第二章初等模型习题解答-精品
第二章 基本初等函数答案
第二章 基本初等函数 第6讲 函数的概念及其表示方法A. 课时精练 1. C 2. A 3. D4. A 【解析】 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，令4a －1＝6，解得a ＝74.5. CD 【解析】 在A 中，当x ＝±1时，y ＝log 21＝0∉N ，故A 错误；在B 中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故B 错误；在C 中，任取x ∈M ，总有y ＝2|x |∈N ，故C 正确；在D 中，任取x ∈M ，总有y ＝x 2∈N ，故D 正确．6. AC 【解析】 对于A ：y ＝f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －11x ＝－x ＋1x＝－f (x )，所以函数y ＝x －1x 符合题意．对于B ：y ＝f (x )＝x ＋1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋11x ＝x ＋1x ＝f (x )，所以函数y ＝x ＋1x 不符合题意．对于C ：当0<x <1时，1x >1，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－11x ＝－x＝－f (x )；当x ＝1时，f (1)＝0；当x >1时，0<1x <1，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1符合题意．对于D ：y ＝f (x )＝ln1－x1＋x(x ≠0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln 1－1x1＋1x＝ln x －11＋x ≠－ln x －11＋x ，所以函数y ＝ln 1－x 1＋x(x ≠0)不符合题意． 7. [0,1]8. －2 1 【解析】 因为f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2，(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，所以⎩⎨⎧－2a －b ＝3，a 2＋2ab ＝0，－a 2b ＝－a 3－3a 2，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.9. 9 [3，＋∞) 【解析】 若a ＝1，则f (f (2))＝f (3)＝23＋1＝9.当x ＞2时，f (x )＝2x ＋a ＞4＋a ；当x ≤2时，由函数的值域为R 可知，a ＞0，此时f (x )≤2a ＋1，结合分段函数的性质可知，2a ＋1≥a ＋4，即a ≥3.10. 【解答】 (1) 因为f (x )的定义域为[－1,5]， 所以f (x －5)需满足－1≤x －5≤5，解得4≤x ≤10， 所以f (x －5)的定义域为[4,10]． (2) 因为f (x －1)的定义域为[0,3]， 所以0≤x ≤3，－1≤x －1≤2， 所以f (x )的定义域为[－1,2]． (3) 因为f (x )的定义域为[0,1]，所以g (x )需满足⎩⎨⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎨⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤m ＋1.当1－m ＜m ，即m >12时，g (x )的定义域为∅；当1－m ＝m ，即m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当1－m ＞m ，即0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]． 11. 【解答】 由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73.由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.如图，作出函数f (x )的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≥23，x ＋2，13<x <23，4x ＋1，x ≤13，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.(第11题)B. 滚动小练12. B 【解答】 选项A 中，由x ＞y ＞0，得1x －1y ＝y －x xy ＜0，所以1x ＜1y ，故A 不正确．选项B 中，将不等式两边平方得x ＋y －2xy ＜x －y ，整理得y ＜xy ，所以y ＜x ，由于x ＞y ＞0，所以上式成立，故B 正确．选项C 中，由x ＞y ＞0得，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，故C 不正确．选项D 中，由x ＞y ＞0得，x 2－xy ＝x (x －y )＞0，所以x 2＞xy ，故D 不正确．13. A 【解答】 若a |b |＞1，则a ＞0，所以a ＋|b |≥2a |b |>2；反之不成立，例如取a ＝－1，b ＝－5，满足a ＋|b |＞2，而a |b |＞1不成立．所以“a |b |＞1”是“a ＋|b |＞2”的充分不必要条件．14. 【解答】 (1) 因为g (x )的图象开口向上，且对称轴方程为x ＝1， 所以g (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧g (x )min ＝g (2)＝4a －4a ＋1＋b ＝1，g (x )max ＝g (3)＝9a －6a ＋1＋b ＝4，解得a ＝1，b ＝0.(2) 因为f (x )－k >0在x ∈(2,5]上恒成立， 所以只需k <f (x )min ，x ∈(2,5]．由(1)知f (x )＝x 2－2x ＋1x －2＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，所以k <4. 第7讲 函数的单调性与最值 第1课时 函数的单调性A. 课时精练 1. B 2. C3. D 【解析】 作出函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )为增函数，由f (a 2－4)>f (3a )，得a 2－4>3a ，即a 2－3a －4>0，解得a <－1或a >4.故选D.(第3题)4. D 【解析】 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝134，因此a >134，故选D.5. ABD 【解析】 根据题意，函数f (x )＝bx ＋3ax ＋2＝b a(ax ＋2)＋3－2b a ax ＋2＝3－2b aax ＋2＋ba ，其定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－2a .若函数f (x )＝bx ＋3ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有a >0，－2a ≤－2且3－2b a ＜0，即0＜a ≤1且b >32a ，据此分析选项：A ，B ，D 符合．故选ABD.6. AD 【解析】 对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f (a )－f (b )a －b >0，则函数f (x )在定义域内为增函数；对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥f (x 1)＋f (x 2)2成立，则函数f (x )为“凸函数”．对于A ，f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2，故满足条件①②；对于B ，f (x )＝－2x －1在R上为减函数，不满足条件①；对于C ，f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，不满足条件①；对于D ，f (x )＝－x 2＋4x －3图象的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.7. (－1,0)∪(0,1)8. (3,4] 【解析】 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以x ＞3.又f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )，2＝f (2)＋f (2)＝f (4)，所以f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )≤f (4)，所以⎩⎨⎧x 2－3x ≤4，x >3，解得3＜x ≤4，所以x 的取值范围是(3,4]．9. 1 (－∞，1] 【解析】 因为f (x )＋f (－x )＝12x ＋1－x ＋12－x ＋1＋x ＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1.由f (x )＋f (1－2x )≤1，即f (x )＋f (1－2x )≤f (x )＋f (－x )，即f (1－2x )≤f (－x )，而y ＝f (x )为减函数，所以1－2x ≥－x ，解得x ≤1.10. 【解答】 (1) 当a ＝－2时，任取x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2) 任取1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．11. 【解答】(1) f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝2×2＝4. (2) 令x ＝1，y ＝0，则f (1)＝f (1)·f (0)，所以f (0)＝1.当x <0时，－x >0，f (x )·f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝1，其中f (－x )>1，所以f (x )>0，故对任意x 有f (x )>0恒成立．设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1.由f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)·f (x 2－x 1)>f (x 1)，所以f (x )在R 上是增函数．(3) 因为f (2)＝4，所以f (2－x )>4即f (2－x )>f (2)．由(2)知2－x >2⇒x <0，所以原不等式的解集为(－∞，0)．B. 滚动小练 12. A13. CD 【解析】 对于A ，当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故A 错误．对于B ，当a ＝－1，b ＝－2时，1a 2<1b 2不成立，故B 错误．对于C ，因为a >b ，两边同时减去c 有a －c >b －c 成立，故C 正确．对于D ，因为a >b ⇒－a <－b ，又y ＝e x 为增函数，故e －a <e －b 成立，故D 正确．14. 【解答】(1) 因为f (x )的图象经过点(0,1)，所以c ＝1， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (x )＝ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a＝－13＋12，1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12，解得a ＝－6，b ＝1.(2) 由(1)知f (x )＝－6x 2＋x ＋1，则方程f (x )＝kx ＋7等价于方程6x 2＋(k －1)x ＋6＝0，令g (x )＝6x 2＋(k －1)x ＋6，即g (x )的两个零点满足x 1，x 2∈(0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (2)>0，0<1－k12<2，Δ>0，即⎩⎨⎧k >－14，－23<k <1，k >13或k <－11，解得－14<k <－11，所以实数k 的取值范围是(－14，－11)．第2课时 函数的最值A. 课时精练 1. D 2. C3. D 【解析】 由f (2)＝4，得m ＝－2，即f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥3，－2x ＋8，x ＜3.由函数f (x )存在最小值，得⎩⎨⎧a ＞1，log a 3≤－2×3＋8，解得a ≥ 3.故选D.4. C 【解析】 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因此f (x )在定义域内为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5. BCD 【解析】 f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2,6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝f (4)＝2ln 2，f (x )在(2,6)上无最小值．故选BCD.6. ACD 【解析】 因为|sin x |≤1，所以y ＝sin x 为有界函数；⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，无上界，所以B 不是有界函数；y ＝e x －e －x e x ＋e －x ＝e 2x －1e 2x ＋1＝1－2e 2x ＋1，因为0<2e 2x ＋1<2，所以－1<1－2e 2x ＋1<1，即|y |<1，所以y ＝e x －e －x e x ＋e －x 是有界函数；函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋1为实数上的连续函数，所以在区间[－4,4]上一定有最大值和最小值，所以是有界函数．故选ACD.7. 14 【解析】 当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．当0<a <1，则y ＝a x 为减函数，有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14.8. 22 【解析】 由⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}，由题意知y ＞0，则y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2－(x ＋1)2＋4，当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，所以m M ＝22.9. 3e 2－1 【解析】 当x ≥e 时，(x －ln x )′＝1－1x >0，此时函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递增，值域是[e －1，＋∞)．当x <e 时，y ＝－12x ＋m 是减函数，其值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞⊆[e －1，＋∞)，所以－e 2＋m ≥e－1，解得m ≥3e 2－1，故实数m 的最小值是3e2－1.10. 【解答】 (1) 因为f (x )的值域是[0，＋∞)，即f (x )min ＝0， 所以4(2a ＋6)－(4a )24＝0，所以a ＝－1或32.(2) 若函数f (x )≥0恒成立，则Δ＝(4a )2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32，所以g (a )＝2－a |a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a ≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a ≤1时，g (a )＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，所以g (a )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4；当1<a ≤32时，g (a )＝－a 2＋a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋94，所以g (a )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2.所以函数g (a )＝2－a |a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4.11. 【解答】 (1) 由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x >0.当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2) 设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2.(3) 对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， 所以a >3x －x 2，x ∈[2，＋∞)． 设h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)，则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2，即实数a 的取值范围是(2，＋∞)． B. 滚动小练 12. []－2，213. (－2,8) 【解析】 因为4x ＋1y ＝1，所以x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4＋16y x ＋xy＋4≥8＋216y x ·xy＝16，当且仅当x ＝16y ，即y ＝4且x ＝64时取等号．因为x ＋4y >m 2－6m 恒成立，所以16>m 2－6m ，解得－2<m <8，即m ∈(－2,8)．14. 【解答】 (1) 因为函数f (x )＝x ＋bx 2＋4为奇函数， 所以对∀x ∈R ，都有 f (－x )＝－f (x )， 即－x ＋b (－x )2＋4＝－x ＋b x 2＋4， 解得b ＝0，所以 f (x )＝xx 2＋4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 222＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0.(2) f (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． 证明如下：∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋4－x 2x 22＋4＝x 1(x 22＋4)－x 2(x 21＋4)(x 21＋4)(x 22＋4)＝(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4). 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，(x 21＋4)(x 22＋4)>0，当x >2时，x 1x 2－4>0，(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，此时f (x )单调递减．当0<x <2时，x 1x 2－4<0，(x 2－x 1)(x 1x 2－4)(x 21＋4)(x 22＋4)<0，即f(x1)<f(x2)，此时f(x)单调递增．所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．第8讲函数奇偶性与周期性、对称性第1课时函数奇偶性的判定与周期性A. 课时精练1. D2. D【解析】由题意得当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，所以f(x)＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x，所以f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.3. B【解答】根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x＋a，则有f(0)＝log24＋a＝0，解得a＝－2.则当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋4)＋3x－2，则f(2)＝log2(4＋4)＋3×2－2＝7.又由f(x)为定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－7，故选B.4. D【解答】根据题意，对于函数f(x)，其定义域为{－2，－1,0}，有f(－2)＝－1，f(－1)＝0，f(0)＝1，对于y＝f(x＋1)，其定义域为{－3，－2，－1}，不是奇函数也不是偶函数，A，B错误；对于y＝f(x－1)，其定义域为{－1,0,1}，且f(－1－1)＝f(－2)＝－1，f(0－1)＝f(－1)＝0，f(1－1)＝f(0)＝1，为奇函数，故D正确，C错误．故选D.5. ABD6. ABD【解答】因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x ＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以函数f(x)关于点(1,0)及点(－1,0)对称，则f(x)可为奇函数，例如f(x)＝sin(πx)；也可以为偶函数，例如y＝cos πx2，故选项A，B正确；又因为函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数，故选项C错；因为f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝－f(x ＋3)，所以f(x＋3)是奇函数，故选项D正确．7. 18. (5，＋∞)【解析】因为函数f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称．因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减．因为f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.9. 0 f (x )＝⎩⎨⎧ x |x －2|，x >0，x |x ＋2|，x ≤0【解析】 因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.当x >0时，f (x )＝x |x －2|，所以设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－x )|－x －2|＝x |x ＋2|，所以f (x )＝⎩⎨⎧x |x －2|，x >0，x |x ＋2|，x ≤0. 10. 【解答】(1) 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数．(2) 因为x ∈[2,4]，所以－x ∈[－4，－2]，所以4－x ∈[0,2]，所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.因为f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11. 【解答】 (1) 根据题意，f (x )＋g (x )＝x x －1， 则f (－x )＋g (－x )＝－x －x －1＝x x ＋1. 又f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，则f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝x x ＋1， 联立两式解得f (x )＝x 2x 2－1，g (x )＝x x 2－1. (2) 由(1)的结论，f (x )＝x 2x 2－1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 21x 2－1＝－1x 2－1， 则有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2x 2－1＋－1x 2－1＝1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (4)＝3.B. 滚动小练12. AB13. ABD 【解析】 对于A ，x 2＞1⇒x ＞1或x ＜－1，所以“x ＞1”是“x 2＞1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，因为f (x )为偶函数，所以a ＝－5，因为定义区间为[a ，b ]，所以b ＝5，因此f (x )＝x 2＋5，其最小值为5，故B 正确；对于C ，命题“∀x ＞0，都有x ＋1x ≥2”的否定是“∃x 0＞0，使得x 0＋1x 0＜2”，故C 错误；对于D ，由条件得⎩⎨⎧ 2x ∈[0，2]，8－2x ≥0，所以⎩⎨⎧ x ∈[0，1]，x ∈(－∞，3]，所以x ∈[0,1]，故D 正确．14. 【解答】 (1) 由题设可知，a <0且－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以－b －8a ＝－1，－1－b ＝－6，解得a ＝－3，b ＝5，所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2) 因为a <0，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，所以b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512， 故c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ≤－2512. 第2课时 函数性质的综合应用A. 课时精练1. B2. A3. D4. B 【解析】 由已知可知，f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，f (4＋x )＝f [2＋(2＋x )]＝－f (2＋x )＝f (x )，即f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 020－ln 2)＝f (－ln 2)＝－f (ln 2)＝e a ln 2＝2a ＝8，解得a ＝3.5. BCD 【解析】 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数．对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝f(－5＋2 024)＝f(－5)＝－1，D 正确．6. ABD【解析】根据题意，函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0.对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x＝2时，有f(0)＝2f(2)＝0，则f(2)＝0，则f(2－x)＝f(x)，即x＝1是f(x)图象的一条对称轴．又f(x)为奇函数，则f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数．当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，则函数f(x)在区间[0,1]上为增函数．又f(x)是R上的奇函数，则f(x)在区间[－1,1]上为增函数．对于A，f(x＋2)＝－f(x)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(1)＋f(3)]＋[f(2)＋f(4)]＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，A正确；对于B，x＝1是f(x)图象的一条对称轴，且f(x)是周期为4的周期函数，则x＝5是f(x)图象的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x＝－5是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，B正确；对于C，函数y＝f(x)在[－7,7]上有7个零点，分别为－6，－4，－2，0,2,4,6，C错误；对于D，f(x)在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，则函数f(x)在[－5，－3]上为增函数，又由x＝－5为函数f(x)图象的一条对称轴，则函数f(x)在[－7，－5]上为减函数，D正确．7. 18. (－3,2)【解析】因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3<x<2.9. b<a<c【解析】由条件①知，当x∈[4,8]时，f(x)为增函数；由条件②知，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(x)是周期为8的周期函数；由条件③知，y＝f(x)关于直线x＝4对称，所以f(11)＝f(3)＝f(5)，f(2 025)＝f(1)＝f(7)，故f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜a＜c.10. 【解答】(1) 根据题意，函数f(x)＝ax4－x2是定义在(－2,2)上的奇函数，且f(1)＝a4－12＝13，解得a＝1，故f(x)＝x4－x2，x∈(－2,2)．f (x )在(－2,2)上单调递增，证明如下：任取－2<x 1＜x 2<2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 24－x 22－x 14－x 21＝(x 2－x 1)(4＋x 1x 2)(4－x 22)(4－x 21). 因为x 2－x 1＞0,4＋x 1x 2＞0,4－x 21＞0,4－x 22＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，所以f (x )在(－2,2)上单调递增．(2) 因为f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )，不等式f (t －1)＋f (t )＜0可化为f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．又f (x )在(－2,2)上是增函数，所以⎩⎨⎧ t －1＜－t ，－2＜t －1＜2，－2＜－t ＜2，解得－1＜t ＜12，所以关于t 的不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 11. 【解答】 若选①，函数f (x )＝b ＋3x －a ， 且满足f (2－x )＋f (x ＋2)＝0，则f (x )关于点(2,0)成中心对称，即a ＝2，b ＝0.若选②，函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的值域为[2,4]．若a ＞1，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，a 2＋b ＝4，两式作差得a 2－a －2＝0，得a ＝2或a ＝－1(舍去)，此时b ＝0；若0＜a ＜1，则⎩⎨⎧a ＋b ＝4，a 2＋b ＝2，两式作差得a 2－a ＋2＝0，此时无解． 若选③，函数f (x )＝x 2－ax ＋4，且f (x ＋1)在区间[b －1，b ＋1]上为偶函数， 则b －1＋b ＋1＝0，得b ＝0，f (x ＋1)是偶函数，图象关于y 轴对称，则f (x )的图象关于x ＝1对称，即－－a 2＝1，得a ＝2.综上，①②③的答案相同，都为a ＝2，b ＝0，则g (x )＝x ＋b ax 2＋2＝x 2x 2＋2，x ∈(－1,1)，且g (x )是奇函数． (1) 设－1＜x 1＜x 2＜1，则g (x 1)－g (x 2)＝x 12x 21＋2－x 22x 22＋2＝x 1(2x 22＋2)－x 2(2x 21＋2)(2x 21＋2)(2x 22＋2)＝2x 1x 22＋2x 1－2x 2x 21－2x 24(x 21＋1)(x 22＋1)＝2x 1x 2(x 2－x 1)＋2(x 1－x 2)4(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)2(x 21＋1)(x 22＋1). 因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以－1＜x 1x 2＜1，x 2－x 1＞0，则g (x 1)－g (x 2)＜0，即g (x 1)＜g (x 2)，所以g (x )在(－1,1)上单调递增．(2) 因为g (x )是奇函数，且在(－1,1)上单调递增，所以不等式g (t －1)＋g (2t )＜0等价于g (t －1)＜－g (2t )＝g (－2t )，所以⎩⎨⎧ －1＜t －1＜1，－1＜2t ＜1，t －1＜－2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜t ＜2，－12＜t ＜12，t <13，所以0<t <13，即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. B. 滚动小练12. D 13. A14. 【解答】 (1) 由∀x ∈[－1,1]，都有不等式x 2－x －m <0成立，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1上恒成立，所以m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}＝(2，＋∞)．(2) 不等式x 2－(4a ＋2)x ＋3a 2＋6a ＝(x －3a )(x －a －2)<0，当3a >2＋a ，即a >1时，A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以2＋a ≥2，此时a >1.当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，A ＝∅，满足题设条件．当3a <a ＋2，即a <1时，A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以3a ≥2，此时23≤a <1.综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 第9讲 二次函数与幂函数A. 课时精练1. A2. B3. D 【解析】 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象如图所示，可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.(第3题)4. C 【解析】 设g (x )＝x 2＋ax ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则g (x )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立．又h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，故当x ＝12时，h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2，即a ≥－52. 5. AD 【解析】 因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，A 正确；图象的对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1，2a －b ＝0，B 错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，C 错误；由图象的对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，D 正确．6. ABC 【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点，故判别式Δ＝(－2)2－4a >0⇒a <1，故A 正确．由x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，故1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a ，故B 正确．因为f (－1)＝3＋a ，f (3)＝3＋a ，所以f (－1)＝f (3)，故C 正确．当a ＝0时，y ＝f (|x |)＝|x |2－2|x |＝0⇒|x |(|x |－2)＝0，有三个根，x ＝0，±2，故D 错误．7. ⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞8. [－2,0] 【解析】 当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，若此时φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，则m 2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，若此时φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，则－m 2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．9. [1，2] 【解析】 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，所以1≤t ≤ 2.10. 【解答】 (1) 依题意得(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2) 由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．若p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎨⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1， 故实数k 的取值范围是[0,1]．11. 【解答】 (1) 由题意可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝k 2，要使函数f (x )在[－2,2]上存在单调减区间，则k 2>－2，则k >－4.(2) 若选择①g (x )＝mx ＋5－m .因为x 1∈[1,2]，所以2≤2x 1≤4.令t ＝2x 1，则2≤t ≤4，则f (2x 1)＝f (t )＝t 2＋3，所以7≤f (t )≤19.因为对任意的x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[－1,2]，使得f (2x 1)＝g (x 2)成立， 所以g (x 2)的值域应该包含区间[7,19]．当m ＝0时，g (x 2)＝5不合题意，所以m ≠0.当m >0时，⎩⎨⎧ g (－1)≤7，g (2)≥19，即⎩⎨⎧ m >0，5－2m ≤7，5＋m ≥19，解得m ≥14. 当m <0时，⎩⎨⎧ g (－1)≥19，g (2)≤7，即⎩⎨⎧ m <0，5－2m ≥19，5＋m ≤7，解得m ≤－7. 综上，存在m ∈(－∞，－7]∪[14，＋∞)满足题意． 若选择②g (x )＝2x－m ，则g (x )＝2x －m 在[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－m ，4－m ， 所以应该有⎩⎪⎨⎪⎧4－m ≥19，12－m ≤7，无解，所以不存在满足题意的m . 若选择③g (x )＝log 2(3－x )－m ，则g (x )在[－1,2]上的值域为[－m,2－m ]，所以应该有⎩⎨⎧ 2－m ≥19，－m ≤7，无解，所以不存在满足题意的m . B. 滚动小练12. B13. AB 【解析】 对于A ，函数f (x )对任意的x ∈R 恒有f (x ＋2)＝f (x －1)，变形可得f (x ＋3)＝f (x )，则3是函数f (x )的周期，A 正确．对于B ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＝2x －1，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上为增函数．又f (x )为偶函数，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上为减函数，又由f (x )的周期为3，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92上单调递增，B 正确．对于C ，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32上的最小值为f (0)＝12，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2，又由f (x )的周期为3，则函数f (x )的最大值为2，最小值为12，C 错误．对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92时，x －3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，有f (x －3)＝2x －3－1＝2x －4，D 错误．14. 【解答】 (1) p (5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35.(2) 因为y ＝6p (t )＋24t－10， 所以当5≤t <10时，y ＝360－6(t －10)2＋24t －10＝110－⎝ ⎛⎭⎪⎫6t ＋216t ， 由函数图象(图略)得函数y ＝110－⎝ ⎛⎭⎪⎫6t ＋216t 在区间[5,6]上单调递增，在区间[6,10)上单调递减，所以当t ＝6时，y 取得最大值38.当10≤t ≤20时，y ＝6×60＋24t －10＝384t －10，该函数在区间[10,20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4.综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．第10讲 指数式与指数函数A. 课时精练1. D2. D3. C4. C 【解析】 因为当x >0时，1<b x ，所以b >1.因为当x >0时，b x <a x ，所以当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1，所以a b >1，所以a >b ，所以1<b <a ，故选C. 5. ACD 【解析】 函数f (x )＝14x＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以方程f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14对称，所以D 正确． 6. ACD 【解析】 由图可知，函数y ＝a t 的图象经过点(1,2)，即a 1＝2，则a ＝2，所以y ＝2t .因为2t ＋1－2t ＝2t 不是常数，所以蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A 正确，B 错误；当t ＝6时，y ＝26＝64>60，C 正确；若蓝藻面积蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1, t 2, t 3，则2t 1＝2,2t 2＝3,2t 3＝6，则2t 1·2t 2＝2×3，即2t 1＋t 2＝6，则t 1＋t 2＝t 3，D 正确．7. 89 【解析】 0.001－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫780＋1634＋(2·33)6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000－13－1＋(24)34＋(212·313)6＝10－1＋23＋(23·32)＝9＋8＋8×9＝89.8. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 [1,2] 【解析】 因为x ∈[－3,2]，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.又t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，y ＝t 2－t ＋1的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，由14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12，得1≤x ≤2，所以f (x )的单调增区间为[1,2]．9. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|的图象与y ＝2a 有两个交点．当0＜a ＜1时，如图(1)，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1，不符合要求．所以0＜a ＜12.图(1)图(2) (第9题) 10. 【解答】 (1) 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.(2) 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1). 因为x 1＜x 2，所以2x 2－2x 1＞0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x )为R 上的减函数．(3) 因为t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立， 所以f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )．因为f (x )是奇函数，所以f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)． 因为f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2， 即k ＜3t 2－2t 恒成立．因为3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，所以k ＜－13.11. 【解答】 (1) 当m ≤1时，函数f (x )在区间(0,1)内为增函数．设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝4x 1－m ·2x 1－(4x 2－m ·2x 2)＝(4x 1－4x 2)－m (2x 1－2x 2)＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2－m )．由于0<x 1<x 2<1，则1<2x 1<2x 2<2， 又m ≤1，则2x 1＋2x 2－m >0， 则(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2－m )<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 则函数f (x )在区间(0,1)内为增函数． (2) 由于g (x )在区间(0,1)上有意义， 则f (x )>0，即4x －m ·2x >0在(0,1)上恒成立， 即m <2x 在(0,1)上恒成立， 由于2x ∈(1,2)，则有m ≤1. B. 滚动小练12. A 【解析】 因为⎩⎨⎧x ＞1，y ＞1，所以x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．13. (v 1＋v 2)24v 1v 2 乙 【解析】 设上山路程为1，则甲上、下山所用时间为1v 1＋1v 2＝v 1＋v 2v 1v 2，乙上、下山所用时间为2·112(v 1＋v 2)＝4v 1＋v 2，所以甲、乙两人上、下山所用时间之比为v 1＋v 2v 1v 24v 1＋v 2＝(v 1＋v 2)24v 1v 2.因为v 1≠v 2，所以v 1＋v 2v 1v 2>2v 1v 2v 1v 2＝2v 1v 2，4v 1＋v 2<42v 1v 2＝2v 1v 2，所以v 1＋v 2v 1v 2>4v 1＋v 2，即乙上、下山所用时间之和最少． 14. 【解答】 (1) 因为不等式ax 2＋x ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}， 所以1,3是方程ax 2＋x ＋c ＝0的两根，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋3＝－1a ，1×3＝ca ，解得a ＝－14，c ＝－34. (2) 由(1)得a ＝－14，c ＝－34，所以不等式ax 2＋2x ＋4c ＞0化为－14x 2＋2x －3＞0，解得2＜x ＜6，所以A ＝{x |2＜x ＜6}．又3ax ＋cm ＜0，即x ＋m ＞0， 解得x ＞－m ，所以B ＝{x |x ＞－m }. 因为A ⊆B ，所以－m ≤2，即m ≥－2， 所以m 的取值范围是[－2，＋∞)．第11讲 对数与对数函数A. 课时精练 1. B2. B 【解析】 因为函数y ＝log a (x ＋b )过(－1,0)，(0,1)两点，所以⎩⎨⎧0＝log a (b －1)，1＝log a b ，解得a ＝b ＝2，故选B. 3. D 【解析】 因为a ＝30.7>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8＝30.8>30.7＝a ，c ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1，所以c <a <b .故选D.4. D 【解析】 由f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，得f (x )定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠±12，关于坐标原点对称．又f (－x )＝ln|1－2x |－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )，所以f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，f (x )＝ln(2x ＋1)－ln(1－2x )，因为y ＝ln(2x ＋1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递增，y ＝ln(1－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递增，排除B ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，因为μ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，f (μ)＝ln μ在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，D 正确．5. BD6. AB 【解析】 因为f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，a ≠1)，所以f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )．由x ＋1>0且1－x >0得－1<x <1，故A 正确．由f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝f (x )＋g (x )，得函数f (x )＋g (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 正确．因为－1<x <1，所以f (x )＋g (x )＝log a (1－x 2)，因为y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a <1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递增，有最小值f (0)＋g (0)＝log a (1－0)＝0；当a >1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错误．因为f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当0<a <1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递增，所以函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递减；当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递增，故D 错误．7. 916 【解析】 若正实数a 满足a a ＝(9a )8a ，则a log a a ＝8a log a (9a )，所以1＝8(log a 9＋1)，所以log a 9＝－78，所以log a 3＝－716，则log a (3a )＝1＋log a 3＝1－716＝916.8. 136 1 【解析】 由2a ＝6,3b ＝36，得a ＝log 26，b ＝log 336，所以4a 9b ＝4log 269log 336＝2log 2623log 3362＝136，所以1a ＋2b ＝1log 26＋2log 336＝lg 2lg 6＋lg 3lg 6＝1.9. (0,1) 【解析】 如图，由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，所以ab ＝1,0<c <lg 10＝1，所以abc 的取值范围是(0,1)．(第9题)10. 【解答】 (1) 令u ＝2x 2＋x ，y ＝f (x )＝log a u ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，u ∈(0,1)．因为y ＝log a u >0，所以0<a <1，故a 的取值范围为(0,1)．(2) 由2x 2＋x >0可得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)，因为0<a <1，所以y ＝log a u 为减函数，而u ＝2x 2＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝log a (2x 2＋x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.11. 【解答】 (1) 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以log 3(3－x ＋1)－12kx ＝log 3(3x ＋1)＋12kx ， 化简得log 33－x ＋13x ＋1＝kx ，即log 313x ＝kx ，所以log 33－x ＝kx ，所以－x ＝kx ，即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，所以k ＝－1. (2) 由题意知，方程log 3(3x ＋1)－12x ＝12x ＋a 有解，亦即log 3(3x ＋1)－x ＝a ，即log 33x ＋13x ＝a 有解，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x ＝a 有解．由13x >0，得1＋13x >1，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x >0，故a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞)． B. 滚动小练12. ABD 13. 1⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥14【解析】 由题1e x ＋a e x ＝1e－x ＋a e －x ⇒1e x ＋a e x ＝e x ＋ae x ⇒(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0，故a ＝1.因为1e x ＋a e x ≥1恒成立，故a ≥1e x －1e 2x 恒成立．设t ＝1e x >0，则a ≥t －t 2在t >0时恒成立．又y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14≤14，故a ≥14.14. 【解答】 (1) 原式＝[(0.4)3]－13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23323＋log3(3)6＋3log 312＝52－49＋6＋12＝779.(2) 由A ＝{x |y ＝lg(x －3)＋9－2x }，得⎩⎨⎧x >3，9－2x ≥0，所以3<x ≤92，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3<x ≤92. 因为B ＝{x |x 2－9x ＋20≤0}＝{x |(x －4)(x －5)≤0}＝{x |4≤x ≤5}，所以A ∪B ＝{x |3<x ≤5}．因为C ⊆(A ∪B )，当C ＝∅时，有a ＋1≥2a －1，得a ≤2；当C ≠∅时，则⎩⎨⎧a ＋1<2a －1，a ＋1>3，2a －1≤5，得2<a ≤3.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤3}．第12讲 函数的图象A. 课时精练 1. C 2. B3. D 【解析】 令x >0，则－x <0，所以当x >0时，f (－x )＝－1x ，－f (－x )＝1x；令x <0，则－x >0，所以当x <0时，f (－x )＝x 2，－f (－x )＝－x 2；当x ＝0时，g (0)＝0.所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，－x 2，x ≤0.故选D.4. D 【解析】 函数f (x )＝2x 2－e |x |在[－2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称．因为f (2)＝8－e 2,0<8－e 2<1，所以排除A ，B 选项．当x ∈[0,2]时，f ′(x )＝4x －e x 有一个零点(f ′(0)f ′(1)<0)，设为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f (x )为减函数，当x ∈(x 0,2)时，f (x )为增函数．故选D.5. A 【解析】 在同一直角坐标系中作出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图象可知，M (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎨⎧g (x )，0<|x |<1，f (x )，|x |≥1，因此，函数y ＝M (x )的图象为A 选项中的图象．故选A.(第5题)6. BCD 【解析】 若a >1，则对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，对称轴x ＝12(a －1)>0，经过原点，可能为A ，不可能为B.若0<a <1，则对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，对称轴x ＝12(a －1)<0，经过原点，不可能为C ，D.故选BCD.7. AD 【解析】 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，作出f (x )的大致图象，如图所示．由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在区间[0,2]内恰有两个不同的公共点时，直线y ＝x ＋a 经过点(1,1)或与曲线f (x )＝x 2(0≤x ≤1)相切于点A ，则1＝1＋a 或方程x 2＝x ＋a 只有一个实数根，所以a ＝0或Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝0或a ＝－14.(第7题)8. (3,1)9. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0 【解析】 当－1≤x ≤0时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.当x >0时，设f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)．因为图象过点(4,0)，所以0＝a (4－2)2－1，得a ＝14，所以f (x )＝14(x －2)2－1.10. (2,2 021) 【解析】 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020，所以2<a ＋b ＋c <2 021.(第10题)11. 【解答】 (1) 因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，所以m ＝4. (2) 函数f (x )＝x |x －4|＝⎩⎨⎧(x －2)2－4，x ≥4，－(x －2)2＋4，x <4，作出其图象如图所示．(第11题)(3) 由(2)知函数f (x )在(－∞，2)，(4，＋∞)上单调递增，在(2,4)上单调递减．不等式f (x )>0的解集为(0,4)∪(4，＋∞)．(4) 由图象可知，当且仅当0<k <4时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有3个交点，也即方程f (x )＝k 有3个实数根．B. 滚动小练12. C 【解析】 不等式2x 2－13x ＋15＜0化为(x －5)(2x －3)＜0，解得32＜x ＜5.又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值范围是{1,2,3,4}．故选C.13. B 【解析】 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，因为xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1，解得34(x ＋y )2≤1，所以－233≤x ＋y ≤233，所以x ＋y 的最大值是233.14. 【解答】 (1) f (－1)＝1，f [f (－1)]＝f (1)＝log 2(1＋1)＝1. (2) 作出f (x )的大致图象，如图所示．(第14题)(3) 当x <0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1>2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >3，得x <log 123，即x <－log 23； 当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)>2， 所以x ＋1>4，得x >3，故原不等式解集为{x |x <－log 23或x >3}．第13讲 函数与方程A. 课时精练 1. B 2. C3. B 【解析】 因为a >0，所以a 2＋1>1.作出y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，所以y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，即方程有2个解．(第3题)4. C 【解析】 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)．因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ.又函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.。
初等模型
7.21 6.88 6.32 5.84
•
• •
4
•
8 n
1
2
t an
b
logt a b logn
最小二乘法
t 7.21n
0.11
与模型巧合！
2.6
实物交换
y yo•
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
用x,y分别表示甲(乙)占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图：
模 型 假 设
以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。 假定双方采取如下同样的核威慑战略：
• 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部 核导弹攻击己方的核导弹基地；
• 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹， 给对方重要目标以毁灭性的打击。 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精 度和另一方的防御能力决定。
s变大，y减小，曲线变平
0
x
a变大，y增加，曲线变陡
模型解释
• 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标 乙方威慑值 y0变大 （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移 平衡点PP´
y0 y=f ( x) P(xm,ym) x=g(y) y
, ym ) P( xm
xm , ym ym xm
模型 np fv f 建立 s1/2 A1/3 A W(=w0+nw) n sv2
pw
v (n/s)1/3 s n2/3
v n1/9
比赛成绩 t n – 1/9
第2章初等模型精品PPT课件
Qk1T 1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 2d 1T2k1d2T 1k 1lT2k2d
室
f(h)
1
内
室
外
0.9
T1
T2
0.8
0.7
0.6
0.5
d
d 0.4
0.3 记h=l/d并令f(h)=
0.2
类似有
Q
k1
T1 T2 2d
Q
2
Q 2(k1l)/(k2d)
一般 k1 16 ~ 32 故 k2
O B(0,-b)
令：
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
汇合点由p此必关位系于式此即圆可上求。出P点的坐标和
θ2 的值。
y(ta)nxb（航母的路线方程） 本模型虽简单，但分析极清晰且易
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回 来的时间记 为t2，还得解一个方程组：
h
g k
( t1
1 k
e kt 1
)
g k2
h 340 t2
这一方程组是非线性 的，求解不太容易， 为了估算崖高竟要去 解一个非线性主程组 似乎不合情理
t1
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据画在平面直角坐标系中，见 图。 如果建模者判断 这n个点很象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而利 用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成 立，但我们希望
高中数学必修一第二章 基本初等函数(Ⅰ)解答题专项练习附答案 教师版
②当 0<a<1 时，由 log
h h
>0＝loga1 得 0<
h h
<1，∴−2<x<0.
故当 a>1 时，所求 h 的取值范围为
；
当 0<a<1 时，所求 h 的取值范围为
【解析】【分析】(1)求对数型函数的定义域,由真数大于 0 得不等式,求出定义域;
(2)对数型不等式,要对底数大于 1 和小于 1 分类讨论,由函数的单调性求解.
高中数学必修一第二章 基本初等函数（Ⅰ）解答题专项练习附答案
一、解答题（共 50 题；共 450 分）
1.计算下列各式的值：
（1） （2）log
lg lg log
； lg .
【答案】 （1）解：根据指数幂的运算性质可得，原式
（2）解：根据对数的运算性质可得，原式
lg
lg lg
lg
lg lg
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质，即可求解，得到答案.（2）根据对数的运算性质，即可求 解，得到答案.
（1）
log
log
；
（2）已知
，
，求
的值．
【答案】 （1）解：
h
h
h
h
（2）解：∵a＞0，a﹣a﹣1＝1，
∴a2+a﹣2﹣2＝1，则 a2+a﹣2＝3，
，
a2﹣a﹣2＝（a+a﹣1）（a﹣a﹣1）
，则 a4﹣a﹣4
∴
【解析】【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值；（2）由已知分别求 出 a2+a﹣2 与 a4﹣a﹣4 的值，则答案可求． 5.计算下列各式的值：
姜启源《数学模型》第四版第二章初等模型-PPT文档资料-课件-PPT文档资料
决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用 激光的波长，和驱动光盘的机械形式.
调查和分析 数据容量 • 信道长度
• 线密度 激光波长
• 激光波长 • 驱动形式
• 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑 所携带的信息，必须精确地聚焦.
• 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑.
• 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小， 而光斑的大小与激光波长成正比.
每一圈螺旋线上存储 同等数量的数据信息
各圈螺旋线上数据 的线密度不变
容量取决于最内圈的长 度、线密度以及总圈数
容量取决于固定的线 密度和螺旋线总长度
从光盘的容量比较，CLV优于CAV.
数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外 圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要.
对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV; 对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV.
蓝色(DVD) 0.41
28,055,895 22,445
603
CD信道长度在5km以上，容量约680 MB; DVD容量在 GB量级.
影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算 .
模型求解
CAV(恒定角速度)光盘
LCAV
2R1
R2 R1 d
R
2 2
2d
R1=R2/2时LCAV最大
CCAVLCAV
激光器 激光波长 (μm)
shk1, k2
hl d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 室
T T
Q2 k1
1Hale Waihona Puke 22dQ1
k1
T1 T2 d(s2)
内 T1
双层与单层窗传导的热量之比
M02初等模型量纲分析和无量纲化
4
第二章
初等模型
5
第二章
初等模型
6
应用： 1：减少物理量； 2：舍弃次要因素，减少独立参数的个数； 3：物理模拟中的比例模型
例，用实验方法研究飞机的外部流动时，很难设想 为此而建立能容纳全尺寸飞机的大风洞，因为仅驱动风洞 气流所需的能量就大的惊人。所以合理的解决办法就是缩 小试件尺寸，做模型实验。因此引起的问题是应怎样设计 和安排实验才能保证模型实验能真实地反映全尺寸飞机的 飞行情况呢？
m=6, n=3
第二章 初等模型
f (q1 , q2 , L, qm ) = 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm s = 1,2,…, m-r )T
ϕ ( g , l , ρ , v, s, f ) = 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
第二章 初等模型
7
2.5
量纲分析与无量纲化
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数 学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物 理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
例，用实验方法研究飞机的外部流动时，很难设想为此而建立 能容纳全尺寸飞机的大风洞，因为仅驱动风洞气流所需的能量就大的惊 人。所以合理的解决办法就是缩小试件尺寸，做模型实验。因此引起的 问题是应怎样设计和安排实验才能保证模型实验能真实地反映全尺寸飞 机的飞行情况呢？
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
对无量纲量α，[α]=1(=L0M0T0)
第二章 初等模型
m1m2 f =k 2 r
9
量纲齐次原则
必修1第二章基本初等函数练习题及答案解析10
双基限时练(十七)1．下列叙述正确的是( )①对数式log a N ＝b (a >0，a ≠1)与指数式a b ＝N (a >0，a ≠1)是同一个关系式的两种不同的表达形式；②当a >0，a ≠1时，log a N ＝b 与a b ＝N 可以相互转化； ③若a b ＝N (a >0，a ≠1)，则a log a N ＝N 成立； ④若M ＝N ，则lg M ＝lg N . A ．①② B ．①②③ C ．①②③④ D ．②④答案 B2．lg4＋2lg5等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23等于( )B.32a D ．a解析 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x2－lg y 2 ＝3[(lg x －lg2)－(lg y －lg2)]＝3(lg x －lg y )＝3a . 答案 A4．若P ＝log 23·log 34，Q ＝lg2＋lg5，M ＝e 0，N ＝ln1则正确的是( )A ．P ＝QB ．Q ＝MC ．M ＝ND ．N ＝P解析 因为P ＝log 23·log 34＝log 23·log 24log 23＝log 24＝2 Q ＝lg2＋lg 5＝lg 10＝1， M ＝e 0＝1， N ＝ln1＝0， 所以Q ＝M . 答案 B5．若lg x 与lg y 互为相反数，则( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．xy ＝1D ．xy ＝－1解析 lg x ＋lg y ＝0，即lg xy ＝0，∴xy ＝1. 答案 C6．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36的值是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.答案 A7．4lg2＋3lg5－lg 15的值为________． 解析 原式＝4lg2＋3lg5－(lg1－lg5) ＝4lg2＋4lg5＝4(lg2＋lg5)＝4lg10＝4.答案 48．设x ＝log 23，则23x －2－3x2x －2－x＝________.解析 法一：由x ＝log 23得2x＝3,2－x＝13，23x －2－3x2x －2－x＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫1333－13＝919. 法二：23x －2－3x 2x －2－x ＝x －x 2x －2x ＝22x ＋1＋2－2x ＝答案 9199．方程log 3(x 2－解析 log(x 2－10)＝log 3x .x ＝5. (3)log 2(log 216)； (4)log2－1(3＋22)．解 (1)lg25＋lg4＝lg(25×4)＝lg100＝2.11．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771. 求lg72，lg4.5的值．解 lg72＝lg(23×32)＝3lg2＋2lg3 ＝3×0.3010＋2×0.4771＝1.8572. lg4.5＝lg 92＝lg9－lg2＝2lg3－lg22＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a xy －1)]， ＋9＝0， 配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12. ∴log 8y x ＝log 812＝log 232－1＝－13log 22＝－13.新课标第一网系列资料 。
初等模型
第二章部分习题3. 在2.5节中考虑8人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg ）和轻量级组（桨手体重不超过73kg ）建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%9. 用宽w 布条缠绕直径d 的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大（如图）。
若知道长度，需用多长的布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其它形状呢16. 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式17. 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播，据分析在时刻t 冲击波达到的半径r 与释放的能量e ，大气密度ρ，大气压强p 有关（设0=t 时0=r ）用量纲分 析方法证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32655/12ρφρe t p et r ，φ是未定函数 参考答案3. 由模型假设3，划桨功率p 与体重ω成正比，而桨手数8=n 不变，所以2.5节（2）式改为()3/1/s v ω∝。
记重量级组和轻量级组的体重、艇速、比赛成绩和艇的浸没面积分别为21212121,,,,,,,s s t t v v ωω，则3/1213/1121221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==s s v v t t ωω。
估计21/s s 的大小：重量级组体重大，会使浸没面积增加，单艇身略大，又会使浸没面积减少，因而21/s s 不会超过1.05。
代入861=ω，732=ω可得96.0/21≈t t .9. 将管道展开如图，可得απωcos d =，若d 一定，0,;2/,0→→→→απωπαωd 若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为ωπ/dl ，若考虑两端的影响，则应加上αωπsin /d ，对于其他形状管道，只需将d π改为相应的周长即可16. 设()[]11,0,,,--==T ML g v f μμρ 解得(),,0,2/12/1121--==g vr F πππ 2/112/12/32g r --=μρπ于是()μρϕ/2/12/3g r rg v =，ϕ是未定函数.17. 设()0,,,,=t r p e f ρ 解得(),,0,251121--==t r e F ρπππ 65322t p e --=ρπ于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32655/12ρϕρe t p et r。
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第二章初等模型习题解答-精品 2020-12-12【关键字】情况、方法、条件、质量、增长、问题、充分、整体、平衡、合理、建立、提出、研究、位置、支撑、成果、基础、需要、作用、结构、速度、关系、检验、分析、借鉴、满足、鼓励、发挥、解决生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动解：动物消耗的能量P 主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S 散失，记动物体重为ω，则3/2-∝∝ωS P 。
P α正比于血流量Q ，而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，r 为心率。
合理地假设q 与ω成正比，于是r P ω∝。
综上可得3/1-∝ωr ，或3/1-=ωk r 。
由所给数据估计得310897.20⨯=k ，将实际数据一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。
所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。
模型假设⑴ 设鱼的重量为；⑵ 语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。
即31v k w =，1k 为比例系数。
不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：1k =0.0146，2k =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意， 上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。
可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。
3 题目：考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。
给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。
本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。
本题中涉及的物理量有阻力f 、摆长l 、质量m 、重力加速度g 、周期t 。
分别分析各个物理量的量纲，由于阻力f 与摆的速度成正比所以f的量纲与v 的量纲相同[f]=[v]=LT 1-,[t]=T,[m]=M;[g]=LT 2-,[l]=L 。
设这些物理量之间的关系为：4321a a a a fg l m t λ=,因此量纲表达为：4321][][][][][a a a a f g l m t =把各个物理量的量纲带入量纲表达式得：4321)()(12a a a a LT LT L M T --= 按照量纲齐次原则应有 最后解得：)(2121mg kl g r t ϕ=作物理模拟的比例模型时，设g 和 k 不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：m m l l t t ''',,,,,那么只要m m r r //'='就有r r t t '='4 题目：小球做竖直上抛运动：质量为m 的小球以速度v 竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数k 。
设初始位置为x =0，x 轴竖直向上，则运动方程为：m ••x +k •x +mg=0,x(0)=0,•x （0）=v ，方程的解可表为x =x (t ;v ,g ,m ,k ).试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k 很小时求近似解的可能性]30[建模与解题：注意到[k ]=m t1-,,(1)选取特征尺度tc=m 1-k,xc=2v ,则方程化为2ε••-x+2ε•-x +1=0，-x （0）=0，•-x （0）=1-ε——（1）其中ε=kv /mg ，解可表示为-x =-x （-t ；ε）。
k 很小时ε很小，（1）无解。
（2）选取tc=v 1-g ，c x =2v 1-g ，则••-x +ε•-x +1=0，-x （0）=0，•-x （0）=1ε同上，-x 表达式同上。
但当k 很小时（2）有解。
它正是原问题忽略阻力时的近似解。
5 录象机计数器的用途一、问题：老式的录象机上有计数器，而没有计时器,计数器的读数并非均匀增长，而是先快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型． 二、模型假设：1）录象带的线速度是常数v ；2）计数器的读数n 与右轮盘转的圈数（记作m ）成正比n k m *=，k 为比例系数；3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈间的空隙）是常数w ，空右轮盘半径为r ; 4)初始时刻t =0时n =0; 三、建立模型：当右轮盘转到第i 圈时其半径为i w r *+，周长为2π*(r+w*i)π，m 圈的总长度恰等于录象带转过的长度t v *，即： 四、模型求解：因为m=k*n 有:12*(*)*mi r w i v t π=+=∑推出：221()*2******2r w k n K n w v tππ++=考虑w<<r 所以有222*******k r n k n w v t ππ+=推出：222******k r n k n wt v vππ=+ 我们可以应用Mathematica 编程求解，程序如下： Slove[∑=nk i *12π*(t v i w r *)*==+,t ]结果为:vwn k w n k r n k t ******222++=*π6 问 题：质量为m 的小球以速度v 竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数为k ，设初始位置为x x ,0=轴竖直向上，则运动方程为方程的解可表示为),,,;(k m g v t x =。
试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k 很小时求近似解的可能性。
问题分析：所谓无量纲化是指：对于变量x 和t 分别构造具有相同量纲的参数组合x c 和t c ，使新变量为无量纲量。
x c 称为特征长度，t c 称为特征时间。
统称特征尺度或参考尺度。
问题求解：[]t m k 1-=可以选取以下两种尺度将问题无量纲化（1） 选取尺度gvx k t c c m 121,--==，则方程化为aa ax x x x 122)0(,0)0(,01-===++ （1） 其中mgkva =，解可以表示为);(a t x x =。
k 很小时（1）无解。
（2） 选取尺度gvx g t c c v 121,--==，则方程化为1)0(,0)0(,01===++x x x a x（2） 其中mgkva =，解可以表示为);(a t x x =。
k 很小时（2）有解。
它是原问题忽略阻力时的近似解。
结 果：原问题忽略阻力时运动方程为v x x mg xm ===+)0(,0)0(,0 （3） 解方程（3）可得：7 题目一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。
所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。
模型假设⑴ 设鱼的重量为；⑵ 语的身长记为； 模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。
即31v k w =，1k 为比例系数。
不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：1k =0.0146，2k =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，从上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。
可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。
8 题目. 雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
解:一符号说明设雨滴质量m，体积V，表面积S，雨滴的特征尺寸L，重力f1,空气阻力f2., 雨滴下降速度为v.二问题分析与模型建立：根据已知条件可知：m∝V∝L3 , S∝L2 .可得：S∝m2/3 。
我们知道，雨滴在重力f1和空气阻力f2的作用下是匀速v下降的，从而可以得出： f1=f2 .又 f1∝m,f2∝Sv2 .由以上关系可以得出：v∝m1/6 .三结果分析：本问题主要考察的是用量刚分析方法求速度，量刚分析是在经验和实验的基础上利用物理定理的量刚齐次原则，确定各物理量之间的关系。
9 动物的体重与心率之间的关系.生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为W，则P∝S∝W2/3。
又P正比于血流量Q=qr,其中q是动物每次心跳泵出的血流量，r为心率，合理的假设q与w成正比，于是P∝wr.综上可得r ∝w-1/3,或r=k.由所给数据估计得k=2089.7,将实际数据与模型结果比较如下表：动物模型结果实际心律（心/分）田鼠715 670家鼠357 420兔166205小狗122 120大狗67 85羊57 70人51 72马27 38由于只是粗糙的作出假设,所以拟合的并不是很好.10 题目：雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.建模描述雨速与雨滴质量的关系.假设：1.雨滴是圆滑规则球体。