第二章：初等模型习题解答

合集下载

完整版高中数学必修一第二章基本初等函数学习复习计划练习题及答案

高中数学必修一第二章根本初等函数试题一、选择题：、假设f(x)x1，那么f(3)〔〕1A、2B、4C、22D、102、对于函数y f(x)，以下说法正确的有〔〕①y是x的函数；②对于不同的x,y的值也不同；③f(a)表示当x a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来。

A、1个B、2个C、3个D、4个3、以下各组函数是同一函数的是〔〕①f(x)2x3与g(x)x2x；②f(x)x与g(x)2x0与g(x)1x；③f(x)；x0④f(x)x22x1与g(t)t22t1。

A、①②B、①③C、③④D、①④4、二次函数y4x2mx5的对称轴为x2，那么当x1时，y的值为〔〕A、7B、1C、17D、255、函数y x26x5的值域为〔〕A、0,2B、0,4C、,4D、0,6、以下四个图像中，是函数图像的是〔〕y y y yO x O x O x O x〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕A、〔1〕B、〔1〕、〔3〕、〔4〕C、〔1〕、〔2〕、〔3〕D、〔3〕、〔4〕7、假设f:A B能构成映射，以下说法正确的有〔〕〔1〕A中的任一元素在B中必须有像且唯一；〔2〕B中的多个元素可以在A 中有相同的原像；〔3〕B中1的元素可以在A中无原像；〔4〕像的集合就是集合B。

A、4个B、3个C、2个D、1个8、f(x)是定义在R上的奇函数，以下结论中，不正确的是()．．．A、f(x)f(x)0B、f(x)f(x)2f(x)C、f(x)gf(x)≤0f(x)1 D、f(x)9f(x)22(a1)x2,4a的取值范围是〔x在区间上是减少的，那么实数〕、如果函数A、a≤3B、a≥3C、a≤5D、a≥510、设函数f(x)(2a1)x b是R上的减函数，那么有〔〕A、a1B、a1C、a≥1D、a≤1222f(a)f(b)20成立，那么必有〔〕11、定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a,b，总有baA、函数f(x)是先增加后减少B、函数f(x)是先减少后增加C、f(x)在R上是增函数D、f(x)在R上是减函数12、以下所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为〔〕1〕我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；2〕我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间；3〕我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

第二章基本初等函数答案

第二章基本初等函数第6讲函数的概念及其表示方法A. 课时精练 1. C 2. A 3. D4. A 【解析】令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，令4a －1＝6，解得a ＝74.5. CD 【解析】在A 中，当x ＝±1时，y ＝log 21＝0∉N ，故A 错误；在B 中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故B 错误；在C 中，任取x ∈M ，总有y ＝2|x |∈N ，故C 正确；在D 中，任取x ∈M ，总有y ＝x 2∈N ，故D 正确．6. AC 【解析】对于A ：y ＝f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －11x ＝－x ＋1x＝－f (x )，所以函数y ＝x －1x 符合题意．对于B ：y ＝f (x )＝x ＋1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋11x ＝x ＋1x ＝f (x )，所以函数y ＝x ＋1x 不符合题意．对于C ：当0<x <1时，1x >1，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－11x ＝－x＝－f (x )；当x ＝1时，f (1)＝0；当x >1时，0<1x <1，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1符合题意．对于D ：y ＝f (x )＝ln1－x1＋x(x ≠0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln 1－1x1＋1x＝ln x －11＋x ≠－ln x －11＋x ，所以函数y ＝ln 1－x 1＋x(x ≠0)不符合题意． 7. [0,1]8. －2 1 【解析】因为f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2，(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，所以⎩⎨⎧－2a －b ＝3，a 2＋2ab ＝0，－a 2b ＝－a 3－3a 2，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.9. 9 [3，＋∞) 【解析】若a ＝1，则f (f (2))＝f (3)＝23＋1＝9.当x ＞2时，f (x )＝2x ＋a ＞4＋a ；当x ≤2时，由函数的值域为R 可知，a ＞0，此时f (x )≤2a ＋1，结合分段函数的性质可知，2a ＋1≥a ＋4，即a ≥3.10. 【解答】 (1) 因为f (x )的定义域为[－1,5]，所以f (x －5)需满足－1≤x －5≤5，解得4≤x ≤10，所以f (x －5)的定义域为[4,10]． (2) 因为f (x －1)的定义域为[0,3]，所以0≤x ≤3，－1≤x －1≤2，所以f (x )的定义域为[－1,2]． (3) 因为f (x )的定义域为[0,1]，所以g (x )需满足⎩⎨⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎨⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤m ＋1.当1－m ＜m ，即m >12时，g (x )的定义域为∅；当1－m ＝m ，即m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当1－m ＞m ，即0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]． 11. 【解答】由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73.由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.如图，作出函数f (x )的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≥23，x ＋2，13<x <23，4x ＋1，x ≤13，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.(第11题)B. 滚动小练12. B 【解答】选项A 中，由x ＞y ＞0，得1x －1y ＝y －x xy ＜0，所以1x ＜1y ，故A 不正确．选项B 中，将不等式两边平方得x ＋y －2xy ＜x －y ，整理得y ＜xy ，所以y ＜x ，由于x ＞y ＞0，所以上式成立，故B 正确．选项C 中，由x ＞y ＞0得，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，故C 不正确．选项D 中，由x ＞y ＞0得，x 2－xy ＝x (x －y )＞0，所以x 2＞xy ，故D 不正确．13. A 【解答】若a |b |＞1，则a ＞0，所以a ＋|b |≥2a |b |>2；反之不成立，例如取a ＝－1，b ＝－5，满足a ＋|b |＞2，而a |b |＞1不成立．所以“a |b |＞1”是“a ＋|b |＞2”的充分不必要条件．14. 【解答】 (1) 因为g (x )的图象开口向上，且对称轴方程为x ＝1，所以g (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧g (x )min ＝g (2)＝4a －4a ＋1＋b ＝1，g (x )max ＝g (3)＝9a －6a ＋1＋b ＝4，解得a ＝1，b ＝0.(2) 因为f (x )－k >0在x ∈(2,5]上恒成立，所以只需k <f (x )min ，x ∈(2,5]．由(1)知f (x )＝x 2－2x ＋1x －2＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，所以k <4. 第7讲函数的单调性与最值第1课时函数的单调性A. 课时精练 1. B 2. C3. D 【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )为增函数，由f (a 2－4)>f (3a )，得a 2－4>3a ，即a 2－3a －4>0，解得a <－1或a >4.故选D.(第3题)4. D 【解析】依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝134，因此a >134，故选D.5. ABD 【解析】根据题意，函数f (x )＝bx ＋3ax ＋2＝b a(ax ＋2)＋3－2b a ax ＋2＝3－2b aax ＋2＋ba ，其定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－2a .若函数f (x )＝bx ＋3ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有a >0，－2a ≤－2且3－2b a ＜0，即0＜a ≤1且b >32a ，据此分析选项：A ，B ，D 符合．故选ABD.6. AD 【解析】对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f (a )－f (b )a －b >0，则函数f (x )在定义域内为增函数；对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥f (x 1)＋f (x 2)2成立，则函数f (x )为“凸函数”．对于A ，f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2，故满足条件①②；对于B ，f (x )＝－2x －1在R上为减函数，不满足条件①；对于C ，f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，不满足条件①；对于D ，f (x )＝－x 2＋4x －3图象的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.7. (－1,0)∪(0,1)8. (3,4] 【解析】因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以x ＞3.又f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )，2＝f (2)＋f (2)＝f (4)，所以f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )≤f (4)，所以⎩⎨⎧x 2－3x ≤4，x >3，解得3＜x ≤4，所以x 的取值范围是(3,4]．9. 1 (－∞，1] 【解析】因为f (x )＋f (－x )＝12x ＋1－x ＋12－x ＋1＋x ＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1.由f (x )＋f (1－2x )≤1，即f (x )＋f (1－2x )≤f (x )＋f (－x )，即f (1－2x )≤f (－x )，而y ＝f (x )为减函数，所以1－2x ≥－x ，解得x ≤1.10. 【解答】 (1) 当a ＝－2时，任取x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2) 任取1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．11. 【解答】(1) f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝2×2＝4. (2) 令x ＝1，y ＝0，则f (1)＝f (1)·f (0)，所以f (0)＝1.当x <0时，－x >0，f (x )·f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝1，其中f (－x )>1，所以f (x )>0，故对任意x 有f (x )>0恒成立．设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1.由f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)·f (x 2－x 1)>f (x 1)，所以f (x )在R 上是增函数．(3) 因为f (2)＝4，所以f (2－x )>4即f (2－x )>f (2)．由(2)知2－x >2⇒x <0，所以原不等式的解集为(－∞，0)．B. 滚动小练 12. A13. CD 【解析】对于A ，当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故A 错误．对于B ，当a ＝－1，b ＝－2时，1a 2<1b 2不成立，故B 错误．对于C ，因为a >b ，两边同时减去c 有a －c >b －c 成立，故C 正确．对于D ，因为a >b ⇒－a <－b ，又y ＝e x 为增函数，故e －a <e －b 成立，故D 正确．14. 【解答】(1) 因为f (x )的图象经过点(0,1)，所以c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (x )＝ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a＝－13＋12，1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12，解得a ＝－6，b ＝1.(2) 由(1)知f (x )＝－6x 2＋x ＋1，则方程f (x )＝kx ＋7等价于方程6x 2＋(k －1)x ＋6＝0，令g (x )＝6x 2＋(k －1)x ＋6，即g (x )的两个零点满足x 1，x 2∈(0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (2)>0，0<1－k12<2，Δ>0，即⎩⎨⎧k >－14，－23<k <1，k >13或k <－11，解得－14<k <－11，所以实数k 的取值范围是(－14，－11)．第2课时函数的最值A. 课时精练 1. D 2. C3. D 【解析】由f (2)＝4，得m ＝－2，即f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥3，－2x ＋8，x ＜3.由函数f (x )存在最小值，得⎩⎨⎧a ＞1，log a 3≤－2×3＋8，解得a ≥ 3.故选D.4. C 【解析】由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因此f (x )在定义域内为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5. BCD 【解析】 f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2,6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝f (4)＝2ln 2，f (x )在(2,6)上无最小值．故选BCD.6. ACD 【解析】因为|sin x |≤1，所以y ＝sin x 为有界函数；⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，无上界，所以B 不是有界函数；y ＝e x －e －x e x ＋e －x ＝e 2x －1e 2x ＋1＝1－2e 2x ＋1，因为0<2e 2x ＋1<2，所以－1<1－2e 2x ＋1<1，即|y |<1，所以y ＝e x －e －x e x ＋e －x 是有界函数；函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋1为实数上的连续函数，所以在区间[－4,4]上一定有最大值和最小值，所以是有界函数．故选ACD.7. 14 【解析】当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．当0<a <1，则y ＝a x 为减函数，有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14.8. 22 【解析】由⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}，由题意知y ＞0，则y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2－(x ＋1)2＋4，当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，所以m M ＝22.9. 3e 2－1 【解析】当x ≥e 时，(x －ln x )′＝1－1x >0，此时函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递增，值域是[e －1，＋∞)．当x <e 时，y ＝－12x ＋m 是减函数，其值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞⊆[e －1，＋∞)，所以－e 2＋m ≥e－1，解得m ≥3e 2－1，故实数m 的最小值是3e2－1.10. 【解答】 (1) 因为f (x )的值域是[0，＋∞)，即f (x )min ＝0，所以4(2a ＋6)－(4a )24＝0，所以a ＝－1或32.(2) 若函数f (x )≥0恒成立，则Δ＝(4a )2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32，所以g (a )＝2－a |a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a ≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a ≤1时，g (a )＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，所以g (a )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4；当1<a ≤32时，g (a )＝－a 2＋a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋94，所以g (a )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2.所以函数g (a )＝2－a |a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4.11. 【解答】 (1) 由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x >0.当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2) 设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2.(3) 对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立，所以a >3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．设h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)，则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2，即实数a 的取值范围是(2，＋∞)． B. 滚动小练 12. []－2，213. (－2,8) 【解析】因为4x ＋1y ＝1，所以x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4＋16y x ＋xy＋4≥8＋216y x ·xy＝16，当且仅当x ＝16y ，即y ＝4且x ＝64时取等号．因为x ＋4y >m 2－6m 恒成立，所以16>m 2－6m ，解得－2<m <8，即m ∈(－2,8)．14. 【解答】 (1) 因为函数f (x )＝x ＋bx 2＋4为奇函数，所以对∀x ∈R ，都有 f (－x )＝－f (x )，即－x ＋b (－x )2＋4＝－x ＋b x 2＋4，解得b ＝0，所以 f (x )＝xx 2＋4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 222＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0.(2) f (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．证明如下：∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋4－x 2x 22＋4＝x 1(x 22＋4)－x 2(x 21＋4)(x 21＋4)(x 22＋4)＝(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4). 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，(x 21＋4)(x 22＋4)>0，当x >2时，x 1x 2－4>0，(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时f (x )单调递减．当0<x <2时，x 1x 2－4<0，(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4)<0，即f(x1)<f(x2)，此时f(x)单调递增．所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．第8讲函数奇偶性与周期性、对称性第1课时函数奇偶性的判定与周期性A. 课时精练1. D2. D【解析】由题意得当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，所以f(x)＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x，所以f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.3. B【解答】根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x＋a，则有f(0)＝log24＋a＝0，解得a＝－2.则当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x－2，则f(2)＝log2(4＋4)＋3×2－2＝7.又由f(x)为定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－7，故选B.4. D【解答】根据题意，对于函数f(x)，其定义域为{－2，－1,0}，有f(－2)＝－1，f(－1)＝0，f(0)＝1，对于y＝f(x＋1)，其定义域为{－3，－2，－1}，不是奇函数也不是偶函数，A，B错误；对于y＝f(x－1)，其定义域为{－1,0,1}，且f(－1－1)＝f(－2)＝－1，f(0－1)＝f(－1)＝0，f(1－1)＝f(0)＝1，为奇函数，故D正确，C错误．故选D.5. ABD6. ABD【解答】因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x ＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以函数f(x)关于点(1,0)及点(－1,0)对称，则f(x)可为奇函数，例如f(x)＝sin(πx)；也可以为偶函数，例如y＝cos πx2，故选项A，B正确；又因为函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数，故选项C错；因为f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝－f(x ＋3)，所以f(x＋3)是奇函数，故选项D正确．7. 18. (5，＋∞)【解析】因为函数f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称．因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减．因为f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.9. 0 f (x )＝⎩⎨⎧ x |x －2|，x >0，x |x ＋2|，x ≤0【解析】因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.当x >0时，f (x )＝x |x －2|，所以设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－x )|－x －2|＝x |x ＋2|，所以f (x )＝⎩⎨⎧x |x －2|，x >0，x |x ＋2|，x ≤0. 10. 【解答】(1) 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数．(2) 因为x ∈[2,4]，所以－x ∈[－4，－2]，所以4－x ∈[0,2]，所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.因为f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11. 【解答】 (1) 根据题意，f (x )＋g (x )＝x x －1，则f (－x )＋g (－x )＝－x －x －1＝x x ＋1. 又f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，则f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝x x ＋1，联立两式解得f (x )＝x 2x 2－1，g (x )＝x x 2－1. (2) 由(1)的结论，f (x )＝x 2x 2－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 21x 2－1＝－1x 2－1，则有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2x 2－1＋－1x 2－1＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (4)＝3.B. 滚动小练12. AB13. ABD 【解析】对于A ，x 2＞1⇒x ＞1或x ＜－1，所以“x ＞1”是“x 2＞1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，因为f (x )为偶函数，所以a ＝－5，因为定义区间为[a ，b ]，所以b ＝5，因此f (x )＝x 2＋5，其最小值为5，故B 正确；对于C ，命题“∀x ＞0，都有x ＋1x ≥2”的否定是“∃x 0＞0，使得x 0＋1x 0＜2”，故C 错误；对于D ，由条件得⎩⎨⎧ 2x ∈[0，2]，8－2x ≥0，所以⎩⎨⎧ x ∈[0，1]，x ∈(－∞，3]，所以x ∈[0,1]，故D 正确．14. 【解答】 (1) 由题设可知，a <0且－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以－b －8a ＝－1，－1－b ＝－6，解得a ＝－3，b ＝5，所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2) 因为a <0，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，所以b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，故c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ≤－2512. 第2课时函数性质的综合应用A. 课时精练1. B2. A3. D4. B 【解析】由已知可知，f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，f (4＋x )＝f [2＋(2＋x )]＝－f (2＋x )＝f (x )，即f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 020－ln 2)＝f (－ln 2)＝－f (ln 2)＝e a ln 2＝2a ＝8，解得a ＝3.5. BCD 【解析】根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数．对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝f(－5＋2 024)＝f(－5)＝－1，D 正确．6. ABD【解析】根据题意，函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0.对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x＝2时，有f(0)＝2f(2)＝0，则f(2)＝0，则f(2－x)＝f(x)，即x＝1是f(x)图象的一条对称轴．又f(x)为奇函数，则f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数．当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，则函数f(x)在区间[0,1]上为增函数．又f(x)是R上的奇函数，则f(x)在区间[－1,1]上为增函数．对于A，f(x＋2)＝－f(x)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(1)＋f(3)]＋[f(2)＋f(4)]＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，A正确；对于B，x＝1是f(x)图象的一条对称轴，且f(x)是周期为4的周期函数，则x＝5是f(x)图象的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x＝－5是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，B正确；对于C，函数y＝f(x)在[－7,7]上有7个零点，分别为－6，－4，－2，0,2,4,6，C错误；对于D，f(x)在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，则函数f(x)在[－5，－3]上为增函数，又由x＝－5为函数f(x)图象的一条对称轴，则函数f(x)在[－7，－5]上为减函数，D正确．7. 18. (－3,2)【解析】因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3<x<2.9. b<a<c【解析】由条件①知，当x∈[4,8]时，f(x)为增函数；由条件②知，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(x)是周期为8的周期函数；由条件③知，y＝f(x)关于直线x＝4对称，所以f(11)＝f(3)＝f(5)，f(2 025)＝f(1)＝f(7)，故f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜a＜c.10. 【解答】(1) 根据题意，函数f(x)＝ax4－x2是定义在(－2,2)上的奇函数，且f(1)＝a4－12＝13，解得a＝1，故f(x)＝x4－x2，x∈(－2,2)．f (x )在(－2,2)上单调递增，证明如下：任取－2<x 1＜x 2<2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 24－x 22－x 14－x 21＝(x 2－x 1)(4＋x 1x 2)(4－x 22)(4－x 21). 因为x 2－x 1＞0,4＋x 1x 2＞0,4－x 21＞0,4－x 22＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，所以f (x )在(－2,2)上单调递增．(2) 因为f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )，不等式f (t －1)＋f (t )＜0可化为f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．又f (x )在(－2,2)上是增函数，所以⎩⎨⎧ t －1＜－t ，－2＜t －1＜2，－2＜－t ＜2，解得－1＜t ＜12，所以关于t 的不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 11. 【解答】若选①，函数f (x )＝b ＋3x －a ，且满足f (2－x )＋f (x ＋2)＝0，则f (x )关于点(2,0)成中心对称，即a ＝2，b ＝0.若选②，函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的值域为[2,4]．若a ＞1，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，a 2＋b ＝4，两式作差得a 2－a －2＝0，得a ＝2或a ＝－1(舍去)，此时b ＝0；若0＜a ＜1，则⎩⎨⎧a ＋b ＝4，a 2＋b ＝2，两式作差得a 2－a ＋2＝0，此时无解．若选③，函数f (x )＝x 2－ax ＋4，且f (x ＋1)在区间[b －1，b ＋1]上为偶函数，则b －1＋b ＋1＝0，得b ＝0，f (x ＋1)是偶函数，图象关于y 轴对称，则f (x )的图象关于x ＝1对称，即－－a 2＝1，得a ＝2.综上，①②③的答案相同，都为a ＝2，b ＝0，则g (x )＝x ＋b ax 2＋2＝x 2x 2＋2，x ∈(－1,1)，且g (x )是奇函数． (1) 设－1＜x 1＜x 2＜1，则g (x 1)－g (x 2)＝x 12x 21＋2－x 22x 22＋2＝x 1(2x 22＋2)－x 2(2x 21＋2)(2x 21＋2)(2x 22＋2)＝2x 1x 22＋2x 1－2x 2x 21－2x 24(x 21＋1)(x 22＋1)＝2x 1x 2(x 2－x 1)＋2(x 1－x 2)4(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)2(x 21＋1)(x 22＋1). 因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以－1＜x 1x 2＜1，x 2－x 1＞0，则g (x 1)－g (x 2)＜0，即g (x 1)＜g (x 2)，所以g (x )在(－1,1)上单调递增．(2) 因为g (x )是奇函数，且在(－1,1)上单调递增，所以不等式g (t －1)＋g (2t )＜0等价于g (t －1)＜－g (2t )＝g (－2t )，所以⎩⎨⎧ －1＜t －1＜1，－1＜2t ＜1，t －1＜－2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜t ＜2，－12＜t ＜12，t <13，所以0<t <13，即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. B. 滚动小练12. D 13. A14. 【解答】 (1) 由∀x ∈[－1,1]，都有不等式x 2－x －m <0成立，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1上恒成立，所以m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}＝(2，＋∞)．(2) 不等式x 2－(4a ＋2)x ＋3a 2＋6a ＝(x －3a )(x －a －2)<0，当3a >2＋a ，即a >1时，A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以2＋a ≥2，此时a >1.当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，A ＝∅，满足题设条件．当3a <a ＋2，即a <1时，A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以3a ≥2，此时23≤a <1.综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 第9讲二次函数与幂函数A. 课时精练1. A2. B3. D 【解析】二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象如图所示，可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.(第3题)4. C 【解析】设g (x )＝x 2＋ax ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则g (x )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立．又h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，故当x ＝12时，h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2，即a ≥－52. 5. AD 【解析】因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，A 正确；图象的对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1，2a －b ＝0，B 错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，C 错误；由图象的对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，D 正确．6. ABC 【解析】因为f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点，故判别式Δ＝(－2)2－4a >0⇒a <1，故A 正确．由x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，故1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a ，故B 正确．因为f (－1)＝3＋a ，f (3)＝3＋a ，所以f (－1)＝f (3)，故C 正确．当a ＝0时，y ＝f (|x |)＝|x |2－2|x |＝0⇒|x |(|x |－2)＝0，有三个根，x ＝0，±2，故D 错误．7. ⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞8. [－2,0] 【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，若此时φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，则m 2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，若此时φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，则－m 2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．9. [1，2] 【解析】由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，所以1≤t ≤ 2.10. 【解答】 (1) 依题意得(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2) 由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．若p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎨⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1，故实数k 的取值范围是[0,1]．11. 【解答】 (1) 由题意可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝k 2，要使函数f (x )在[－2,2]上存在单调减区间，则k 2>－2，则k >－4.(2) 若选择①g (x )＝mx ＋5－m .因为x 1∈[1,2]，所以2≤2x 1≤4.令t ＝2x 1，则2≤t ≤4，则f (2x 1)＝f (t )＝t 2＋3，所以7≤f (t )≤19.因为对任意的x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[－1,2]，使得f (2x 1)＝g (x 2)成立，所以g (x 2)的值域应该包含区间[7,19]．当m ＝0时，g (x 2)＝5不合题意，所以m ≠0.当m >0时，⎩⎨⎧ g (－1)≤7，g (2)≥19，即⎩⎨⎧ m >0，5－2m ≤7，5＋m ≥19，解得m ≥14. 当m <0时，⎩⎨⎧ g (－1)≥19，g (2)≤7，即⎩⎨⎧ m <0，5－2m ≥19，5＋m ≤7，解得m ≤－7. 综上，存在m ∈(－∞，－7]∪[14，＋∞)满足题意．若选择②g (x )＝2x－m ，则g (x )＝2x －m 在[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－m ，4－m ，所以应该有⎩⎪⎨⎪⎧4－m ≥19，12－m ≤7，无解，所以不存在满足题意的m . 若选择③g (x )＝log 2(3－x )－m ，则g (x )在[－1,2]上的值域为[－m,2－m ]，所以应该有⎩⎨⎧ 2－m ≥19，－m ≤7，无解，所以不存在满足题意的m . B. 滚动小练12. B13. AB 【解析】对于A ，函数f (x )对任意的x ∈R 恒有f (x ＋2)＝f (x －1)，变形可得f (x ＋3)＝f (x )，则3是函数f (x )的周期，A 正确．对于B ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＝2x －1，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上为增函数．又f (x )为偶函数，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上为减函数，又由f (x )的周期为3，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92上单调递增，B 正确．对于C ，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32上的最小值为f (0)＝12，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2，又由f (x )的周期为3，则函数f (x )的最大值为2，最小值为12，C 错误．对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92时，x －3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，有f (x －3)＝2x －3－1＝2x －4，D 错误．14. 【解答】 (1) p (5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35.(2) 因为y ＝6p (t )＋24t－10，所以当5≤t <10时，y ＝360－6(t －10)2＋24t －10＝110－⎝ ⎛⎭⎪⎫6t ＋216t ，由函数图象(图略)得函数y ＝110－⎝ ⎛⎭⎪⎫6t ＋216t 在区间[5,6]上单调递增，在区间[6,10)上单调递减，所以当t ＝6时，y 取得最大值38.当10≤t ≤20时，y ＝6×60＋24t －10＝384t －10，该函数在区间[10,20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4.综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．第10讲指数式与指数函数A. 课时精练1. D2. D3. C4. C 【解析】因为当x >0时，1<b x ，所以b >1.因为当x >0时，b x <a x ，所以当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1，所以a b >1，所以a >b ，所以1<b <a ，故选C. 5. ACD 【解析】函数f (x )＝14x＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以方程f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14对称，所以D 正确． 6. ACD 【解析】由图可知，函数y ＝a t 的图象经过点(1,2)，即a 1＝2，则a ＝2，所以y ＝2t .因为2t ＋1－2t ＝2t 不是常数，所以蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A 正确，B 错误；当t ＝6时，y ＝26＝64>60，C 正确；若蓝藻面积蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1, t 2, t 3，则2t 1＝2,2t 2＝3,2t 3＝6，则2t 1·2t 2＝2×3，即2t 1＋t 2＝6，则t 1＋t 2＝t 3，D 正确．7. 89 【解析】 0.001－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫780＋1634＋(2·33)6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000－13－1＋(24)34＋(212·313)6＝10－1＋23＋(23·32)＝9＋8＋8×9＝89.8. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 [1,2] 【解析】因为x ∈[－3,2]，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.又t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，y ＝t 2－t ＋1的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，由14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12，得1≤x ≤2，所以f (x )的单调增区间为[1,2]．9. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|的图象与y ＝2a 有两个交点．当0＜a ＜1时，如图(1)，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1，不符合要求．所以0＜a ＜12.图(1)图(2) (第9题) 10. 【解答】 (1) 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.(2) 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1). 因为x 1＜x 2，所以2x 2－2x 1＞0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x )为R 上的减函数．(3) 因为t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，所以f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )．因为f (x )是奇函数，所以f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)．因为f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立．因为3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，所以k ＜－13.11. 【解答】 (1) 当m ≤1时，函数f (x )在区间(0,1)内为增函数．设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝4x 1－m ·2x 1－(4x 2－m ·2x 2)＝(4x 1－4x 2)－m (2x 1－2x 2)＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2－m )．由于0<x 1<x 2<1，则1<2x 1<2x 2<2，又m ≤1，则2x 1＋2x 2－m >0，则(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2－m )<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，则函数f (x )在区间(0,1)内为增函数． (2) 由于g (x )在区间(0,1)上有意义，则f (x )>0，即4x －m ·2x >0在(0,1)上恒成立，即m <2x 在(0,1)上恒成立，由于2x ∈(1,2)，则有m ≤1. B. 滚动小练12. A 【解析】因为⎩⎨⎧x ＞1，y ＞1，所以x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．13. (v 1＋v 2)24v 1v 2 乙【解析】设上山路程为1，则甲上、下山所用时间为1v 1＋1v 2＝v 1＋v 2v 1v 2，乙上、下山所用时间为2·112(v 1＋v 2)＝4v 1＋v 2，所以甲、乙两人上、下山所用时间之比为v 1＋v 2v 1v 24v 1＋v 2＝(v 1＋v 2)24v 1v 2.因为v 1≠v 2，所以v 1＋v 2v 1v 2>2v 1v 2v 1v 2＝2v 1v 2，4v 1＋v 2<42v 1v 2＝2v 1v 2，所以v 1＋v 2v 1v 2>4v 1＋v 2，即乙上、下山所用时间之和最少． 14. 【解答】 (1) 因为不等式ax 2＋x ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，所以1,3是方程ax 2＋x ＋c ＝0的两根，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋3＝－1a ，1×3＝ca ，解得a ＝－14，c ＝－34. (2) 由(1)得a ＝－14，c ＝－34，所以不等式ax 2＋2x ＋4c ＞0化为－14x 2＋2x －3＞0，解得2＜x ＜6，所以A ＝{x |2＜x ＜6}．又3ax ＋cm ＜0，即x ＋m ＞0，解得x ＞－m ，所以B ＝{x |x ＞－m }. 因为A ⊆B ，所以－m ≤2，即m ≥－2，所以m 的取值范围是[－2，＋∞)．第11讲对数与对数函数A. 课时精练 1. B2. B 【解析】因为函数y ＝log a (x ＋b )过(－1,0)，(0,1)两点，所以⎩⎨⎧0＝log a (b －1)，1＝log a b ，解得a ＝b ＝2，故选B. 3. D 【解析】因为a ＝30.7>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8＝30.8>30.7＝a ，c ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1，所以c <a <b .故选D.4. D 【解析】由f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，得f (x )定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠±12，关于坐标原点对称．又f (－x )＝ln|1－2x |－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )，所以f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，f (x )＝ln(2x ＋1)－ln(1－2x )，因为y ＝ln(2x ＋1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递增，y ＝ln(1－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递增，排除B ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，因为μ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，f (μ)＝ln μ在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，D 正确．5. BD6. AB 【解析】因为f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，a ≠1)，所以f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )．由x ＋1>0且1－x >0得－1<x <1，故A 正确．由f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝f (x )＋g (x )，得函数f (x )＋g (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 正确．因为－1<x <1，所以f (x )＋g (x )＝log a (1－x 2)，因为y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a <1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递增，有最小值f (0)＋g (0)＝log a (1－0)＝0；当a >1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错误．因为f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当0<a <1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递增，所以函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递减；当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递增，故D 错误．7. 916 【解析】若正实数a 满足a a ＝(9a )8a ，则a log a a ＝8a log a (9a )，所以1＝8(log a 9＋1)，所以log a 9＝－78，所以log a 3＝－716，则log a (3a )＝1＋log a 3＝1－716＝916.8. 136 1 【解析】由2a ＝6,3b ＝36，得a ＝log 26，b ＝log 336，所以4a 9b ＝4log 269log 336＝2log 2623log 3362＝136，所以1a ＋2b ＝1log 26＋2log 336＝lg 2lg 6＋lg 3lg 6＝1.9. (0,1) 【解析】如图，由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，所以ab ＝1,0<c <lg 10＝1，所以abc 的取值范围是(0,1)．(第9题)10. 【解答】 (1) 令u ＝2x 2＋x ，y ＝f (x )＝log a u ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，u ∈(0,1)．因为y ＝log a u >0，所以0<a <1，故a 的取值范围为(0,1)．(2) 由2x 2＋x >0可得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)，因为0<a <1，所以y ＝log a u 为减函数，而u ＝2x 2＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝log a (2x 2＋x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.11. 【解答】 (1) 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以log 3(3－x ＋1)－12kx ＝log 3(3x ＋1)＋12kx ，化简得log 33－x ＋13x ＋1＝kx ，即log 313x ＝kx ，所以log 33－x ＝kx ，所以－x ＝kx ，即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，所以k ＝－1. (2) 由题意知，方程log 3(3x ＋1)－12x ＝12x ＋a 有解，亦即log 3(3x ＋1)－x ＝a ，即log 33x ＋13x ＝a 有解，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x ＝a 有解．由13x >0，得1＋13x >1，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x >0，故a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞)． B. 滚动小练12. ABD 13. 1⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥14【解析】由题1e x ＋a e x ＝1e－x ＋a e －x ⇒1e x ＋a e x ＝e x ＋ae x ⇒(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0，故a ＝1.因为1e x ＋a e x ≥1恒成立，故a ≥1e x －1e 2x 恒成立．设t ＝1e x >0，则a ≥t －t 2在t >0时恒成立．又y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14≤14，故a ≥14.14. 【解答】 (1) 原式＝[(0.4)3]－13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23323＋log3(3)6＋3log 312＝52－49＋6＋12＝779.(2) 由A ＝{x |y ＝lg(x －3)＋9－2x }，得⎩⎨⎧x >3，9－2x ≥0，所以3<x ≤92，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3<x ≤92. 因为B ＝{x |x 2－9x ＋20≤0}＝{x |(x －4)(x －5)≤0}＝{x |4≤x ≤5}，所以A ∪B ＝{x |3<x ≤5}．因为C ⊆(A ∪B )，当C ＝∅时，有a ＋1≥2a －1，得a ≤2；当C ≠∅时，则⎩⎨⎧a ＋1<2a －1，a ＋1>3，2a －1≤5，得2<a ≤3.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤3}．第12讲函数的图象A. 课时精练 1. C 2. B3. D 【解析】令x >0，则－x <0，所以当x >0时，f (－x )＝－1x ，－f (－x )＝1x；令x <0，则－x >0，所以当x <0时，f (－x )＝x 2，－f (－x )＝－x 2；当x ＝0时，g (0)＝0.所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，－x 2，x ≤0.故选D.4. D 【解析】函数f (x )＝2x 2－e |x |在[－2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称．因为f (2)＝8－e 2,0<8－e 2<1，所以排除A ，B 选项．当x ∈[0,2]时，f ′(x )＝4x －e x 有一个零点(f ′(0)f ′(1)<0)，设为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f (x )为减函数，当x ∈(x 0,2)时，f (x )为增函数．故选D.5. A 【解析】在同一直角坐标系中作出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图象可知，M (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎨⎧g (x )，0<|x |<1，f (x )，|x |≥1，因此，函数y ＝M (x )的图象为A 选项中的图象．故选A.(第5题)6. BCD 【解析】若a >1，则对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，对称轴x ＝12(a －1)>0，经过原点，可能为A ，不可能为B.若0<a <1，则对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，对称轴x ＝12(a －1)<0，经过原点，不可能为C ，D.故选BCD.7. AD 【解析】因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，作出f (x )的大致图象，如图所示．由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在区间[0,2]内恰有两个不同的公共点时，直线y ＝x ＋a 经过点(1,1)或与曲线f (x )＝x 2(0≤x ≤1)相切于点A ，则1＝1＋a 或方程x 2＝x ＋a 只有一个实数根，所以a ＝0或Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝0或a ＝－14.(第7题)8. (3,1)9. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0 【解析】当－1≤x ≤0时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.当x >0时，设f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)．因为图象过点(4,0)，所以0＝a (4－2)2－1，得a ＝14，所以f (x )＝14(x －2)2－1.10. (2,2 021) 【解析】作出函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020，所以2<a ＋b ＋c <2 021.(第10题)11. 【解答】 (1) 因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，所以m ＝4. (2) 函数f (x )＝x |x －4|＝⎩⎨⎧(x －2)2－4，x ≥4，－(x －2)2＋4，x <4，作出其图象如图所示．(第11题)(3) 由(2)知函数f (x )在(－∞，2)，(4，＋∞)上单调递增，在(2,4)上单调递减．不等式f (x )>0的解集为(0,4)∪(4，＋∞)．(4) 由图象可知，当且仅当0<k <4时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有3个交点，也即方程f (x )＝k 有3个实数根．B. 滚动小练12. C 【解析】不等式2x 2－13x ＋15＜0化为(x －5)(2x －3)＜0，解得32＜x ＜5.又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值范围是{1,2,3,4}．故选C.13. B 【解析】 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，因为xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1，解得34(x ＋y )2≤1，所以－233≤x ＋y ≤233，所以x ＋y 的最大值是233.14. 【解答】 (1) f (－1)＝1，f [f (－1)]＝f (1)＝log 2(1＋1)＝1. (2) 作出f (x )的大致图象，如图所示．(第14题)(3) 当x <0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1>2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >3，得x <log 123，即x <－log 23；当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)>2，所以x ＋1>4，得x >3，故原不等式解集为{x |x <－log 23或x >3}．第13讲函数与方程A. 课时精练 1. B 2. C3. B 【解析】因为a >0，所以a 2＋1>1.作出y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，所以y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，即方程有2个解．(第3题)4. C 【解析】令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)．因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ.又函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.。

姜启源《数学模型》第四版第二章初等模型-PPT文档资料-课件-PPT文档资料

决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长，和驱动光盘的机械形式.
调查和分析数据容量 • 信道长度
• 线密度激光波长
• 激光波长 • 驱动形式
• 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息，必须精确地聚焦.
• 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑.
• 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，而光斑的大小与激光波长成正比.
每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息
各圈螺旋线上数据的线密度不变
容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数
容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度
从光盘的容量比较，CLV优于CAV.
数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要.
对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV; 对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV.
蓝色(DVD) 0.41
28,055,895 22,445
603
CD信道长度在5km以上，容量约680 MB; DVD容量在 GB量级.
影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算 .
模型求解
CAV(恒定角速度)光盘
LCAV
2R1
R2 R1 d
R
2 2
2d
R1=R2/2时LCAV最大
CCAVLCAV
激光器激光波长 (μm)
shk1, k2
hl d
建模记单层玻璃窗传导的热量Q2 室
T T
Q2 k1
1Hale Waihona Puke 22dQ1
k1
T1 T2 d(s2)
内 T1
双层与单层窗传导的热量之比

第二章初等模型.ppt

1032
632
Q1
2
5304.5,Q2
1984.5, 2
Q3

342 2
578,
由此，第4个席位应该给甲系，此时n1 2, 再计算Q1
值:
2019-10-10
感谢你的欣赏
21
1032 Q1 2 3 1768.17,
而Q2 , Q3 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
2019-10-10
感谢你的欣赏
28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-10-10
都达到最小.
2019-10-10
感谢你的欣赏
14
解模
设 A单位已有席位nA ，B单位有席位 nB，并假定 A吃
亏，即kA kB，因而rA nA, nB 有意义.
现考虑下一个席位的分配:
⑴席位分配给 A仍然是 A 吃亏，即 pA pB , nA 1 nB
毫无疑问，该席位应该分配给 A.
感谢你的欣赏
29
记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta，外层玻璃的内侧
温度是Tb，玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数
为
k
，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热
2
量流失）为
Q1

k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1 Tb

第2讲初等模型

设玻璃的热传导系数空气的热传导系数单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为q类似有32010203040506070809考虑到美观和使用上的方便h不必取得过大例如可取h3即l3d此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗23假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度假定你能准确地测定时间你又怎样来推算山崖的高度呢请你分析一下这一问题
模型1（线性模型）
将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近似关系式L=kB+C，其中B为体重，L为举重成绩。你在作图时L轴可以放在50公斤或52公斤处，因为没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完成。
2
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单的数学模不妨可以提出以下假设：型，研究一下双层玻璃到底有多大的功效。 1、设室内热量的流失是热传导比较两座其他条件完全相同的房屋，它们的引起的，不存在户内外的空气对差异仅仅在窗户不同。流。
第2讲初等模型
2.1、船艇回合问题 2.2、双层玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、经验模型 2.5、量纲分析 2.6、几个实例
§2.1 舰艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求得h≈73.6米。多测几次，取平均值听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间将e-kt用泰勒公式展开并令k→ 0+ ，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。再一步深入考虑进一步深入考虑

第二章数学模型作业与习题解答

第二章数学模型作业与习题解答2-1试建立图2-55所示各系统的动态方程，并说明这些动态方程之间有什么特点。

图中电压 U 和位移X 1为输入量，电压U 2和位移X 2为输出量；k 、k 1和k 2为弹性系数；f 为阻尼器的阻尼系数。

题解2 -1(a)U 2(s) s _ RCs U 1 (s) s 1RCs 1RCk-o-^XAA解:U 21 — 1 匚.idt U"它 uu 2 = iR = iU2R丄RC U 2{ayid)(/)Q- -Q3题2 -1(c)图及题解2 -1(c)图R C3(s) "(s) 竽 U c (s)R2U 2(s) _ R 2(RQ S 1) lh(s) R 1 R 2 R 2R 1CS(R R 2)U 2 RR 2CU 2 二 RR Q CU J Ru1^1 R 21ul 2 u 2 =u 1U |RC题2 -1(b)图及题解2-1(b)图s k X 2(s) fs _R 2 R 2U i (S) 書)•亠- R C SR| C S ■ 1R +丄C S题2 -1(d)图及题解2 -1(d)图fX 2 k 1x 2k 2x 2=k 1x 1fX 1U 2G )= R2 C S U1(S)R R 2 C Sk i屜(s) _ fs k 1 一 s +1 匕 +k2 ^k 1 X (S ) fs k 「k 2 k 1 k 2 S 1题2 -1(e)图及题解2-1(e)图------------r d4—fl1c=U 2(s) R 2 (R 1CS +1)R I R 2 R 1R 2C S(d) 0R 2C S 1(R 1 ROC S 1£-o-2(/) /l/l/l/帀花也■—1 题2 -1(f)图及题解2—1(f)图k2X 2风厂sf+k 2k 2x 2 +&X 2 =匕为 +k 2x 3 k2k 2)x 2 -k 2 - x 2 = k 1x 1 sf +k 2 (k 1 k 2)sf k 1 k 2 sf +k 2 x 2 _ k ((sf k 2)x (k | k 2)sf k 1k 2k 2s 1 jfs 1 k r k 22-2.图2-56所示水箱中，Q 1和Q 2分别为水箱的进水流量和用水流量，被控量为实际水面高度H 。

初等模型《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶俊编制

最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
模型
d t1v kv2 0.75v 0.06v2
车速 (英里/小时)
20 30 40 50 60 70 80
刹车时间（秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“2秒准则”应修正为 “t 秒准
车速（英里/小则时”） 0~10
将模型改记作 t an2 bn , 只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061
d1 t1v
F d2= m v2/2 F m
且F与车的质量m成正比
d t1v kv2
d2 kv2
模型 d t1v kv2
参数估计
• 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
车速 (英里/小时) (英尺/秒)
20
29.3
30
44.0
40
58.7
第二章初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配
问三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表题会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

第二章初等积分法

第二章初等积分法习题2-1判断下列方程是否为恰当方程；并对恰当方程求解。

,,,2Q 2y P ,2.2P 0y 2()2y x .2,02,2,0P ,12,13.0)12()13.(.12222C xy y x xQy P x y x Q y x dy x dx x Q y x Q x P dy x dx x =+-∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=+==-++≠=∂∂=∂∂+=-==++-通积分为：故方程为恰当方程。

，因解：令）（故不是。

因解：令),2),22(,,P ,,P ).,(,0)().(32222为任意常数（故通积分为故方程为恰当方程。

因解：令为常数和K K cy bxy ax bxy y cx a d bxdy bydx cydy axdx xQ y P b x Q b y cy bx Q by ax c b a dy cy bx dx by ax =++++=+++∂∂=∂∂=∂∂=∂∂+=+==+++ 故不是。

因令解,0,,P ,,P ;).0(,0)().(4≠=∂∂-=∂∂-=-=≠=-+-b b xQ b y cy bx Q by ax b dy cy bx dx by ax .sin sin ),sin sin (sin 2cos cos ,.cos 2,cos 2P .sin 2,cos )1(.0sin 2cos )1.(522222C u u t u u t d udt t udu udu t uQ t P u t u Q u t t u t Q u t P udt t udu t =++=++∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=+==++故通积分为故方程为恰当方程。

故解：令 .2),2(22,.2,2P ,2,2.0)2()2.(622222C x y e ye x y ye e d dx y xydy dy e dx ye dx e x Qy P y e x Q y e y xy e Q y e ye P dy xy e dx y e ye x x x x x x x x x x x x x x x =++++=++++∂∂=∂∂+=∂∂+=∂∂+=++==++++故通积分为故是恰当方程。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

动物体重（g）心率（次/分）田鼠家鼠兔小狗大狗羊人马 25 670 200 420 2000 205 5000 120 30000 85 50000 70 70000 72 450000 38 解：动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为，则3/2SP。P正比于血流量Q，而qrQ，其中q是动物

每次心跳泵出的血流量，r为心率。合理地假设q与成正比，于是rP。综上可得3/1r，或3/1kr。由所给数据估计得310897.20k，将实际数据

与模型结果比较如下表：

动物实际心率（次/分）模型结果（次/分）田鼠家鼠 670 715

420 375 兔小狗大狗羊人马 205 166 120 122 85 67 70 57 72 51 38 27

2 题目：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

身长cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1

重量g 756 482 1162 737 482 1389 652 454

胸围cm 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6

先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。

模型假设 ⑴ 设鱼的重量为； ⑵ 语的身长记为；

模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w与身长l的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即31vkw，1k为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的

平方成正比，于是ldkw22，2k为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：

1k=0.0146，2k=0.0322, 将实际数据与模型结果比较如下表：

实际重量g 765 482 1162 737 482 1389 652 454

模型31vkw 727 469 1226 727 483 1339 675 483

模型ldkw22 730 465 1100 730 483 1471 607 483

通过机理分析，基本上满意。

结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。

3 题目：考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。

给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。本题中涉及的物理量有阻力f、摆长l、质量m、重力加速度g、周期t。分别分析各个物理量的量纲，由于阻力f 与摆的速度成正比所以f的量纲与v 的量纲相同[f]=[v]=LT1,[t]=T,[m]=M;[g]=LT2,[l]=L。设这些物理量之间的关系为： 4321aaaafglmt,因此量纲表达为：4321][][][][][aaaafglmt把各个物理量的

量纲带入量纲表达式得：4321)()(12aaaaLTLTLMT 按照量纲齐次原则应有 





1200434321aaaaaa

最后解得：)(2121mgklgrt 作物理模拟的比例模型时，设g和 k不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：mmlltt,,,,,那么只要mmrr//就有rrtt

4 题目：小球做竖直上抛运动：质量为m的小球以速度v竖直上抛，阻力与速度成正

比，比例系数k。设初始位置为x=0，x轴竖直向上，则运动方程为：

m••x+k•x+mg=0,x(0)=0,•x（0）=v ，方程的解可表为x=x(t;v,g,m,k).试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k很小时求近似解的可能性]30[

建模与解题：注意到[k]=mt1,,(1)选取特征尺度tc=m1k,xc=2v,则方程化为2••x+2•x+1=0，x（0）=0，•x（0）=1

——（1）

其中=kv/mg，解可表示为x=x（t；）。k很小时很小，（1）无解。（2）选取tc=v1g，cx =2v1g，则••x+•x+1=0，x（0）=0，•x（0）=1 同上，x表达式同上。但当k很小时（2）有解。它正是原问题忽略阻力时的近

似解。

5 录象机计数器的用途一、问题：老式的录象机上有计数器，而没有计时器,计数器的读数并非均匀增长，而是先快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型．二、模型假设：

1）录象带的线速度是常数v；

2）计数器的读数n与右轮盘转的圈数（记作m）成正比nkm*，k为比例系数； 3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈间的空隙）是常数w，空右轮盘半径为r; 4)初始时刻t=0时n=0; 三、建立模型：当右轮盘转到第i圈时其半径为iwr*，周长为2*(r+w*i)，m圈的总长度恰等于录象带转过的长度tv*，即：

12*(*)*mirwivt

四、模型求解：因为m=k*n有: 12*(*)*mirwivt

推出：221()*2******2rwknKnwvt

考虑w<推出：222******krnknwtvv 我们可以应用Mathematica编程求解，程序如下： Slove[nki*12*(tviwr*)*,t] 结果为:

vwnkwnkrnkt******222*

6 问题：质量为m的小球以速度v竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数为k，设初始位置为xx,0轴竖直向上，则运动方程为 vxxmgxkxm)0(,0)0(,0 方程的解可表示为),,,;(kmgvtx。试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k很小时求近似解的可能性。问题分析：所谓无量纲化是指：对于变量x和t分别构造具有相同量纲的参数组合xc和tc，使新变量

txcc

ttxx,

为无量纲量。xc称为特征长度，tc称为特征时间。统称特征尺度或参考尺度。问题求解： tmk1

可以选取以下两种尺度将问题无量纲化

（1）选取尺度gvxktccm121,，则方程化为 aaaxxxx122)0(,0)0(,01

 （1）

其中mgkva，解可以表示为);(atxx。k很小时（1）无解。（2）选取尺度gvxgtccv121,，则方程化为 1)0(,0)0(,01xxxax （2）

其中mgkva，解可以表示为);(atxx。k很小时（2）有解。它是原问题忽略阻力时的近似解。结果：原问题忽略阻力时运动方程为 vxxmgxm)0(,0)0(,0 （3）解方程（3）可得： 

,0,212tvtgxt

7 题目一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

身长cm

36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9

32.1

重量g 756 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围cm

24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9

21.6

先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一

x t gv22