第p百分位数的计算讲义答案及解析
第p百分位数的计算讲义知识点一：数据中第p百分位数的计算第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，则第p百分位数为第[i]+1项数据（[i]为小于等于i的最大的整数）；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数（和的一半）．注：中位数就是数据的50%分位数．典型例题1、现有A、B两组数据．A组：1，3，1，6，8，5，7，5，2，6B组：1，3，1，6，8，5，7，5，2，6，4（1）求A组数据的中位数和75%分位数；（2）求B组数据的30%分位数和中位数．变式训练1、已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）A．平均数>第60百分位数>众数B．平均数<第60百分位数<众数C．第60百分位数<众数<平均数D．平均数=第60百分位数=众数变式训练2、求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数，75%分位数，90%分位数．举一反三1、现有甲、乙两组数据如下表所示．序1234567891011121314151617181920号甲1222233355668891010121313组乙00001123456677101414141415组试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．2、求15，23，32，16，18，16，27，18，19，22的中位数和75%分位数．3、给定一组从小到大排列的数据如下：100，101，102，103，104，105，106，107，108，109．这组数据的第30百分位数是（）A．102B．103C．102．5D．不确定课下练习1、已知一组数据为7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据的第25百分位数是（）A．8B．9C．10D．112、某学习兴趣小组学生的一次测验成绩如下：130，135，126，123，145，145，150，131，143，144．这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位数是（）A．131B．143C．150D．1453、已知一组数据为29，33，40，45，43，49，29，30，40，41，47，31，45，37，38，38，40，43，45，46，那么这组数据的第40百分位数是（）A ．38B ．39C ．40D ．37.54、已知一组数据为7，10，13，8，25，11，22，15，19，20，那么这组数据的第75百分位数是（）A ．19.5B ．19C ．20D ．225、下列数据是30个不同国家中每100000名男性患某种疾病的死亡率：27.023.941.633.140.618.813.728.913.214.527.034.828.9 3.250.15.68.715.27.15.216.513.819.211.215.710.05.61.533.89.2这组数据的第40百分位数是．6．一个小商店从一家食品有限公司购进一批袋装白糖，抽取其中21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：486495496498499493493498484497504489495503499503509498487500508估计这批袋装白糖的第75百分位数是．知识点二：在频率分布直方图中估计第p 百分位数由频率分布直方图估计数据的第p 百分位数的步骤：第1步，估计第p 百分位数位于哪一组中（不妨设区间为a ，b ）．第2步，确定小于a 和小于b 的数据所占的百分比分别为m ，n （m <p %<n ）．第3步，第p 百分位数为)(%a b mn mp a -⨯--+．或者第1步，估计第p 百分位数位于哪一组中（不妨设区间为a ，b ，对应的纵坐标为y 0）．第2步，设第p 百分位数为x 0．第3步，x 0左侧每组的频率之和加（x 0-a ）y 0=p %，解得x 0．典型例题1、某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格．某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间]150,30[内，其频率分布直方图如图．估计初赛成绩的第80百分位数是多少？变式训练1、根据表中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数（保留整数）和第80百分位数（保留整数）．（注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数()AQI 不超过400）AQI[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[)200,300[]300,400频率22.8%33.2%18.6%13.4%8.2%3.8%变式训练2、如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到0.01）分别是（）A ．2.20，2.25B ．2.29，2.20C ．2.29，2.25D ．2.25，2.25举一反三1、如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（）A ．105，103B ．115，125C ．125，113.3D ．115，113.32、在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．3、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．由图中数据可知a＝，估计该小学学生身高的中位数为．课下练习1、某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为．2．如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．3．从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．利用频率分布直方图求：（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0．1）4．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图（成绩在[50,100]内）．（1）求频率分布直方图中a的值；60,70中的学生人数；（2）估计总体中成绩落在[)（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数（精确到0.01）．5．某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”，先在本校进行初赛（满分150分），随机抽取100名学生的成绩作为样本，并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数．第p 百分位数的计算讲义答案及解析知识点一：数据中第p 百分位数的计算第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i ＝n ×p %．第3步，若i 不是整数，则第p 百分位数为第[i ]+1项数据（[i ]为小于等于i 的最大的整数）；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第（i ＋1）项数据的平均数（和的一半）．注：中位数就是数据的50%分位数．典型例题1、现有A 、B 两组数据．A 组：1，3，1，6，8，5，7，5，2，6B 组：1，3，1，6，8，5，7，5，2，6，4（1）求A 组数据的中位数和75%分位数；（2）求B 组数据的30%分位数和中位数．【解析】A 组：1，1，2，3，5，5，6，6，7，8，共10个数据．10×50%=5，所以A 组数据的中位数为5．（第5个和第6个数据的和的一半为5）10×75%=7.5，所以A 组数据的75%分位数为6．（第8个数据）B 组：1，1，2，3，4，5，5，6，6，7，8，共11个数据．11×30%=3.3，所以B 组数据的30%分位数为3．（第4个数据）11×50%=5.5，所以B 组数据的中位数为5．（第6个数据）变式训练1、已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）A ．平均数>第60百分位数>众数B ．平均数<第60百分位数<众数C ．第60百分位数<众数<平均数D ．平均数=第60百分位数=众数【解析】解：平均数为()20304050506070805018⨯+++++++=，860% 4.8⨯= ，∴第5个数50即为第60百分位数．众数为50，∴它们的大小关系是平均数=第60百分位数=众数．故选：D ．变式训练2、求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数，75%分位数，90%分位数．【解析】因为数据个数为10，而且10×25%＝2.5，10×75%＝7.5，10×90%＝9．所以该组数据的25%分位数为3，75%分位数为8，90%分位数为5.92109=+．举一反三1、现有甲、乙两组数据如下表所示．序号1234567891011121314151617181920甲组1222233355668891010121313乙组1123456677101414141415试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．【解析】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．因此，甲组数的25%分位数为5.2232=+；甲组数的75%分位数为5.92109=+．乙组数的25%分位数为1211=+，乙组的75%分位数为1221410=+．2、求15，23，32，16，18，16，27，18，19，22的中位数和75%分位数．【解析】将这些数据按照从小到大排列15，16，16，18，18，19，22，23，27，32．数据总个数为10，而且10×50%＝5，10×75%＝7.5．所以该组数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数＝18.5，75%分位数为第8个数据23．3、给定一组从小到大排列的数据如下：100，101，102，103，104，105，106，107，108，109．这组数据的第30百分位数是（）A ．102B ．103C ．102．5D ．不确定【解析】30%103⨯=,第30百分位数是第三和第四个的平均数．故选：C ．课下练习1、已知一组数据为7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据的第25百分位数是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】数据从小到大排列是：7，7，8，8，8，8，9，9，10，10，10，10，11，11，12，12，13，13，14，20，共20个数据，2025%5⨯=，所以这组数据的第25百分位数是第5项与第6项数据的平均数，即8，故选：A ．2、某学习兴趣小组学生的一次测验成绩如下：130，135，126，123，145，145，150，131，143，144．这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位数是（）A ．131B ．143C ．150D ．145【解析】将测验成绩按从小到大排列为123，126，130，131，135，143，144，145，145，150，共10个数据，且75%107.5⨯=，∴这个兴趣小组的测验成绩的第75百分位数为第8个数据．∴所求的成绩的第75百分位数为145．故选：D ．3、已知一组数据为29，33，40，45，43，49，29，30，40，41，47，31，45，37，38，38，40，43，45，46，那么这组数据的第40百分位数是（）A ．38B ．39C ．40D ．37.5【解析】数据从小到大排列是：29，29，30，31，33，37，38，38，40，40，40，41，43，43，45，45，45，46，47，49，共20个数据，20×40%=8，所以这组数据的第25百分位数是第8项与第9项数据的平均数，即38．故选：A ．4、已知一组数据为7，10，13，8，25，11，22，15，19，20，那么这组数据的第75百分位数是（）A ．19.5B ．19C ．20D ．22【解析】数据从小到大排列是：7，8，10，11，13，15，19，20，22，25共10个数据，10×75%=7.5，所以这组数据的第75百分位数是第8项数据，即20．故选：C ．5、下列数据是30个不同国家中每100000名男性患某种疾病的死亡率：27.023.941.633.140.618.813.728.913.214.527.034.828.9 3.250.15.68.715.27.15.216.513.819.211.215.710.05.61.533.89.2这组数据的第40百分位数是．【解析】将数据按从小到大排列为1.5 3.2 5.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1数据总数为40，40%3012⨯=，∴这组数据的第40百分位数是13.713.813.752+=．故答案为：13.756．一个小商店从一家食品有限公司购进一批袋装白糖，抽取其中21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：486495496498499493493498484497504489495503499503509498487500508估计这批袋装白糖的第75百分位数是．【解析】将数据按从小到大排列为484486487489493493495495496497498498498499499500503503504508509数据总数为21，75%2115.75⨯=，∴这组数据的第75百分位数为第16个数据为500．故答案为：500．知识点二：在频率分布直方图中估计第p 百分位数由频率分布直方图估计数据的第p 百分位数的步骤：第1步，估计第p 百分位数位于哪一组中（不妨设区间为a ，b ）．第2步，确定小于a 和小于b 的数据所占的百分比分别为m ，n （m <p %<n ）．第3步，第p 百分位数为)(%a b mn mp a -⨯--+．或者第1步，估计第p 百分位数位于哪一组中（不妨设区间为a ，b ，对应的纵坐标为y 0）．第2步，设第p 百分位数为x 0．第3步，x 0左侧每组的频率之和加（x 0-a ）y 0=p %，解得x 0．典型例题1、某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格．某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间]150,30[内，其频率分布直方图如图．估计初赛成绩的第80百分位数是多少？【解析】设初赛成绩在[)90,110的频率组距为a ，则()0.00250.00750.00750.01250.0050201a +++++⨯=．∴0150.0=a ．初赛成绩在110分以下的频率为()0.00250.00750.00750.0150200.65+++⨯=．初赛成绩在130分以下的频率为0.650.0125200.90+⨯=．∴初赛成绩的第80百分位数一定在[)110,130内．由0.800.65110201220.900.65-+⨯=-，∴估计初赛成绩的第80百分位数是122．变式训练1、根据表中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数（保留整数）和第80百分位数（保留整数）．（注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数()AQI 不超过400）AQI[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[)200,300[]300,400频率22.8%33.2%18.6%13.4%8.2%3.8%【解析】平均数为2522.8%7533.2%12518.6%17513.4%2508.2%350 3.8%111.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．由于AQI 50≤时，频率为22.8%50%<，AQI 100≤时，频率为22.8%332%56%50%+=>.，∴中位数为0.500.2285050910.332-+⨯≈．由于AQI 150≤时，频率为22.8%33.2%18.6%74.6%++=，AQI 200≤时，频率为74.6%13.4%88%+=．∴第80百分位数一定位于(]150,200内，由0.800.746150501700.134-+⨯≈，得第80百分位数约为170．变式训练2、如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到0.01）分别是（）A ．2.20，2.25B ．2.29，2.20C ．2.29，2.25D ．2.25，2.25【解析】由频率分布直方图得，自学时间在[)0.5,2的频率为()0.160.20.340.50.35++⨯=，自学时间在[)2,2.5的频率为0.520.50.26⨯=，所以，自学时间的中位数为0.50.3520.5 2.290.26-+⨯≈，众数为2 2.5 2.252+=．故选：C ．举一反三1、如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（）A ．105，103B ．115，125C ．125，113.3D ．115，113.3【解析】频率分布直方图中，考查最高的条形图可知该班学生成绩的众数为1101201152+=，设中位数为x ，由题意可得：[]()100.00500.01500.02001100.03000.5x ⨯+++-⨯=，求解关于实数x 的方程可得：113.3x =．综上可估计该班学生成绩的众数、中位数分别为115，113.3．故选：D ．2、在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．【解析】由频率分布直方图的性质得分数在90分以上的频率为：()10.0050.0125200.65-+⨯=，∴分数在90分以上的人数约为：0.6540002600⨯=．由频率分布直方图知分数在90分以下的频率为()0.0050.0125200.35+⨯=，分数在[)90,110的频率为：0.02200.4⨯=，∴根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为：0.50.35902097.50.4-+⨯=．故答案为：2600；97．5．3、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．由图中数据可知a ＝，估计该小学学生身高的中位数为．【解析】（1）因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×（0．005+0．035+a +0．020+0．010）=1，解得a =0．030；（2）根据频率分布直方图知，又0．005×10+0．035×10=0．4＜0．5，0．4+0．030×10=0．7＞0．5，所以中位数在[120，130）内，可设为x，则（x﹣120）×0．030+0．4=0．5，解得x=370 3，所以中位数为370 3．故答案为0．030，370 3．课下练习1、某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为．【解析】由图可知，10~20的频率为0.14，20~30的频率为0.24，30~40的频率为0.32，40~50的频率为0.2，50~60的频率为0.1，前两组频率0.140.240.380.5=+=<，前三组频率0.140.240.320.70.5=++=>，∴中位数在第三组，设中位数为x，则()300.380.320.510x-+⨯=，解得33.75x=．故该组数据的中位数为33.75．2．如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．【解析】由题意可得从左到右每个小矩形的面积为0.1，0.4，0.35，0.15，所以该样本的平均数为：0.1150.4250.35350.154530.5⨯+⨯+⨯+⨯=，由0.10.40.5+=，可知中位数为30，所以两者之差的绝对值为3030.50.5-=．故答案为：0.5．3．从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．利用频率分布直方图求：（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0．1）【解析】（1）由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为75分．因为数学竞赛成绩在[)40,70的频率为()0.0040.0060.020100.3++⨯=，数学竞赛成绩在[)70,80的频率为0.030100.3⨯=．所以中位数为0.50.3701076.70.3-+⨯≈．（2）这50名学生的平均成绩为()()()450.00410550.00610650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()75(0.03010)850.02410950.0161076.2+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．【答案】（1）众数为75分，中位数为76.7分；（2）76．2分4．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图（成绩在[50,100]内）．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计总体中成绩落在[)60,70中的学生人数；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数（精确到0.01）．【解析】（1）由频率分布直方图得：()23762101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =；（2）由频率分布直方图得成绩落在[)60,70中的频率为3100.15a ⨯=，∴估计总体中成绩落在[)60,70中的学生人数为：200.153⨯=人；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众位数为75，设中位数为x ，则()0.10.150.035700.5x ++⨯-=，则54077.147x =≈．【答案】（1）0.005a =；（2）3人；（3）众数为75，中位数为77.14．5．某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”，先在本校进行初赛（满分150分），随机抽取100名学生的成绩作为样本，并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数．【解析】（1）由频率分布直方图的性质，可得20.0020.0040.0090.0130.0200.05a +++++=，解得0.001a =．（2）由频率分布直方图，结合平均数、中位数、众数的计算方法，可得平均数为：200.02400.08600.18800.41000.261200.041400.0280x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=中位数为x ，则0.020.080.18(70)0.0200.5x +++-⨯=，解得81x =．根据众数的概念，可得此频率分布直方图的众数为：80，因此估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数依次为80，81，80．【答案】（1）0.001a =（2）平均数、中位数、众数依次为80，81，80。
总体百分位数的估计(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)
(a+0.02+0.035+0.025+a)×10=1，
解得a=0.01．
（2）估计该校学生数学竞赛成绩的平均数为：
55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.01
×10=75.5．
（3）∵[50，80)的频率为(0.01+0.02+0.035)×10=0.65<0.8，
8.7 15.2 7.1 5.2 16.5 13.8 19.2 11.2
15.7 10.0 5.6 1.5 33.8 9.2
这组数据的第40百分位数是
．
【解答】解：把这30个数据按照从小到大排列如下，
1.5，3.2，5.2，5.6，5.6，7.1，8.7，9.2，10.0，11.2，
13.2，13.7，13.8，14.5，15.2，15.7，16.5，18.8，19.2，23.9，
得到其质量从小到大排列为：53，60，70，84，93，
103，125，158，208．
（1）因为15%×9=1.35，
所以样本数据的15%分位数为第2个数据，即60；
（2）因为75%×9=6.75，
所以样本数据的75%分位数为第7个数据，即125．
变式训练
已知一组数据为3.81，3.65，3.68，3.83，3.68，3.80，3.72，3.73，
求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频
率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝
n×p%，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例
值．
课堂检测
1．已知甲、乙两组数据：
甲组：27，28，39，40，m，50；
数学课件(新教材人教A版强基版)第九章统计与成对数据的统计分析92用样本估计总体
∵(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0＋a＋0.008 0＋0.002 0)×10＝1， ∴a＝0.025 0，众数为185＋2 195＝190， 设中位数为x，∵(0.001 5＋0.011 0 ＋0.022 5)×10＝， (0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0) ×10＝， 则185<x<195， ＋0.030 0×(x－185)＝，
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；
x 甲＝18×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
x 乙＝18×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
s2甲＝18×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88 －85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝，
把10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179, 180,180， 则178＋2 179＝178.5，所以所求中位数为 178.5.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
√
数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经 按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝，取第三个数，所以第25 百分位数是88.
思维升华
频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等. (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对 应频率之积的和.
2019_2020学年新教材高中数学第九章统计9.2.2总体百分位数的估计9.2.3总体集中趋势的估计9.2.4总体离散程度
s
2
乙
＝
1 6
[(99
－
100)2
＋
(100
－
100)2
＋
(102
－
100)2
＋
(99
－
100)2
＋
(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又 s2甲>s乙2 ，
所以乙机床加工零件的质量更稳定.
方法归纳 在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在 平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．
A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数
解析：平均数、中位数、众数皆为 50，故选 D. 答案：D
3．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数的众数为 5，那么 该组数据的中位数是( )
A．7 B．5 C．6 D．11
解析：由这组数据的众数为 5，可知 x＝5，把这组数据由小到 大排列为－3,5,5,7,11，则可知中位数为 5.
方法归纳
(1)平均数计算方法 ①定义法：n 个数据 a1，a2，…，an 的平均数 a ＝a1＋a2＋n …＋an. ②利用加权平均数公式： 在 n 个数据中，如果 x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 fk 次 (f1 ＋ f2 ＋ … ＋ fk ＝ n) ， 则 这 n 个 数 的 平 均 数 为 ： x ＝ x1f1＋x2f2＋n …＋xkfk. ③当数据较大时，用公式 x ＝ x ′＋a 简化计算．
元)
(2)假设副董事长的月工资从 5 000 元提升到 20 000 元，董事长
第02讲 用样本估计总体 (精讲)(教师版)
，nx +）标准差与方差据1x ，nx +，标22()(n x x x x +-++-2(n x x ++-知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标3，b ，3，b ，【答案】45 45.85379⨯=975%∴+=25m故选：B.例题4．（PM2.5的浓度（单位：知这组数据的极差为A．73 B．75 C．77 D．79,,n x 的平均数个分数分别为18,,,x x ，6，8,,x 的平均数为228361001081210++++-=x ，28624++=x 8610++++x ，即12864+++=x x x 2624888-⨯=故答案为：14.．（2022·全国55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数2,3,,)n ，则下列结论正确的是（2,3,,)n ，则它们的众数也满足该关系，12(21)(21)(21)nn y x x x nn++-+-++-=1nx n++- 121b =-，故B 正确；由方差的性质可得2c =C 正确；23,x x ，…，，假设其第80百分位数为1d ， 是整数时，x 21,2x x --30,,x 的平均数为10,,x 这10个数的平均数为8，方差为30,,x ___________. 【详解】由题意得12306x x x +++=2309x ++=⨯1081080x ++=⨯=，222121058690x x x =⨯+=++，所以剩余的20个数的平均数为18080520-=， 30221350690660x +=-=+，所以剩余的20个数的方差为66020258-=，故答案为：82022·全国·高一单元测试）敢于冒险奋进精神的载体，A．这组数据的极差为50 B．这组数据的众数为76(0.005+0.75800.3-+故选：CD例题2．（学生人数比例、[(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数；分数小于60的频率为()10.020.040.02100.2-++⨯=，所以[)60,70x ∈，即()0.2600.010.25x +-⨯=，解得65x =，则本次考试的及格分数线为65分．例题3．（2022·全国·高一单元测试）中秋佳节来临之际，小李准备销售一种农特产，这段时间内，每售出1箱该特产获利50元，未售出的，每箱亏损30元.经调查，市场需求量的频率分布直方图如图所示.小李购进了160箱该特产，以x （单位：箱，100200x ≤≤）表示市场需求量，y （单位：元）表示经销该特产的利润.(1)根据频率分布直方图估计市场需求量的众数和平均数；(2)将y 表示为x 的函数；(3)根据频率分布直方图求利润不少于4800元的频率.【答案】(1)150，153(2)804800,1001608000,160200x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩(3)0.9（1）由频率分布直方图，得市场需求量的众数的估计值是150，需求量为[100，120）的频率为0.005×20=0.1，需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，需求量为[160，180）的频率为0.0125×20=0.25，需求量为[180，200]的频率为0.0075×20=0.15，则市场需求量的平均数约为110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.（2）因为每售出1箱该特产获利50元，未售出的，每箱亏损30元，所以当100160≤<x 时，5030(160)804800y x x x =-⨯-=-，当160200x ≤≤时，160508000y =⨯=，所以804800,1001608000,160200x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩. （3）当100160≤<x 时，由8048004800x -≥，得120160x ≤<；当160200x ≤≤时，80004800y =>，所以当120200x ≤≤时，利润不少于4800元，所以由（1）知利润不少于4800元的频率为10.10.9-=.同类题型归类练A．此次测试众数的估计值为85(1)求频率分布直方图中a的值；(1)求本次初赛成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）(1)求出表中m，p的值；(1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；(1)求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；(1m ii x x =-∑同理可得21s m ∴=+1⎡、、A ．20B ．40C ．64D ．80根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.3．（多选）（2021·全国·高考真题）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（ ）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；。
第p百分位数分析近三年高考分数线
第p百分位数分析近三年高考分数线主要以时间序列来考察中央部属大学分省招生的公平性问题，本节主要考察恢复高考以来各省分数线的整体演变趋势，这也是被社会各界广泛关注的焦点问题。
具体来说，依据分省招生的数量、基础教育的水平和高等教育资源的丰富程度三个因素来揭示其演变的动因。
首先，高考分数线的变化与招生名额的投放有很大关系，即在相同的条件下，招生数量越多，录取分数线就越低，其次，基础教育水平的高低决定了该省生源的优劣程度，在同等条件下，基础教育水平越高，分数线也相应越高，最后，高等教育资源的丰富程度决定了招生数量的多寡，也会影响到分数线的变化，其中，高校的数量，特别是“211工程”院校和“985”工程院校的数量在很大程度上决定了本科一批分数线的高低。
本节主要选取这三个因素来反映各省高考录取分数线的变化情况。
高中数学必修二课件：总体百分位数的估计
解析 由百分位数的概念可知①③正确．②错误．若一组样本数据的 10%分 位数是 23，则在这组数据中有 10%的数据小于或等于 23.
5．求下列数据的四分位数． 13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.
解析 把 12 个数据按从小到大的顺序排列可得： 12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31. 计算 12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9， 所以数据的第 25 百分位数为15＋2 18＝16.5， 第 50 百分位数为20＋2 22＝21，笫 75 百分位数为27＋2 28＝27.5.
课后巩固
1．下列关于一组数据的第 50 百分位数的说法正确的是( A ) A．第 50 百分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是 50% C．它一定是这组数据中的一个数据 D．它适用于总体是离散型的数据
解析 由百分位数的意义可知 B、C、D 错误，A 正确．故选 A.
2．已知有 8 个样本数据分别为 4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组
第p百分位数的计算讲义答案及解析
第p百分位数的计算讲义知识点一：数据中第p百分位数的计算第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，则第p百分位数为第[i]+1项数据（[i]为小于等于i的最大的整数）；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数（和的一半）．注：中位数就是数据的50%分位数．典型例题1、现有A、B两组数据．A组：1，3，1，6，8，5，7，5，2，6B组：1，3，1，6，8，5，7，5，2，6，4（1）求A组数据的中位数和75%分位数；（2）求B组数据的30%分位数和中位数．变式训练1、已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）A．平均数>第60百分位数>众数B．平均数<第60百分位数<众数C．第60百分位数<众数<平均数D．平均数=第60百分位数=众数变式训练2、求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数，75%分位数，90%分位数．举一反三1、现有甲、乙两组数据如下表所示．序1234567891011121314151617181920号甲1222233355668891010121313组乙00001123456677101414141415组试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．2、求15，23，32，16，18，16，27，18，19，22的中位数和75%分位数．3、给定一组从小到大排列的数据如下：100，101，102，103，104，105，106，107，108，109．这组数据的第30百分位数是（）A．102B．103C．102．5D．不确定课下练习1、已知一组数据为7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据的第25百分位数是（）A．8B．9C．10D．112、某学习兴趣小组学生的一次测验成绩如下：130，135，126，123，145，145，150，131，143，144．这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位数是（）A．131B．143C．150D．1453、已知一组数据为29，33，40，45，43，49，29，30，40，41，47，31，45，37，38，38，40，43，45，46，那么这组数据的第40百分位数是（）A ．38B ．39C ．40D ．37.54、已知一组数据为7，10，13，8，25，11，22，15，19，20，那么这组数据的第75百分位数是（）A ．19.5B ．19C ．20D ．225、下列数据是30个不同国家中每100000名男性患某种疾病的死亡率：27.023.941.633.140.618.813.728.913.214.527.034.828.9 3.250.15.68.715.27.15.216.513.819.211.215.710.05.61.533.89.2这组数据的第40百分位数是．6．一个小商店从一家食品有限公司购进一批袋装白糖，抽取其中21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：486495496498499493493498484497504489495503499503509498487500508估计这批袋装白糖的第75百分位数是．知识点二：在频率分布直方图中估计第p 百分位数由频率分布直方图估计数据的第p 百分位数的步骤：第1步，估计第p 百分位数位于哪一组中（不妨设区间为a ，b ）．第2步，确定小于a 和小于b 的数据所占的百分比分别为m ，n （m <p %<n ）．第3步，第p 百分位数为)(%a b mn mp a -⨯--+．或者第1步，估计第p 百分位数位于哪一组中（不妨设区间为a ，b ，对应的纵坐标为y 0）．第2步，设第p 百分位数为x 0．第3步，x 0左侧每组的频率之和加（x 0-a ）y 0=p %，解得x 0．典型例题1、某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格．某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间]150,30[内，其频率分布直方图如图．估计初赛成绩的第80百分位数是多少？变式训练1、根据表中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数（保留整数）和第80百分位数（保留整数）．（注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数()AQI 不超过400）AQI[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[)200,300[]300,400频率22.8%33.2%18.6%13.4%8.2%3.8%变式训练2、如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到0.01）分别是（）A ．2.20，2.25B ．2.29，2.20C ．2.29，2.25D ．2.25，2.25举一反三1、如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（）A ．105，103B ．115，125C ．125，113.3D ．115，113.32、在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．3、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．由图中数据可知a＝，估计该小学学生身高的中位数为．课下练习1、某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为．2．如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．3．从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．利用频率分布直方图求：（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0．1）4．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图（成绩在[50,100]内）．（1）求频率分布直方图中a的值；60,70中的学生人数；（2）估计总体中成绩落在[)（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数（精确到0.01）．5．某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”，先在本校进行初赛（满分150分），随机抽取100名学生的成绩作为样本，并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数．第p 百分位数的计算讲义答案及解析知识点一：数据中第p 百分位数的计算第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i ＝n ×p %．第3步，若i 不是整数，则第p 百分位数为第[i ]+1项数据（[i ]为小于等于i 的最大的整数）；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第（i ＋1）项数据的平均数（和的一半）．注：中位数就是数据的50%分位数．典型例题1、现有A 、B 两组数据．A 组：1，3，1，6，8，5，7，5，2，6B 组：1，3，1，6，8，5，7，5，2，6，4（1）求A 组数据的中位数和75%分位数；（2）求B 组数据的30%分位数和中位数．【解析】A 组：1，1，2，3，5，5，6，6，7，8，共10个数据．10×50%=5，所以A 组数据的中位数为5．（第5个和第6个数据的和的一半为5）10×75%=7.5，所以A 组数据的75%分位数为6．（第8个数据）B 组：1，1，2，3，4，5，5，6，6，7，8，共11个数据．11×30%=3.3，所以B 组数据的30%分位数为3．（第4个数据）11×50%=5.5，所以B 组数据的中位数为5．（第6个数据）变式训练1、已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）A ．平均数>第60百分位数>众数B ．平均数<第60百分位数<众数C ．第60百分位数<众数<平均数D ．平均数=第60百分位数=众数【解析】解：平均数为()20304050506070805018⨯+++++++=，860% 4.8⨯= ，∴第5个数50即为第60百分位数．众数为50，∴它们的大小关系是平均数=第60百分位数=众数．故选：D ．变式训练2、求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数，75%分位数，90%分位数．【解析】因为数据个数为10，而且10×25%＝2.5，10×75%＝7.5，10×90%＝9．所以该组数据的25%分位数为3，75%分位数为8，90%分位数为5.92109=+．举一反三1、现有甲、乙两组数据如下表所示．序号1234567891011121314151617181920甲组1222233355668891010121313乙组1123456677101414141415试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．【解析】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．因此，甲组数的25%分位数为5.2232=+；甲组数的75%分位数为5.92109=+．乙组数的25%分位数为1211=+，乙组的75%分位数为1221410=+．2、求15，23，32，16，18，16，27，18，19，22的中位数和75%分位数．【解析】将这些数据按照从小到大排列15，16，16，18，18，19，22，23，27，32．数据总个数为10，而且10×50%＝5，10×75%＝7.5．所以该组数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数＝18.5，75%分位数为第8个数据23．3、给定一组从小到大排列的数据如下：100，101，102，103，104，105，106，107，108，109．这组数据的第30百分位数是（）A ．102B ．103C ．102．5D ．不确定【解析】30%103⨯=,第30百分位数是第三和第四个的平均数．故选：C ．课下练习1、已知一组数据为7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据的第25百分位数是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】数据从小到大排列是：7，7，8，8，8，8，9，9，10，10，10，10，11，11，12，12，13，13，14，20，共20个数据，2025%5⨯=，所以这组数据的第25百分位数是第5项与第6项数据的平均数，即8，故选：A ．2、某学习兴趣小组学生的一次测验成绩如下：130，135，126，123，145，145，150，131，143，144．这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位数是（）A ．131B ．143C ．150D ．145【解析】将测验成绩按从小到大排列为123，126，130，131，135，143，144，145，145，150，共10个数据，且75%107.5⨯=，∴这个兴趣小组的测验成绩的第75百分位数为第8个数据．∴所求的成绩的第75百分位数为145．故选：D ．3、已知一组数据为29，33，40，45，43，49，29，30，40，41，47，31，45，37，38，38，40，43，45，46，那么这组数据的第40百分位数是（）A ．38B ．39C ．40D ．37.5【解析】数据从小到大排列是：29，29，30，31，33，37，38，38，40，40，40，41，43，43，45，45，45，46，47，49，共20个数据，20×40%=8，所以这组数据的第25百分位数是第8项与第9项数据的平均数，即38．故选：A ．4、已知一组数据为7，10，13，8，25，11，22，15，19，20，那么这组数据的第75百分位数是（）A ．19.5B ．19C ．20D ．22【解析】数据从小到大排列是：7，8，10，11，13，15，19，20，22，25共10个数据，10×75%=7.5，所以这组数据的第75百分位数是第8项数据，即20．故选：C ．5、下列数据是30个不同国家中每100000名男性患某种疾病的死亡率：27.023.941.633.140.618.813.728.913.214.527.034.828.9 3.250.15.68.715.27.15.216.513.819.211.215.710.05.61.533.89.2这组数据的第40百分位数是．【解析】将数据按从小到大排列为1.5 3.2 5.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1数据总数为40，40%3012⨯=，∴这组数据的第40百分位数是13.713.813.752+=．故答案为：13.756．一个小商店从一家食品有限公司购进一批袋装白糖，抽取其中21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：486495496498499493493498484497504489495503499503509498487500508估计这批袋装白糖的第75百分位数是．【解析】将数据按从小到大排列为484486487489493493495495496497498498498499499500503503504508509数据总数为21，75%2115.75⨯=，∴这组数据的第75百分位数为第16个数据为500．故答案为：500．知识点二：在频率分布直方图中估计第p 百分位数由频率分布直方图估计数据的第p 百分位数的步骤：第1步，估计第p 百分位数位于哪一组中（不妨设区间为a ，b ）．第2步，确定小于a 和小于b 的数据所占的百分比分别为m ，n （m <p %<n ）．第3步，第p 百分位数为)(%a b mn mp a -⨯--+．或者第1步，估计第p 百分位数位于哪一组中（不妨设区间为a ，b ，对应的纵坐标为y 0）．第2步，设第p 百分位数为x 0．第3步，x 0左侧每组的频率之和加（x 0-a ）y 0=p %，解得x 0．典型例题1、某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格．某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间]150,30[内，其频率分布直方图如图．估计初赛成绩的第80百分位数是多少？【解析】设初赛成绩在[)90,110的频率组距为a ，则()0.00250.00750.00750.01250.0050201a +++++⨯=．∴0150.0=a ．初赛成绩在110分以下的频率为()0.00250.00750.00750.0150200.65+++⨯=．初赛成绩在130分以下的频率为0.650.0125200.90+⨯=．∴初赛成绩的第80百分位数一定在[)110,130内．由0.800.65110201220.900.65-+⨯=-，∴估计初赛成绩的第80百分位数是122．变式训练1、根据表中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数（保留整数）和第80百分位数（保留整数）．（注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数()AQI 不超过400）AQI[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[)200,300[]300,400频率22.8%33.2%18.6%13.4%8.2%3.8%【解析】平均数为2522.8%7533.2%12518.6%17513.4%2508.2%350 3.8%111.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．由于AQI 50≤时，频率为22.8%50%<，AQI 100≤时，频率为22.8%332%56%50%+=>.，∴中位数为0.500.2285050910.332-+⨯≈．由于AQI 150≤时，频率为22.8%33.2%18.6%74.6%++=，AQI 200≤时，频率为74.6%13.4%88%+=．∴第80百分位数一定位于(]150,200内，由0.800.746150501700.134-+⨯≈，得第80百分位数约为170．变式训练2、如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到0.01）分别是（）A ．2.20，2.25B ．2.29，2.20C ．2.29，2.25D ．2.25，2.25【解析】由频率分布直方图得，自学时间在[)0.5,2的频率为()0.160.20.340.50.35++⨯=，自学时间在[)2,2.5的频率为0.520.50.26⨯=，所以，自学时间的中位数为0.50.3520.5 2.290.26-+⨯≈，众数为2 2.5 2.252+=．故选：C ．举一反三1、如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（）A ．105，103B ．115，125C ．125，113.3D ．115，113.3【解析】频率分布直方图中，考查最高的条形图可知该班学生成绩的众数为1101201152+=，设中位数为x ，由题意可得：[]()100.00500.01500.02001100.03000.5x ⨯+++-⨯=，求解关于实数x 的方程可得：113.3x =．综上可估计该班学生成绩的众数、中位数分别为115，113.3．故选：D ．2、在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．【解析】由频率分布直方图的性质得分数在90分以上的频率为：()10.0050.0125200.65-+⨯=，∴分数在90分以上的人数约为：0.6540002600⨯=．由频率分布直方图知分数在90分以下的频率为()0.0050.0125200.35+⨯=，分数在[)90,110的频率为：0.02200.4⨯=，∴根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为：0.50.35902097.50.4-+⨯=．故答案为：2600；97．5．3、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．由图中数据可知a ＝，估计该小学学生身高的中位数为．【解析】（1）因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×（0．005+0．035+a +0．020+0．010）=1，解得a =0．030；（2）根据频率分布直方图知，又0．005×10+0．035×10=0．4＜0．5，0．4+0．030×10=0．7＞0．5，所以中位数在[120，130）内，可设为x，则（x﹣120）×0．030+0．4=0．5，解得x=370 3，所以中位数为370 3．故答案为0．030，370 3．课下练习1、某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为．【解析】由图可知，10~20的频率为0.14，20~30的频率为0.24，30~40的频率为0.32，40~50的频率为0.2，50~60的频率为0.1，前两组频率0.140.240.380.5=+=<，前三组频率0.140.240.320.70.5=++=>，∴中位数在第三组，设中位数为x，则()300.380.320.510x-+⨯=，解得33.75x=．故该组数据的中位数为33.75．2．如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．【解析】由题意可得从左到右每个小矩形的面积为0.1，0.4，0.35，0.15，所以该样本的平均数为：0.1150.4250.35350.154530.5⨯+⨯+⨯+⨯=，由0.10.40.5+=，可知中位数为30，所以两者之差的绝对值为3030.50.5-=．故答案为：0.5．3．从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．利用频率分布直方图求：（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0．1）【解析】（1）由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为75分．因为数学竞赛成绩在[)40,70的频率为()0.0040.0060.020100.3++⨯=，数学竞赛成绩在[)70,80的频率为0.030100.3⨯=．所以中位数为0.50.3701076.70.3-+⨯≈．（2）这50名学生的平均成绩为()()()450.00410550.00610650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()75(0.03010)850.02410950.0161076.2+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．【答案】（1）众数为75分，中位数为76.7分；（2）76．2分4．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图（成绩在[50,100]内）．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计总体中成绩落在[)60,70中的学生人数；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数（精确到0.01）．【解析】（1）由频率分布直方图得：()23762101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =；（2）由频率分布直方图得成绩落在[)60,70中的频率为3100.15a ⨯=，∴估计总体中成绩落在[)60,70中的学生人数为：200.153⨯=人；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众位数为75，设中位数为x ，则()0.10.150.035700.5x ++⨯-=，则54077.147x =≈．【答案】（1）0.005a =；（2）3人；（3）众数为75，中位数为77.14．5．某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”，先在本校进行初赛（满分150分），随机抽取100名学生的成绩作为样本，并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数．【解析】（1）由频率分布直方图的性质，可得20.0020.0040.0090.0130.0200.05a +++++=，解得0.001a =．（2）由频率分布直方图，结合平均数、中位数、众数的计算方法，可得平均数为：200.02400.08600.18800.41000.261200.041400.0280x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=中位数为x ，则0.020.080.18(70)0.0200.5x +++-⨯=，解得81x =．根据众数的概念，可得此频率分布直方图的众数为：80，因此估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数依次为80，81，80．【答案】（1）0.001a =（2）平均数、中位数、众数依次为80，81，80。
9.2.2 总体百分位数的估计
数据如下：
27,38,30,36,35,31,33,29,38,34,28,36. 则他的最大速度的第一四分位数是( )
A．27.5
B．28.5
C．29.5
D．30.5
解析：把数据从小到大排序，得
27,28,29,30,31,33,34,35,36,36,38,38. 第一四分位数即第25百分位数，
2．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重数据绘 制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106](单位：g)，样本数据分组为 [96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．
试估计样本数据的第70百分位数．
解析：由直方图得，从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.10、 0.20、0.30、0.25、0.15. 净重在102 g以下的产品所占比例为10%＋20%＋30%＝60%<70%， 净重在104 g以下的产品所占比例为10%＋20%＋30%＋25%＝85%>70%， 所以70%分位数一定位于[102,104)内． 由102＋2×00..8750－－00..6600＝102.8，可以估计样本数据的第70百分位数为102.8.
答案：3 130
探究一 百分位数在具体数据中的应用 [例1] 某中学从高一年级中抽取了30名男生，测量其体重，数据如下(单位：千 克)： 62 60 59 59 59 58 58 57 57 57 56 56 56 56 56 56 55 55 55 54 54 54 53 53 52 52 51 50 49 48 (1)求这30名男生体重的25%,75%分位数； (2)估计本校高一男生体重的第80百分位数．
9.2.2 总体百 分位数的估计
高中数学第九章统计-总体百分位数的估计 总体集中趋势的估计课件及答案
分数的中位数和众数分别是
()
A．84,85
B．84,84
C．85,84
D．85,85
答案：B
3．已知一组数据7.5,8.0,8.4,7.8,8.3，那么这组数据的平均数为________．
答案：8.0
题型一 百分位数的计算及应用
[探究发现] (1)第p百分位数有什么特点？ 提示：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%. (2)某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？ 提示：不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得 的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均 数．若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不 存在．
18,18,17,15,13，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有 ( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
[解析] (1)把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18, 19,23,27，则可知其众数为 14，中位数为 14.
(2)由题意得 a＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝11507＝ 15.7，中位数为 16，众数为 18，则 b＝16，c＝18，所以 c＞b＞a.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若一组样本数据各不相等，则其第 65%分位数大于第 15%分位数．(√ )
(2)若一组样本数据的第 20%分位数是 30，则在这组数据中有 20%的数据大
于 30.
(× )
(3)若一组数据有 80 个，按从小到大排列，第 80 百分位数为第 64 项数据．
总体百分位数的估计 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
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1.百分位数的概念. 2.求百分位数的步骤： 第一步，按从小到大排列原始数据. 第二步，计算i = n × p%. 第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数分位数为第i项与第(i + 1)项数据的平均数. 3.四分位数.
4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
思考：(1) 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”， 这里的“90%”是百分位数吗？ (2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
(1)不是，是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． (2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
解：由表可知，月均用水量在 13.2t以下的居民用户所占比例为 23%+32%+13%+9%=77%. 在16.2t以下的居民用户所占的比例 为77%+9%=86%.