数学思想方法专题三(参数法、反证法)
初中数学思想方法举例
初中数学思想方法举例数学思想方法是指在解决数学问题时所采用的思维方式和方法。
以下是初中阶段常见的数学思想方法的举例：1.抽象思维方法：根据具体问题提取出关键信息，将问题进行抽象，转化为数学语言。
例如，在解决几何题时，可以将实际图形抽象成坐标系中的几何图形，通过数学方法求解。
2.归纳思维方法：通过观察问题的特征规律，从具体情况中总结并推广出一般性的结论。
例如，在解决数列问题时，可以通过观察数列的前几项，推断出数列的通项公式。
3.反证法：假设问题的逆否命题成立，通过推理论证能推出矛盾的结论，从而得出问题的真正解答。
例如，在证明一个数是质数时，可以假设该数是合数，通过反证法排除其他可能性，证明该数是质数。
4.分类讨论法：将问题按照不同情况分类进行详细讨论，找出每种情况的解决方法，并通过分析问题的条件进行选择。
例如，在解决“甲，乙，丙三个人一起干活，甲乙两人干活是的速度比丙高1/3”的问题时，可以将丙的速度设为1，讨论其他情况下的解法。
5.数学建模：将实际问题转化为数学问题，并利用数学知识进行建模和求解。
例如，在解决一些城市出租车调度问题时，可以将车辆和乘客抽象为数学模型，并利用最优化算法来计算最佳的调度方案。
6. 迭代逼近法：通过不断逼近数值的方法来求解方程或函数的解，直至满足预设条件。
例如，在求解方程x^2 = 2的正根时，可以通过迭代公式xn+1 = (xn + 2/xn)/2来不断逼近根的值。
7. 反函数法：通过求解问题的反函数，可以将原问题转化为已知的问题求解。
例如，在解决函数y = ax + b的问题时，可以考虑函数的反函数来转化为已知的问题。
8.数量关系方法：通过数学关系式或图形关系来求解问题。
例如，在解决平行线与交叉线之间的角度关系时，可以利用平行线之间的对应角相等的性质来求解。
9.图形变换方法：通过对图形进行平移、旋转、翻折等变换操作，观察变换后图形的性质和关系，并利用这些性质求解问题。
常用数学思想归类总结
常用数学思想归类总结数学作为一门学科，涵盖了广泛的思想和方法。
在数学的发展过程中，数学家们提出了许多重要的思想，这些思想成为解决问题、推理和证明的基础。
在本文中，我将归纳总结一些常用的数学思想，并解释它们的应用以及重要性。
一、归纳法归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
它通过证明基本情况成立，并假设对于某个自然数 n 成立，然后利用这个假设证明n+1 也成立。
归纳法不仅常用于证明自然数之间的关系，也可以用来证明其他一些性质和推断。
例如，我们可以使用归纳法来证明等差数列的求和公式或者斐波那契数列的性质。
二、反证法反证法是一种独特的证明方法，它假设待证明的命题为假，然后通过推导出矛盾的结论来得出结论为真的结论。
反证法常用于证明一些命题的唯一性或者存在性。
例如，我们可以使用反证法来证明无理数的存在性，即假设不存在无理数，然后通过推导出矛盾的结论来证明无理数的存在。
三、递归思想递归思想是一种将一个问题分解为一个或多个相同类型的子问题，并通过解决子问题来解决整个问题的思想。
递归思想在数学中的应用非常广泛，它常被用于定义数列、集合和函数等。
例如，斐波那契数列的定义就是一个递归定义，即前两项之和等于下一项。
递归思想也常用于解决组合数学和图论等领域的问题。
四、对称性对称性是指对象在某种变换下保持不变的性质。
在数学中，对称性经常被用于简化问题的求解过程。
例如，对称关系可以帮助我们推导出解方程的一些性质，对称图形可以帮助我们简化图形的分析过程。
对称性在代数、几何和数论等领域都有广泛的应用。
五、等价关系等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系。
在数学中，等价关系可以帮助我们将一些对象划分为不同的等价类，从而简化分析和求解问题的过程。
等价关系常用于集合、模运算和拓扑等领域的问题。
例如，同余关系在模运算中起着重要的作用，它将整数划分为不同的同余类。
六、极限思想极限思想是一种将无穷过程视为有限过程的思维方式。
在数学中，极限思想经常被用于定义和研究一些重要的概念，例如极限、连续性和导数等。
2.2.2 反证法(实际教学使用)
例7. 则
例8. 证明：
不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。
小 结：
1. 反证法： 从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题
成立，这样的证明方法叫反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤如下： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
2.2.2 反证法
知识回顾：
综合法是从条件→结论的推理方法，
分析法是从结论→条件的推理方法，二
者都是直接证明的方法.当某些数学命题
难以直接证明时，我们可以采用一种间
接证明的方法
反证法.
一般地，假设原命题不成立（即在原命题 的条件下，结论不成立），经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
3.反证法证明命题的程序： 否定——推理——矛盾——肯定
说明：反证法的适用范围 （1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少； （2）命题的结论以否定形式出现时； （3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时； （4）命题的结论以“唯一”的形式出现； （5）命题的结论以“无限”的形式出现时； （6）关于存在性命题 .
例2. 求证：2 , 3 , 5 不可能成等差数列. 证明：假设 2 , 3 , 5 成等差数列,
则 2 3 2 5.
(2 3)2 ( 2 5)2 ,
即 5 2 10, 即 25 40, 这是不可能的. 所以假设不成立， 故原命题成立．
例3.
证明：假设
例4.
例5. 设 f(x)=x2+ax+b，求证：| f(1)|, | f(2)|, | f(3)|中至少有
初中数学竞赛常用思想方法技巧
初中数学竞赛常用思想方法技巧数学竞赛是初中阶段培养数学思维和解题能力的重要途径之一。
为了在数学竞赛中取得好成绩，掌握一些常用的思想方法和技巧是非常关键的。
本文将介绍一些初中数学竞赛常用的思想方法和技巧。
一、思想方法1. 比较思维法比较思维法是指通过比较两个数或两个式子的大小来解决问题。
在解决一些大小关系、近似计算和估算问题时特别有用。
比如在解决近似计算问题时，我们可以通过比较两个数的大小来精确到某个程度，从而得出近似结果。
2. 反证法反证法是一种常用的证明方法，在解决一些证明问题时尤其有效。
该方法通过假设反面，然后推导出矛盾的情况来证明命题的正确性。
在解答一些证明类问题时，可以尝试运用反证法来简化证明的过程，提高解题的效率。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种常见的证明方法，它通常用来证明与自然数有关的命题。
数学归纳法的基本思想是：先证明当n=1时命题成立，再假设当n=k时命题成立，最后通过这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
在解决一些关于数列、方程和不等式的问题时，可以尝试运用数学归纳法来简化证明的过程。
4. 分析思维法分析思维法是一种细致分解问题的思维方式，通过将复杂的问题分解成若干个简单的子问题来解决。
在解答一些复杂的数学问题时，可以使用分析思维法将问题进行分解，进而逐步解决每个子问题，最终得出整个问题的解答。
二、技巧1. 抓住关键条件在解答数学竞赛题目时，要仔细阅读题目，并注意抓住关键条件。
关键条件通常是解决问题的关键所在，正确理解和使用关键条件可以帮助我们缩小问题的范围，更快地找到解题思路。
2. 设变量法设变量法是解决代数问题中常用的技巧，通过引入一个合适的变量来表示问题中的未知量，从而将问题转化为代数方程或不等式的求解。
在解答一些与代数运算相关的问题时，可以尝试运用设变量法来简化解题过程。
3. 利用图形和图表有些数学问题涉及到图形和图表的分析，利用图形和图表可以更直观地理解和解决问题。
高一数学解题思想方法(常用)
高中数学解题思想方法高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32b ）2； a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] 例题1： 函数y ＝)352(log 221++-x x 的单调递增区间是（ ）.A. （－∞,45] B. [45,+∞) C. (－21,45] D. [45,3) 二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
反证法是什么意思,最强数学思维武器解析
反证法是什么意思，最强数学思维武器解析逻辑学有四个基本规律，即:同一律、排中律、充分理由律和不矛盾律。
今天介绍排中律。
排中律是指在一个思维过程中，两个矛盾的想法不能同时为假，其中一个必须是正确的。
排中律的意义在于反证法的推导。
牛顿说，“反证法是数学家最精当的武器之一”。
当很难对一个命题进行正面论证时，我们可以换一个思维角度。
只要与原命题相矛盾的命题被证明为假，原命题就可以被反证为真。
基本步骤如下:首先假设结论的反面为真，然后通过正确的逻辑推理得出与已知条件或已有定理、公理相矛盾的结论，从而证明原结论的正确性。
最典型的案例是伽利略对于“两个铁球同时落地”的论证：假设两个铁球，一轻一重，重球先落地。
那么，由于原来两个球的速度不一样，把两个铁球绑在一起后，速度会比重球慢一些，比轻球快一些。
这显然与“重球先落地”相矛盾。
从这个例子可以看出，即使我们没有足够的物理知识，仅仅依靠逻辑思维也可以得出一些重要的定理。
所以我们说排中律是最强的思维武器。
按照全国高考模式，孩子仅通过简单的逻辑分析，在数学、物理、英语考试中，每门课多得三到五分应该不难。
家长们可以拿“两个铁球同时落地”为例，让孩子体会反证法。
一般来说，正的直接证明比较困难，情况较多或复杂，命题的否定比较简单，经常使用归谬法。
应用技巧：根据命题中的“关键词”来找结论的反面。
见到这样的关键词，就可以尝试反证法，常用关联词如下：（1）“等于” vs “不等于”（2）“大于” vs “不大于”（3）“小于” vs “不小于”（4）“是” vs “不是”（5）“都是” vs “不都是”（6）“至少一个” vs “一个也没有”（7）“至多m个” vs “至少（m+1）个”。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～以下是几个例题，后面的可能稍有难度，一时看不懂不要紧，可以先关注，待孩子稍大了再跟孩子慢慢交流：例1:给6个同学13个苹果，那么至少有一个同学有2个以上的苹果。
数学中的思维方法
数学中的思维方法
在数学中，有许多不同的思维方法可以用来解决问题。
以下是一些常见的数学思维方法：
1. 归纳法：通过找出模式或规律，从特例中得出一般性结论。
这个方法常用于证明数列或公式的递推关系。
2. 反证法：假设逆命题为真，然后通过逻辑推理来推断原命题的真假。
这个方法通常用于证明某个命题的否定。
3. 直接证明法：通过列出一系列逻辑推理的步骤，以证明某个命题的真实性。
4. 递归法：通过将问题分解为更小规模的子问题，并使用与原始问题相同的方法来解决子问题。
这个方法常用于解决数列、组合和图论等问题。
5. 反证法：通过假设该命题不成立，再推出一个与已知条件矛盾的结论，从而推断该命题成立。
这个方法常用于证明某个命题的真实性。
6. 构造法：通过建立具体的例子或模型来解决问题。
这个方法通常用于证明存在性或构建特定的解。
7. 分类与归纳法：通过将问题分类并归纳到更一般的情况，然后证明每个类别
中的命题成立，以证明整个命题的真实性。
这些数学思维方法可以根据具体的问题和情况进行灵活应用。
通过运用这些思维方法，可以帮助发现问题的本质和解决问题的有效策略。
初中数学反证法
初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。
它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。
反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。
这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。
为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。
假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。
如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。
同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。
所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。
再比如，证明“根号 2 是无理数”。
如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。
不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。
但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。
所以，假设不成立，根号 2 是无理数。
反证法的应用范围非常广泛。
在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。
比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。
假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在代数中，反证法也有很多用武之地。
例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。
初中数学思维能力训练的方法
初中数学思维能力训练的方法初中数学思维能力训练的方法难不难有哪些方法？这些问题相信是许多家长和学生所重视的，那么下面是店铺为大家带来的关于初中数学思维能力训练的方法的内容，希望你们喜欢。
提高思维能力的小办法一、尊重学生的个性，努力创建积极思维的氛围爱因斯坦说过，一个缺乏独立思考习惯、没有个性化人格所组成的社会是难以想象的。
因此，教师要培养学生的思维能力，就必须要尊重学生个性，关注每一个学生，平等对待每一个学生，对自己的学生充满信心和爱心，用一颗诚挚的心去感动他们，用鼓励的语言去激励他们，让他们充满自信。
引导学生在心理上、思想上战胜自我，调整自我，超越自我，与学生建立民主、平等、和谐的师生关系，为学生主体人格的体现、鲜明创新个性的张扬提供一个有利的、宽松的环境。
努力创建积极思维的教学氛围，课上要耐心倾听学生的发言，思考并接受每个学生做数学的不同想法。
学生说对了，要肯定;说得有创见，要大力表扬。
即使说错了，也要满腔热情地帮助，启发学生找出错因，纠正错误。
二、努力创设情境，调动学生内在的思维能力教育学家乌申斯基说：“没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。
”要培养学生的思维能力，首先要让学生具有积极探索的态度，猜想、发现的欲望;激发学生的思维兴趣，通过丰富的想象和积极的思维，产生愉快的情绪体验。
所以数学教师要精心设计每节课，使每节课形象、生动，给学生创设思维的情境和条件，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望。
采用多种方法，从多种途径着手，给学生留有足够的思维空间和时间，让学生去讨论、去研究，鼓励学生质疑问难，营造轻松愉快、生动活泼的教学氛围。
用自己的满腔热情激励学生，使学生的思维经常处于兴奋状态，让学生通过观察、动手操作、进行合理的猜测和推理，从而得出结论;思考并接受每个学生做数学的不同想法;教师在教学中要出示恰如其分的问题，让学生“跳一跳，就摘到桃子”。
在不断地体验到成功的快乐中得到发展，最大限度地调动学生内在的思维能力。
数学思想与方法整理全网最全资料
数学思想与方法整理全网最全资料数学思想与方法是指在解决数学问题时所采用的思维方式和解题技巧。
数学思想与方法是数学教育的核心内容，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
下面将对数学思想与方法进行整理，并提供一些相关的资料。
一、数学思想1.抽象思维：数学是对真实事物进行抽象和理论化的学科，抽象思维是数学思维的基础。
通过抽象，我们可以将具体问题转化为更一般化的概念和模型，从而更好地理解和解决问题。
2.归纳与演绎：归纳与演绎是数学推理的两种基本思维方式。
归纳是从具体的事实和实例中总结出一般性规律；演绎则是由一般性规律通过逻辑推理得出特殊性结论。
3.质疑和探究：数学思想强调质疑和探究的精神，发现问题、提出问题，并通过探究解决问题。
质疑和探究的过程可以培养学生的求知欲和创新精神。
二、数学方法1.反证法：反证法是数学证明中常用的方法，通过假设反面得出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
2.递归法：递归是一种重复的思维方式，通过将一个问题拆分为更小的同类问题来解决。
递归思维可以大大简化复杂问题的求解过程。
3.迭代法：迭代法是一种逐步逼近的解题方法，通过不断逼近真实解来得到近似解。
迭代法常用于求解方程、数值计算等问题。
4.数学建模方法：数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解的方法。
数学建模方法包括问题分析、建立模型、求解模型和验证模型等步骤。
5.统计方法：统计方法是通过对数据的收集、整理、分析和推断来研究事物规律的方法。
统计方法广泛应用于概率论、数理统计、调查与抽样等领域。
三、数学思想与方法资料整理以下是一些数学思想与方法的相关资料：1.《数学思维方法与技巧指南》（译林出版社）：该书系统地介绍了数学思维方法与技巧，通过案例分析和习题练习帮助读者加深理解。
2.《数学思维与方法》（沈志中、孙联琴编著）：该书详细介绍了数学思维的发展过程、数学解题的基本方法和数学建模的过程，并提供了大量的例题和习题。
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数学思想方法专题三（参数法、反证法）一．参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a2＋b2＋c2的最小值。
例2.椭圆x216＋y24＝1上有两点P、Q，O为原点。
连OP、OQ，若kOP·kO Q＝－14，①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cos α=-cos2β。
练习1.函数y＝x＋2＋142--x x的值域是________________。
2.抛物线y＝x2－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin2θ与x轴两个交点距离的最大值为_____A. 5B. 10C. 23D. 33.过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L1：x－3y＋10＝0及L2：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。
4.求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
二．反证法与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。
再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。
实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。
具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
例1. 设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。
求证：AC与平面SOB不垂直。
例2. 若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0， x2＋(a－1)x＋a2＝0, x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。
试求实数a的取值范围。
例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝xa x--11(其中x∈R且x≠1a)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y ＝x成轴对称图像。
1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根2.已知a<0,－1<b<0，那么a、ab、ab2之间的大小关系是_____。
A. a>ab> ab2B. ab2>ab>aC. ab>a> ab2D. ab> ab2>a3.已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。
A. a、b都与l相交B. a、b中至少一条与l相交C. a、b中至多有一条与l相交D. a、b都与l相交4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种一．例1【解】由a ＋b ＋c ＝1，设a ＝13＋t 1，b ＝13＋t 2，c ＝13＋t 3，其中t 1＋t 2＋t 3＝0，∴ a 2＋b 2＋c 2＝（13＋t 1）2＋（13＋t 2）2＋(13＋t 3)2＝13＋23(t 1＋t 2＋t 3)＋t 12＋t 22＋t 32＝13＋t 12＋t 22＋t 32≥13所以a 2＋b 2＋c 2的最小值是13。
例2. 由x216＋y24＝1，设x y ==⎧⎨⎩42cos sin θθ，P(4cos θ1,2sin θ1)，Q(4cos θ2,2sin θ2),则k OP ·k O Q ＝2411sin cos θθ∙2422sin cos θθ＝－14，整理得到：cos θ1 cos θ2＋sin θ1sin θ2＝0,即cos （θ1－θ2）＝0。
∴ |OP|2＋|OQ|2＝16cos 2θ1＋4sin 2θ1＋16cos 2θ2＋4sin 2θ2＝8＋12(cos 2θ1＋cos 2θ2)＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋12cos （θ1＋θ2）cos （θ1－θ2）＝20，即|OP|2＋|OQ|2等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ 的中点M 的坐标为x y M M=+=+⎧⎨⎩21212(cos cos )sin sin θθθθ，所以有(x 2)2＋y 2＝2＋2(cos θ1cos θ2＋sin θ1sin θ2)＝2,即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为x28＋y22＝1。
例3【解】连AC 、BD 交于O ，连SO ；取BC 中点F ，连SF 、OF ；作BE ⊥SC 于E ，连DE 。
则∠SFO ＝β，∠DEB ＝α。
设BC ＝a (为参数)， 则SF ＝O F cos β＝a 2cos β,SC ＝SF F C 22+＝(cos )()a a 2222β+＝a 2cos β12+cos β又 ∵BE ＝SF BC SC·＝a22cos β⨯1212a cos cos ββ+＝a 12+cos β在△DEB 中，由余弦定理有：cos α＝22222BE BDBE-＝2122122222⨯+-⨯+aaacos cos ββ＝－cos 2β。
所以cos α＝－cos 2β。
二．例1.【证明】 假设AC ⊥平面SOB ，∵ 直线SO 在平面SOB 内， ∴ AC ⊥SO ， ∵ SO ⊥底面圆O ， ∴ SO ⊥AB ，∴ SO ⊥平面SAB ， ∴平面SAB ∥底面圆O ， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。
即AC 与平面SOB 不垂直。
例2. 【解】 设三个方程均无实根，则有：△△△12222221644301404420=--+<=--<=--<⎧⎨⎪⎩⎪a a a a a a ()()(),解得-<<<->-<<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪321211320a aa a 或,即－32<a<－1。
所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根。
例3.【证明】 ① 设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2)是函数图像上任意两个不同的点，则x 1≠x 2,假设直线M 1M 2平行于x 轴，则必有y 1＝y 2，即x ax 1111--＝x ax 2211--，整理得a(x 1－x 2)＝x 1－x 2∵x 1≠x 2 ∴ a ＝1， 这与已知“a ≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线M 1M 2不平行于x 轴。
② 由y ＝x a x --11得axy －y ＝x －1,即(ay －1)x ＝y －1,所以x ＝y ay --11，即原函数y ＝x a x --11的反函数为y ＝x a x --11，图像一致。