【K12教育学习资料】高三数学专题复习 中档题满分练(2)理

中档题满分练(二)
1．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2
ωx －3(a ＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.
(1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程； (2)若f (α)＝43，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6的值．
2．(2015·温州模拟)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *
都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”．
(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值；
(2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n
(n ∈N *
)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．
3．(2015·金华模拟)在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE ＝2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上．
(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角E －BC －A 的余弦值．
4．(2015·金华十校联考)已知f (x )的定义域为R ，且当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)的值； (2)证明：f (x )是奇函数；
(3)如果x ＞0时，f (x )＜0，且f (1)＝－12，试求使f (x 2
－2ax －1)≤1对x ∈[2，4]恒成立
的实数a 的取值范围．
中档题满分练(二)
1．解 (1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2
＋3sin(2ωx ＋φ)⎝
⎛
⎭
⎪⎫
其中tan φ＝3a ，
由题意知：f (x )的最小正周期为π，由2π
2ω
＝π，知ω＝1，
由f (x )最大值为2，故a 2
＋3＝2，又a ＞0，∴a ＝1，tan φ＝3，φ＝π3.
∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π
2(k ∈Z )．
故f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π
2
(k ∈Z )．
(2)由f (α)＝43知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝23， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝－1＋2sin 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
＝－19.
2．解 (1) ∵b n ＝3n ，则b n ＋1＝3n ＋3＝b n ＋3， 由“M 类数列”定义，得p ＝1，q ＝3. (2)∵c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *
)， ∴c n ＋1－c n ＝－2n
(n ∈N *
)，
则c 2－c 1＝－2，c 3－c 2＝－4，c 4－c 3＝－8，… ∴c n －c n －1＝－2
n －1
(n ≥2)，
以上式子累加得
c n ＝－(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝1－2n (n ≥2)，
其中c 1＝－1也满足上式． 因此c n ＝1－2n
(n ∈N *
)， 则c n ＋1＝1－2
n ＋1＝2(1－2n
)－1＝2c n －1，
{c n }是“M 类数列”．
3．(1)证明 由题意知，△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，如图所示
，取AC 中点O ，连接BO ，DO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC ，BO 平分∠ABC . 又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么EF ∥DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴∠EBF ＝60°，易求得EF ＝DO ＝3， ∴四边形DEFO 是平行四边形，
∴DE ∥OF ，又DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC . (2)解 建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，
可知平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，E (0，3－1，
3)，∴BC →
＝(－1，－3，0)，BE →
＝(0，－1，3)，设平面BCE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，
z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →
＝0，n 2·BE →
＝0，
可求得n 2＝(－3，3，1)．
所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝13
13
，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 所以二面角E －BC －A 的余弦值为
1313
. 4．(1)解 ∵对任意实数x ，y 有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)， ∴f (0)＝0.
(2)证明 ∵f (x )的定义域为R ， ∴f (x )的定义域关于原点对称．
又令y ＝－x ，则有f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)解 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，x 1＜x 2， ∵x 2＞x 1，∴x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0，
f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )是R 上的减函数．
∵f (1)＝－12，∴f (－1)＝1
2
，∴f (－2)＝1.
∴不等式f (x 2
－2ax －1)≤1即是f (x 2
－2ax －1)≤f (－2)， ∴x 2
－2ax －1≥－2，
即x 2－2ax ＋1≥0对x ∈[2，4]恒成立．
法一 即a ≤x 2＋1
2x
对x ∈[2，4]恒成立．
令g (x )＝x 2＋1
2x
，则由g (x )在x ∈[2，4]上单调递增，
∴g (x )min ＝g (2)＝1＋14＝54，∴a ≤5
4.
法二 令φ(x )＝x 2
－2ax ＋1(x ∈[2，4])， 当a ＜2时，φ(x )在[2，4]上单调递增， φ(x )min ＝φ(2)＝5－4a ≥0，解得a ≤5
4，
故a ≤5
4
满足题意；
当2≤a ≤4时，φ(x )min ＝φ(a )＝1－a 2
≥0， 解得－1≤a ≤1，此时与2≤a ≤4矛盾； 当a ＞4时，φ(x )在[2，4]上单调递减，
φ(x )min ＝φ(4)＝17－8a ≥0，解得a ≤17
8，
此时与a ＞4矛盾． 由上述可知，a ≤5
4.。