第二章初等模型-Xidian

和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
显然，运动67员.5 体重越大，他1能41举.5 起的重量也越1大80，但举重
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个
方程组：相用对方thh于法1 石二t3块先kg24速求(0tt度一132.，次91k声h，e音令速kt1t度2=) 要h/3快k4g02得，多校这非解为竟非似，正一线不了要线乎我t方性太估去性不，们的程容算解主合求可，组易崖一程情石求是，高个组理
0.6 0.5 d 0.4d
一般 k1 16 ~ 32 故 Q 1
k2
Q 1 8l / d
记h0=.3l/d并令f(h)= 1
此函数的图形为
0.2
8h 1
0.1
考 取虑h=到3或美040 观，和1即使l=2用3d上（3或的4方d4）便，，5 此h不时6必房取7屋得热过8量大的9，损例失1如0不h，超可过
解相应方程组，求得：
x y 其分中 别为(x和ix,yi和i) yi
的平均值
x O
a
b
n i 1
(
xi
x)(
n i 1
(
xi
y ax
yi x) 2
y)
例1（举重成绩的比较）
举重重量是级一（种上限一体般人都能看懂成的绩运动，它共分
九个重量重级），有两抓种举（主公要斤的） 比赛挺举方（法公：斤）抓举
k2
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
令k=K/m，解得
v
dt
cekt
g
k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
v g g ekt
kk
再积分一次，得：
h
g
t
g k2
e kt
c
代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
h g t g ekt g g (t 1 ekt ) g ①
k k2
k2 k k
初等模型
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 | BP |2 a2 | AP |2 即：
A(0,b)
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据 画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很
象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而
利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的
如则关y果可系建作式模变，者量故y判替=断ya换ix-(变+使abx量i之+间b转)=的化0关一为i系n般线1 并[不性y此非成关i 式线立系对性，(或aa关但用和xi系我类b的而们似b偏是希方)导]其望2数法他均拟类最合型为小。的0，函数，
θ1
x2 (y b) 2 a2 [x2 (y - b)2 ]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2
y
a a
2 2
2
11 b
4a 2b2 (a 2 1)2
令： h a2 1b, r 2ab
a2 1
a2 1
则上式可简记成 ：
x2 ( y - h)2 r2
汇合由点此p必关位系于式此即圆可上求。出P
k1
Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1
2
T2 k1l k2d
f(h)
室
室
1内
外
0.9 0.8 T1
T2 0.7
类似有
Q
k1
T1 T2 2d
Q
2
Q 2 (k1l) /(k2d )
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
§2.4 经验模型
当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。
h 1 gt 2 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻
力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下
落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可
得：
F m dv mg Kv
y
(tan 1 ) x
b（航母的路线方点程的）坐标和θ2 的值。
本模型虽简单，但分析
y (tan 2 )x b（护卫舰的路线极方清程晰且）易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q=kΔT/d
dl
d
Q
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
单层玻璃窗时的 4%-3% 。
§2.3 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式