平面向量公式及易错点
平面向量公式
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记
作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos 〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a（交换律）；
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b 按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时，左边取等号；
②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P 是l 上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P 分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A 、B 、C 三点共线
三角形重心判断式
在△ABC 中，若GA +GB +GC=O,则G 为△ABC 的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b 的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb 。
a//b 的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a ⊥
b 的充要条件是 a?b=0。
a ⊥
b 的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
平面向量易错点
湖南 周友良 周芬
在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算．如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下，望同学们引起注意．
一、对两向量夹角的定义理解不清而致错
例１ 在边长为1的正三角形ABC 中，求AB BC BC CA CA AB ++ 的值． 错解：cos 60cos 60cos 60AB BC BC C A C A AB AB BC BC C A C A AB ++=++ 1
1
1
32222
=++=． 分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量AB 与BC ，BC 与C A ，C A 与
AB 的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°．这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的． 正解：cos120cos120cos120AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA CA AB ++=++
11132222
??????=-+-+-=- ? ? ???????．
注意：向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是0 a b >且a 与b 不共线．这里，a 与b 不共线不能忽略．
二、对向量的数量积理解不透彻而致错
例2 向量a 、b 都是非零向量，且向量3a +b 与7-5a b 垂直，4-a b 与7-2a b 垂直，求a 与b 的夹角．
错解：由题意，得(3)(7)0-5= a +b a b ，①
()(7)-4-2= a b a b ，②
将①、②展开并相减，得24623 a b =b ，③
∵≠0b ，故1
2a =b ，④
将④代入②，得22=a b ，
则=a b ，
设a 与b 夹角为θ，则21
12
cos 2θ2=== b a b a b b ．
∵0180θ ≤≤，∴60θ= ．
分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．由于向量的数量积不满足消去律，所以即使≠0b ，也不能随便约去．
正解：设向量a 、b 的夹角为θ，由上面解法有2
2 a b =b ，代入①式、②式均可得22=a b ，则=a b ， ∴1
cos 2
θ== a b
a b ． 又∵0θ180 ≤≤，∴60θ=
．
三、混淆点的坐标与向量的坐标而致错
例3 判断A B C △的形状：(12)A -，，(35)B -，，(52)C -，．
错解：∵1(3)(2)5130?-+-?=-<，1(5)(2)290?-+-?=-<，(3)(5)52250-?-+?=>， ∴A B C △为钝角三角形．
分析：把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误的结论．事实上，由点的坐标可以确定有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出三角形的形状．
正解：(64)C A =- ，，(23)C B = ，，
∵62(4)30C A C B =?+-?= ，∴CA CB ⊥．
故A B C △为直角三角形．
总之，对平面向量基本概念的理解要正确、全面、到位，除上面分析的几个易错点外，还要注意向量垂直的概念是针对两非零向量而言的，明确向量平行与线段平行的区别等问题．复习时要从正反两方面透彻分析，达到从本质上把握的目的．
常用地一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
高中数学-公式-平面向量
平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。（1）向量式：a ∥b (b ≠0)?a =λb ;（2）坐标式：a ∥b (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), （1）向量式：a ⊥b (b ≠0)?a b =0; （2）坐标式：a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0; 3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积； 4.设A （x 1,x 2）、B(x 2,y 2)，则S ⊿AOB ＝1 2212 1y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示： （1）若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; （2）若a =(x,y),则a 2=a a =x 2+y 2,22y x a += ; 十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，则： （1）线线平行：l ∥m ?a ∥b ?=a kb （2）线面平行：l ∥α?a ⊥u 0?=a u （3）面面平行：////αβ??=u v u kv 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合. 2、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，则： （1）线线垂直：⊥?l m a ⊥b 0?=a b （2）线面垂直：α⊥?l a ∥u ?=a ku
向量公式大全
向量公式大全 『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法 羈AB+BC=AC a+b=(x+x'，y+y') a+0=0+a=a 运算律： 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 2.向量减法 罿AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3.数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣ 当λ＞0时，λa与a同方向 当λ＜0时，λa与a反方向 当λ=0时，λa=0，方向任意 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0 『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ
向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍 数乘运算律: 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb) 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 4.向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?c os〈a，b〉若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣ 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y' 向量数量积运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|2 a⊥b〈=〉a?b=0
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及解析答案
新数学《三角函数与解三角形》高考知识点 一、选择题 1．在ABC ?中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =?的面积为 1， 则BD 的长为（ ） A ．32 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?的面积25cos S C =，且 1,25a b ==，则c =（ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 【答案】B 【解析】 由题意得，三角形的面积1 sin 25cos 2 S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以5cos C = ， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B. 3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至 BC ，在旋转的过程中，记([0,])2 ABP x x π ∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区 域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π?? ∈???? 时，()112y f x tanx ==??; 当,42x ππ?? ∈ ??? 时，()11112y f x tanx ==-??; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】 本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
(word完整版)四年级《三角形试题分析及易错题分析》
四年级数学三角形考题分析与易错题分析 以盘龙区小学2016学年下学期期末四年级数学试题进行分析：三角形这一单元知识占11%，所考知识点主要有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形等边三角形的定义，三角形三边的关系，高的做法，会求三角形和多边形的内角和。如： 近三年考题分析 4、请你想办法求出下面这个多边形的内角和。
考查目的：三角形内角和和钝角三角形的特征。 15．画出下面三角形指定边上的高。 考查目的：三角形高的含义，会正确画不同三角形指定底边上的高。 掌握高的方法。 16、等腰三角形的一个内角是60°，其他两个内角各是多少度？这是（）三角形。考查目的：综合三角形内角和、等腰三角形的特点及等边三角形的特点解决问题。
三角形单元检测卷 一、填空（40分） 个钝角三角形，（）个等腰三角形。 7、在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是（）三角形，又是（）三角形。 二、选择（18分） 1．下面第（）组中的三根小棒不能拼成一个三角形。 2．一个三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形的第三边的长可能是（）。 A．3 cm B．4 cm C．7 cm 3．下面各组角中，第（）组中的三个角能组成三角形。 A．60°，70°，90° B．50°，50°，50° C．80°，95°，5° 4．钝角三角形的两个锐角之和（）90°。 A．大于 B．小于 C．等于 5、一个等腰三角形中，其中一底角是75度，顶角是（）。 A、75度 B、45度 C、30度 D、60度 6、下面长度的小棒中（单位：cm），能围成三角形的是（）。 A. 3.5、7.5、4 B . 5、2.8、6 C. 10、4.2、5.6 三、判断（8分） 1、一个内角是80度的等腰三角形，一定是一个钝角三角形。（） 2、等腰三角形一定是等边三角形。（） 3、等腰三角形一定是锐角三角形。（）
向量公式汇总
向量公式汇总 平面向量 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）；
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案
【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳 一、选择题 1．若,2παπ??∈ ??? ，2cos2sin 4παα?? =- ???，则sin 2α的值为（ ） A ．7 8 - B ． 78 C ．18 - D ． 18 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】 解：因为2cos2sin 4παα?? =- ??? 所以( ) 22 2cos sin sin cos cos sin 4 4 π π αααα-=- 所以()())2cos sin cos sin cos sin 2 αααααα-+= - ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ??? Q ， 所以cos sin 4 αα+= 所以()2 1cos sin 8αα+=，即22 1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28 α+= 所以7sin 28 α=- 故选：A 【点睛】 本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题； 2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102 x << B ． 1 12 x << C ．12x << D ．01x << 【答案】D 【解析】 【分析】
根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】 将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ， 设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则 cos 0A '∠<， 所以()()()()()2222342340x x x x x x x ?+++<+? +++>+??>? ，解得01x <<. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40?的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70?方向的C 处，且A 与C 的距离为15 3千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ） ( ) 7 2.6≈ A ．10分钟 B ．15分钟 C ．20分钟 D ．25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=?，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】 根据条件可得30BAC ∠=?，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ?=+-??=， 则5713BC =≈（千米），
平面向量公式
平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等 方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点 始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=
()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点： 设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上 的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内 在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。） （1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点 分点分点 始点→→）
平面向量的运算法则
平面向量运算法则 （1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。 （4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。 （5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ?b ＝1212()x x y y +。 （6）两向量的夹角公式： cos θ=（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。 （7）平面两点间的距离公式：
【精选】八年级数学三角形解答题易错题(Word版 含答案)
【精选】八年级数学三角形解答题易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动． （1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小． （2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． （3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数． 【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】 （1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1 ABE ABO 2 ∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠= ∠，1 ABC ABM 2 ∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知 CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论； （3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知 1EAO BAO 2∠=∠,1 EOQ BOQ 2 ∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】 （1）∠AEB 的大小不变， ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，
高中数学平面向量公式
1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点
(重点)平面向量数量积公式的应用(可编辑修改word版)
F D C A a B 1 O - A 1 b B 平面向量数量积公式的应用 向量的数量积是我们学习向量中的一种新的运算，它是两个向量之间的乘法关系，它们的积是数量，因此，数量积公式充分把向量与数结合在一起，为我们解题提供了一种新的思维方式。下面谈谈数量积公式在解题中的应用。 一、解决平面几何问题： 1. 长度问题 例 1：设 AC 是平行四边形 ABCD 的长对角线，从 C 引 AB 、AD 的垂线 CE 、CF ，垂足分别为 E 、F ，如图所示，求证： AB ? AE + AD ? AF = AC 2 。 B E 2. 垂直问题 例 2：如图所示，四边形 ADCB 是正方形，P 是对角线 DB 上一点，PFCE 是矩形，证明： PA ⊥ EF 。 3. 夹角问题 例 3：求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角。 二、解决三角问题： 1. 证明一些公式： 例 4： 对 于 任 意 实 数 ， Y ， 求 证 ： cos(+ ) = cos cos - sin sin 。 X y A B P E D O F C x y A E O C D B x
2. 证明三角恒等式： 例 5：已知 、 为锐角， 且 3sin 2 + 2 s in 2 = 1 ， A 5 3sin 2- 2 s in 2= 0 ，求证：+ 2= 。 2 A 6 A 4 A 7 e A 3 A 1 A 2 3. 求三角函数值： 2 例 6：求值： cos 7 + cos 4+ c os 6。 7 7 4. 解与三角形有关的问题： 例 7：在锐角△ABC 中，已知cos A + cos B - cos( A + B ) = 3 ，求角 C 的值。 2 三、证明等式： 一般来说，等式的证明都要进行恒等运算，但应用向量的有关知识和运算，并且简单明了。 例 8：设(x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) = (ax + by )2 （ ab ≠ 0 ），求证： x = y a b
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义
平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；
1解三角形易错题解析
1解三角形易错题解析
易错题解析 例题1 在不等边△ABC中，a为最大边，如果a b c 222 <+，求A 的取值范围。 错解：∵a b c b c a 2222220 <++-> ，∴。则 cos A b c a bc = +- > 222 2 0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数 且cos90090 °，∴° =< A 又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题 错误。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。 又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。 例题2 在△ABC中，若a b A B 2 2 = tan tan ，试判断△ABC的形状。 错解：由正弦定理，得sin sin tan tan 2 2 A B A B =即 sin sin sin cos cos sin sin sin 2 2 00 A B A A B B A B =>> ·，∵， ∴，即 sin cos sin cos sin sin A A B B A B == 22。 ∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。
21360239 3R a A = ==sin sin °。∴a b c A B C R ++++== sin sin sin 2239 3 。 例题4 在△ABC 中，c = +62 ，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。 错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。 由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-= +15062 30°°∴a A =+262()sin ， b A =+-262150()sin() ° 又∵sin sin()A A ≤-≤11501，°∴a b +≤+++=+262262462()()() 。 故a b +的最大值为462( ) +。 辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。这里A 与 150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。 正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。 由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-= +1506230°° 因此a b A A +=++-262150( )[sin sin()] ° 2(62)sin 75cos(75)62 4(62) cos(75)(843)cos(75)843 A A A =-+=-=+-≤+·°°·°° ∴a ＋b 的最大值为843+。 例题5 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。
(完整版)高考平面向量公式(教师)
第七辑 平面向量专题 一，基本概念 1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。 2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为a 或者AB 。 3，向量的大小：即是向量的长度（或称模） 4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。 5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、 1= 1= 6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若平行于，则表示为∥。 7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若a 与b 相等，记为a =b 8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若a 与b 是相反向量，则表示为=-；向量-= 二，几何运算 1，向量加法： （1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示： （2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， （3）两个向量和仍是一个向量； （4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）： = << = 2，减法： （1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=- （2）两向量差依旧是一个向量； （3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+?=- 3，加法、减法联系： （1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，=- （2=，则四边形ABCD 为矩形 B A a C B A ? a b a b a b b a +
4，实数与向量的积： （1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下： 当0>λ时，a λ与a 方向相同；当0<λ时，a λ与a 方向相反；当0=λ时，0=a λ；当0=a 时，0=a λ ；=λ（2）实数与向量相乘满足：)()(λμμλ= μλμλ+=+)( λλλ+=+)( 5，向量共线： （1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ= （2）如图，平面内C B A ,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数q n m ,,， 使得=++n m q ，且0=++q n m ，反之也成立。 （3）AC AB λ=，则OC OA OB λλ+-=)1(（证明略） 6，向量的数量积 （1 ）数量积公式：= ?=?θθcos cos （2）向量夹角θ：同起点两向量所夹的角，范围是[] 0180,0∈θ （3）零向量与任一向量的数量积为0，即00=?a （4 ）数量积与夹角关系：b a ≤?≤ 00=θ 00900<<θ 090=θ 0018090<<θ 0180=θ =? 0>?> 0=? >?>0 =?（5 = θcos 称为b 在a = θcos a 在b 的方向上的投影 （6）重要结论：直角三角形ABC 中，2 =? （7）向量数量积的运算律： 2a = e =（向量e 为与a 方向相同的单位向量） ?=? )()()(λλλ?=?=? =?+)(?+? 2222)(+?+=+ 2222)(+?-=- 2 2)()(-=-?+ b a b a b a b a b a
向量公式大全83635
向量公式 设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b
样稿 《三角函数、解三角形》部分易错题提醒
《三角函数、解三角形》部分易错题提醒 （315800 浙江宁波北仑职业高级中学）王瑛 三角函数及解三角形是高中数学的重要内容，也是各地高考的热点．但由于这部分内容公式多、概念广，解题方法与技巧多样，所以经常会出现遗漏条件、忽视范围及忘记分类等等问题，所以针对该部分常见错误与遗漏，归纳举例如下，望同学们能从中有所收获． 一、三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式 1. 因“忽视轴线角、象限角表示中ｋ的讨论”而导致错误 【例1】已知α为第三象限角，则 2 α 是第 象限角，α2是第 象限角． 【解析】α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2 3 22ππαππ Z k k k ∈+<<+∴,4 3 22ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ 当k 为偶数时，2α为第二象限角；当k 为奇数时，2 α 为第四象限角； 而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. 【评注】k 为整数，故不要忘记分奇数与偶数进行讨论．对于Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ，不要疏忽终边落在y 轴的非负半轴上这种特殊情况． 【变式】已知βαsin 2sin =，βαtan 3tan =，求αcos 的值． 提示：若tan 0a ，tan 0b 则βββαααcos 3 2 tan 3sin 2tan sin cos === ，∴αβc os 23c os =．又因为 =βsin αsin 21，所以1cos 23sin 212 2 =?? ? ??+??? ??αα，∴46cos ±=α．若0tan =α，0tan =β，即 πβαk ==(Z k ∈)．此时1cos ±=α也满足题意，答案为4 6cos ± =α或1±． ２. 因对“三角函数线的方向搞错”而导致错误 【例２】利用单位圆，求y ＝lg (1－2cos x )的定义域． 【解析】由1－2cos x ＞0 得cos x ＜ 22 .如图１， 利用余弦线可知函数的定义域为：x ∈(2k π＋π4，2k π＋7π 4 )(k ∈ Z) 【评注】余弦线是以原点为起点，以终边与单位圆交点向x轴所引垂线的垂足为终点的一条有向线段 ．余弦线若与ｘ轴正方向一致的为正，反之为负． 【变式】已知sin sin ,αβ>那么下列命题正确的是（ ） A ．若α、β是第一象限角，则cos cos , αβ> 图１