………………………………4分（Ⅱ）∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1B1B⊥平面ABC，∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG.…………………………………………………………6分∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C，第20题图设：AC=2a,则CC1 a在Rt△MCA中，AM=…………………………… 8分同理，B1M a…………………………………………………………… 9分∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∴AB1==，∴AM 2+B 1M 2=21AB ，∴B 1M ⊥AM ，………………………………………18分又AG ∩AM =A ，∴B 1M ⊥平面AMG..………………………………………18分21. 解：（Ⅰ） 设点C 受A 污染源污染指数为ka x ，点C 受B 污染源污染指数为36kbx-，其中k 为比例系数，且k ＞0. ………………………………………………2分从而点C 处污染指数(036)36ka kb y x x x =+<<-………………………4分 （Ⅱ） 因为a =1，所以，36k kby x x=+-，……………………………………… 5分y ′=221(36)bk x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦，…………………………………………………7分 令y ′=0，得x =9分当x ∈⎛⎝时，函数单调递减；当x ∈⎫+∞⎪⎭时，函数单调递增.∴当x =18分又此时x =6，解得b =25，经验证符合题意.所以，污染源B 的污染强度b 的值为25…………………………………18分22. 解：（Ⅰ） 设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，…………………………… 1分则22441a b +=，①………………………………………………………… 2分∵抛物线2y =-的焦点为F 1∴c =②………………………………………………………………3分又a 2=b 2+c 2③由①、②、③得a 2=18，b 2=6……………………………………………… 5分所以椭圆E 的方程为221126x y +=………………………………………… 6分 （Ⅱ） 依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y =-x +m ，………… 7分代入椭圆E 方程，得3x 2-4mx +2m 2-18=0. ………………………………… 8分由Δ=18m 2-18(2m 2-18)=8(18-m 2)，得m 2＜18. ………………………………9分记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=43m，x 1x 2=22123m -………………18分圆P 的圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，半径12||r x x =-=…………………………1分 当圆P 与y 轴相切时，122x x r +=，则2x 1x 2=212()4x x +，即222(212)439m m -=，m 2=9＜18，m =±3………………………………18分 当m =3时，直线l 方程为y =-x +3，此时，x 1+x 2=4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x -2)2+(y -1)2=4；……………………………………………18分 同理，当m =-3时，直线l 方程为y =-x -3，圆P 的方程为(x +2)2+(y +1)2=4…………………………………………… 18 分。
2018高考数学文第一次模拟考试题济南市有答案
•
—三
、
解答题：共70分.解答应写出文字说明、怔明
过程或演算步骤第H7〜2i题为必考题，每个 试题考生都必须作答丨.|每12、23题为选考题，
考生根据要求作答.丨（
）必考题：共
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17.记□为数列的前
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山东省济南市2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题-有答案
高考模拟考试 理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数11212i i+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ） A ．2b ≥ B ．12b <≤ C ．1b ≤ D ．1b <3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．4x =，22s <B ．4x =，22s >C ．4x >，22s <D ．4x >，22s >4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．2213632x y += B ．22198x y += C ．22195x y +=D ．2211612x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．146.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．18B ．14 C ．316 D ．388.已知函数()sin()f x x ωϕ=+)x ωϕ+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为（ ）A ．13，21B ．34，55C ．21，13D ．55，34 10.设函数212()log (1)f x x =+112x++，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦11.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长1F M 与双曲线的右支相交于点N ，若13MN FM =，则此双曲线的离心率为（ ）A B ．53 C ．43D 12.设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与3a b -平行，则实数x 的值是．14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为．15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含4x 项的系数为．16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签： 原点处标数字0，记为0a ；点(1,0)处标数字1，记为1a ； 点(1,1)-处标数字0，记为2a ；点(0,1)-处标数字-1，记为3a ； 点(1,1)--处标数字-2，记为4a ；点(1,0)-处标数字-1，记为5a ； 点(1,1)-处标数字0，记为6a ；点(0,1)处标数字1，记为7a ； …以此类推，格点坐标为(,)i j 的点处所标的数字为i j +（i ，j 均为整数），记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则2018S =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若222b c a +=+，且ABC ∆，求a .18.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且6CD =，12AB =，将它沿对称轴1OO 折起，使平面1ADO O ⊥平面1BCO O .如图2，点P 为BC 中点，点E 在线段AB 上（不同于A ，B 两点），连接OE 并延长至点Q ，使//AQ OB .（1）证明：OD ⊥平面PAQ ；（2）若2BE AE =，求二面角C BQ A --的余弦值.19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表造有关；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合．．格品中的频率．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：24x y =，直线l 与抛物线1C 交于A ，B 两点.（1）若直线OA ，OB 的斜率之积为14-，证明：直线l 过定点； （2）若线段AB 的中点M 在曲线2C ：214(4y x x =--<<上，求AB 的最大值. 21.已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-()a R ∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x a +>.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l 的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.2018年济南市高考数学模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD 二、填空题13. 2 14. 315. -48 16. -249 三、解答题 17.【解析】 （1）根据正弦定理，由已知得：sin cos cos sin B A B A -2sin 2sin()C A B ==+， 展开得：sin cos cos sin B A B A -2(sin cos cos sin )B A B A =+， 整理得：sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-.（2）由已知得：222b c a +-=，∴222cos 2b c a A bc+-=22bc ==， 由0A π<<，得：6A π=，3tan A =，∴tan 3B = 由0B π<<，得：23B π=，所以6C π=，a c =，由12sin23S ac π=212a ==2a =. 18.【解析】（1）【解法一（几何法）】取1OO 的中点为F ，连接AF ，PF ；∴//PF OB ， ∵//AQ OB ，∴//PF AQ ，∴P 、F 、A 、Q 四点共面， 又由图1可知1OB OO ⊥， ∵平面1ADO O ⊥平面1BCO O ， 且平面1ADO O平面11BCO O OO =，∴OB ⊥平面1ADO O ， ∴PF ⊥平面1ADO O ， 又∵OD ⊂平面1ADO O ， ∴PF OD ⊥.在直角梯形1ADO O 中，1AO OO =，1OF O D =，1AOF OO D ∠=∠，∴1AOF OO D ∆≅∆，∴1FAO DOO ∠=∠，∴190FAO AOD DOO AOD ∠+∠=∠+∠=， ∴AF OD ⊥. ∵AFPF F =，且AF ⊂平面PAQ ，PF ⊂平面PAQ ，∴OD ⊥平面PAQ .（1）【解法二（向量法）】由题设知OA ，OB ，1OO 两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，则相关各点的坐标为(0,0,0)O ，(6,0,0)A ，(0,6,0)B ，(0,3,6)C ，(3,0,6)D ，(6,,0)Q m . ∵点P 为BC 中点，∴9(0,,3)2P ，∴(3,0,6)OD =，(0,,0)AQ m =，9(6,,3)2PQ m =--， ∵0OD AQ ⋅=，0OD PQ ⋅=，∴OD AQ ⊥，OD PQ ⊥，且AQ 与PQ 不共线， ∴OD ⊥平面PAQ .（2）∵2BE AE =，//AQ OB ，∴132AQ OB ==， 则(6,3,0)Q ，∴(6,3,0)QB =-，(0,3,6)BC =-. 设平面CBQ 的法向量为1(,,)n x y z =，∵1100n QB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴630360x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，则2y =，1x =，则1(1,2,1)n =，又显然，平面ABQ 的法向量为2(0,0,1)n =，设二面角C BQ A --的平面角为θ，由图可知，θ为锐角， 则12126cos 6n n n n θ⋅==⋅. 19.【解析】（1）根据图3和表1得到22⨯列联表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.210≈.∵12.210 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图3和表1可知，设备改造前产品为合格品的概率约为1724320050=，设备改造后产品为合格品的概率约为1922420025=；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优. （3）由表1知： 一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16. 由已知得：随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480.240P X =（）1116636=⨯=，300P X =（）12111369C =⨯⨯=，360P X =（）1211115263318C =⨯⨯+⨯=， 420P X =（）12111233C =⨯⨯=，480P X =（）111224=⨯=.∴随机变量X 的分布列为：∴240300369E X =⨯+⨯（）3604204804001834+⨯+⨯+⨯=. 20.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，得：2440x kx m --=， ()2160k m ∆=+>，124x x k +=，124x x m =-，1212OA OBy y k k x x ⋅⋅=⋅2212121144x xx x ⋅=⋅12164x x m⋅==-， 由已知：14OA OB k k⋅=-，所以1m =， ∴直线l 的方程为1y kx =+，所以直线l 过定点(0,1). （2）设()00,M x y ，则12022x x x k +==，2002y kxm k m =+=+， 将()00,Mx y 带入2C：214(4y x x =--<<得： 22124(2)4k m k +=-，∴243m k =-.∵0x -<，∴2k -<<，∴k <<又∵()216k m ∆=+22216(43)32(2)0k k k =+-=->，∴k <<，故k 的取值范围是：(k ∈.AB ==243m k =-代入得：AB =22≤=当且仅当2212k k +=-，即2k =±时取等号，所以AB 的最大值为. 21.【解析】 （1）【解法一】函数()f x 的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则'()f x + 0 - max 极大设()ln 1g x x x =+-，∵1'()10g x x=+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增. 又∵(1)0g =，∴1x <时，()0g x <；1x >时，()0g x >. 因此：（i ）当01a <≤时，max ()()0f x a g a =⋅≤，则()f x 无零点， 不符合题意，舍去.（ii ）当1a >时，max ()()0f x a g a =⋅>， ∵12()(1)f a e e =-2110e e --<，∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点， ∵(31)ln(31)f a a a -=-2(31)(21)(31)a a a --+--[ln(31)(31)]a a a =---， 设()ln h x x x =-，(1)x >，∵1'()10h x x=-<， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，则(31)(2)ln 220h a h -<=-<， ∴(31)(31)0f a a h a -=⋅-<，∴()f x 在区间(,31)a a -上有一个零点，那么，()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （1）【解法二】函数的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则max 极大∴要使函数()f x 有两个零点，则必有()(ln 1)0f a a a a =+->，即ln 10a a +->， 设()ln 1g a a a =+-，∵1'()10g a a=+>，则()g a 在(0,)+∞上单调递增， 又∵(1)0g =，∴1a >； 当1a >时： ∵12()(1)f a e e =-2110e e--<， ∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点； 设()ln h x x x =-， ∵11'()1xh x x x-=-=，∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)10h x h ≤=-<，∴ln x x <，∴2()ln (21)f x a x x a x =-+-22(21)3ax x a x ax x x ≤-+-=--23(3)ax x x a x ≤-=-， 则(4)0f a <，∴()f x 在区间(,4)a a 上有一个零点， 那么，此时()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （2）【证法一】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数； 当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数； 不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()(2)F x f x f a x =--，(0,2)x a ∈，则：'()'()'(2)F x f x f a x =--2(21)2a ax a x a x=-+-+-2(2)(21)a x a --+- 22()22(2)a a x a x a x x a x -=+-=--. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增，又∵()0F a =， ∴()0F x <，∴()(2)f x f a x <-， ∵1(0,)x a ∈，∴11()(2)f x f a x <-， ∵12()()f x f x =，∴21()(2)f x f a x <-，∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. （2）【证法二】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数； 当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数； 不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()()F x f a x f a x =+--，(0,)x a ∈， 则'()'()'()F x f a x f a x =++-2()(21)a aa x a a x a x=-++-++-2()(21)a x a --+- 222()()a a x a x a x a x a x =+-=+-+-. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增， 又∵(0)0F =，∴()0F x >，∴()()f a x f a x +>-， ∵1(0,)a x a -∈，∴12()()f x f x =11(())(())f a a x f a a x =--<+-1(2)f a x =-， ∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. 22.【解析】（1）由已知得：1122x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+-=， 即：l20y -+=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.（2）把直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩，∴11PM PN +1212PM PN t t PM PN t t ++==⋅⋅1212t t t t -==⋅3=. 23.【解析】（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-； 当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x φ∈； 当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥； 综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-， ∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-. 【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤， 当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，-∞-. 综上，实数a的取值范围为(,2]。
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5.若 sin A A．
7 2 ， A , ，则 sin A 的值为（ 4 10 4
B．
3 5
4 5
C．3 4 或 5 5D．3 4）x y 4 0 6.已知变量 x ， y 满足约束条件 2 x 2 ，若 z 2 x y ，则 z 的取值范围是（ y 1
2
） D． {3, 1,1,3}
2.若命题“ p 或 q ”与命题“非 p ”都是真命题，则（ A．命题 p 与命题 q 都是真命题 B．命题 p 与命题 q 都是假命题 C．命题 p 是真命题，命题 q 是假命题 D．命题 p 是假命题，命题 q 是真命题
ix
3.欧拉公式 e cos x i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数 函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非 常重要的地位.特别是当 x 时， e 1 0 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价
表 1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标 值 频数
[15, 20)
4
[20, 25)
A．①② 9.函数 y
B．①④
C．②③
D．②④
x 1 的图象大致为（ ex
）
A．
B．
C． ）
D．
10.执行如图所示的程序框图，当输入 i 2018 时，输出的结果为（
A．-1008
B．1009
C．3025
D．3028
11.已知双曲线 C ：
x2 y2 1 的两条渐近线是 l1 ，l2 ，点 M 是双曲线 C 上一点，若点 M 到 9 4
山东省济南市 2018 届高考第一次模拟考试数学（文）试题含答案
高考模拟考试 文科数学 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A {x | x 2 x 3 0} ， B {1,1} ，则 A B （ A． {1} B． {1,1,3} C． {3, 1,1} ）
i
它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， e 表示的复数在复平面中位于（ A．第一象限 4.下列曲线中离心率为 B．第二象限 C．第三象限 ）
4i
）
D．第四象限
2 2 的是（ 3
B．
A．
x2 y2 1 9 8
x2 y2 1 9
C．
x2 y2 1 9 8
）
D．
x2 y2 1 9
A． [5, 6) 7.将函数 f ( x ) cos 2 x （ ） B． [ 5, 6] C． (2,9)
D． [ 5,9]
的图象向左平移 个单位后得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 4 8
A．为奇函数，在 0, 增
上单调递减 4
3 , 0 对称 8
B．为偶函数，在
3 , 上单调递 8 8
C．周期为 ，图象关于点 称
D．最大值为 1，图象关于直线 x
对 2
8.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为 BD1 的中点，则 PAC 在该正方体各个面上的 正投影可能是（ ）
） B． (4, ) C． [5, ) D． (5, )
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知向量 a ， b 满足 b 5 ， 2a b 5 3 ， a b 5 2 ，则 a
．
14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳 定的那位运动员成绩的方差为 ．
15.在平面四边形 ABCD 中，A C 90 ，B 30 ，AB 3 3 ，BC 5 ， 则线段 BD
的长度为 ． 16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为 2，如果任意转动 该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为 ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.每 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.记 S n 为数列 {an } 的前 n 项和，已知 S n 2n 2 n ， n N * . （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）设 bn
1 ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an 1 1 AD ， 2
18.如图， 在四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 为等腰梯形，AD / / BC ，AB BC
E ， F 分别为线段 AD ， PB 的中点.
（1）证明： PD / / 平面 CEF ； （2）若 PE 平面 ABCD ， PE AB 2 ，求四面体 P DEF 的体积. 19. 2018 年 2 月 22 日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重 大工程动员大会， 会议动员各方力量， 迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召， 对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中 各抽取了 200 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 [20, 40) 内的产 品视为合格品，否则为不合格品.图 1 是设备改造前的样本的频率分布直方图，表 1 是设备改 造后的样本的频数分布表.
）
渐近线 l1 距离是 3，则点 M 到渐近线 l2 距离是（ A．
12 13
B．1
x
C．
36 13
D．3
12. 设 x1 ， x2 分别是函数 f ( x ) x a
和 g ( x ) x log a x 1 的零点（其中 a 1 ），则
x1 4 x2 的取值范围是（
A． [4, )