八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式课件新人教版
【解析】根据二次根式的概念“形如(a≥0)的式子，
定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特
征：①带二次根号“ ”；②被开方数不小于零．
课堂导学
对点训练一
1．下列各式中一定是二次根式的是 ( B A. B. C. D. )
2．要使二次根式有意义，x必须满足( B )
A．x≤2
C．x＞2 3．要使代数式 ( )
课后巩固
8．下列式子：①
；②
；
；
④
A．1个
.其中是二次根式的有 ( B
B．2个 C ．3 个
)
D 4个 9． ．要使二次根式
取值范围是 B A ． x≥ B．x≤ ( )
有意义，则x的
课后巩固
10．使式子
有意义的x的取值范围是 C
(
) B．x≤－2 在实数范围内有意义，则x的 D．x＜－2 )
A．x≥－2 11．若 C．x＞－2 取值范围 A(
9
课后巩固
17．计算下列各题：
=33
=－12
=8
课后巩固
18．先化间，再求值：
原式＝
(x＋1)(x－1)＋(x－2)＝x2
－2 ，
能力培优
19．已知x、y是实数，且y
＝
根．
，求yx的平方
由条件得x－3≥0且3－x≥0得x＝3，
则y＝4，
∴yx＝64，
则其平方根为±8.
能力培优
20．已知x＝
－1，求x2＋2x＋5的值．
感谢聆听
A．x≥3
C．x≥3且x≠1
B．x≤3且x≠1
D．x≥1且x≠3
课后巩固
12．计算：
(1)
＝______； 13．化简： (2) (1) ＝ _______ ． ________ ；
0.3
＝______， 12
125
＝_______， 10 ＝________， 0.9 6
＝
－5
课后巩固
－2 9
B．x≥2
D ．x ＜2 有意义的x的取值范围是 D
课堂导学
知识点2：二次根式的性质
【例2】下列式子正确的是( B ) A ． ．( B ＝a(a≥0)，
C ． 【解析】利用性质
． 来化简即可． 【答案】B
D
【点拔】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本
题的关键是二次根式的性质．
课堂导学
对点训练二
核心目标
ห้องสมุดไป่ตู้
理解二次根式的概念，掌握
二次根式的基本性质。
课前预习
1．一般地，我们把形如 的式 子叫做二次根式． 2 a a 2． ( a) ＝ ________，＝ ________(a≥0)．
课堂导学
知识点1：二次根式的定义
【例1】下列各式中，一定是二次根式的是( C )
A. C. 即为二次根式”，进行分析． 【答案】C 【点拔】判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣 B. D.
4．计算：
(1) 2 ________， ＝ 5 ＝________， 0 18
＝________；
(2) 5．化简： ＝________． (1)
7________， ＝
3 ＝________，
＝
________；
(2)
5
＝
课堂导学
6．计算：
6
＝
_________，
1
＝_________． 7．化简： ＝________， ＝
合集下载
2020春人教版八年级数学下册课件：第16章 16.1 第1课时 二次根式的概念
9．有一个长、宽之比为 5∶2 的长方形过道，其面积为 10 m2. (1)求这个长方形过道的长和宽； (2)用 40 块大小一样的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长． 解：(1)设这个长方形过道的长为 5x(m)，宽为 2x(m)，则 5x·2x＝10，∴x2＝1，解得 x1＝1，x2＝－1(不合题意，舍去)． 答：这个长方形过道的长为 5 m，宽为 2 m； (2)设这种地板砖的边长为 m(m)，则 40m2＝10，∴m2＝0.25，解得 m1＝0.5，m2＝－ 0.5(不合题意，舍去)． 答：这种地板砖的边长为 0.5 m.
图 16－1－1
解：设 x s 后，△PBQ 的面积为 35 cm2，那么根据路程＝速度×时间，可得 PB＝x， BQ＝2x，由三角形的面积公式，得 S＝12x·2x＝35.则 x2＝35，∴x＝ 35或 x＝－ 35(舍 去负值)，∴ 35 s 后，△PBQ 的面积为 35 cm2.
5．[2019·杭州长河中学月考]式子 x2－x＋11有意义的 x 的取值范围是( A )
A．x≥－12且 x≠1
B．x≠1
C．x≥－12
D．x＞－12且 x≠1
【解析】 由题意，得 2x＋1≥0 且 x－1≠0，解得 x≥－12且 x≠1.
6．用带根号的式子填空：
(1)面积为 S 的正方形的边长为___S__；
14．在如图 16－1－1 所示的 Rt△ABC 中，∠B＝90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为 35 cm2(假设 AB，BC 边都足够长)?
10．阅读下列材料： 我们在学习二次根式时，要使式子 x有意义，则 x≥0；要使式子 －x 有意义，则 x≤0；若式子 x＋ －x 有意义，求 x 的取值范围．这个问题可以转化为不等式组来 解决，即求关于 x 的不等式组x－≥x0≥，0的解集，解这个不等式组得 x＝0，请你运用上 述数学方法解决下列问题： (1)式子 x2－1＋ 1－x2有意义，求 x 的取值范围； (2)已知 y＝ x－2＋ 2－x－3，求 xy 的值．
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
人教版八年级下册16.1.1《二次根式》二次根式的概念课件
m m2
2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
二5的次算根术式平的方被根开是方_数__非_.负
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 二一((12))次般若(3根 地)二(5式，次)(的如7根)实果均式质一不是个是表数二示的次一平有根个方意式非等义. 负于，数a求，（m那的或么取式x 这值）个范1的数围算叫．术做平a方的根平.方根.
即求(二x+次3根)2式+m中-字9≥母0.的取值范围的基本依据2：
（）
一定是二次根式的有
（）
解：由题意得x2+6x+m≥0，
3个
B.
解：∵被开方数需大于或等于零，
16.1.1 二次根式的概念 4 已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：∵被开方数需大于或等于零，
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
问题2 这些式子有什么共同特征？
注意：a可以是数，也可以是式.
x＞2 B.
一定是二次根式的有 (本2)节无课论主x取要任学何习实了数二，次代根数式式的定义及被开方数都的有取意值义范，围求.m的取值范围．
(若2)式无子论为x取分任式何，实应数同，时代考数虑式分母不为零. 都有意义，求m的取值范围．
一(2)个无正论数x取有任两何个实平数方，根代；数式
都有意义，求m的取值范围．
人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件
第二十一页，共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页，共三十九页。
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a＜0时， a=2
-a ？
a(a＜0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系？
第十五页，共三十九页。
探究新知 归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
第三十页，共三十九页。
巩固练习
如图，是一个(yī ɡè)圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页，共三十九页。
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页，共三十九页。
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件16.1 二次根式第2课时 算术平方根及化简
=____=
ቊ
− < 0 .
典例分享
例 实数，，在数轴上的位置如图16.1-1所示，化简：
2 − − +
+ 2.
图16.1-1
[答案] 解 由图16.1-1可知， < −1， > 1，−1 < < 0，所以
+ > 0， − < 0.
所以 2 = −，− − = − ，
2−
2
+
−4
2
= 2，求的取值.
解：原式= − 2 + − 4 ，
当 < 2时，原式= 2 − + 4 − = 6 − 2 = 2，解得 = 2
（舍去）；
当2 ≤ < 4时，原式= − 2 + 4 − = 2，等式恒成立；
当 ≥ 4时，原式= − 2 + − 4 = 2 − 6 = 2，解得 = 4.
8.计算：
6
（1） 36 =___.
（2）
5
2
5
=___.
（3） −
2
0.5
=____.
1
−
=____.
3
（5）
（6）
（7）
（8）
2
3
2
−5
2
=__.
9
2
5
=___.
2−3
2− 3
2
3− 2
=_______.
2 023
2+ 3
2 024
− 2− 3
=__________.
人教版八年级数学下册课件
第十六章 二次根式
人教版《16.1二次根式》课件第一课时
已知
1 a
有意义,那么A(a,
a)
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
结束语
谢谢大家聆听！！！
23
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
二次根式 a 有意义的条件: ____ａ__≥_０_____
例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x2 2
(3) x2
(4) 1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
第十六章二次根式
16.1 二次根式
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
例1.下列各式是二次根式吗？
(1)32, (2)6, (3)9,
(4)12, (5)m m0 ,
(6) xyx,y异号 , (7)a2,(8)3 5.
切入点：从字母的取值范围入手。 l2.已知 x 2y 9与 x y 3互为相反数，
求 x 、y 的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
l3.已知 x 1 ，你能求出 x的取值范围吗？
3 x
切入点：分类讨论思想。
l4.若 1 0 a为一个非负整数，求非负整数 a 的值
若a.b为实数,且| 2a| b20 求 a2 b2 2b1的值。
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
道孚县十中八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学课件新版新人教版8
合作探究 形成知识
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 6 5 ， h ． 5
〔1〕这些式子分别表示什么意义 ？ 〔2〕这些式子有什么共同特征 ？
分别表示3，S，65， h 的算术平方根． 5
这些式子的共同特征是 : 都表示一个非负数〔包括字母或式子表示的非负数〕的算术平方根．
合作探究 形成知识
a;2 + 1
√
-x（x． ≤ 0）
√
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时 , 以下各式有意义．
（1） （3）
3- 4 x - x2
；（2） x
x -1
；
； （4） x-2- 2-．x
练习3 假设16-4n 是整数 , 那么自然数n 的值为 ___0__, _3_,_4___.
课堂小结
初步应用 巩固知识
例1 当x 是怎样的实数时 , x - 2在实数范围内有 意义 ？
解：要使
x - 2 在实数范围有意义， 必须 x-2≥0， ∴ x≥2．
∴ 当x≥2时， x - 2 在实数范围内有意义．
初步应用 巩固知识
例2 当x 是怎样的实数时，x 2 在实数范围内有意 义？ x 3 呢？
〔1〕本节课你学到了哪一类新的式子 ？ 一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号． 〔2〕二次根式有意义的条件是什么 ？二次根式的值的
范围是什么 ？ a 中的a≥0； a ≥ 0． 双重非负性
〔3〕二次根式与算术平方根有什么关系 ？ 二次根式都是非负数的算术平方根 , 带有根号的算术平方根是二次根
初步应用 巩固知识
例3 a 取何值时 , 以下根式有意义 ？
〔1〕 a + 1
16.1+二次根式+课件+2024-2025学年人教版数学八年级下册
4
0.01
4
9
0
a a(a 0)
2
2
算术平方根
…
观察两者有什么关系？
a
2
0.1
1
3
0
…
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
﹣2
﹣0.1
2
3
﹣3
…
平方运算
a2
4
0.01
4
9
3
2
算术平方根
…
a 2 a(a 0)
a
2
0.1
1
3
3
…
归纳小结
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
有“=”“>”或“<”等.
当堂检测
1. 求出下列各式中字母 a 的取值范围：
（1） − 1
解：（1） a ≥ 1.
3−2
+1
（2） a ≤ 1.
2
（3）a为任意实数.
（4）a
≤ 且a
≠-1.
2.已知a，b 为实数，且满足a= − + − +1,
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( 2 )2]2=(x+ 2 )2(x- 2 )2
这里逆用了( a )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解
因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
问题3：填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
2
3
0
…
平方运算
a2
平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
0.01
4
9
0
a a(a 0)
2
2
算术平方根
…
观察两者有什么关系？
a
2
0.1
1
3
0
…
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
﹣2
﹣0.1
2
3
﹣3
…
平方运算
a2
4
0.01
4
9
3
2
算术平方根
…
a 2 a(a 0)
a
2
0.1
1
3
3
…
归纳小结
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
有“=”“>”或“<”等.
当堂检测
1. 求出下列各式中字母 a 的取值范围：
（1） − 1
解：（1） a ≥ 1.
3−2
+1
（2） a ≤ 1.
2
（3）a为任意实数.
（4）a
≤ 且a
≠-1.
2.已知a，b 为实数，且满足a= − + − +1,
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( 2 )2]2=(x+ 2 )2(x- 2 )2
这里逆用了( a )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解
因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
问题3：填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
2
3
0
…
平方运算
a2
平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
16.1新人教版八年级数学下册第十六章二次根式(1)课件
（6） a-b（a＜ b）．
注意：代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
小结
1. a 表示什么含义? 当a>0时, a 表示a的正平方根; 当a=0时, a 表示a的平方根. 2. 当a满足什么条件时,代数式 a 才有意义? 由于负数没有平方根,所以当a≥0时, a 才有意义!
3. 代数式 a (a≥0)有如下特征:
（3）二次根式的性质: a ≥0 (a≥0) 双重非负性
新人教版 八年级下册
二次根式
1、什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做 a 的平方根 .
如果x2=a (x≧0)，那么 x 称为 a 的算术平方根．
用 表a (示a . 0)
2、平方根的性质有哪些？ 正数有两个平方根且互为相反数 ; 0 有一个平方根就是 0 本身 ; 负数没有平方根 .
归纳: 二次根式的定义
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式. a叫被开方数 注意：定义包含三个内容
1.必需含有二次根号 “ ”. 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子.
练一练
1、指出下列哪些是二次根式？
（1） 5 ；√
（2） -3 ； （3）3 21；
（4） x2+1 ；√ （5） a-2（a ≥ 2）； √
原式＝ 1
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x
x0
(3)
4x2 x为全体实数 (4)
1
x0
x
(6)
1 x2
x0
(7) 1 a 1 1 2a 2
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于等于零；
注意：代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
小结
1. a 表示什么含义? 当a>0时, a 表示a的正平方根; 当a=0时, a 表示a的平方根. 2. 当a满足什么条件时,代数式 a 才有意义? 由于负数没有平方根,所以当a≥0时, a 才有意义!
3. 代数式 a (a≥0)有如下特征:
（3）二次根式的性质: a ≥0 (a≥0) 双重非负性
新人教版 八年级下册
二次根式
1、什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做 a 的平方根 .
如果x2=a (x≧0)，那么 x 称为 a 的算术平方根．
用 表a (示a . 0)
2、平方根的性质有哪些？ 正数有两个平方根且互为相反数 ; 0 有一个平方根就是 0 本身 ; 负数没有平方根 .
归纳: 二次根式的定义
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式. a叫被开方数 注意：定义包含三个内容
1.必需含有二次根号 “ ”. 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子.
练一练
1、指出下列哪些是二次根式？
（1） 5 ；√
（2） -3 ； （3）3 21；
（4） x2+1 ；√ （5） a-2（a ≥ 2）； √
原式＝ 1
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x
x0
(3)
4x2 x为全体实数 (4)
1
x0
x
(6)
1 x2
x0
(7) 1 a 1 1 2a 2
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于等于零；
人教版下册课件：16.1二次根式性质
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
广丰实验中学饶绍仁
19
议一议
1. x 1 x 1 x 1 此式成立的条件_________.
ab2
ab2
a
a
b
b2
2∣b∣ ba
a
(a
(a 0,b
0,b 0)
0)
b a (a 0,b 0)
一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因
式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则这
样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号
外面.
广丰实验中学饶绍仁
6
观察思考
若(x 3)0 1 有意义,则x __2_且_ x 3
x 2 广丰实验中学饶绍仁
27
课堂检测
(1) 27 15
(2) a2 b
3) a3 (b 0) b
(4) 1 ab
(5） 18x3 (6) 12 y2 ( y 0)
广丰实验中学饶绍仁
28
课堂检测
（7）.化简二次根式
1 x
结果是. 1 x
广丰实验中学饶绍仁
30
2
2 3
___23___6_,
2
2 3
___23__6__
3 3 ___34 __6_, 3 3 __34__6__
8
8
4
4
8 15
__15____
4
4
8 15
_1_5____