第二章 初等模型

观察
计数器读数增长越来越慢！
问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 0000 计数器
录像带运动方向
录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
右轮转速不是常数
模型假设
• 录像带的运动速度是常数 • 计数器读数
v；
n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； w；
打分原则：（可以提建议）
1、组间打分（5分为满分） 5分：很好 4分：好 3分：及格 2分：不好 1分：非常不好 2、老师打分，组内打分（5分为满分） 5分：积极肯干，富有创造性 4分：参与讨论，收集资料，动手写作 3分：参与讨论，协助同组同学的工作 2分：毫无创造性，也不积极参与 1~0分：根本不参与 我校的成绩：优，良，中，及格，不及格
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
21席Байду номын сангаас分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过
2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之
后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回
（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调 查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人 数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外， 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次， 而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个 会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备 多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至 少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求 保 证在 三 个 月 内 至 少 95%的 会 员 能够看 到该 DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张
数和当前需要处理的1000位会员的在线订单， 如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得 最大的满意度？请具体列出前30位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数
量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你 如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些 DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得 到他想看的DVD，并且满意度最大？
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 • 空右轮盘半径记作 • 时间
r；
t=0 时读数 n=0 .
建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
建模目的
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
―公平”分配方 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
温室效应
相关理论：
Newton引力模型 碰撞的动力学 冰的热力学（冰融、汽化）、热传导 生态系统（磷虾.krill） 水温 轨迹
后期工作：
预测与预警
考核与评分： 以下作业任选一个:
• 每次讲课的小作业选做两道，大作业选做一道， 提交电子版本，打印稿，做成ppt 给大家报告可以 加分。（作业书写以标准比赛论文形式） • 看懂一篇优秀论文（全国二等奖以上）做成ppt给 大家讲解，提交论文原始资料，你的ppt打印稿和 电子版。 (可以3人团队合作，必需每人都要解答问题，报告 时间30－60分钟，报告的同学加分） Deadline ：6月18日截止，之前的任意时间。 （讲课时间6月11日结束）
2005CUMCMB题： DVD在线租赁
考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴 纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租 赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在 线提交订单，网站就会通过快递的方式尽 可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单
假如小行星的直径大约为1000米，还假设它 正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供 评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞 击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区 的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成 的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的 大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的 估计。
定义 Qi
2 pi
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
Q值方法 分配结果
Q3最大，第 21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
t
wk
v

2
2rk n n v
2

思 考
m i 1
3种建模方法得到同一结果
2 (r wi ) vt
[(r wkn) r ] wvt
2 2
t
wk
v
2
(r wkn)2kdn vdt
2rk n n v
2
但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
思 考
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
―公平”分配方 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
rA, rB的定义
2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1)
2 (r wi) vt
i 1
m
m kn
t
wk
v
2
2rk n n v
2
模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即
2 2
3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有
[(r wkn) r ] wvt (r wkn)2kdn vdt
2.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？