相似性原理和量纲分析课件

1： dim p dimv a d b c
1 1
1

3 c1
ML T
1
2
LT

1 a1
L ML
b1
比较两边系数 M L T
1 c1 1 a1 b1 3c1 2 a1
得a1=2，b1=0，c1=1 同理 2
p 1 2 v
p 无量纲数 Eu 2 v p v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
FEP FIP FEm FIm
FE El 2
FI l 2v 2
改成
FIm FIP FEP FEm
E——弹性模量
Pv2 p
Ep

2 m vm
Em
Ca
（*）
无量纲数
v 2
相似性原理
1.力学相似
（1）几何相似
lp lm

dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am vp vm

2 lp 2 lm
l2

l3 p
3 lm
3 l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似
vp vm

up um
v
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
2.相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，
组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP FTm FIm
改成
FIP FIm FTP FTm
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a
E
v P vm a P am
无量纲数

代入（*）式，得
v M a
马赫数——弹性力的相似准数
（5）其它准数
W
v 2 l

惯性力 表面张力
韦伯数——表面张力的相似准数
Sr
l
v
vt l
时变惯性力 位变惯性力
——几何学量 ——运动学量 ——动力学量
2.无量纲的物理量
abc0
如 dim Re dim
vd

LT L M
1
0 0
L2T 1
L T 0 1
无量纲物理量的意义： （1）客观性；
（2）不受运动规模的影响；
（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；
（4）可进行超越函数的运算
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m
原型是空气υp=15.7×10-6m2/s
Re vd

3 107
属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
vm 0.12 Re 50000 vm 6.5m / s 6 15.7 10
2 k l l v p f Re, v 2 dd d 2
k f Re, d
（2）雷利法 有关物理量少于5个
f q1, q2 , q3 , q4 0
3个基本量，只有一个π项
小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要的
υp——水
m
p
10
3 2

p
31.62
υm——很困难 自模区——阻力平方区 （与Re无关）
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s）
υm——水（1.007×10-6m2/s）
l 6.24
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
Q vA vl 2
Q vl2
佛劳德准则： v l
2 Q 5 l
2 52 3 Qp Qm5 300 20 537000 L / s 537 m /s l
F ma v 2l 2
2 F 2 v l
温度不变的水： 1 由佛劳德准则
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
基本量独立条件：指数行列式不等于零
m=3
dim v LT 1
dim d L
a1 0，b1 1 ，c1 1
a2 0，b2 1 ，c2 0
dim ML3
a3 1 ，b3 3，c3 0
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
gd 0 T0 Ar 2 v0 Te
浮力与重力之差（有效 重力） 惯性力
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
3.准则的选择 很难实现同时满足两个以上准数相等 例：若同时满足Re数相等和Fr数相等 （1）同种介质（υp=υm） Re： v pl p vmlm
l pm
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ ，且μ 相同
vl Re pvl
p p v pl p pmvmlm
20 1 vm v p 300 200km / h lm Pm 1 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007106 m2 / s
空气 15.7 106 m2 / s
v pl p vmlm
p
m
201.007106 vm v p 300 385km / h 6 lm p 115.7 10
0
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1
1 0 1 0 0
0 1 1 3
c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个
p 1 a1 b1 c1 v d
2

v a2 d b2 c2
3
l v a3 d b3 c3
k 4 a4 b4 c4 v d
d.决定各π项的基本量的指数
谢谢!
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1
雷诺准则 λυ≠1
弗劳德准则
长度比尺λl
流速比尺λv 加速度比尺λa 流量比尺λQ
λl
λl-1 λl-3 λl
λl
λυ-1λl2 λυ2λρ λυ2λl-2λρ λυ2λlλρ λυ3λl-1λρ
量纲分析
1.量纲 量纲的和谐性 基本量纲——相互独立的 不可压缩流体的基本量纲——M、L、T
a b c dim A M LT 物理量A的量纲
如 dim F MLT 2
a0 a0 a0
b0
c0 c0
此时 v 8 1.23 6.5
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、
压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？ 解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则 υ相同
v pl p vmlm
λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
λl
λl1/2 λl0 λl5/2
比尺 名称 雷诺准则 弗劳德准则 λl1/2 λl3λρ λlλρ λl4λρ λl7/2λρ
λυ=1
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN λl2 λρ λl-2λρ λlλρ λl-1λρ
λυ≠1
λv——速度比尺
时间比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
加速度比尺
v 2 a v t l
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验
的目的
（3）动力相似
Fp Fm
F
λF——力的比尺
达朗伯定理：
FT FG FP FE FI 0
3. 量纲分析法
（1）π定理（布金汉法）
f q1 , q2 ,, qn 0
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
f 1, 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l, d , k , v 0
k 4 d

vd
l 3 d
e.整理方程式
p l k f 1 , 2 , 3 , 4 f v 2 , vd , d , d 0
p l k f , , 2 v vd d d
p kl f Re, 2 v dd
FI l 2v 2
2 vm g p l p g m lm
v2 p
无量纲数
v2 Fr gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
FPP FIP FPm FIm
改成
FPP FPm FIP FIm
FI l 2v 2
FP l 2
Pm PP 2 2 P v P m vm
2 v Fr（gp=gm）： m l p lm
v
1
l
v2 p
v l

1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
v pl p vmlm Re：
p
m
v l
v l
Fr：
3 2 l

取 l 10
dv FT A lv lv dy
FI ma l 2v 2
v pl p
p

vmlm
m
无量纲数
Re
vl

雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3