2018年北师大必修5数学《等差数列的性质及应用》习题精选含答案
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修五《等差数列的性质及应用》课时作业及解析
北师大版高中数学必修五课时作业4 等差数列的性质及应用时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )A．5 B．6C．8 D．10【答案】 A【解析】本题考查等差数列的基本性质等差中项．由等差中项知2a5＝a1＋a9＝10，所以a5＝5，故选A.2．等差数列{a n}的首项为70，公差为－9，则此数列中绝对值最小的一项为( )A．a8B．a9C．a10D．a11【答案】 B【解析】a n＝70＋(n－1)·(－9)＝－9n＋79，显然当n＝9时，|a9|＝2最小．3．数列{a n}中，a3＝2，a5＝1，如果数列{1a n＋1}是等差数列，则a11＝( )A.111B．0C．－113D．－17【答案】 B【解析】∵{1a n＋1}是等差数列，设公差为d，则1 a5＋1－1a3＋1＝12－13＝16＝2d，∴d＝112，∴1a11＋1＝1a5＋1＋6d＝12＋6×112＝1，∴a11＝0.4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )A．a1a8>a4a5B．a1a8<a4a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4·a5【答案】 B【解析】因为a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2，且d≠0，所以a1a8－a4a5＝－12d2<0.即a1a8<a4a5，故选B.5．{a n}是首项为a1＝3，公差d＝3的等差数列，如果a n＝2 010，则序号n等于( )A．667 B．668C．670 D．671【答案】 C【解析】由通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝2 010，解得n＝670，故选C.6．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7【答案】 B【解析】 设数列{a n }公差为d ， ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105. ∴a 3＝35.同理，由a 2＋a 4＋a 6＝99得a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 3＝－2.a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.7．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 【答案】 B【解析】 a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1⇒d ＝－12.二、填空题(每小题5分，共15分)8．在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝40，则a 4－a 5＋a 6＋a 7＋a 8－a 9＋a 10的值为________．【答案】 60【解析】 观察下标，利用性质即可．利用性质可得a 4＋a 10＝a 5＋a 9＝a 6＋a 8＝2a 7＝a 3＋a 11＝40⇒a 7＝20，从而a 4－a 5＋a 6＋a 7＋a 8－a 9＋a 10＝3a 7＝60.9．首项是－56的等差数列，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【答案】 7<d ≤8【解析】 ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－56＋8d>0，a 8＝－56＋7d ≤0，∴7<d ≤8.10．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】 －1n【解析】 1a n －1a n ＋1＝1，1a n ＋1－1a n＝－1，1a 1＝－1，{1a n }是以1a 1为首项，以－1为公差的等差数列，1a n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，a n ＝－1n.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)在等差数列{a n }中，公差为d ，且a 15＝8，a 60＝20，求a 75.【解析】 由已知条件，根据通项公式列出关系式解方程组可得出通项公式，然后代入即可求得．解法一：∵a 15＝a 1＋14d ，a 60＝a 1＋59d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 解法二：∵a 60＝a 15＋(60－15)d ，∴d ＝20－860－15＝415，∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.12．(15分)已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数．【分析】 本题考查等差数列的性质以及等差中项公式的应用.5个数成等差数列，另有两个已知条件，可利用方程组求解．【解析】 解法一：设5个数依次为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d ，a ＋4d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＋a ＋3d ＋a ＋4d ＝25，a 2＋ a ＋d 2＋ a ＋2d 2＋ a ＋3d 2＋ a ＋4d 2＝165，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2d ＝5，a 2＋6d 2＋4ad ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，a ＝9.∴5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.解法二：设这5个数依次为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝25， a －2d 2＋ a －d 2＋a 2＋ a ＋d 2＋ a ＋2d 2＝165，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，5a 2＋10d 2＝165，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝±2.故这5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.13．(20分)已知f(x)是定义在非零自然数集上的函数，当x 为奇数时，有f(x ＋1)－f(x)＝1，当x 为偶数时，有f(x ＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.(1)求证：f(1)，f(3)，…，f(2n －1)(n ∈N ＋)成等差数列； (2)求f(n)的解析式．【解析】 (1)证明：当x 为奇数时，x ＋1为偶数，代入已知等式有f(x ＋1)－f(x)＝1，①f(x ＋2)－f(x ＋1)＝3.②①＋②得f(x ＋2)－f(x)＝4为常数．又因为⎩⎪⎨⎪⎧f 1＋1 －f 1 ＝1，f 1 ＋f 2 ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝2，f 2 ＝3.所以f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n －1)构成首项为2，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，当n 为奇数时，f(n ＋2)－f(n)＝4，f(1)＝2， 所以当n ＝2k －1时，f(n)＝f(2k －1)＝2＋(k －1)×4＝2n. 当n 为偶数时，n ＋1为奇数，f(n ＋1)－f(n)＝3，f(n ＋2)－f(n ＋1)＝1，所以f(n ＋2)－f(n)＝4.所以f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2n)构成首项为3，公差为4的等差数列．所以当n ＝2k 时，f(n)＝f(2k)＝3＋(k －1)×4＝2n －1，综上所述，f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为正奇数，2n －1，n 为正偶数.。
新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《数列》同步习题课及答案解析
北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。
高中数学北师大版必修5 第一章2.1第二课时 等差数列的性质 作业 Word版含解析
[学业水平训练]1．在等差数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5＋a 6＝( )A ．3B ．6C ．9D ．36解析：选B.∵数列{a n }是等差数列，且a n ＞0，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝30，∴a 5＋a 6＝6.2．(2014·临清高二检测)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．10 6解析：选B.∵数列{a n }为等差数列．∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15. 3．(2014·东北育才学校质检)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 008＋a 2 014＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40解析：选B.∵a 1，a 2 015为方程x 2－10x ＋16＝0的两个根．∴a 1＋a 2 015＝2a 1 008＝10.∴a 1 008＝5，∴a 2＋a 1 008＋a 2 014＝3a 1 008＝3×5＝15.4．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析：选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100.c 2＝a 2＋b 2＝100.∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100.5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )A ．8B ．4C ．6D ．12解析：选A.因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.6．(2014·泰安高二检测)在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．解析：由已知得a 3＋a 10＝3，又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.答案：37．(2014·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，∴a 7＝20.又3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.答案：408．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点(a n n ，a n ＋1n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________． 解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0， 即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，所以数列{a n n }是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 29．在等差数列{a n }中：(1)若a 3＋a 9＝12，求a 6； (2)若a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝48，求a 6＋a 7.解：在等差数列{a n }中：(1)∵a 3＋a 9＝2a 6＝12，∴a 6＝14. (2)∵a 6＋a 7＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11，且a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝48，∴2(a 6＋a 7)＝48，∴a 6＋a 7＝24.10．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，求c 2的值．解：∵c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，∴c 2＝c 20＝19.[高考水平训练]1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选 D.∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.2．(2014·铜陵调研)在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝________． 解析：∵a 7、a 14、a 21成等差数列，∴a 7＋a 21＝2a 14，∴a 21＝2a 14－a 7＝2n －m . 答案：2n －m3．(2014·北京东城区综合练习)已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N ＋)且a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．解：令x ＝2，y ＝2n －1，则f (x ·y )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1a 1，即a n ＝2a n －1＋2n ，a n 2n ＝a n －12n －1＋1，所以数列{a n 2n }为以a 12＝1为首项，1为公差的等差数列，所以a n 2n ＝n .由此可得a n ＝n ·2n . 4．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0，得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．又∵a 1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2. (3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立， 即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立． 整理，得λ≤（3n ＋1）（3n －2）3（n －1）， 令c n ＝（3n ＋1）（3n －2）3（n －1）， c n ＋1－c n ＝（3n ＋4）（3n ＋1）3n －（3n ＋1）（3n －2）3（n －1）＝（3n ＋1）（3n －4）3n （n －1）. ∵n ≥2，∴c n ＋1－c n ＞0，即数列{c n }为单调递增数列，∴c 2最小．又c 2＝283，∴λ的取值范围为(－∞，283]．。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第一章 数列 2-2
2.2 等差数列的前n 项和(二)[学习目标] 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .知识点一 等差数列前n 项和及其最值1．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定； 当a 1＜0，d ＞0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d ＜0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 知识点二 数列中a n 与S n 的关系对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).思考 若S n ＝n 2＋n ，则a n ＝________. 答案 2n解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋1＝2＝2×1， ∴a n ＝2n .题型一 已知S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2＋3n ，试判断数列{a n }是不是等差数列． 解 ∵S n ＝2n 2＋3n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －2(n －1)2－3(n －1)＝4n ＋1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝5＝4×1＋1. ∴n ＝1时，适合a n ＝4n ＋1. ∴数列的通项公式是a n ＝4n ＋1. 故数列{a n }是等差数列．反思与感悟 (1)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1适合于a n 时，则a 1可以统一到a n (n ≥2，n ∈N *)的形式中，而不用写成分段函数形式．若n ＝1不适合a n ，则通项公式应写成分段函数形式．(2)等差数列{a n }中，若d ≠0，则S n 可写成关于n 的二次函数形式，反之，若S n ＝An 2＋Bn ，那么数列{a n }一定是等差数列．跟踪训练1 本例中，若S n ＝2n 2＋3n ＋1，试判断该数列是不是等差数列． 解 ∵S n ＝2n 2＋3n ＋1.∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n ＋1－2(n －1)2－3(n －1)－1＝4n ＋1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6≠4×1＋1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， (n ＝1)，4n ＋1 (n ≥2)，故数列{a n }不是等差数列．题型二 等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值． 解 方法一 ∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ，解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 同方法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.方法三 ∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法四 设S n ＝An 2＋Bn . ∵S 9＝S 17，∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.反思与感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形： ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法：①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值的方法．跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)方法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列． 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 题型三 求数列{|a n |}的前n 项和例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1) ＝－3n ＋104. ∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)． 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043.即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0. ①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3502. 故T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n (n ≤34且n ∈N *)，32n 2－2052n ＋3502(n ≥35且n ∈N *).反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}．若原等差数列{a n }中既有正项，也有负项，那么{|a n |}不再是等差数列，求和关键是找到数列{a n }的正负项分界点处的n 值，再分段求和．跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 2＝16，S 4＝24得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5且n ∈N *)，n 2－10n ＋50(n ≥6且n ∈N *).已知S n 求a n 忽略n ＝1的情况例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 错解 a n ＝S n －S n －1＝(n 2－1)－[(n －1)2－1]＝2n －1. 答案 2n －1错因分析 运用a n ＝S n －S n －1求通项公式时，要求n ≥2，只有验证n ＝1满足通项公式后，才能用一个式子来表示，否则必须分段表示． 正解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(n 2－1)－[(n －1)2－1]＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－1＝0，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －1，n ≥2误区警示 根据前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c 判断{a n }是不是等差数列时，只有当c ＝0时是等差数列，否则不是．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1 答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又因a 1＝1符合a n ＝2n －1，所以，a n ＝2n －1(n ∈N *)．2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( ) A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④ 答案 B解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确． 又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确．S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确．{S n }中最大项为S 6，④不正确． 故正确的是①②.3．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________． 答案 6或7解析 由|a 5|＝|a 9|且d ＞0得a 5＜0，a 9＞0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小．4．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值． 答案 5或6 解析 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0. ∵a 1＞0，∴a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞a 6＝0，a 7＜0. 故当n ＝5或6时，S n 最大．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n . 解 ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5. ②当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，又S n ＝3＋2n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝21－1＝1≠5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(n ＝1)，2n －1(n ≥2).1.因为a n ＝S n －S n －1在n ≥2时才有意义，所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图像的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．。
2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第一章数列 等差数列复习课
等差数列复习课课时过关·能力提升1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 4=15,S 5=55,则数列{a n }的公差是( )A. B.4 C.-4D.-314{a n }是等差数列,a 4=15,S 5=55,所以a 1+a 5=22.所以2a 3=22,a 3=11.所以公差d=a 4-a 3=4.2.等差数列0,-,-7,…的第n+1项是( )72A .-nB .-(n-1)7272.-(1)D .-n+17272,得数列的公差d=--0=-,7272所以数列的通项公式为a n =0-(n-1)=-n+,727272故a n+1=-(n+1)+=-n.7272723.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 6+a 10为一个确定的常数,则下列各个和中,也为确定的常数的是( )B.S 11 C.S 12 D.S 13a 2+a 6+a 10=3a 6,∴a 6是定值.==11a 6,∴S 11是确定的常数.11(a 1+a 11)24.已知数列{a n }是等差数列,a 1=1,a 5=13,设S n 为数列{(-1)n a n }的前n 项和,则S 2 017等于( )B .-2 017C .3 025D .-3 0255.在等差数列{a n }中,有3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=48,则此数列前13项之和为( )B.39C.52D.104{a n }是等差数列,∴3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=6a 4+6a 10=48.∴a 4+a 10=8.∴a 1+a 13=8.∴S 13==52.13(a 1+a 13)26.在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n 等于( )A.9B.10C.11D.12a 3+a 5=2a 4=14,∴a 4=7,d==2.a 4-a 14-1∴S n =na 1+d=n+n (n-1)=100.n(n -1)2∴n 2=100,n=10.7.在等差数列{a n }中,S 9=18,S n =160,a n-4=30(n ≥5且n ∈N +),则n= .S 9==9a 5=18,9(a 1+a 9)2∴a 5=2,S n ==160.n (a 1+a n )2=n (a 5+a n -4)2∴=160.n (2+30)2∴n=10.是等差数列{a n }的前n 项和,若=2,则的值为 . a 7a 4S 13S 7.=a 1+a 132×13a 1+a 72×7=13a 77a 4=2679.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若S 10=36,S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 .{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,所以前10项为正,从第11项开始为负.所以T 18=|a 1|+|a 2|+…+|a 18|=(a 1+a 2+…+a10)-(a 11+a 12+…+a 18)10-(S 18-S 10)=2S 10-S 18=2×36-12=60.★10.已知函数f (x )=x 2+x ,数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N +)均在函数f (x )的图1212像上.(1)求数列{a n }的通项公式;g (x )=,令b n =g (n ∈N +),求数列{b n }的前2 016项和T 2 016.4x 4x +2(a n2 017)∵点(n ,S n )在函数f (x )的图像上,∴S n =n 2+n.1212当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n ;当n=1时,a 1=S 1=1,适合上式.∴a n =n.(2)∵g (x )=,4x4x +2∴g (x )+g (1-x )=1.又由(1)知a n =n ,∴b n =g .(n2 017)∴T 2 016=b 1+b 2+…+b 2 016=g +g +…+g .①(12 017)(22 017)(2 0162 017)又T 2 016=b 2 016+b 2 015+…+b 1=g +g +…+g .②(2 0162 017)(2 0152 017)(12 017)①+②得2T 2 016=2 016=2 016.[g (12 017)+g (2 0162 017)]∴T 2 016=1 008.★11.在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n-1+a n -a n-1=0(n ≥2,n ∈N +).(1)证明:数列是等差数列;{1a n }(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若λa +≥λ对任意的n ≥2恒成立,求实数λ的取值范围.1a n3a n a n-1+a n -a n-1=0(n ≥2,n ∈N +)整理得=3(n ≥2,n ∈N +).1a n ‒1a n -1所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.{1a n }(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,所以a n =.1a n 13n -2a n +≥λ对任意的n ≥2恒成立,1a n 即+3n-2≥λ对任意的n ≥2恒成立,λ3n -2整理得λ≤对任意的n ≥2恒成立.(3n -2)23n -3令f (n )=,(3n -2)23n -3则f (n+1)-f (n )==3-.(3n +1)23n ‒(3n -2)23n -3=9n 2-9n -13n (n -1)13n (n -1)因为n ≥2,所以f (n+1)-f (n )>0,即f (2)<f (3)<f (4)<…,所以f (2)最小.又f (2)=,所以λ≤.163163所以λ的取值范围为.(-∞,163]。
2017-2018学年北师大版数学必修5习题精选：第一章 数列 1-2-2-1 含解析 精品
2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7=错误！未找到引用源。
=49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A.错误！未找到引用源。
B.1C.2D.3解析:∵S5=错误！未找到引用源。
=5a3,∴a3=错误！未找到引用源。
S5=错误！未找到引用源。
×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由错误！未找到引用源。
≤n≤错误！未找到引用源。
.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15=错误！未找到引用源。
=15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足错误！未找到引用源。
(n∈N+),则错误！未找到引用源。
的值是()A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
解析:因为错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+错误！未找到引用源。
d=20,∴错误！未找到引用源。
解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+错误！未找到引用源。
等差数列项与和的性质
S12
A
)
3
1
1
1
A.
B.
C.
D.
10
3
8
9
S6 3
解析令 S3＝1，则 S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6. S12＝S9＋4＝10，∴ ＝ .故选 A.
S12 10
18．(2020·课标全国Ⅱ，理)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场
所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，
环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9
5
−
= 51 ，所以
9
−
11
+
7
9
13
+
9
−
11
+
13
3
= ______.
= 3 .根据等差数列的性质，
=
9
= 3.
10.已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,2+a5=a6+a3,则 S7=(C
A.2
B.7
C.14
).
D.28
解析 因为 2+a5=a6+a3,所以 2+a4+d=a4+2d+a4-d,解得 a4=2.所以
5
5
法二：由 a1＋a2＋a3＝3a2＝36，得 a2＝12，由 a11＋a12＋a13＝3a12＝84，得
a12＝28，所以 a5＋a9＝a2＋a12＝12＋28＝40.故选 C.
2.在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，若 a2＋a6＋a7＝27，则 S9 的值为(
A．36
B．45
C．72
奇
高中数学 第一章 数列 习题课1-1 等差数列(含解析)北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题
习题课(1)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( B ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．7解析：由已知得a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2.∴a 20＝a 3＋17d ＝35＋(－2)×17＝1.2．在数列{a n }中，a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( C )A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25解析：因为a n ＋1＝a n －23，所以数列{a n }是等差数列，且公差为－23，所以a n ＝15＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23.因为a 23＝13，a 24＝－13，所以a 23a 24<0. 3．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N ＋，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →、OB →、OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2 015OB →，且A 、B 、C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2 015等于( A )A ．1 007.5B ．2 015C ．1 006D ．2 014解析：由a n ＋1＝a n ＋a ，知数列{a n }为等差数列，又A 、B 、C 三点共线，故a 1＋a 2 015＝1，所以S 2 015＝2 015a 1＋a 2 0152＝1 007.5.4．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使S n 取得最小值的正整数n 的值是( C )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或8 解析：依题意得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 最大的n 的值为( D ) A ．11或12 B ．12 C ．13D ．12或13 解析：因为a n ＝26－2n ，所以a n －a n －1＝－2，所以数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，所以S n ＝24n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.又n ∈N ＋，所以当n＝12或13时，S n 最大．6．在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( C )A ．297B ．144C ．99D ．66解析：∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝39，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27，即a 4＝13，a 6＝9.∴d ＝－2，a 1＝19.∴S 9＝19×9＋9×82×(－2)＝99.7．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( A )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：由a 1＋a 2＋a 3＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＝146，得a 1＋a n ＝60，又S n ＝n a 1＋a n2，代入得390＝n ×602，得n ＝13.8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若数列{a n }是等差数列，且a 3<0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( C )A ．恒为负数B ．恒为0C ．恒为正数D ．可正可负解析：由f (x )是R 上的奇函数，可知f (0)＝0.由题意知x ≥0时，f (x )<0；x <0时，f (x )>0又数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 5＝2a 3<0，所以f (a 3)>0. 由当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )在R 上单调递减． 又a 1<－a 5得f (a 1)>f (－a 5)＝－f (a 5)， 即f (a 1)＋f (a 5)>0，故f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝10. 解析：法1：S 9＝S 4，即9a 1＋a 92＝4a 1＋a 42， 所以9a 5＝2(a 1＋a 4)，即9(1＋4d )＝2(2＋3d )，所以d ＝－16，由1－16(k －1)＋1＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，得k ＝10. 法2：S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0，所以k ＝10.10．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为3.解析：由题意可得a n ＋a n ＋1＝5，∴a n ＋1＋a n ＋2＝5.∴a n ＋2－a n ＝0.∵a 1＝2，∴a 2＝5－a 1＝3.∴当n 为偶数时，a n ＝3；当n 为奇数时，a n ＝2.∴a 18＝3.11．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765.解析：∵a n ＋1－a n ＝3为常数，∴{a n }是等差数列．a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n >21；a n <0时，n <21. ∴S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30| ＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30＝－2S 21＋S 30＝765.三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分．写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)12．已知等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 5＝15，a 10＝25. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝112，求n .解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 5＝15，∴a 1＋4d ＝15. ① ∵a 10＝25，∴a 1＋9d ＝25. ②由①②得：a 1＝7，d ＝2.∴a n ＝7＋(n －1)×2＝2n ＋5. (2)∵S n ＝112，∴7n ＋12n (n －1)×2＝112.即n 2＋6n －112＝0，解得n ＝8或n ＝－14(舍去)，故n ＝8.13．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1 min 走2 m ，以后每分钟比前1 min 多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min 多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：(1)设n min 后第一次相遇， 依题意，有2n ＋n n －12＋5n ＝70.整理得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，或n ＝－20(舍去)． 第一次相遇是在开始运动后7 min. (2)设m min 后第二次相遇， 依题意有2m ＋m m －12＋5m ＝3×70，整理得m 2＋13m －6×70＝0. 解得m ＝15，或m ＝－28(舍去)． ∴第二次相遇是在开始运动后15 min.14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0， (1)求公差d 的取值X 围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d>0，13a 1＋13×122d <0，a1＋2d＝12，整理得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，a 1＋2d ＝12.解得－247<d <－3.∴d 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. (2)法1：∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>a 4>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12a 1＋a 122＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项的和S 6最大． 法2：∵a 1＝12－2d ，∴S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－52d n .考查二次函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫12－52d x .∵d <0，－b 2a ＝52－12d ，∴当x ＝52－12d时，y 有最大值．∵－247<d <－3，∴6<52－12d <132.∵n ∈N ＋，∴当n ＝6时，S n 最大，即数列的前6项和最大．。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第一章 数列 2-1
2.1 等差数列(二)[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 推广的等差数列的通项公式 已知a 1求a n ，则a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)． 已知a m 求a n ，则a n ＝a m ＋(n －m )d (m ≤n )． 思考 已知等差数列{a n }中的a m 和a n ，如何求d? 答案 由{a n }的通项公式得 a n ＝a 1＋(n －1)d ， a m ＝a 1＋(m －1)d ，两式相减得a n －a m ＝(n －m )d ， ∴d ＝a n －a mn －m.知识点二 等差数列的性质1．若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有2.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…….3．下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别的，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则有a m ＋a n ＝2a p .思考 等差数列{a n }中，若a 5＝7，a 9＝19，则a 2＋a 12＝________，a 7＝________. 答案 26 134．等差数列的“子数列”的性质 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1)数列{a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列． (2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列，偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列．(3)若数列{k n }是等差数列，则数列{ak n }也是等差数列．(4)从等差数列{a n }中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化．题型一 等差数列的性质及应用例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值． 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d . 由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.方法二 根据等差数列性质 a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2， ∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)， ∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.反思与感悟 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪训练1 在等差数列{a n }中： (1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________． 答案 (1)15 (2)18解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20 ＝18.题型二 等差数列项的设法及运算例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，(a －3d )(a ＋3d )＋18＝(a －d )(a ＋d )， 又因为是递增数列，所以d >0， 所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1. 反思与感悟 三个数或四个数成等差数列的设法．当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a 1和公差d 列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，设a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，利用和为定值，先求出其中某个未知量．跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解 方法一 设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，a 2＋b 2＋c 2＝116，解得a ＝4，b ＝6，c ＝8. 这三个数为4,6,8.方法二 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2， ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去， ∴这三个数为4,6,8.题型三 等差数列的综合问题例3 已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列，并写出{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式及数列{a n }中的最大项与最小项． 解 (1)因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －1＝a n －1－1a n －1，所以1a n －1＝a n －1－1＋1a n －1－1＝1＋1a n －1－1，即1a n －1－1a n －1－1＝1. 因为b n ＝1a n －1，所以b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又a 1＝14，b 1＝1a 1－1＝－43，所以数列{b n }是以b 1＝－43为首项，1为公差的等差数列．故b n ＝－43＋(n －1)×1＝n －73(n ∈N *)．(2)由(1)得a n ＝1n －73＋1＝1＋33n －7，当n ≥3时，数列{a n }是递减数列，且a n >1.又a 1＝14，a 2＝－2，a 3＝52，所以在数列{a n }中，最大项为a 3＝52，最小项为a 2＝－2.反思与感悟 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a 1和公差d 为未知数的方程(组)或不等式(组)． (3)利用函数或不等式的有关方法解决．跟踪训练3 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.题型四 等差数列的实际应用例4 某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司经销此产品将亏损． 设第n 年的利润为a n ，因为a 1＝200，公差d ＝－20， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .由题意知数列{a n }为递减数列，令a n <0， 即a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损． 反思与感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 答案 B解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.审题不仔细致误例5 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围为________． 错解 方法一 由a 10>0得－24＋9d >0，∴d >83.方法二 由⎩⎨⎧a 10>0a 9<0得⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0－24＋8d <0，∴83<d <3.错因分析 解答本题，应注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a 10>0”的同时还表明“a 9≤0”这一条件．正解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>0，a 9≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0，－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.答案 83<d ≤3误区警示 解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用．1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( ) A ．5B ．8C ．10D ．14 答案 B解析 方法一 设等差数列的公差为d ， 则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10， 所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.方法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.3．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51答案 C解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，又∵a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝…＝2a 51， ∴a 51＝0＝a 3＋a 99.4．下列是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个结论： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列； 其中正确的结论是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以p 1正确；a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，因4d ＞0，所以是递增数列，p 4正确，故选D.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝________. 答案 24解析 ∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24. ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.1.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解．但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。
2018年高二数学北师大版必修5同步精练：1.2.1等差数列 Word版含答案
第一课时基础巩固1下列说法中正确的是( )A ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列B ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列C ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于常数，这个数列就叫等差数列D ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列2已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )A ．4－2n B ．2n －4C ．6－2nD ．2n －64已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．75在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 009等于( )A ．2 007B ．2 008C ．2 009D ．不确定6已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－C.D ．212127已知数列{a n }的通项公式是a n ＝7n ＋2，求证：数列{lg a n }是等差数列．8夏季高山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米？综合过关9已知关于x 的方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，14则|m －n |等于 ( )A ．1B.C.D.34123810有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行铺瓦多少块？11已知函数f (x )＝，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)确定．3xx ＋3(1)求证：{}是等差数列；1xn (2)当x 1＝时，求x 100.1212一个等差数列首项为，公差d ＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范125围．能力提升13某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2009时对应的指头是______．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)14设{a n }为a 1＝4的递增数列，且满足a ＋a ＋16＝8(a n ＋1＋a n )＋2a n ＋1a n ，则2n ＋12n a n ＝__________.参考答案1解析：仅有D 是等差数列的定义．答案：D2解析：可得a n ＋1－a n ＝－2或a 2－a 1＝(3－4)－(3－2)＝－2.答案：C3解析：通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .答案：C4解析：设公差为d ，则Error!解得a 1＝39，d ＝－2，∴a 20＝a 1＋(20－1)×d ＝1.答案：B5解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，∴a 2009＝2 009.答案：C6解析：由题意得Error!解得d ＝－.12答案：B7分析：转化为证明lg a n ＋1－lg a n 是一个与n 无关的常数．证明：设b n ＝lg a n ，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋3)lg7－(n ＋2)lg7＝lg7＝常数．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．8解：∵每升高100米温度降低0.7 ℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，∴26＋(n －1)×(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．9解析：设这四个根组成的等差数列为{a n }，则a 1＝，设公差为d ，方程14x 2－2x ＋m ＝0的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0的两根之和也为2，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝4a 1＋6d ＝4，则1＋6d ＝4，所以d ＝.则这12四个根是，，，.又＋＝2，＋＝2，则m ＝×＝，n ＝×＝或1434547414743454147471634541516n ＝×＝，m ＝×＝，则|m －n |＝|－|＝.147471634541516716151612答案：C10分析：转化为求等差数列的第15项．解：设从上面开始第n 行铺瓦a n 块，则数列{a n }是首项为30，公差为3的等差数列．则a 15＝a 1＋14d ＝30＋14×3＝72(块)，即该侧面最下面一行铺瓦72块．11(1)证明：x n ＝f (x n －1)＝(n ≥2且n ∈N ＋)，3xn －1xn －1＋3∴＝＝＋，1xn xn －1＋33xn －1131xn －1－＝(n ≥2且n ∈N ＋)，1xn 1xn －113∴{}是等差数列．1xn (2)解：＝＋(n －1)×1xn 1x 113＝2＋＝.n －13n ＋53∴＝＝35.1x 100100＋53∴x 100＝.13512分析：转化为解不等式组．解：∵d ＞0，设等差数列为{a n }，则a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意有Error!即Error!⇔Error!解得＜d ≤.87532513解析：把这些数分成“层”，则第1层有5个数，其他层都是有4个数，奇数层小拇指对应的数最大，偶数层大拇指对应的数最大，则2 009＝5＋2 004＝5＋4×501，则2 009在第502层，并且是该层最大的数，所以2 009位于大拇指的位置上．答案：大拇指14解析：a ＋a ＋16＝8(a n ＋1＋a n )＋2a n ＋1a n 2n ＋12n ⇔(a n ＋1＋a n )2－8(a n ＋1＋a n )＋16＝4a n ＋1a n⇔(a n ＋1＋a n －4)2＝4a n ＋1a n⇔a n ＋1＋a n －4＝2(由题意可知取正号)an ＋1an ⇔(－)2＝4an ＋1an ⇔－＝2，an ＋1an 因此，{}是公差为2的等差数列．an 则＝＋(n －1)×2＝2n ，an a 1从而可得a n ＝4n 2.答案：4n 2第二课时基础巩固1a ＝，b ＝，则a 、b 的等差中项为( )13＋213－2A. B. C. D.3233222等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数，且c ≠0)是( )A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都不对3在a 和b (a ≠b )两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为______．4等差数列{a n }中，a 5＝10，a 20＝7，则a 2＋a 23＝______.5已知a ，b ，c 成等差数列，请问b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 是否构成等差数列，为什么？6在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这5个数成等差数列，求这5个数．7四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．综合过关8已知、、成等差数列，并且a ＋c 、a －c 、a ＋c －2b 均为正数，试证：lg(a ＋c )，1a 1b 1c lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．9在数列{a n }中，相邻两项a n 和a n ＋1是相应的二次方程x 2＋3nx ＋b n ＝0(n ∈N ＋)的两根．若a 1＝2，试求b 100的值．能力提升10在等差数列{a n }中，已知a 1＝83，a 4＝98，则这个数列有多少项在300到500之间？参考答案1答案：A2解析：设b n ＝ca n ，则b n ＋1－b n ＝ca n ＋1－ca n ＝c (a n ＋1－a n )＝cd .答案：B3解析：b ＝a ＋(n ＋2－1)d ，则d ＝.b －an ＋1答案：b －a n ＋14答案：175分析：要证明三个数成等差数列，可用等差中项的性质去说明．解：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 构成等差数列．∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又∵(b ＋c )＋(a ＋b )＝(a ＋c )＋2b ＝2(a ＋c )，∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．6分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解．解法一：设这5个数构成的等差数列为{a n }，公差是d ，由已知，有a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d .解得d ＝2.∴所求数列为－1,1,3,5,7.解法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，a 是－1与b 的等差中项，c 是b 与7的等差中项，即b ＝＝3，a ＝＝1，c ＝＝5.－1＋72－1＋b 2b ＋72∴所求数列为－1,1,3,5,7.7解：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即4a 2＋20d 2＝94. ①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，∴d ＝±.32代入①得a ＝±，72∴所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.8分析：转化为证明2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．证明：∵、、成等差数列，1a 1b 1c ∴＝＋.2b 1a 1c ∴＝.2b a ＋c ac ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数，∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．9分析：依题意有：a n ＋a n ＋1＝－3n 且a n ·a n ＋1＝b n ，欲求b 100，需求a 100和a 101的值，可由递推或a n ＋a n ＋1＝－3n ，找到a n 的通项公式，进而求出a 100和a 101.解：依题意得：a n ＋a n ＋1＝－3n ， ①a n ·a n ＋1＝b n (n ∈N ＋)， ②由②知：b 100＝a 100·a 101.∵a n ＋a n ＋1＝－3n ， ①∴a n ＋1＋a n ＋2＝－3(n ＋1)， ③③－①得：a n ＋2－a n ＝－3.∴a 1，a 3，a 5，…，a 99，a 101构成公差为－3的等差数列．∴a 101＝a 2×51－1＝a 1＋(51－1)d ＝2＋50×(－3)＝－148，代入a 100＋a 101＝－3×100得a 100＝－152.∴b 100＝a 100·a 101＝(－152)×(－148)＝22 496.10分析：可先利用a 1＝83，a 4＝98求出首项和公差，确定通项公式后再求解．解：公差d ＝＝＝5，a 4－a 1398－833∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝83＋5(n －1)＝5n ＋78.令300＜a n ＜500得300＜5n ＋78＜500，解得44.4＜n ＜84.4.∴从第45项到第84项，共有40项在300到500之间．。
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第2课时等差数列的性质及应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()
A.15
B.30
C.31
D.64
解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,
∴a12=16-1=15.
答案:A
2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()
A.-1
B.1
C.3
D.7
解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,
解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.
∵d=a4-a3=33-35=-2,
∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.
答案:B
3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()
①{a n+3}②{}③{a n+1-a n}④{2a n}⑤{2a n+n}
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等
差数列,而{}不一定是等差数列.
答案:D
4.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()
A.a1+a101>0
B.a2+a100<0
C.a3+a100≤0
D.a51=0
解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.
答案:D
5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()
A.a n=2n-5
B.a n=2n-3
C.a n=2n-1
D.a n=2n+1
解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,
∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.
∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.
∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.
答案:B
6.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.
解析:由等差数列的性质,
得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),
即39+(a3+a6+a9)=2×33,
故a3+a6+a9=66-39=27.
答案:27
7.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.
解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),
则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,
∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.
答案:log25
8.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.
答案:1,3,5或5,3,1
9.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{a n}的通项公式.
解∵a1+a7=2a4=a2+a6,
∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,
∴a2+a6=10,a2a6=9.
∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.
∴
若a2=1,a6=9,则d==2,∴a n=2n-3.
若a2=9,a6=1,则d==-2,∴a n=13-2n.
∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-3或a n=13-2n.
10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{a n}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:
(1)x的值;
(2)通项a n.
解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,
又因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.
(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,
此时a n=a1+(n-1)d=-(n-1);
当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,
此时a n=a1+(n-1)d=(n-3).
B组
1.在数列{a n}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于()
A. B. C. D.
解析:令b n=,则b2=,b6==1.
由题意知{b n}是等差数列,
∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.
∴b4=b2+2d=+2×.
∵b4=,∴a4=.
答案:A
2.已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()
A. B.± C.- D.-
解析:∵{a n}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.
∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-.
答案:D
3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()
A.1升
B.升
C.升
D.升
解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,
由题意得
解得所以a5=a1+4d=.
答案:B
4.导学号33194007在等差数列{a n}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()
A.无实根
B.有两个相等实根
C.有两个不等实根
D.不能确定有无实根
解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.
又a4+a6=2a5=6,
∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.
答案:A
5.已知log a b,-1,log b a成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=.
解析:由已知,得log a b+log b a=-2,即=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg,
即ab=1.
故由根与系数的关系得d=ab=1.
答案:1
6.导学号33194008已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为
的等差数列,则|m-n|=.
解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.
可得=2,∴d=.
∴这4个根依次为.
∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.
答案:
7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?
解在数列{a n}中,a1=5,公差d1=8-5=3.
∴a n=a1+(n-1)d1=3n+2.
在数列{b n}中,b1=3,公差d2=7-3=4,
∴b n=b1+(n-1)d2=4n-1.
令a n=b m,则3n+2=4m-1,∴n=-1.
∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),
又解得0<m≤75.
∴0<3k≤75,∴0<k≤25,∴k=1,2,3, (25)
∴两个数列共有25个公共项.
8.导学号33194009已知数列{a n}中,a1=,a n a n-1+1=2a n-1(n≥2,n∈N+).数列{b n}中,b n=(n∈N+).
(1)求证:{b n}是等差数列;
(2)求数列{a n}的通项公式,并求其最大、最小项.
(1)证明由a n a n-1+1=2a n-1,得a n a n-1-a n-1=a n-1-1,
∴=b n,又b n-1=,
∴b n-b n-1==1(n≥2,n∈N+).
∵b1==-,
∴数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)解由(1)知b n=n-3.5,
又由b n=得a n=1+=1+.
点(n,a n)在函数y=+1的图像上.
显然,在区间(3.5,+∞)上,y=+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=+1递减且y<1.因此,当n=4时,a n取得最大值3;当n=3时,a n取得最小值-1.。