高中数学讲义微专题89 比赛与闯关问题
高中数学竞赛题目解析与解题技巧
高中数学竞赛题目解析与解题技巧引言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它的应用不仅限于解决实际问题，还包括在数学竞赛中展示才华。
高中数学竞赛是对学生数学能力的综合考验，不仅需要深厚的数学知识，还需要良好的解题技巧和思维能力。
本文将介绍高中数学竞赛题目的一些常见类型，并提供解题技巧，帮助读者更好地应对数学竞赛。
数列与序列等差数列等差数列是高中数学竞赛中经常出现的题型之一。
对于给定的等差数列，求解其中某一项或求解前n项和是常见的考点。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式来快速求解。
此外，还需要注意将等差数列问题转化为已知条件，利用已知条件推导出所求的未知量。
等比数列等比数列是另一个常见的数列类型。
与等差数列类似，求解等比数列的通项或前n项和也是考点之一。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式进行求解。
此外，还需要注意等比数列的特点，如首项、公比以及递推关系等，利用这些特点进行解题分析。
数列极限数列极限是高中数学竞赛中较为复杂和抽象的题目之一。
要求求解数列的极限值，需要运用极限的定义和性质进行分析。
解题技巧包括使用夹逼定理和数列收敛性的判定方法，以及灵活运用数列极限的性质，如极限运算法则、极限不等式和极限的唯一性等。
几何与三角形平面几何平面几何是高中数学竞赛中的一个重要部分。
常见的几何题目包括线段、角度、三角形、四边形和圆等。
解题技巧包括使用几何图形的性质和定理进行分析，灵活运用平行线、垂直线、相似三角形、角平分线和圆的性质等。
此外，还需要注意对等式和不等式进行推导和证明。
三角函数三角函数是高中数学竞赛中的另一个重要内容。
常见的三角函数题目包括求解三角方程、三角恒等式、三角函数图像和三角函数性质等。
解题技巧包括运用三角函数的定义和性质进行分析，灵活运用三角函数的周期性、奇偶性和对称性，以及运用三角函数的图像进行推导和求解。
三角形三角形是几何学的基本要素之一，也是高中数学竞赛中的重要内容。
常见的三角形题目包括求解三角形的面积、周长、角度和边长等。
【高考数学】高考数学常考问题-三十六大闯关（36关）
高考数学常考问题-大闯关（36关）目录高考数学常考问题-大闯关（36关） (1)目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 ...........................................................................错误！未定义书签。
第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (8)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (12)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (18)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (22)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (34)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (39)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (44)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (49)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (52)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (58)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (61)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (63)第15关：函数中易混问题—11对 (67)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (72)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (73)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (76)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (81)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (88)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (107)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (110)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (115)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (125)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (128)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (134)第27关：抽象函数问题—分类解析 (136)第28关：三次函数专题—全解全析 (139)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (149)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (158)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (158)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (162)第33关：函数零点问题—求解策略 (172)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (176)第35关：高考数学选择题—解题策略 (178)第36关：高考数学填空题—解题策略 (187)文档说明：本文档内容全部来源于网络，经过本人精心挑选，选取了一些高考常考问题以及高考中的重点、难点、热点问题进行汇编，整理成高考数学常考问题—大闯关(36关)！每一关的内容力求精小而内容充实实用，希望通过本文档可以对老师和学生们有所帮助，时间比较紧促，内容有不全不当之处或者出现错误，敬请指教！以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p 视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
高中数学讲义微专题89 比赛与闯关问题
微专题89 比赛与闯关问题一、基础知识： 1、常见的比赛规则（1）n 局m 胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m 次胜利即终止比赛。
所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m 胜。
例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为23，求甲以3:1获胜的概率：解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而33421323381P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为如果前三局连胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为3:1，则第四局甲获胜，前三局的比分为2:1，所以2232122433381P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）连胜制：规定某方连胜m 场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m 场连胜且之前没有达到m 场连胜。
例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止。
已知甲获胜的概率为34，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率 解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。
所以3132744256P ⎛⎫⎛⎫=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）比分差距制：规定某方比对方多m 分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。
此类问题要注意若达到第m 阶段，则意味着前()1m -个阶段均能通关 2、解答此类题目的技巧：（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。
例如：i A 表示“第i 局比赛胜利”，则i A 表示“第i 局比赛失败”。
（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用()()1P A P A =-解出所求事件概率。
在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率 二、典型例题：例1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响． （1）求该选手被淘汰的概率；（2）记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。
【优化方案】2021-2021学年高中数学 第8章8.2.6知能演练轻松闯关 湘教版选修2-3(1)
【优化方案】2021-2021学年高中数学 第8章知能演练轻松闯关 湘教版选修2-31.篮球运动员在竞赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为，那么罚球一次得分ξ的期望是( )A ．B ．C ．1D ．0解析：选B.因为P (ξ＝1)＝，P (ξ＝0)＝，因此E (ξ)＝1×＋0×＝.2.(2021·奉节检测)有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)等于( )D ．1解析：选A.ξ～H (10，3，2)，E (ξ)＝3×210＝35.3.(2021·渝北调研)随机抛掷一枚骰子，那么所得骰子点数X 的期望为( ) A ． B ．1 C ．D ．2解析：选C.抛掷骰子所得点数X 的散布列为X 1 2 3 4 5 6 p161616161616E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝.4.某各类子每粒发芽的概率都为，现播种了1000粒，关于没有发芽的种子，每粒需再补种1粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：∵种子发芽率为，不发芽率为，每粒种子发芽与否彼此独立，没有发芽的种子数即为补种的种子数， 则X ～B (1000，，∴E (X )＝1000×＝100. 答案：100 一、选择题1.假设X 的散布列为X 0 1p15a，则E (X )＝( )解析：选A.由题意知15＋a ＝1，则a ＝45，故E (X )＝0×15＋a ＝45.2.篮球运动员在竞赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是，那么他罚球6次的总得分的均值是( ) A ． B ．6 C ．D ．解析：选C.得分X ～B (6，，E (X )＝6×＝.3.已知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，η～B (n ，13)，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选(ξ)＝12n ＝15，∴n ＝30，∴η～B ⎝⎛⎭⎪⎫30，13，∴E (η)＝30×13＝10.4.(2021·涪陵调研)李教师搭车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗碰到红灯的事件是彼此独立的，且概率都是，那么他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( ) A ． B ． C ．D ．解析：选B.途中碰到红灯次数X 服从二项散布X ～B (3，，∴E (X )＝3×＝.5.某人进行一项实验，假设实验成功，那么停止实验，假设实验失败，再从头实验一次，假设实验3次均失败，那么舍弃实验，假设这人每次实验成功的概率为23，那么这人实验次数ξ的期望是( )解析：选B.实验次数ξ的可能取值为1，2，3. P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29，P (ξ＝3)＝13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13＝19.因此ξ的散布列为ξ 1 2 3 p232919因此E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.6.假设X 、Y 是离散型随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，那么有E (Y )＝aE (X )＋b .利用那个公式计算E (E (ξ)－ξ)＝( )A．0 B．1C．2 D．不确信解析：选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)＋E(－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.二、填空题7.(2020·高考上海卷)马教师从讲义上抄写一个随机变量ξ的概率散布列如下表：X123P(ξ＝x)？！？请小王同窗计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法看清，且两个“？”处笔迹模糊，但能判定这两个“？”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案E(ξ)＝________．解析：由散布列的性质可知2×？＋！＝1，E(ξ)＝？＋2×！＋3×？＝4×？＋2×！＝2(2×？＋！)＝2.答案：28.(2021·奉节质检)随机变量X的散布列为X135p则E(X)＝________．解析：由数学期望的概念得E(X)＝1×＋3×＋5×＝.答案：9.设离散型随机变量ξ可能的取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________．解析：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，①又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，即10a＋4b＝1，②由①②解得a＝110，b＝0，∴a＋b＝.10答案：10三、解答题10.某寻呼台共有客户3000人，假设寻呼台预备了100份小礼物，邀请客户在指按时刻来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台可否向每一位顾客都发出领奖邀请？假设能使每一名领奖人都取得礼物，寻呼台至少应预备多少份礼物？解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0，1，2，…，3000)，因此P(ξ＝k)＝C k3000·(1－3000－k，可见ξ～B(3000，，所以E(ξ)＝3000×＝120(人)>100(人)．因此不能向每一名顾客都发出领奖邀请，寻呼台至少应预备120份礼物，才能使每一名领奖人都取得礼物．11.某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全数命中奖励40元；命中4发不奖励，也没必要付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为.(1)求该游客在一次游戏中5发全数命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中取得奖金的均值.解：(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0，1，2，3，4，5)发，那么由题意知，P(ξ＝5)＝C55＝1 32 .(2)ξ的散布列为ξ012345p 13253210321032532132设游客在一次游戏中取得奖金为X元，故X的散布列为X －2 0 40 p2632532 132故该游客在一次游戏中取得奖金的均值为 E (X )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－(元)．12.(创新题)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包括的大体事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的散布列及其数学期望E (ξ)． 解：(1)(x －3)(x ＋2)≤0⇒－2≤x ≤3， 则m ，n ∈{－2，－1，0，1，2，3}，m ＋n ＝0有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝0， 因此A 包括的大体事件为：(1，－1)，(－1，1)，(2，－2)，(－2，2)，(0，0)． (2)m 的可能取值为－2，－1，0，1，2，3， 则m 2的可能取值为0，1，4，9，P (m 2＝0)＝P (m 2＝9)＝16， P (m 2＝1)＝P (m 2＝4)＝26＝13，因此ξ的散布列为ξ 0 1 4 9因此其数学期望为E (ξ)＝13＋43＋32＝53＋32＝196.。
微专题(五) 情境下的数列问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析
数学，不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，因此基于问题情境下的数列问题在高考中正逐步成为热点，通过具体的问题背景或新的定义，考查数列在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识．常用的解题思路是审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题，即一是理解题意，分清条件和结论，理清数量关系；二是把文字语言、新情景转化为熟悉的数学语言；三是构建相应的数学模型，利用已学的数列知识、解题的方法和技巧求解．类型一数学文化中的数列问题数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将传统文化与高中数学知识有机结合，有效考查阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力．解题时要对试题所提供的数学文化信息进行整理和分析，从中构建等差数列或等比数列模型．例1(1)(2023·湖南永州第一次高考适应性考试)如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为a n(n≤9，n∈N*)，已知a1＝1，a2＝1，按规则有a n＝a n－1＋2a n－2＋1(n≥3，n∈N*)，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为()A．4B．7C．16D．31答案B解析由题意，a1＝1，a2＝1，a n＝a n－1＋2a n－2＋1(n≥3，n∈N*)，解下第4个圆环，则n＝4，即a4＝a3＋2a2＋1，而a3＝a2＋2a1＋1＝1＋2＋1＝4，则a4＝4＋2＋1＝7.故选B.(2)(2024·湖北鄂州模拟)天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为()A ．己丑年B ．己酉年C ．丙寅年D ．甲寅年答案A解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．故选A.运用所学的等差数列、等比数列知识去求解古代著名的数学问题，解答时准确理解用古文语言给出的数学问题的含义是解答好本类试题的关键，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，既是基础又是有力保障．1．(2023·江西南昌莲塘第一中学高三二模)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{a n }的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记b n ＝(－1)n ·a n ，n ∈N *，则数列{b n }的前20项和是()A ．110B ．100C ．90D ．80答案A解析观察此数列可知，当n 为偶数时，a n ＝n 22，当n 为奇数时，a n ＝n 2－12，因为b n ＝(－1)n ·a nn 为奇数，，所以数列{b n }的前20项和为(0＋2)＋(－4＋8)＋(－12＋18)＋…＋－192－12＋2＋4＋6＋…＋20＝10×（2＋20）2＝110.故选A.类型二实际生活中的数列问题数列知识可以用来解决实际生活中较为普遍的很多问题，在解决一些关于利息计算、产值增长、银行存款等问题时常常会用到等比数列的相关知识．例2(1)某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入5万元(一年定期)，若年利率为2.5%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为(单位：万元．参考数据：1.0259≈1.25，1.02510≈1.28，1.02511≈1.31)()A ．51B ．57C ．6.4D ．6.55答案B解析由题意，2015年存的5万元共存了10年，本息和为5(1＋0.025)10万元，2016年存的5万元共存了9年，本息和为5(1＋0.025)9万元，…，2024年存的5万元共存了1年，本息和为5(1＋0.025)万元，所以到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为5(1＋0.025)10＋5(1＋0.025)9＋…＋5(1＋0.025)＝5×1.025×（1.02510－1）1.025－1≈5×1.025×（1.28－1）0.025＝57.4≈57万元．(2)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝()A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9答案D解析设OD 1＝DC 1＝CB 1＝BA 1＝1，则DD 1＝0.5，CC 1＝k 1，BB 1＝k 2，AA 1＝k 3，依题意，有k 3－0.2＝k 1，k 3－0.1＝k 2，且DD 1＋CC 1＋BB 1＋AA 1OD 1＋DC 1＋CB 1＋BA 1＝0.725，所以0.5＋3k 3－0.34＝0.725，故k 3＝0.9.故选D.(3)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1＝1＋1a 1，b 2＝1＋1a 1＋1a 2，b 3＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3，…，以此类推，其中a k ∈N *(k ＝1，2，…)，则()A ．b 1＜b 5B ．b 3＜b 8C ．b 6＜b 2D ．b 4＜b 7答案D解析解法一：当n 取奇数时，由已知b 1＝1＋1a 1，b 3＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3，因为1a 1>1a 1＋1a 2＋1a 3，所以b 1>b 3，同理可得b 3>b 5，b 5>b 7，…，于是可得b 1>b 3>b 5>b 7>…，故A 不正确．当n 取偶数时，由已知b 2＝1＋1a 1＋1a 2，b 4＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4，因为1a 2>1a 2＋1a 3＋1a 4，所以b 2<b 4，同理可得b 4<b 6，b 6<b 8，…，于是可得b 2<b 4<b 6<b 8<…，故C 不正确．因为1a 1>1a 1＋1a 2，所以b 1>b 2，同理可得b 3>b 4，b 5>b 6，b 7>b 8，又b 3>b 7，所以b 3>b 8，故B 不正确．故选D.解法二(取特殊值)：取a k ＝1，于是有b 1＝2，b 2＝32，b 3＝53，b 4＝85，b 5＝138，b 6＝2113，b 7＝3421，b 8＝5534.于是得b 1＞b 5，b 3＞b 8，b 6＞b 2.故选D.求解数列实际问题的注意事项(1)审题、抓住数量关系、建立数学模型，注意问题是求什么(n ，a n ，S n )．(2)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(3)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确．(4)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．2．(2024·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其年投入资金开始超过7000万元．(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)()A ．14B ．13C ．12D ．11答案C解析设该公司经过n 年投入的资金为a n 万元，则a 1＝2000×1.12，由题意可知，数列{a n }是以2000×1.12为首项，1.12为公比的等比数列，所以a n ＝2000×1.12n ，由a n ＝2000×1.12n >7000可得n >log 1.1272＝lg 7－lg 2lg 1.12≈11.1，因此该公司需经过12年其年投入资金开始超过7000万元．故选C.3．(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{a n }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1＝1，a 5＝12，a 9＝192，则a 7＝________；数列{a n }所有项的和为________．答案48384解析解法一：设前3项的公差为d ，后7项的公比为q (q >0)，则q 4＝a 9a 5＝19212＝16，且q >0，可得q ＝2，则a 3＝a5q 2＝3，即1＋2d ＝3，可得d ＝1，a 7＝a 3q 4＝48，a 1＋a 2＋…＋a 9＝1＋2＋3＋3×2＋…＋3×26＝3＋3×（1－27）1－2＝384.解法二：因为当3≤n ≤7时，{a n }为等比数列，则a 27＝a 5a 9＝12×192＝482，且a n >0，所以a 7＝48.又a 25＝a 3a 7，则a 3＝a 25a 7＝3.设后7项的公比为q (q >0)，则q 2＝a5a 3＝4，解得q ＝2，可得a 1＋a 2＋a 3＝3（a 1＋a 3）2＝6，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝a 3－a 9q 1－q ＝3－192×21－2＝381，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＝6＋381－a 3＝384.4．(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm ，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑nk ＝1S k ＝________dm 2.答案5解析对折3次可以得到52dm×12dm ，5dm×6dm ，10dm×3dm ，20dm×32dm ，共四种规格的图形，它们的面积之和为S 3＝4×30＝120dm 2.对折4次可以得到54dm×12dm ，52dm×6dm ，5dm×3dm ，10dm×32dm ，20dm×34dm ，共五种规格的图形，它们的面积之和为S 4＝5×15＝75dm 2.对折n 次有n ＋1种规格的图形，且S n ＝2402n (n ＋1)，因此∑nk ＝1S k ＝240·＋322＋….12∑n k ＝1S k ＝240·＋323＋…＋n 2n ＋，因此12∑n k ＝1S k ＝＋122＋123＋…＋12n －所以∑n k ＝1S k ＝dm 2.类型三数列中的新定义问题新定义主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于对新定义的透彻理解．若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延，也可用特殊值排除等方法．例3(1)(多选)(2023·广东佛山调研)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，…，则下列说法中正确的是()A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为3×297＋410C ．“提丢斯数列”的前31项和为3×23010＋12110D ．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项答案BCD解析对于A ，0.70.4≠10.7，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误；对于B ，设“提丢斯数列”为数列{a n }，当n ≥2时，a n ＝3×2n －2＋410，所以a 99＝3×297＋410，故B 正确；对于C ，“提丢斯数列”的前31项和为0.4＋310×(1＋21＋22＋…＋229)＋410×30＝3×23010＋12110，故C 正确；对于D ，由a n ＝3×2n －2＋410≤300，得n ≤11，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确．故选BCD.(2)(多选)(2024·雅礼中学月考)记〈x 〉表示与实数x 最接近的整数x ＝a ＋12，a ∈Z ，则取〈x 〉＝{a n }的通项公式为a n ＝1〈n 〉(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，设k ＝〈n 〉，则下列结论正确的是()A ．n ＝k －12B ．n <k ＋12C ．n ≥k 2－k ＋1D ．S 2024<90答案BCD解析由题意，〈x 〉表示与实数x 最接近的整数且k ＝〈n 〉，当n ＝1时，可得n ＝1，则k＝〈n 〉＝1，k －12＝12≠1，A 不正确；易得|n －〈n 〉|<12即|n －k |<12，所以－12<n －k <12，故n <k ＋12成立，B 正确；由B 项分析知k －12<n <k ＋12，易知k ≥1，故对k －12<n <k ＋12两边平方得k 2－k ＋14<n <k 2＋k ＋14，因为n ∈N *且k 2－k ＋14不是整数，且k 2－k ＋1是大于k 2－k＋14的最小整数，所以n ≥k 2－k ＋1成立，C 正确；当n ＝1，2时，〈n 〉＝1，此时a 1＝a 2＝1；当n ＝3，4，5，6时，〈n 〉＝2，此时a 3＝a 4＝a 5＝a 6＝12；当n ＝7，8，9，10，11，12时，〈n 〉＝3，此时a 7＝a 8＝…＝a 12＝13；当n ＝13，14，…，20时，〈n 〉＝4，此时a 13＝a 14＝…＝a 20＝14；…，所以数列{a n }中有2个1，4个12，6个13，8个14，…，又2，4，6，8，…构成首项为2，公差为2的等差数列{b n }，其前n 项和T n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，而2024＝44×(44＋1)＋44，所以S 2024＝1×2＋12×4＋13×6＋…＋144×88＋145×44＝2×44＋4445＝88＋4445<90，D 正确．故选BCD.数列新定义问题的解题策略策略一读懂定义，理解新定义数列的含义策略二特殊分析，比如先对n ＝1，2，3，…的情况进行讨论策略三通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案策略四联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解5．(多选)(2023·山东日照模拟)若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互质．对于正整数k ，φ(k )是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数φ(k )以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．例如：φ(2)＝1，φ(3)＝2，φ(6)＝2，φ(8)＝4.已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么φ(mn )＝φ(m )φ(n )，例如：φ(6)＝φ(2)φ(3)，则()A ．φ(5)＝φ(8)B ．数列{φ(2n )}是等比数列C ．数列{φ(6n )}不是递增数列D n 项和小于1825答案ABD解析φ(5)＝4，φ(8)＝4，∴φ(5)＝φ(8)，A 正确；∵2为质数，∴在不超过2n 的正整数中，所有偶数的个数为2n －1，∴φ(2n )＝2n －2n －1＝2n －1，为等比数列，B 正确；∵与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，3n －2，3n －1，共有(3－1)·3n －1＝2·3n －1个，∴φ(3n )＝2·3n－1，又φ(6n )＝φ(2n )φ(3n )＝2·6n －1，∴数列{φ(6n )}是递增数列，C 错误；φ(6n )＝2·6n －1，的前n 项和为S n ，则S n ＝12×60＋22×61＋…＋n 2×6n －1，16S n ＝12×61＋22×62＋…＋n2×6n ，两式相减得56S n ＝12×60＋12×61＋12×62＋…＋12×6n －1－n 2×6n ＝12×1－16－n 2×6n ＝35－35×6n －n 2×6n ，∴S n ＝1825－1825×6n －3n 5×6n ＜1825，∴n 项和小于1825，D 正确．故选ABD.。
基于“微专题”思路的高中数学教学
基于“微专题”思路的高中数学教学1. 引言1.1 微专题的概念微专题是一种针对特定主题或问题进行深入研究和探讨的教学方法。
在高中数学教学中，微专题可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高他们的解决问题能力和创新意识。
微专题教学注重培养学生的思维能力和创造力，让他们在探究过程中逐渐领悟数学的美妙和智慧。
通过微专题教学，学生可以主动参与到课堂教学中，积极思考和交流，从而更好地理解和掌握数学知识。
微专题教学还可以帮助学生培养团队合作精神和解决问题的能力，提升他们的综合素质和学习效果。
在当前高中数学教学中，微专题教学已经得到越来越多教师和学生的认可和推崇。
通过微专题教学，可以有效提高学生对数学的学习兴趣和积极性，激发他们对数学探究的热情和动力。
微专题教学在高中数学教学中具有重要的意义和价值，有助于培养学生的创新能力和解决问题能力，为他们的未来学习和发展打下坚实的基础。
1.2 高中数学教学现状高中数学教学现状可谓是多方面的，受到师资、教材、教学方法等诸多因素的影响。
一方面，由于高中数学知识体系庞大、难度较大，传统的教学方法往往是以教师为中心，注重知识传授和机械应用，导致学生在学习过程中缺乏足够的动力和兴趣，容易产生厌学情绪。
高中数学教学中存在着应试倾向较重、注重应试技巧而非思维能力培养的问题，导致学生在考试中只追求分数而忽视对数学本质的理解和掌握。
随着信息技术的快速发展，现代教学手段的更新也对高中数学教学提出了挑战。
传统的黑板教学方式已经不能满足学生的多元化学习需求，需要借助现代化的教学工具和方法来激发学生的学习兴趣和提高学习效果。
高中数学教学迫切需要一种新的教学模式来解决上述问题，促进学生的全面发展和提高数学学习的效果。
【引言结束】2. 正文2.1 微专题在高中数学教学中的应用微专题在高中数学教学中的应用是一种新颖而有效的教学方法。
通过将数学知识与实际问题相结合，可以激发学生学习的兴趣和动力。
微专题是一个小课题，以一个具体问题为中心，涉及多个数学知识点，可以跨学科进行探究。
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二) 高中数学竞赛讲义（十）──直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=,tanα=.6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。
且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。
高考数学总复习 第十一章 第1课时 算法与程序框图课时闯关(含解析) 新人教版
2013年高考数学总复习第十一章第1课时算法与程序框图课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则履行第3步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么履行这个算法的结果是( ) A．3 B．6C．2 D．m解析：选C.当a＝3，b＝6，c＝2时，根据算法设计，履行后，m＝a＝3<b＝6，c＝2<a＝3＝m，∴c＝2＝m，即输出m的值为2，故选C.2．下方的程序框图能判断任意输出的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是( )A．m＝0 B．m＝1C．x＝0 D．x＝1解析：选 B.由程序框图所表现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，就看这个数除以2的余数是1还是0.由图可知该当填“m＝1”．3. (2010·高考天津卷)浏览如图所示的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( )A．i<3B．i<4C．i<5D．i<6解析：选D.i＝1，s＝2；s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；s＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7.因输出s的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i<6”．4．在如图所示的算法流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x3，则h(2)的值为( )A．9 B．8C．6 D．4解析：选B.当x＝2时，f(x)＝4，g(x)＝8，此时f(x)<g(x)，因而h(x)＝g(x)＝g(2)＝8.5．(2012·盘锦质检)履行如图所示的程序框图，输出的A为( )A．2047 B．2049C．1023 D．1025解析：选A.即递推数列⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，n ≥2，n ∈N *，求a 11.∵a n ＋1＝2a n －1＋2＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，∴{a n ＋1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1＋1＝2.∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n .∴a 11＝211－1＝2047.二、填空题6．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如程序框图所示，则3⊗2＝________.解析：∵a ＝3，b ＝2,3>2，∴输出a ＋1b ＝3＋12＝2. 答案：27．(2010·高考上海卷) 2010年上海世博会园区每天9∶00开园，20∶00中止入园，在右侧的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的履行框内应填入________．解析：每个整点入园总人数S 等于前一个整点入园总人数加前1个小时内入园人数，即应填S ←S ＋a .答案：S ←S ＋a8．(2010·高考广东卷)某城市缺水成绩比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为x 1，…，x n (单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若n ＝2，且x 1，x 2分别为1,2，则输出的结果s 为________．解析：当i ＝1时，x 1＝1，履行i ≤2后，s 1＝1，s 2＝1，此时s ＝11(1－1)＝0.当i ＝2时，x 2＝2，履行i ≤2后，s 1＝1＋2＝3，s 2＝1＋22＝5，此时s ＝12(5－92)＝14. 答案：14三、解答题9．已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )、…若程序运转中输出的一个数组是(x ，－8)，求x 的值．解：开始n ＝1，x 1＝1，y 1＝0→n ＝3，x 2＝3，y 2＝－2→n ＝5，x 3＝9，y 3＝－4→n ＝7，x 4＝27，y 4＝－6→n ＝9，x 5＝81，y 5＝－8，则x ＝81.10．画出求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值的程序框图． 解：程序框图如图所示：11．(探求选做)某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费只需画出程序框图即可．解：依题意得，费用y 与人数n 之间的关系为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5 n ≤35＋1.2n －3 n >3.程序框图如图所示：科学睡眠 健康成长——在国旗下的发言各位尊敬的老师、各位亲爱的同学：大家上午好!我是来自预备二班的***。
基于“微专题”思路的高中数学教学
探索篇誗方法展示在高中数学的教学过程中，数学教师不能忽略数学逻辑性的重要性，在教授数学新知识时应该有意识地帮助高中生巩固学习过的数学知识，使学生了解到数学知识之间具有的逻辑性。
教师在教授数学的过程中强调数学的逻辑性的力度应该适当，过于重视会导致学生降低主动学习数学的积极性，并且也使学生对数学产生了厌恶感。
合理地应用“微专题”思路可以帮助高中数学教师让高中生了解到自己在学习数学中出现的知识漏洞，进而自己主动构建属于自己的认知结构，进而帮助他们高效地进行数学知识的吸收和巩固。
一、对“微专题”的理解1．“微专题”微而不小在“微专题”中主要分成两个重要的点，一个是微，另一个是专题，整体理解的意思是注重专题中微小的部分和细节。
合理地应用微专题可以帮助教师在教授数学的过程中更加准确地了解到学生在学习数学知识上的漏洞，从而进行更有针对性的教学，而学生通过微专题的教学方式也可以更加有效地建立自己的认知结构。
所以高中数学教师在应用微专题教学方式中应该设身处地地以学生的位置对认知结构进行教学，帮助学生主动建立自己的认知结构，增强学生学习数学的动力和积极性，从而提高学生学习数学的实效。
这个教学过程看似简单微小，实则复杂繁琐，微而不小。
高中数学教师在教学的过程中应该具有耐心，实现以微专题为教学思想的教学方式。
2．“微专题”强调生本以微专题为教学思路的数学教学方式最根本的目的就是帮助学生建立自己对数学的认知结构，从而帮助学生提高数学逻辑能力，所以在高中数学教学过程中教师一定要重视学生的主体地位。
在微专题强调生本的概念就是注重高中生对数学的认知结构的建立，在实际教授数学知识的过程中，让学生真切地感受到自己在数学认知上的错误以及漏洞，帮助学生对这些错误和漏洞进行修改和填补，进而帮助高中生建立正确的属于自己的认知结构，使得学生在学习数学新知识或者进行复习的时候能够将知识进行逻辑上的连贯，达到更高效地学习数学的教学目的。
二、确定有价值的主题以微专题为思路的数学教学方法最重要的一点就是教师在教学过程中需要确定有价值的主题。
浅议“微专题”在高三数学复习课的整合运用
浅议“微专题”在高三数学复习课的整合运用发布时间：2021-05-20T14:11:59.907Z 来源：《中国教工》2020年第20期作者：肖晓燕[导读] 微专题”在高三数学复习课的整合运用，肖晓燕(广州市真光中学广东省广州市 510380）摘要：“微专题”在高三数学复习课的整合运用，结合学生实际情况，设计切口小、目的明确、针对性强、效率高的微型复习专题，有助于突破复习资料的局限性，争取在复习过程中解决学习上的种种难题，梳理知识要点，查缺补漏，强化复习效果。
关键词：高三数学；复习课；微专题高三阶段数学教育活动以“复习”为主旋律，回顾复习知识点，启发学生数学思维与自主学习能力，强化数学核心素养。
反思传统的高三数学复习活动，以梳理知识点、运用数学思想方法的大专题复习为主，虽然能够系统性地整合知识，并且运用多样复习方法，但是话题覆盖面广、时间点零散，导致复习过程缺乏深度与精准度，影响了整体复习效果。
因此结合高三数学复习课的任务目标，笔者采用了“微专题”复习策略，不仅帮助学生把握数学知识，而且锻炼数学思想、运用数学方法，夯实数学核心素养。
一、“微专题”的运用内涵分析高三数学复习涉及的内容多、知识点零散，如果按照教材的内容安排按部就班的复习过程，不利于建立知识体系。
因此结合高中生的认知水平以及高三数学复习的基本要求，整合“函数与方程”、“函数与导数”、“数列综合题”、“三角与向量”、“几何定值问题”等相关内容，设计“微专题”复习活动非常必要。
高三复习的教学设计要服务于学生的实际需要，通过系统性的复习补齐短板，既要强化应试能力，也要渗透学科核心素养。
那么为了提高复习的有效性，教师要明确学生需要什么、复习什么，怎样复习，而设计“微专题”的实质就是明确复习的方向，整合复习的内容，以新角度、小切口、强针对性的特征，充分考虑学情与考情，逐一突破复习要点，深入而又透彻地剖析数学问题，帮助学生夯实基础知识、提升数学思维、强化问题解决能力，这也正是新高考的落脚点。
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微专题89 比赛与闯关问题一、基础知识： 1、常见的比赛规则（1）n 局m 胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m 次胜利即终止比赛。
所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m 胜。
例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为23，求甲以3:1获胜的概率：解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而33421323381P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为如果前三局连胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为3:1，则第四局甲获胜，前三局的比分为2:1，所以2232122433381P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）连胜制：规定某方连胜m 场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m 场连胜且之前没有达到m 场连胜。
例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止。
已知甲获胜的概率为34，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率 解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。
所以3132744256P ⎛⎫⎛⎫=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）比分差距制：规定某方比对方多m 分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。
此类问题要注意若达到第m 阶段，则意味着前()1m -个阶段均能通关 2、解答此类题目的技巧：（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。
例如：i A 表示“第i 局比赛胜利”，则i A 表示“第i 局比赛失败”。
（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用()()1P A P A =-解出所求事件概率。
在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率 二、典型例题：例1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响． （1）求该选手被淘汰的概率；（2）记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。
但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解设i A 为“选手正确回答第i 轮问题”，事件A 为“选手被淘汰”()()()123432101111555125P A P A P A A A ∴=-=-=-⋅⋅=（2）思路：ξ可取的值为1,2,3，可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以1ξ=时，则第一题答错；2ξ=时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题）；3ξ=时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率即可解：ξ可取的值为1,2,3()115P ξ==()42825525P ξ==⨯= ()431235525P ξ==⨯=ξ∴的分布列为1235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=例2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为51，甲队获得第一名的概率为61，乙队获得第一名的概率为151． （1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率21,P P ；（2）设在该次比赛中，甲队得分为X ，求X 的分布列及期望．（1）思路：解决21,P P 要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。
若甲队第一名，则甲战胜乙且战胜丙，即1216PP =；若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即()1111515P -⋅=，两个方程即可解出1221,34P P == 解：设事件A 为“甲队获第一名”，则()1216P A PP == 设事件B 为“乙队获第一名”，则()()1111515P B P =-⋅= ∴解得：1221,34P P == （2）思路：依题意可知X 可取的值为0,3,6，0X =即两战全负；3X =即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；6X =即两战全胜；分别求出概率即可。
X 可取的值为0,3,6()()()1210114P X P P ∴==--=()()()1212731112P X P P P P ==-+-= ()12166P X PP ===X ∴的分布列为03641264EX ∴=⨯+⨯+⨯=例3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为53，但由于体力原因，第7场获胜的概率为52． （1）求甲队分别以2:4，3:4获胜的概率；（2）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．（1）思路：前四场比赛甲乙比分为3:1，根据7场4胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束，所以要想获得2:4，3:4，必须在甲赢一场之前，乙获得比分。
所以若比分为2:4，则第5场乙胜，第6场甲胜；若比分为3:4，则第5,6场均乙胜，第7场甲胜，用概率的乘法即可求出两个比分的概率解：设事件i A 为“甲队在第i 场获胜”，则()()()56732,55P A P A P A === 设事件A 为“甲队4：2获胜”，事件B 为“甲队4：3获胜”()()562365525P A P A A ∴==⋅= ()()5672228555125P B P A A A ==⋅⋅=（2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以X 可取的值为5,6,7，若5X =，则甲4:1获胜，即胜第五场；若6X =则甲4:2获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若7X =，则只需前六场打成3:3即可，所以只需乙连赢两场。
分别计算概率即可得到分布列和期望 比赛场数X 可取的值为5,6,7()()5355P X P A ∴=== ()()566625P X P A A ===()()5622475525P X P A A ===⋅=X ∴的分布列为5675252525EX ∴=⨯+⨯+⨯=例4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是31，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。
棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。
设结束时对弈的总局数为X ． （1）设事件A ：“3X =且甲获得冠军”，求A 的概率； （2）求X 的分布列和数学期望。
（1）思路：事件A 代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）。
按照这几种情况找到对应概率相乘即可 解：设事件i A 为“甲在第i 局取胜”，事件j B 为“第j 局和棋”， 事件k C 为“乙在第k 局取胜”()()()()()123123123123P A P A A A P A A A P B B B P B B B ∴=+++121211121211833333333333327=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，故X 可取的值为2,3,4；在这些值中2,4X X ==包含情况较少，2X =即为相同的结果出现两次，以甲为研究对象，则情况分为“两胜”，“两负”，“两和”三种情况。
4X =即为前三场“胜负和”均经历一次，所以概率()33111243339P X A ==⋅⋅⋅=。
对于3X =的情况，由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用()()124P X P X -=-=进行计算X 可取的值为2,3,4()()()()121212111111123333333P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯=()33111243339P X A ==⋅⋅⋅=()()()431249P X P X P X ==-=-==X ∴的分布列为2343999EX ∴=⨯+⨯+⨯=小炼有话说：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可例5：某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是23，后两关每关通过的概率都是12（1）求该人获得奖金的概率（2）设该人通过的关数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望（1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次通过。
分别计算概率再相加即可 解：设事件i A 为“第i 关通过”，事件A 为“获得奖金”()()()()12345123445123455P A P A A A A A P A A A A A A P A A A A A A ∴=++323321211121114323222322227⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）思路：依题意可知X 的取值为0,1,2,3,4,5，其中前三关失败即结束，所以0X =为第一关失利； 1X =为第一关通过且第二关失利；2X =为第二关通过且第三关失利；3X =为第三关通过且第四关失利两次；4X =为第四关通过且第五关失利两次；5X =为五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于4X =情况较为复杂，所以考虑利用()()()()()101235P X P X P X P X P X -=+=+=+=+=⎡⎤⎣⎦进行处理X 的取值为0,1,2,3,4,5()()1103P X P A ∴=== ()()122121339P X P A A ===⋅=()()1232214233327P X P A A A ===⋅⋅=()()321234421233227P X P A A A A A ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()4527P X P A ===()()()()()()2410123527P X P X P X P X P X P X ∴==-=+=+=+=+==⎡⎤⎣⎦ X ∴的分布列为：01234539272727279EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=例6:：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。