有电场力参与的圆周运动

有电场力参与的圆周运动

这类题属于高中物理中难度偏大的一类题，由于过程复杂；所用知识点较多；再加上部分数学知识的限制，大多数学生对这类题采取敬而远之的态度，不做或只做一部分，下面我们把这类题归类总结下下，看它们使用了哪些知识点，用了什么样的解题方法：

这类题常用到的两个知识点：

1、动能定理或能量转换与守恒定律。

2、向心力公式的应用

首先复习一下这两个知识点：

1、动能定理和能量转换与守恒定律。

（1）动能定理：合力做功或所有力做功的代数和等于物体动能的增量（可分段使用，也可以全程使用）。

（2）能量转换与守恒定律:在只有重力和电场力做功的条件下，实现物体的重力势能、电势能和动能这三者之间的等量转化，而这三者之和保持不变。

2、向心力公式的应用。

物体做圆周运动时，在圆周上某一点物体受到的指向圆心的合力就是物体通过该点所需要的向心力。在使用向心力的公式时，通常遇到复合场的最高点和最低点问题，那么怎么确定复合场的最高点和最低点呢，有以下几种方法：

（1）平衡位置确定法：将带电物体放在圆周上某一点，如果带电物体能够在重力、电场力和弹力的共同作用下处于平衡，那么该点就是

复合场的最低点。

（2）对称法：带电物体在复合场中做部分圆周运动时，其往复运动的轨迹中点就是复合场的最低点。

（3）最大速度确定法：物体在复合场中做圆周运动时，通过复合场 最低时的速度一定是最大的，我们可以利用数学知识确定最大速度出现的位置，那么该位置就是复合场的最低点。

而在圆周上与最低点关于圆心对称的另一点就是复合场的最高点，带电物体只有通过最高点才能做完整的圆周运动。

例1、在水平方向的匀强电场中，用长为L 绝缘细绳拴住一质量为m 带电小球，细绳的另一端固定。已知小球受到的电场力m g Eq 3

3=。今将小球拉起使细绳绷紧处于水平（如图）由静止释放，求小球在何

位置速度最大，最大速度是多少？

解：我们首先利用“平衡位置”确定最

低点的位置，然后利用动能定理再计算

它在平衡位置的最大速度。

如果把带电小球放入电场中的某一

位置处于平衡，此时细绳和竖直方向

的夹角为θ，有平衡条件知：

3

3tan ==mq Eq θ030=θ 这一位置就是重力场和电场组成的

复合场的最低点，小球从初始位置摆动到该位置时的速度最大，

由动能定理知2002130sin 30cos mv EqL mgL =- 又m g Eq 3

3= gL v 332= 下面我们利用数学知识，来确定最大速度及最大速度出现的位置 设带电小球摆到细绳和竖直方向的夹角为θ时速度为v,由动能定理知：221sin cos mv EqL mgL =-θθ 由于m g Eq 33=

所以：2221)sin 21cos 23(33221)sin 33(cos mv mgL mv mgL =-?=-θθθθ []

2021)30cos(332mv mgL =-θ 可见当1)30cos(0=-θ 即030=θ时，带电小球的速度最大，最大速度为gL v 3

32= 例2、如图所示，轻绳长为L ，一端固定在O 点，另一端拴一个电荷量为+q 的小球，已知qE=3mg ，若要使小球能在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A 的最小速度为多大？

解：首先根据平衡法确定圆周上的A 点就是复合

场的最低点，与A 点关于圆心O 对称的B 点就是

复合场的最高点，只要带电小球能够通过最高点，

就能在竖直平面内做圆周运动，已知小球在B 点

受到三个力的作用，分别是重力、电场力和细绳的拉力，由向心力的公式可知：

L

mv mg qE F B T 2=-+ 当0=T F 时，带电小球通过B 点时的速度最小

gL v mv mgL L

mv mg qE B B B 2222=?=?=- 带电小球从A 点运动到B 点，电场力做负功，重力做正功，细绳的拉力不做功，由动能定理知gL v mv mv qEL mgL A A B 102

22222=?-=- 该题要注意以下三个方面的问题：1、要知道复合场中最低点和最高点是怎么确定的。2、要会计算带电小球恰好通过最高点的隐含条件。3、要会使用动能定理。

例3、如图所示，匀强电场中有一半径为r 的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行。a 、b 为轨道直径两端，该直径与电场方向平行，一电荷量为q （q>0)的质点沿轨道内侧运动，经过a 点和b 点时对轨道压力的大小分别为a N 和b N ，不计重力，求电场强度的大小E 、

质点经过a 点和b 点时的动能。

分析;质点经过a 、b 两点时所受到的向

心力是弹力和电场力的合力，根据向心

力的公式知：

???

????=-=+r m v qE N r m v qE N b

b a a 22 又：2

2222a b mv mv qEr -= 联立求解得：q N N E a b 6-= 125r N r N E b a kb -=125r N r N E a b ka -=

例4、如图所示，光滑水平轨道与半径为R 的光滑竖直半圆轨道在B 点平滑连接，在过圆心O 的水平界面MN 的下方分布着水平向右的匀强电场，现在有一质量为m 、电荷量为+q 的小球从水平轨道上的A 点由静止释放，小球运动到C 点离开半圆轨道后，经界面MN 上的P 点进入电场（P 点恰好在A 点的正上方，如图所示，小球可视为质点，小球运动到C 点之前电荷量保持不变，经过C 点后电荷量立即变为零）。已知AB 间的距离为2R ，重力加速度为g 。在上述运动过程中，求：

（1）电场强度的大小

（2）小球在半圆轨道上运动的最大速率

（3）小球对半圆轨道的最大压力

分析：（1）根据平抛运动的知识可得，小球到达C 点时的速度为C v 由t v R s gt R h C ====22

12和，可知gR v C 2=

（2）小球在由A 经B 到C 的过程中，根据动能定理可知： 22123C mv R mg R qE =-,所以q m g E = （3）由平衡法可知，B 点右侧与圆心的连线和竖直方向的夹角等于450处是复合场的最低点，小球运动到此处时的速度最大，对轨道的压力也最大，由动能定理知：22

1)22()222(m mv R R mg R R qE =--+ )21(2+=gR v m

再由向心力的公式知R mv mg F m N 22=- mg mg F N 232+= 解毕

例5、如图所示，AB 是位于竖直平面内、半径R=0.5m 的4

1光滑绝缘圆轨道，其最低点B 与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度E=5×103N/C 。现有一质量为m=0.1kg 、带电量q=+8×10-5C 的小滑块，（可视为质点）从A 点由静止释放，若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.05，取g=10m/s 2,求：

（1）小滑块第一次经过圆弧轨道

最低点B 时对B 点的压力

（2）小滑块在水平轨道上通过的

总路程。

分析：（1）小滑块第一次从A 运动

到B 的过过程中，重力做正功、电场力做负功，根据动能定理知：)(6.9222122m N qER mgR mv mv qER mgR B B ?=-=?=- 再由向心力的公式知：)(2.2022N R

mv mg F R mv mg F B B B B =+=?=- （2）由于小滑块受到的电场力大于所受到的摩擦力，所以小滑块不可能静止在水平面上的某一点，经过多次的往复运动，最终小滑块会在圆弧上某一点为中心（B 点是最低点）两侧做往复运动，由动能定理知：0

=--mgs qEr mgR μ

)(6m mg qER mgR s =-=μ 例6、半径为r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m ，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图所示，珠子所受电场力是其重力的4

3倍，将珠子从环上最低位置由静止释放，

037=θmgr E km 4

1=则：

（1）珠子所能获得的最大动能是多少？

（2）珠子对环的最大压力是多大？

解：设珠子运动到最低点右侧和圆心的连线与竖直方向的夹角为θ时动能最大，由动能定理:

22

1)cos 1(sin m mv mgr qEr =--θθ知:m gr m gr m gr m gr m gr m gr m v m --=-+=-+=)37cos(4

5)cos 54sin 53(45)cos sin 4

3(2102θθθθθ 所以当时，珠子获得的动能最大

最大动能为 例7、光滑绝缘轨道AB 部分为倾角300的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道

相切整个装置处于场强为E 方向向

右的匀强电场中，现有一质量为m 的小球，带正电荷量为E

m g q 33=,要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度为多大？ 分析：小球受到的重力和电场力的合力为332)()(22mg Eq mg F =+= 与竖直方向夹角为θ，则3

3tan ==mg qE θ030=θ 即两者合力的方向垂直于斜面向下，小球将在斜面上做匀速直线运动。

由动能定理知：220212123322mv mv R mg R F -=-

=- 且g R v 3322= 所以Rg v 3

3100= 解毕 可见，这一类的题，只要我们能熟练使用动能定理和向心力的公式，再注意一下复合场的最高点和最低点的确定方法，完全可以完整的把这类题求解出来。