二次函数常见题型.doc
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:
已知以x为自变量的二次函数y = (m - 2)x2 +m2 -m- 2的图像经过原点，则m的值是.
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐
标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数y = kx + b的图像在第
一、二、三象限内，那么函数y = kx2 +hx
一1的图
像大致是( )
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中
档解答题和选拔性的综合题，如:
已知一条抛物线经过(0,3), (4,6)两点，对称轴为x = \求这条抛物线的解析式。
3
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题,
如：
已知抛物线y = ax2 +bx + c (a/0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵
(1)确定抛物线的解析式：(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
山抛物线的位置确定系数的符号
例1 (1)二次函数y = ax2+bx + c的图像如图1,则点M (b,$)在() a
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c (a夭0)的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同
号；②当x=l和x二3时，函数值相等;③4a+b二0；④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
(2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.
(5, 24).例2.已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2, 0) > (xi, 0)，且l
答案:D
会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2
+bx+c=3的—个根为
x=-2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为() A(2, -3) B. (2, 1) C(2, 3) D. (3, 2)
答案：C
例4、(2006年烟台市)如图(单位：m),等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方 形移
动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的而积为ym 2.
(1)写出y 与x 的关系式;
(2) 当x=2, 3. 5时，y 分别是多少？
(3) 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形
移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.
例5、己知抛物线y= — x 2
+x--. '2 2
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长.
【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一 元二次方程的关系.
例6.已知：二次函数y=ax 2
-(b+l)x-3a 的图象经过点P (4, 10),交x 轴于人(知0) , B(x 2,O) 两点(%! < x 2),交y 轴负半轴于(\点，旦满足3A0=0B. (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角ZMC0>ZAC0?若存
在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理山.
(1) 解：如图..?抛物线交x 轴于点A3, 0), B(x2, 0),
则 xi ? X 2=3<0,又 Vxi A X 2>0, XI <0, ...30A=0B, .e .x 2=-3xi. /.xi ? X2=-3XI 2=-3. /.XI 2=1. xi<0, /. xi=-l. 「?? X2=3. .??点A(-l, 0), P(4, 10)代入解析式得解得a=2 b=3 ....二次函数的解析式为尸2X 2-4X -6. (2) 存在点 M 使ZMC0 (2)解：点A 关于y 轴的对称点A' (1, 0), ???直线A, C 解析式为y=6x-6直线A'C 与抛物线交点为(0, - 6), ..?符合题意的x 的范围为-l 当点M 的横坐标满足-Kx<0或0 例7、 “己知函数y = +hx + c 的图象经过点A (c, 一2), 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法 辨认的文字。 （1）根据巳知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）清你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充 7G iK o 点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c, 一2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的—?个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 ［解答］（1）根据y = -x2+bx + c的图象经过点A （c, -2）,图象的对称轴是x=3,得 所以所求二次函数解析式为 > =上子一3^ + 2.图象如图所示。 * 2 （2）在解析式中令疔0,得;工2_3工+ 2 = 0,解得玉=3 +必=3-必. 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+打,0）”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3-V5,0）. 令x=3代入解析式，得 2 1 9 5 所以抛物线y = -x2-3x + 2的顶点坐标为（3,—5）, 所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,--）等等。 2 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想：关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2, BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积. 【评析】本题是一道代数儿何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起， 能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间. 例2某产品每件成本10元，试销阶段何件产品的销售价x（元）与产品的日销佐量y（件）之间的关系如下表： X （元）15203 ? ? ? y 25201? ? ? 若日销售量y是销售价x的一次函数. （1）求出口销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式； （2）耍使每H的销售利润最大，每件产品的销碍价应定为多少元？此时每H销借利润是多少元？ [15/:+/? = 25, 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b.贝i" 解得k=-l, "40, [2k +b = 20 即一次函数表达式为y=-x+40. （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元w= （x-10）（40-x）=-X2+50X-400=-（X-25）2+225. 产品的销售价应定为25元，此时每H获得最大销售利润为225元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”耍设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程. 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地而均为Im,学生丙、丁分别站在 距甲拿绳的手水平距离1田、2. 5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.L：知学 生丙的为高是1.5 m,则学生丁的身高为（建立的平面直伯坐标系如右图所示）（） A. 1.5m B. 1. 625 m C. 1. 66 m D. 1. 67 in 分析：本题考查二次函数的应用答案：B 二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 专题10二次函数的应用一．解读考点 知识点 二次函（1）利润问题 数应用（2）几何问题 类型（3）抛物线型问题 名师点晴 利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题. 一般方法是： （1）建模（最重要的 就是可以读懂题意），然 二次后求二次函数的解析式，解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出；认真审题，理解题意，建 应用（2）求x= ﹣b 2a 的值；立二次函数的数学模型， 的解（3）判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识 2a 题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围 ①在，即相当于求顶点处 函数的最大值或最小值 ②不在，可画草图根据二 范围． 次函数的增减性来解答． 二．考点归纳 归纳1：利润问题 基础知识归纳： ①每件商品的利润=售价—进价 ②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=（售价—进价）×销售量 ③商品的总利润=总收入－总支出 ④商品的利润率== 例1.（2017湖北十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=60+10x（1≤x≤12，且x为整数）； （2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元. 【解析】 试题分析：(1)根据题意，得：y=60+10x，由36?x≥24得x ≤12， ∴1≤x≤12，且x为整数； (2)设所获利润为W， 则W=(36?x?24)(10x+60)=?10x2+60x+720=?10(x?3)2+810， ∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810， 答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元. 学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝） （1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0＞? 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
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