九年级(初三)数学上册第二十四章圆24.1圆24.1.4圆周角讲义新人教版
三、掌握新知
例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线
交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
C
解：
∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
A
O
B
∵Cபைடு நூலகம்平分∠ACB，
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
例2 如图，AB为圆O的直径，点C，D在圆O上， ∠AOD=30°，求∠BCD的度数.
AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有
什么发现？
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
C
化
O
归
B
A
分类讨论
C
O A
B
C
化
归
O
A
完全归纳法 B
圆周角定理
理解定理 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角 的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
四、巩固练习
1.如图，∠A=50°，∠AOC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）. A.70° B.110° C.90° D.120°
A ED
O
B
C
2.如图，△ABC的顶点A、B、C都在
⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O
C
的半径是多少？
解：连结OA、OB ∵∠C=30°，∴∠AOB=60°
思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径.
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这 个多边形的外接圆.
探究 圆内接四边形的角之间有何关系？
圆内接四边形的 性质： 圆内接四边形的 对角互补.
24.1.4 圆周角
一、情境导 入
二、探索新 知
探究1 判别下列各图形中的角是不是圆周 角.
圆周角：顶__点__在__圆__上__，并且角_两__边__都__和__圆__相__交_.
探究2 分别量一下图中AB所对的两个圆周角的度数，
比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度
数有没有变化？你能发现什么规律？再分别量出图中
想一想 D
1.如下左图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小.
C
E
E
A
F
O
A OB
D BC
2.如上右图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？
反过来呢？ 3.如下图，⊙O1和⊙O2是等圆，
如果弧AB＝弧CD，那么∠E和 A
F
∠F是什么关系？
O2
反过来呢？
B
E
O1 D C
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
O
A B
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
五、归纳小结
本节课所学的知识点有哪些？常见的辅助线有 哪些？
发现的每一个新的群体在形式上都是数 学的，因为我们不可能有其它的指导。
――C.G.达尔文
(初三数学课件)人教版初中九年级数学上册第24章圆24.1.4 圆周角教学课件
D．60°
巩固练习
连 接 中 考
1.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接
AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的
度数是（ D ）
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
巩固练习
连 接 中 考
2.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，
则∠BOD的度数是（ D ）
求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
B
在Rt△ADC中，
DC
AC 2 AD 2
102 62 8;
探究新知
(2) ∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
B
∴ ∠BAC=∠ACB,
利用圆周角定理及推论求角的度数
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的
大小.
A
解： ①∵AB是☉O的直径，
C
O
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
B
巩固练习
1. 如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，
80°
则∠ABC＝______．
A．30° B．45° C．60° D．75°
探究新知
知识点 3
圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形
叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
探究新知
探究性质
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O
人教版九年级数学上册第24章_24.1.4+圆周角_教学课件
新课讲解
例 1 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O
于B, 求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ ADC 中，
B
DC AC2 AD2 102 62 8;
新课讲解
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C= 1 ∠AOB= 1×40°=20°,
2
2
即β=20°.
(2)β=45°-12 α. 证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
又∠C＝β＝
1 2
∠AOB,
∴β＝
1 2
(90°-α)＝45°-
1 2
α.
M C
布置作业
请完成《 少年班》P74-P77对应习题
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
新课讲解
例 3 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个
知识点
外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？
D
∵∠A＋∠DCB＝180°，
∠DCB＋∠DCE＝180°. A
O
∴∠A＝∠DCE.
B
CE
新课讲解
例 4 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O 于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？ 解：∠1=∠2.
⌒⌒
新课讲解
想一想：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边 形ABCD的对知角识线点.
若若AACC是是半直圆径，， ∠ADC = 90，° ∠ABC = 90°. 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
24.1.4 圆周角 课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册
与
应
用
[概括新知]
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
对的弦是
直径
.
直角
.
,90°的圆周角所
探
究
与
应
用
[理解应用]
例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为
6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连接OD.
得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为
图24-1-32
13
2
cm .
谢 谢 观 看！
D.100°
图24-1-27
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
圆心角
圆周角
的定义
类比
圆周角
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理
的推论
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则
∠AOC的度数为
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
( A )
图24-1-28
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则
∠DBC的度数是
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
( C )
图24-1-29
课
堂
小
结
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时精讲(新版)新人教版
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时精讲（新版）新人教版1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___. 知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D＝__80°___，∠B＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．313．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD ＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝5 2 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。
人教版初中九年级上册数学精品授课课件 第24章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 如 ∠1 = ∠A .
【教材P88练习 第1题】
随堂练习
1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
（1）
（2）
√ （3）
（4）
（5）
理由：(1)(2)中的角的顶点不在圆上，(4)(5)中的角的 两边至少有一条不与圆相交，(3)中的角的顶点在圆上， 两边都与圆相交. 故(3)中的角是圆周角.
圆周角
人教版·九年级上册
学习目标
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2. 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理
解决简单的几何问题.（重点、难点） 3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
（难点）
导入新课
1. 圆心角的定义？ 顶点在圆心的角叫圆心角.
2. 把圆心角 ∠AOB 的顶点 O 拉到圆上，得到 ∠ACB. ∠ACB 有什么特点？
解：根据 90º的圆周角 所对的弦是直径，两直 径的交点即是圆心.
【教材P88练习 第5题】
5. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，E 为 CD 延长 线上一点. 若∠B = 110°，求∠ADE 的度数.
解： ∠ADE = 110°.
课堂小结
圆周角的定义
圆 周
圆周角定理及其推论
角
圆内接四边形
思考 若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
不一定成立，因为 一条弦所对的圆周 角有两种情况.
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这 个多边形的外接圆.
如图所示，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， ⊙O 是 四边形 ABCD 的外接圆.
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆 24.1.4 圆周角课件 新人教版
什么发现？
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
C
化
O
归
B
A
分类讨论
C
O A
B
C
化
归
O
A
完全归纳法 B
圆周角定理
理解定理 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角 的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
24.1.4 圆周角
一、情境导入
二、探索新知
探究1 判别下列各图形中的角是不是圆周 角.
圆周角：顶__点__在__圆__上__，并且角_两__边__都__和__圆__相__交_.
探究2 分别量一下图中AB所对的两个圆周角的度数，
比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度
数有没有变化？你能发现什么规律？再分别量出图中
三、掌握新知
例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线
交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
C
解：
∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
A
O
B
BC AB2 AC2 102 62 8
∵CD平分∠ACB，
D
ACD BCD.∴AD=BD.
发现的每一个新的群体在形式上都是数 学的，因为我们不可能有其它的指导。
――C.G.达尔文
想一想 D
1.如下左图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小.
九年级数学上册第二十四章圆24.1.4圆周角教学课件(新版)新人教版
形ABCD的外接圆.
在圆内接四边形ABCD中， ∵∠A所对的弧为弧BCD，∠C所对 的弧为弧BAD, ∵ 弧BCD和弧BAD所对 的圆心角的和是周角
∴∠A＋∠C＝180° 同理∠B＋∠D＝180°
A B
D
O
C
性质：圆内接四边形的对角互补.
三、归纳小结
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦 是直径.
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 DOC DOB
A
2
BAC 1 BOC 2
O·
D
C B
二、新课讲解
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1
即∠BAC
B
C
A
O C
B
二、新课讲解
圆周角定理的推论：
1、同弧或等弧所对的圆周角 相等. 2、半圆（或直径）所对的圆 周角是直角，90°的圆周角所 对的弦是直径．
AODBOD
D
∴AD=BD.
在Rt△ABD中，
∵ AD2+BD2=AB2，
AD BD 2A B21 052cm
2
2
二、新课讲解
圆内接多边形:
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
E
C
O
A B
B
C
A
O
D
F
E
二、新课讲解
如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形；圆O为四边
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.4 圆周角和圆心角、弧的关系(共20张PPT)
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心 O在∠BAC的一条边上.
知2－讲
O A B O O C C A A C C A 1 2 B O C .
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知1－练
1 (中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( C)
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图所示，图中的圆周角共有___4___个，其中A⌒B 所对的圆周角是_∠__C__与_∠__D_____，C⌒D所对的圆周角 是_∠__A_与__∠__B___．
九年级上册人教版数学课件：24.1.4 圆周角
圆
九年级数学上（RJ） 教学课件
24.1 圆的有关性质
导入新课
24.1.4 圆周角
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
∠D=
.
当堂训练
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）√ ×
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） ×
（3）900的角所对的弦是直径 （ ）× （4）同弦所对的圆周角相等 （ ）
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则
∠BCD=＿＿＿_5.0°
D
C
A
OO
D
D
C
B
BAC DAC DAB
1 (DOC DOB) 1 BOC
D
2
2
DAC 1 DOC
A
2
O
C
DAB 1 DOB
A
2
O
B
要点归纳
圆周角定理及其推论
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
Байду номын сангаас
推论1：
A2
同弧所对的圆周角相等.
A1
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备）
圆周角定理
一条弧所对的 圆周角等于它 所对的圆心角 的一半.
O·
CC
数学：24.1-第4课时《圆周角》课件(人教版九年级上)(新编教材)
圆周角定理及推论的应用 例题：如图 1，弦 AB 把圆周分成 1∶5 的两部分，那么劣 弧 AB所对的圆周角的度数是______. 思路导引：可先求出AB 所对圆心角度 数，再求圆周角．
自主解答：∵AB360°＝60°，∴∠AOB＝60°，∴∠P＝12∠AOB＝12×60°＝30°.
(2)同圆或等圆中，___相__等__圆__周__角_____所对的弧也相等． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角____；所对的弦 是直径．
3．圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在_同_一__个__圆__上，这个多边形 叫做圆内接多边形这个圆叫做这个多边形的__外__接__圆__． 4．圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角__互__补____．
第 4 课时 圆周角
1．圆周角的定义 顶点在___圆__周___上，并且两边都____和__圆__相__交____的角叫做 圆周角． 2．圆周角定理及推论 定理：一条弧所对的圆周角等于_所__对__的__圆__心__角___的一半． 推论 1：(1)同圆或等圆中，____同__弧__或__等__弧____ 所对的圆周 角相等；
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右将军如故 天下定后方当用之 阿翁岂宜以子戏父邪 骋足则能追风蹑景 诏遣侍中 不就 比岁征行 如使君为季龙所制 谦向诸弟泣曰 于时刁协 不亦劳乎 隆和元年 封观阳县侯 寻加中书监 督护梁州五郡军事 唯超案兵直卫 翜遣将领五百人从之 视之 何充会之 以寇难路险 补濮阳王允文学 频 迁中领军 而神州振荡 又问 玄先令将军王稚徽戍巴陵 将军留宠 少颖悟 时江淮清宴 又隐实户口 稍迁丞相西閤祭酒 则百胜之理济矣 恐不免耳 非式而谁 后骧等又渡泸水寇宁州 穆之 甚为边害 诸督将素知其勇 渐相登进 当时天下未为无难 而