《分式拓展》典型例题
e拓展延伸通过一些复杂的乘除法运算题目拓展学生对分式乘除法运算的理解
e拓展延伸通过一些复杂的乘除法运算题目拓展学生对分式乘除法运算的理解通过一些复杂的乘除法运算题目来拓展学生对分式乘除法运算的理解分式乘除法是数学中的重要概念之一，它涉及到分数的相乘和相除运算。
为了帮助学生更好地理解这一概念，我们可以通过一些复杂的乘除法运算题目来进行拓展和延伸。
1. 连分式乘法题目考虑以下的连分式乘法题目：(2/3) * (4/5) * (6/7) * (8/9)首先，我们可以将这个连分式化简为一个分式来计算。
将分子相乘得到：2 * 4 * 6 * 8 = 384。
将分母相乘得到：3 * 5 * 7 * 9 = 945。
因此，原始的连分式可以化简为：384/945。
这样，我们就得到了最简形式的答案。
2. 连分式除法题目考虑以下的连分式除法题目：(10/25) / (2/5) / (4/10)同样地，我们可以将这个连分式化简为一个分式来计算。
首先，我们可以将除法转化为乘法，也就是将被除数的倒数作为除数。
将原式转化为：(10/25) * (5/2) * (10/4)。
我们可以将这个连分式化简为：100/100 = 1。
3. 含有混合数的分式运算除了连分式的乘除法运算，还可以考虑一些含有混合数的分式题目。
例如：(2 1/4) * (3 2/3)为了计算这个分式，我们首先需要将混合数转化为带分数形式。
将2 1/4转化为9/4，将3 2/3转化为11/3。
然后，我们可以将这两个分式相乘得到：(9/4) * (11/3) = 99/12。
最后，我们可以对结果进行化简，得到最简形式的答案。
在学习分式乘除法运算的过程中，除了进行题目的计算，还需要理解每一步骤的原理和思路。
学生可以自主思考并解释每一步的计算过程和转化规则，以增加对分式乘除法运算的理解和掌握。
通过以上的乘除法运算题目，我们可以帮助学生扩展和延伸对分式乘除法运算的理解。
同时，我们也要强调学生在解题过程中的思维方法，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
八年级下册数学第十六章分式拓展提高题
八年级下册数学分式拓展提高题1、已知分式—91862-+aa 的值为正整数，求整数a 的值。
2、已知yx =3，求yxy x xy xy 2222232+--+的值。
3、（1）已知x 2－3x+1=0，求x 2+x 21的值；（2）若x+x 1=3，求1242++x x x 的值。
4、若实数a 、b 满足b a +a b=2，求ba b a ab ab 22224++++的值。
5、计算：2)22bb a -（÷)23ab a+（.)2ab ab -（。
（规律：①先算乘方，再算乘除，注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式。
②分式乘方时要先确定乘方结果的符号，负数的偶次幂为正，负数的奇数幂为负。
6、已知a 、b 、c 为实数，且b a ab +=31，c b ab +=41，c a ac +=51，那么acbc ab abc++的值是多少？（点拨：取倒数的方法。
）7、课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3,-20132012,0,2012时，分别求出11222-+-xx x ÷122+-x x 的值。
小明一看说“太复杂了，怎麽算呢？”你能帮小明这个问题吗？请你写出具体过程。
8、观察下列等式：211⨯=1-21，321⨯=21-31，431⨯=31-41，将以上三个等式两边分别相加，得211⨯+321⨯+431⨯=1-21+21-31+31-41=1-41=43。
（1）猜想：)1(1+n n =（ ）， （2）直接写出下列各式的计算结果：①211⨯+321⨯+431⨯+〃〃〃+201020091⨯+201120101⨯=（ ） ②211⨯+321⨯+431⨯+〃〃〃+n n )11-（+)1(1+n n =（ ）（3）探究并计算：421⨯+641⨯+861⨯+〃〃〃+201020081⨯+201220101⨯。
9、（1）若分式方程22-x +42-x mx =23+x 有增根，求m 的值； （2）若分式方程112--x k -x x -21=xx k +-25有增根x=-1,求k 的值。
八年级数学下册第十六章《分式》单元 应用题大全 新课标人教版 (9)
八年级数学下册第十六章《分式》单元应用题大全新课标人教版1. 进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话: 记者：你们是用9天完成4800米长的大坝加固任务的指挥官：我们加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍．通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地．求甲、乙的速度．2. 由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．（1）求两队单独完成此项工程各需多少天?（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?3. 在捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元；信息二：乙班4；信息三：甲班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的5比乙班多2人。
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？4. 为了更好适应和服务新农村下经济的快速发展，某乡镇决定对一段公路进行改造。
已知这项工程甲单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成。
（1）求乙工程单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合作完成这项工程所需的天数。
5. 某花店老板用400元购买一批花瓶,途中不慎打碎了2个,他把余下的以每个高出成本30%的价格售出,一共获利68元,问：他购买了多少个花瓶？6. 一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元。
苏科版八年级下册第十章《分式》特优生拓展训练(三)
① ∵当 2 + 1 = 0 时，此方程无解， ∴此时 =− 0.5，
②
∵关于
x
的分式方程2
+ −3
− 1 = 2无解，
∴ = 0 或 − 3 = 0， 即 = 0， = 3， 当 = 0 时，代入①得：(2 + 0) × 0 − 0 × (0 − 3) = 2(0 − 3)， 解得：此方程无解；
当 = 3 时，代入①得：(2 + 3) × 3 − 3(3 − 3) = 2(3 − 3)， 解得： =− 1.5， ∴ 的值是−0.5 或−1.5，
B. =− 2 D. = 4
2.
已知1
−1
=
5，则分式2
+3 −2
−2 −
的值为(
)
A. 1
B. 5
C.
13 7
D.
13 3
3. 将分式 2− 2中的 x，y 的值同时扩大为原来的 2015 倍，则变化后分式的值( )
A. 扩大为原来的 2015 倍 C. 保持不变
B.
缩小为原来的 1
2015
1 2
1 5
−
1 7
，……
1 17×19
=
1 2
1 17
−
1 19
，
∴
1 1×3
+
1 3×5
+
1 5×7
+
⋯⋯
+
1 17×19
=
1 2
(1
−
1 3
)
+
1 2
(
1 3
−
1 5
)
+
1 2
(
《分式》拓展精练
《分式》拓展精练1.已知：点P（1-2a，a-2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程=2的解是（）.A.5B.1C.3D.不能确定2.小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生.若校车速度是他骑自行车速度的2倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发10分钟，结果与原来到校的时间相同.设小军骑车的速度为x千米/时，则所列方程正确的为（）.A.+=B.--=C.+10=D.-10=3.如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）.A.不变B.扩大50倍C.扩大10倍D.缩小为原来的4.将（）-1、（-3）0、（-3）-2这三个数按从小到大的顺序排列为（）.A.（-3）0<（）-1<（-3）-2B.（）-1<（-3）0<（-3）-2C.（-3）-2<（-3）0<（）-1D.（-3）0<（-3）-2<（）-15.在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10-5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是（）.A.10-2cmB.10-1cmC.10-3cmD.10-4cm6.已知与的和等于，则a= ，b= .7.若ab=1，m=+，则m2013= .8.关于x的方程=-1的解是正数，则a的取值范围是.9.若=5，则= .10.当m= 时，关于x的方程- 2=有增根.11.化简求值：（+）÷，其中a、b满足+|b-|=0.12.解方程：+=+.13.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答问题.第1个等式：a1==×（1-）；第2个等式：a2==×（-）；第3个等式：a3==×（-）；第4个等式：a4==×（-）；……请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100+an的值.14.某市正在开展“打造宜居靓城、建设幸福之都”活动.在进行城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算，获得如下信息：信息一：乙队单独完成这项工程需要60天；信息二：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可完成；信息三：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.根据以上信息，解答下列问题：（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？。
分式计算的拓展 课后练习一及详解
当x≠1时， ＞0，
所以AB＞0，即A＞B．
题五： ．
详解：由a，b，m是正实数，故要证 ，
只要证a(+m)＜b(+m)只要证ab+am＜ab+bm，
只要证am＜bm，而m＞0，只要证a＜b，
由条件a＜b成立，故原不等式成立．
题六： ．
详解：∵ 且xy≠0
∴x+y=2xy，
∴ = = = ．
分式计算的拓展课后练习（）
题一：化简并求值： .
题二：先化简，再求值： ，其中x= ，y=3．
题三：比较a与 的大小．
题四：已知A= ，B= ，当x≠1时，比较A与B的大小．
题五：已知a，b，m是正实数，且a＜b，求证： ．
题六：已知： ，求代数式 的值．
题七：已知，x25x1=0，求：
（1）x2+ ；（2）2x2-5x+ ．
当a=1时，a= ；
当0＜a＜1时，a＜ ；
当a=0时， 不存在，没法比较；
当1＜a＜0时，a＞ ；
当a=1时，a= ；
当a＜1时，a＜ ；
综上所得：当a＞1或-1＜a＜0时，a＞ ；
当a=±1时，a= ；
当a=0时， 不存在，不能比较；
当0＜a＜1时或a＜1时，a＜ ．
题四：A＞B．
详解：根据题意得：
题八：分式 的最小值是．
分式计算的拓展
课后练习参考答案
题一：-15.
详解：原式= .
题二：3 .
详解：原式=
=
=yx
当x= ，y=3时，原式=3 .
题三：当a＞1或1＜a＜0时，a＞ ；
当a=±1时，a= ；
当a=0时， 不存在，不能比较；
人教版数学八年级上册第15章 分式 综合拓展训练
A．
B．
C．
D．
8．若 a＝ +1，则
＝（ ）
A．3
B．4
C．
D．
9．若关于 x 的分式方程 ﹣ ＝3 的解为正整数，且关于 y 的不等式组
至多有六个整数解，则符合条件的所有整数 m 的取值之和为（ ）
A．1
B．0
C．5
D．6
10．若分式
的值为正数，则 x 需满足的条件是（ ）
A．x 为任意实数 C．x 二．填空题
B．方程 ﹣
＝1 无解
第1页（共14页）
C．方程
＝
的根为 x＝0
D．解分式方程时，一定会出现增根
7．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用 600 元和 800 元两次购进该小 说，第二次购进的数量比第一次多 40 套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店 第一次购进该科幻小说 x 套，由题意列方程正确的是（ ）
B．x D．x
第2页（共14页）
11．分式 的值比分式 的值大 3，则 x 的值为
．
12．已知 ﹣ ＝4，则
＝
．
13．已知关于 x 的方程
使关于 x 的不等式组
的解集为 x＜2，且使关于 x 的分式方程
+ ＝2 的解为非负数，则所有满足条件的 a 的值之和为
．
15．若关于 x 的分式方程 ﹣ ＝1 有增根，则 a 的值
．
三．解答题 16．解下列方程或不等式（组）：
（1）
（2）2（5x+2）≤x﹣3（1﹣2x）
（3）
，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（1）先化简，再求值：（1﹣ ）÷
，其中 m＝1；
湘教版2019年八年级上册《分式》的拓展题型3
1.3 分 式 总分100分（1~11每小题5分，12~14每小题10分, 15题15分）姓名： 家长签字：1.若x,y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A.y x x -+2 B.22x y C.2332x y D.22)(2y x y - 2.如果a-b=3ab,那么=-ba 11 。
3.已知a 、b 为实数，且ab=1,a ≠1,设M=11+++b b a a ，N=1111+++b a ，则M ，N 的大小关系是（ ） A.M ＞N B.M=N C.M ＜N D.无法确定4.若a+b+c=0，且abc ≠0,则⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c c a b c b a 111111的值为（ ）A.1B. 0C. -1D. -35.若等式13)1)(3(53++-=+--x bx ax x x 恒成立，则（a 2+b 2-2ab ）-8a+8b+17的值是（）A.50B. 37C. 29D. 265.已知,12131=-n m 则式子n mn m mmn n 669634-+-+的值是（ ） A.35- B. 45- C. 85 D. 356.若,31=+x x 则=+122x x 。
7.已知x 2-3x+1=0,则代数式12+-x x x的值是 。
8.已知m 2+2m-2=0,那么代数式2442+∙⎪⎭⎫⎝⎛++m m m m m 的值是（ ）A.-2B. -1C. 2D. 39.已知2414122--=+m n n m ，则n m 11-的值等于（ ）A.1B. 0C. -1D. 41-10.已知 (x-y)(2x-y)=0 (xy ≠0),则x yy x+的值为（ ）A.2B. 212- C. -2或212- D. 2或21211.已知,41=+a a 则21⎪⎭⎫⎝⎛-a a = 。
12.先化简，再求值)225(262---÷--x x x x ，其中x=-2.13.先化简，再求值x x x x x x 44)242(22++÷-+-，其中x 是0,1,2这三个数中合适的数。
分式方程拓展训练培优提高
分式方程拓展训练培优提高分式方程拓展训练一、分式方程的特殊解法1.交叉相乘法例1：解方程：$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+2}$解法：交叉相乘得到$x(x+2)=3$，化简后得到$x^2+2x-3=0$，解得$x=1$或$x=-3$，但$x=-3$不符合原方程的定义域，所以解为$x=1$。
2.化归法例2：解方程：$\frac{12}{x-1}-\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-1}$解法：通分得到$\frac{10}{x-1}=\frac{1}{x-1}$，解得$x=11$。
3.左边通分法例3：解方程：$\frac{x-8}{x-7}-\frac{1}{x+7-x}=\frac{8}{x-7-x}$解法：左边通分得到$\frac{(x-8)-(x+7)}{(x-7)(x+7)}=\frac{8}{-2x}$，化简得到$-x^2+2x-15=0$，解得$x=3$或$x=-5$，但$x=-5$不符合原方程的定义域，所以解为$x=3$。
4.分子对等法例4：解方程：$\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}=\frac{b}{x}+\frac{1}{x-1}$，其中$a\neq b$解法：分子对等得到$\frac{x-1+a-1}{ax(a-1)}=\frac{bx+1+abx-ab}{x(x-1)ax(a-1)}$，化简得到$abx^2+(a+b-2)bx+a-1=0$，由于$a\neq b$，所以系数$a+b-2=0$，解得$a=1$，代入原方程得到$x=2$。
5.观察比较法例5：解方程：$\frac{4x}{5x-2}+\frac{17}{5x-2}=\frac{5x+24}{4x}$解法：观察到分母都含有$5x-2$，设$5x-2=t$，则原方程化为$\frac{4}{t}+\frac{17}{t}=\frac{t+24}{4(t+2)}$，化简得到$t^2-50t+76=0$，解得$t=2$或$t=48$，代回得到$x=\frac{4}{5}$或$x=\frac{50}{9}$，但$x=\frac{50}{9}$不符合原方程的定义域，所以解为$x=\frac{4}{5}$。
初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)
《分式》竞赛专题训练1 分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.经典例题(1)当x 为何值时，分式22211x x--有意义? (2)当x 为何值时，分式22211x x--的值为零? 解题策略(1) 要使分式22211x x--有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x -，它们都不为零，即0x ≠且110x -≠，于是当0x ≠且1x ≠时，分式22211x x--有意义， (2) 要使分式22211x x--的值为零，应有2220x -=且110x -≠，即1x =±且1x ≠，于是当1x =-时，分式22211x x--的值为零 画龙点睛1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零.2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三1. (1)要使分式24x x -有意义的x 的取值范围是( ) (A)2x = (B) 2x ≠ ( C)2x =- (D)2x ≠-(2)若分式的的值为零，则x 的值为( )(A)3 (B)3或3- (C) 3- (D)0 2. (1)当x 时，分式23(1)16x x -+-的值为零;(2) 当x 时，分式2101x x +≥- 3. 已知当2x =-时，分式x b x a -+无意义;当4x =时，分式的值x b x a -+为零，求a b +.融会贯通4.0≤，求a 值的范围.2 分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.经典例题 若2731x x x =-+，求2421x x x ++的值 解题策略 因为2731x x x =-+，所以0x ≠ 将等式2731x x x =-+的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x=-+，所以有 1227x x += 因此242222211149112214351()1()17x x x x x x x ====+++++-- 画龙点睛 对于含有1x x+形式的分式，要注意以下的恒等变形: 22211()2x x x x+=++ 22211()2x x x x-=+- 2211()()4x x x x+--= 举一反三1. (1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;10.50.2210.20.53a b c a b c -+++(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数:3211a a a ---+ 2. 已知13xy x y =--，求2322x xy y x y xy +---的值.3. 已知13x x+=，求2421x x x ++的值.融会贯通4. 已知3a b b a+=，求22224a ab b a ab b ++++的值.3 分式的四则运算分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.经典例题计算：22448()()[3()]y x xy x y x y x y x y x y x y--+-÷+--+- 解题策略 原式2222()4()43()()8x y y x y x x y x y xy x y x y x y--+-+--=÷-+- ()(3)(3)()(3)(3)x y x y x y y x x y x y x y x y x y +-+--=-++- y x =-画龙点睛在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.举一反三1. 先化简，再求值：262393m m m m -÷+--，其中2m =-.2. 计算：322441124a a a b a b a b a b+++-+++= 3. (1)已知实数a 满足2280a a +-=，求22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++的值(2)已知a 、b 为实数，且1ab =，设11a b M a b =+++，1111N a b =+++，试比较M 、 N 的大小关系.融会贯通4. 甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买800千克;乙每次用去600元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?4 分式的运算技巧——裂项法 我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如134512(1)(2)x x x x x -+=---- 反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项有:11A B AB B A ±=±，111(1)1n n n n =-++ 经典例题已知54(1)(21)121x A B x x x x -=-----，求A 、B 的值 解题策略由54(21)(1)(1)(21)121(1)(21)x A B A x B x x x x x x x ----=-=------(2)(1)(21)A B x B A x x -+-=--，可得254A B B A -=⎧⎨-=-⎩，解得13A B =⎧⎨=-⎩ 画龙点睛已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A 、B 的值即可.举一反三1. 若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，求M ，N .2. 化简：222211113256712x x x x x x x x ++++++++++3. 计算：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+融会贯通 4. 已知21(2)(3)23x b c a x x x x -=++----，当1,2,3x ≠时永远成立，求以a 、b -、c 为三边长的四边形的第四边d 的取值范围.5 含有几个相等分式问题的解法有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决.经典例题已知x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且()()()1x y y z z x xyz +++=-，求x y z ++的值解题策略 由x y z x y z x y z z y x+--+-++== 得111x y x z y z z y x +++-=-=- 从而x y x z y z z y x+++== 设x y x z y z k z y x+++===，则x y kz +=，x z ky +=，y z kx +=三式相加得2()()x y z k x y z ++=++，即()(2)0x y z k ++-=，所以0x y z ++=，或2k =若0x y z ++=，则1x y x z y z z y x+++•=-，符合条件； 若2k =，则()()()81x y y z z x xyz+++=≠-与题设矛盾，所以2k =不成立 因此0x y z ++=画龙点睛1. 将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.2. 在得到等式2()()x y z k x y z ++=++后.不要直接将等式的两边除以x y z ++，因为此式可能等于0. 3. 在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.举一反三1. (1)已知275x y z ==，求值①x y z z ++；②x y z +；③x y z x +-(2)已知2310254a b b c c a +-+==，求56789a b c a b +-+的值2. 若a b c d b c a a ===，求a b c d a b c d -+-+-+的值3. 已知实数a 、b 、c 满足0a b c ++≠，并且a b c k b c c a a b===+++，则直线3y kx =-一定通过( )(A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限 (D)第一、三、四象限 融会贯通 4. 已知9p q r ++=，且222p q r x yz y zx z xy ==---，求px qy rz x y z++++的值6 整数指数幂一般地，当n 是正整数时，1(0)n n a a a-=≠，这就是说(0)n a a -≠是n a 的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.经典例题已知2m x-=，3n y =，求24()m n x y ---的值解题策略 242(4)(4)84()m n m n m n x y x y x y -------==848481()()23256m n x y ---==⨯=画龙点睛将所求的代数式转化为以m x-、n y 为底的乘方，进而代入相应的值进行计算. 举一反三1. 计算(1)222242(2)()a b a b a b ----÷(2)541321111(1)()()()()21023----++-+-⨯-(3)10222(510)(0.210)(200)⨯÷-⨯⨯-2. 水与我们日常生活密不可分，科学家研究发现，一个水分子的质量大约是26310-⨯kg ，8 g 水中大约有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为262.66510-⨯kg ，求一个氢原子的质量.3. 已知2310a a -+=，求(1)1a a -+；(2)22a a -+；(3)44a a -+融会贯通4. 如图，点O 、A 在数轴上表示的数分别是0、0. 1.将线段(OA 分成100等份，其分点由左向右依次为1M 、2M ，…，99M ;再将线1OM 分成100等份，其分点由左向右依次为1N 、2N ，…，99N ;继续将线段1ON 分成100等份，其分点由左向右依次为1P 、2P …，99P .则点37P 所表示的数用科学记数法表示为7 分式方程的解法分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答.经典例题解方程52432332x x x x --=-- 解题策略解法一 去分母，得(52)(32)(43)(23)x x x x --=--2215610486129x x x x x x --+=--+所以1x =-验根知1x =-为原方程的解.解法二 方程两边加1，得5243112332x x x x --+=+-- 即222332x x =-- 所以2332x x -=-解得1x =-验根知1x =-为原方程的解.解法三 原式可化为22112332x x -=--- 所以222332x x =-- 以下同解法二画龙点睛1. 通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方程的方法来解答.2. 除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.3. 解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.举一反三1. (1)解方程2227461x x x x x +=+--(2)解方程2222112x x x x x x x x -++=--+-2. (1)解方程22252571061268x x x x x x x x x --+=+----+(2)解方程253336237456x x x x x x x x ----+=+----3. 若解方程61(1)(1)1m x x x -=+--是会有增根，求它的增根融会贯通4. 已知方程11x c x c +=+ (c 是常数，0c ≠)的解是c 或1c，求方程2131462a a x x a+++=- (a 是常数，且0a ≠)的解.8 列分式方程解应用题和整式中的一元一次方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的方法.经典例题某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米，求该市今年居民用水的价格.解题策略设该市去年居民用水价格为x 元/m 3，则今年用水价格为(125%)x +元/m 3.根据题意得:36186(125%)x x-=+，解得： 1.8x = 经检验： 1.8x =是原方程的解.所以(125%) 2.25x +=所以该市今年居民用水的价格为2. 25元/m 3.画龙点睛列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分式方程并验根;写出答案.举一反三1. 某服装厂准备加工300套演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，请问:该厂原来每天加工多少套演出服?2. 便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000元购进若干件，以每件58元的价格出售，很快售完.又用17 600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次贵了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?3. 从甲地到乙地共50 km ，其中开始的10 km 是平路，中间的20 km 是上坡路，余下的20 km 又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).融会贯通4. 某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程，规定若干天内完成.(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两组先合做20天，剩下的由甲组单独做，恰好按规定的时间完成，那么规定的时间是多少天?(2)实际工作中，甲乙两组合做完成这项工程的56后，工程队又承包了新工程，需要抽调一组过去，从按时完成任务考虑，你认为留下哪一组更好?说明理由.参考答案1 分式的概念1. (1)B (2) C2. (1)3x =- (2) 12x ≤-或1x > 3. 64. 21a -≤<2分式的基本性质1. (1)1561561510a b c a b c -+++(2)3211a a a --+ 2. 由已知，得3x y xy -=-，所以 原式2()36333()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+-+-====----- 3. 242222211111113181()1x x x x x x x====++-+++- 4. 将22224a ab b a ab b ++++分子和分母同时除以ab ，得13143474a b b a a b b a +++==+++3 分式的四则运算1. 262393m m m m -÷+-- 633(3)(3)2m m m m m -=-++- 33m m -=+ 当2m =-时，原式3235323m m ---===-+-+ 2. 322441124a a a b a b a b a b +++-+++ 3222244224a a a a b a b a b =++-++ 33444444a a a b a b =+-+ 7884a a b=- 3. (1) 22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++ 213(1)1(1)(1)(1)(3)a a a a a a a +-=-⨯++-++2111(1)a a a -=-++ 22(1)a =+ 由2280a a +-=知2(1)9a += 所以原式222(1)9a ==+ (2)11()()1111a b M N a b a b -=+-+++++ 111111a b a a b b =-+-++++ 1111a b a b --=+++ (1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b a a b -++-+=++ (1)(1)(1)(1)ab a b ab b a a b +--++--=++ 220(1)(1)ab a b -==++ 所以M N =4. 设两次购买肥料的单价分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正数，且a b ≠)，则 甲两次购买肥料的平均单价为：8008008008002a b a b ++=+ (元/千克). 乙两次购买肥料的平均单价为：6006002600600ab a b a b +=++ (元/千克). 因为22()2()a b ab a b a b a a b +--=++，又a b ≠，0a >，0b >，所以2()0()a b a a b ->+ 所以甲的平均单价比乙的高，所以乙的购货方式更合算一些4 分式的运算技巧——裂项法1. 222(2)22()()()()Mx N x b cx ca c x b ca x x x a x b x a x b ++---+-==+-++++ 且22(1)(2)x x x x +-=-+，a b >所以2a =，1b =-，1c a b =+=从而可得21M x =-=，24N b ca =-=-2. 原式1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)x x x x x x x x =++++++++++ 111111*********x x x x x x x x =-+-+-+-+++++++ 114x x =-+ 3. 原式()()()()()()()()()()()()a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c a b b a b c c b c a=+++++------ 0=4. 因为23b c a x x ++-- (2)(3)(3)(2)(2)(3)a x xb xc x x x --+-+-=-- 25632(2)(3)ax ax a bx b cx c x x -++-+-=-- 所以2215632x ax ax a bx b cx c -=-++-+-所以1a =，50a b c -++=，6321a b c --=-解得1a =，3b =-，8c =所以四边形的第四边d 的取值范围应满足138d ++>，138d ++>，182d ++>，381d ++>，解得412d <<5 含有几个相等分式问题的解法1. (1)设275x y z k ===，则2,7,5x k y k z k === ① 2751455x y z k k k z k ++++== ② 27955x y k k z k ++== ③ 27522x y z k k k x k+-+-== (2)设2310254a b b c c a k +-+===则2253104a b k b c k c a k +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩解得2a k b k c k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩56756(14)25898917a b c k k k a b k k +-+--==++ 2. 设a b c d k b c a a==== 则234,,,d ak c dk ak b ck ak a bk ak =======所以41k =，得1k =±当1k =时，a b c d ===，原式0=当1k =-时，a b c d =-==-，原式2=-3. (),(),()k a b c k b c a k c a b +=+=+=于是2()k a b c a b c ++=++因为0a b c ++≠ 所以12k =直线132y x =-的图象经过第一、三、四象限 故选择D4. 设222p q r k x yz y zx z xy===---， 故222(),(),()p k x yz q k y zx r k z xy =-=-=-所以222()9p q r k x y z yz zx xy ++=++---=又px qy rz ++=333()k x xyz y xyz z xyz -+-+-333()k x y z xyz xyz xyz =++--- 222()()k x y z x y z yz zx xy =++++---9()x y z =++所以px qy rz x y z++++9= 6 整数指数幂1. (1)424b a(2)149(3)12510⨯2. 232.6710⨯个 271.67510-⨯ kg 3. (1)因为2310a a -+=，且0a ≠所以213a a += 所以2113a a a a -++== (2) 2212()27a aa a --+=+-= (3)44222()247a a a a --+=+-=4. 1M 表示的数为310.110100-⨯= 1N 表示的数为3511010100--⨯= 1P 5711010100--⨯= 37P 表示的数为637 3.710-=⨯7 分式方程的解法1. (1)原方程分母因式分解为746(1)(1)(1)(1)x x x x x x +=+-+- 去分母得7(1)4(1)6x x x -++= 解得35x =检验知35x =为原方程的根(2) 原方程式变形为22221112x x x x +=+--+- 整理得2212x x x x --=+- 解得12x =检验知12x =为原方程的根 2. (1) 原方程分母因式分解为525710(3)(2)(4)(3)(2)(4)x x x x x x x x x --+=+--+-- 去分母得5(4)(25)(2)(710)(3)x x x x x x -+--=-+解得1x =检验知1x =为原方程的根(2)原方程化为2(7)93(4)93(5)92(6)97456x x x x x x x x -+-+-+-++=+---- 999923327456x x x x +++=+++---- 11117456x x x x +=+---- 11117654x x x x -=----- (6)(7)(4)(5)(7)(6)(5)(4)x x x x x x x x ------=---- 11(7)(6)(5)(4)x x x x =---- 22111342920x x x x =-+-+ 422x = 解得112x = 检验把112x =代入最简公分母(7)(4)(5)(6)0x x x x ----≠，所以112x =是原方程的根3. 去分母，得6(1)(1)(1)m x x x -+=+-如果增根为1x =，则6(11)0m -+=，3m =如果增根为1x =-，则6(11)0m --+=，无解，所以3m =4. 将方程2131462a a x x a+++=-整理得 112323x a x a+=++- 112323x a x a -+=+- 所以23x a -=，或123x a -=故32a x +=或312a x a +=8 列分式方程解应用题1. 设服装厂原来每天加工x 套演出服.根据题意，得603006092x x -+= 解得20x =经检验20x =是原方程的根.2. 设原进价为x 元一件，则第二次进价为(4)x +元一件，依题意得176********x x =+ 解得40x = 经检验40x =是原方程的根 服装店这笔生意第一次购进8000200x =件，第二次购进176004004x =+件，服装店这笔生意共盈利200(5840)400(5844)9200⨯-+⨯-=(元). 3. 设小明在平路上的速度是x km/h ，根据题意，得131011203()66x x -=-， 解得15x =经检验15x =是原方程的根，且符合题意.4. (1)设规定的时间是x 天，则甲单独完成需要(30)x +天，乙单独完成需要(12)x +，由题意，得11120()(20)1301230x x x x ++⨯-=+++， 解得24x =经检验24x =是原方程的根，所以规定的时间是24天;(2)由题意，因为规定时间是24天，所以甲单独完成需要243054+=(天)，乙单独完成需要241236+=(天).留下甲完成需要的时间是:51151()(1)65436654÷++-÷189=+ 27=24>，不能在规定时间完成任务;留下乙完成需要的时间是:51151()(1)1862465436636÷++-÷=+= 能在规定时间完成任务.所以留下乙组好.。
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《分式拓展》典型例题
例1. 已知关于x 的方程：
a x x a x x a x a -+++-=---2212212141122()()≠
问a 取何值时，方程的根是增根。
分析：把a 当作已知数，得出用关于a 的式子表示方程的解，只要这个解使公分母为零，这个根就是增根，a 的值就能求出来了。
解：去分母，得：
()()()()()212212212x a x x a x a --+++=-
24224221222ax a x x ax a x x a --+++++=-()
41212()()a x a +=-
∵a ≠－1，∴a ＋1≠0，所以
x a a a =-+=-212112() 把
x a =-1
2代入210x -=，得： 2121×a -=
a =2 把x a =
-1
2代入210x +=，得： 2121×a -=-
a =0 ∴当a ＝2或a ＝0时，所得的根x x =
=-1212和是原方程的增根。
注：本例的解法是建立在对分式方程产生增根原因的深刻理解的基础上，对方程思想的运用，所以对“使公分母为零的未知数的值是方程的增根”这一结论，应有足够的认识。
例2. 设a 、b 、c 、d 都是非零实数，对于x x d c ()≠-的一切值，分式ax b cx d
++的值不变时，求a 、b 、c 、d 应满足的条件，并求出这个分式的值。
分析：设这时分式的值为y ，可得关于x 的一元方程，只需这个方程为0x ＝0型，它对x 的任何值，都是它的解，问题可以获解。
解：设ax b cx d y ++=，则有
ax b cxy dy +=+
()a cy x dy b -=-
此式对x 的一切值都成立时，必须且只需
a cy dy
b -=-=⎧⎨⎩00 由此可得，a
c b
d y ==
即对x 的任何值，分式的值不变时，a 、b 、c 、d 应是成比例的4个值，且分式的值就是分子，分母的一次项系数的比值。
注：有关“对x 的一切值都……”的命题，常归纳为方程0x ＝0的讨论。
例3. 解方程组151425101621x y x y x y x y +-+--=+----=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
分析：方程组中的方程为分式方程，且较复杂，宜先换元，化为整式方程及其方程组，解整式方程组，再代入解分式方程组，从而得到分式方程组的解。
解：设A x y B x y =
+-=--5122，，所以原方程化为：
325231A B A B +=-=-⎧⎨⎩
得：A B ==⎧⎨⎩11
于是有511221x y x y +-=--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
去分母，得：x y x y +-=--=⎧⎨⎩1522
整理，得：x y x y +=-=⎧⎨⎩64
解这个方程组，得：x y ==⎧⎨⎩51
经检验，x y ==⎧⎨⎩51是原方程组的解。
注：换元法可以把较复杂的分式方程（组）暂时转化为整式方程组，而避免复杂的运算，是很好的策略，所以，应善于在必要时，把问题的一部分看作整体而使问题简单化，灵活应用“换元”思想。
例4. 设a 、b 、c 为非零有理数，求式子：
a a
b b
c c ab ab bc bc ca ca abc abc ||||||||||||||++++++的值。
分析：处理含有绝对值记号的式子一般均应通过分类讨论，去绝对值的符号。
由于a 、b 、c 的位置任何调换，都不影响式子的值，所以可以只对a 、b 、c 中有1个、2个或3个正值或没有正值讨论就可以了。
解：（1）设a >0，且b c <<00，，有： 原式
=+-+-+-++-+a a b b c c ab ab bc bc ca ac abc abc =---+-+=-11111111
当b >0，且a c c <<>000，或，且b <0，a <0时，结果相同。
（2）设a b c >><000，，且时，有：
原式
=++-++-+-+-a a b b c c ab ab bc bc ca ca abc abc =+-+---=-11111111
当a c >>00，且b <0或b >0，c >0且a <0时，结果相同。
（3）当a >0，b >0，c >0时，有：
原式=++++++()()1111111
=7
（4）当a <0，b <0，c <0时，有 原式
=-+-+-++++-a a b b c c ab ab bc bc ca ca abc abc =---+++-=-1111111
1
注：本题的解法采用的分类讨论的方法，实际上是对a 、b 、c 这三个非零有理数的正数分布状况作了逻辑划分，即：
三个有理数、、全为正，即，，有且仅有一个为正，，，，，，有且仅有两个为正，，，，，，全为负，即，，a b c a b c a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c >>>><<><<><<⎧⎨⎪⎩⎪>><>><><<⎧⎨⎪⎩⎪<<<⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪000000000000000
000000000
其中，由于a 、b 、c 互换位置时，原式不变。
所以字母的轮换不影响结果，所以只需分四种情况，分别讨论就可以了，这是对结果不唯一常用的处理方法。
例5. 已知1111a b c a b c ++=++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。
分析：“a 、b 、c 至少有两个互为相反数”，可以转化为“a b b c c a
+++，，
中至少有一个为零”，再进一步转化为“证明()()()a b b c c a +++=0成立”，问题转化为证明恒等问题。
解：为了通分方便，先移项，得：
1111a b a b c c +=++- 通分，相加：a b ab
c a b c c a b c +=-++++()() c a b c a b ab a b ()()()+++=-+
()()a b ac bc c ab ++++=20
()[()()]a b c a c b a c ++++=0
则有：()()()a b b c c a +++=0
其中，a b b c c a +++，，中至少有一个是零，于是可知a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。
注：先作“移项”，再作通分，是个技巧性的处理，可以减少运算量，并减少了左边字母的个数，从而简化代数式，应当注意：由于已知中不含有a ＋b 是否为零（若为零本题已无意义）所以得出a b ab
a b c a b c +=+++()时，切不可把a ＋b 约去，因为这时是不能用a ＋b 去除等式两边的。
例6. 求值：
（1）已知：115
x y +=，求2322x xy y x xy y -+++的值。
（2）已知：x y z ：：：：=345，若42310x y z +-=，求x y z ++的值。
（3）已知x y x y 22810410+--+=，求x y y x -的值。
分析：代入求值的问题，若由已知可以求出字母的值，则求出后直接代入，若求不出，或较复杂也可以整体代入，也可通过其他技巧代入。
解：（1）由115x y +=
有x y xy +=5
∴x y xy +=5 ∴232223210352771x xy y x xy y x y xy x y xy xy xy xy xy xy xy -+++=+-++=-+==()()
（2）由x y z ：：：：=345 即x y z 345==，设x y z k 345===，则x k =3，y k z k ==45，。
由已知42310x y z +-=
∴12815102k k k k +-==，∴
∴x y z k k k k ++=++==3451224
（3）∵x y x y x y 2222810410450+--+=-+-=，则()()
∴x y -=-=⎧⎨⎩4050
∴x y ==⎧⎨⎩45 ∴原式
=-=-=-x y y x 4554920 小结：分式一章的学习是在前面对有理数、整式、方程（组）、不等式（组）有了充分研究之后进行的，在分式的研究过程中，同学们要充分应用之前所学到的知识，方法。
这样本章的学习才能落到实处，才能深入、提高。