6 主应力法汇总
WH6主应力法1
17:48:18
z s 1 R2 r 2 hr
F
R
0
z 2 rdr 0
平面应变时 =1.155
1 x 3 y
y
y x 1.155 s
d x 2 y h dx
x
11
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
代入原式得：
17:48:18
d y
2 y h
d x
2 y h
单位流动应力：
2 rb 2 rb 1 h 1 2 R 1 rb 2 1 h p s { ( )2 [ (1 ) (1 )] ( ) (1 ) ( )2 } 2 r 2 h h 2 R 3h 12 R
30
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
情况2： 0 , d h 2
边界条件：
2 s h
rdr
z h r2 c
2
s
停滞区:
z r h s c
r h
制动区: z
(2
rb h h
1
) s
c (1 2
rb h h
1
) s
停滞区
的应力分布：
z (2
rb h h
1
h r ) 2
b)当 0( 0.5) 时：
rb R h
滑动区和制动区同时消失。
27
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
6) 镦粗变形力计算
F
17:48:18
Z
材料力学求主应力公式
材料力学求主应力公式
主应力公式是材料力学中的重要概念之一，它描述了在材料内部的应力分布情况。
在这篇文章中，我将向您介绍主应力公式的基本概念和应用。
让我们回顾一下应力的定义。
应力是描述材料内部受力状态的物理量，它是单位面积上的力。
在材料力学中，我们通常将应力分为三个方向：正应力、剪应力和法向应力。
主应力是在某一点上材料中沿着三个主应力方向的应力值。
主应力分别用σ1、σ2和σ3表示，其中σ1是最大的主应力，σ3是最小的主应力。
主应力公式可以用来计算主应力的数值。
根据材料力学的原理，我们有以下公式：
σ1 = (σx + σy) / 2 + ((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2)^0.5
σ2 = (σx + σy) / 2 - ((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2)^0.5
σ3 = σz
其中，σx、σy和σz分别是材料中某一点上的三个应力分量，τxy 是剪应力分量。
通过这些公式，我们可以计算出材料内部各个点的主应力值。
这些主应力值对于材料的强度和变形特性有着重要的影响。
在工程设计
和材料选择过程中，了解主应力分布情况对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。
总结一下，主应力公式是材料力学中用来计算材料内部主应力分布的重要工具。
通过计算主应力，我们可以了解材料受力状态的分布情况，并根据这些信息进行工程设计和材料选择。
主应力公式在实际工程中有着广泛的应用，对于确保结构的安全性和可靠性起着重要的作用。
希望通过这篇文章的介绍，您对主应力公式有了更加深入的了解。
主应力法及其应用
截取包括接触面在内的基元体或基元板块，切面上的
正应力假定为主应力，且均匀分布；
3.主应力法（切块法）
§6.3 几种金属流动类型 变形公式的推导
1.平面应变镦粗型的变形力
2.平面应变挤压型的变形力
3.轴对称镦粗型的变形力
4.轴对称挤压型的变形力
1.平面应变镦粗型的变形力
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
F xe
xe 0
y
dx
mKxe h
ye
可推出宽度为b、高度为h的工件平面应变自由镦粗时接 触面上的压应力σy和单位变形力p（均为平均值）
y
2 K [1
m h
(b 2
x)]
p 2K (1 mb) 4h
2.平面应变挤压型的变形力
we
wf
ye 2 Y
3
金属
δ
ye γ 流动
方向
镦粗
σy
方向
τ
σx 金属流动方向
σx+ dx
σye h
设τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）
对基元板（设长dl）列平衡方程
Px xlh ( x d x )lh 2 ldx 0
x τ dx xe σy
d x
2mK h
dx
σy
根据屈服方程及成形镦粗成形条
件，σx<σy
h
σθ
dθ σr
σr+ dr
σr+ dr
σθ
r τ dr re σz
可得高度为h，直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的
主应力计算公式范文
主应力计算公式范文主应力是指在经历外部力作用后，材料内部呈现的最大的平均应力。
在力学中，主应力的计算是通过应力张量及相关公式来确定的。
本文将介绍主应力计算的一般公式和具体计算方法。
主应力计算涉及应力分量的计算和主应力方向的确定。
首先，需要计算出材料内部各个方向上的应力分量。
在材料力学中，应力张量定义为单位面积内的作用力，通常用σ表示。
应力张量是一个二阶张量，包括三个正方向（x、y、z）上的六个分量。
应力张量的分量表示为σxx、σyy、σzz、σxy、σxz、σyz。
其中，σxx表示x方向上的正应力分量，σyy表示y方向上的正应力分量，σzz表示z方向上的正应力分量，σxy表示x和y方向上的剪切应力分量，σxz表示x和z方向上的剪切应力分量，σyz表示y和z方向上的剪切应力分量。
确定各个方向上的应力分量后，可以通过主应力公式计算出主应力的大小和方向。
主应力公式可以表示为：σ1 = (σxx + σyy + σzz) / 2 + sqrt(((σxx - σyy)/2)^2 + ((σyy - σzz)/2)^2 + ((σxx - σzz)/2)^2 + 3(σxy^2 + σxz^2 +σyz^2))/2σ2 = (σxx + σyy + σzz) / 2 - sqrt(((σxx - σyy)/2)^2 + ((σyy - σzz)/2)^2 + ((σxx - σzz)/2)^2 + 3(σxy^2 + σxz^2 +σyz^2))/2σ3 = (σxx + σyy + σzz) / 2其中，σ1、σ2、σ3代表主应力，σxx、σyy、σzz、σxy、σxz、σyz代表应力分量。
主应力公式的计算方法如下：1. 输入材料内各个方向上的应力分量，即σxx、σyy、σzz、σxy、σxz、σyz的数值。
2.按照主应力公式计算出主应力的大小和方向，即σ1、σ2、σ3的数值。
3.根据σ1、σ2、σ3的数值判断主应力的大小关系。
主应力法ppt课件
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
26
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
弯
2
b
Rd 1
r
d r r drhd
r rhd
2 f rdrd
2 hdrsin
d
2
0
整理得: d r 2 f r 0
dr h
r
在均匀变形条件下，圆柱体压缩时产生的径向应变为: d r
dr r
周向应变 :d
2
r
dr
2r
2r
dr r
即: d r d
由应力应变关系式可得: r
整理得到:
对上式微分得: d x dp
整理得: dp 2p 0
dx
h
( x
y )2
4
2 xy
4k 2
d x 2p 0 dx h
5） 积分并确定积分常数
对上式积分得:
2 x
p Ce h
根据应力边界条件定积分常数,当x=b/2时,σx=0,得:
2 b
C 2ke h 2
2 b x
p 2ke h 2
10
2） 列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力 平衡方程为:
Fx x d x lh xlh 2 f ldx 0
f
x
x d x
第六章 主应力法及其应用
当
K
变形力
2 2 (x) c x h
P F y dF l y (x)dx 1a =2kla(1+ ) 4h
4 2 2 1 ( y) c 2 K 2 2 y h
单位流 动压力
p
2 4 2 y2 2 xc2 K 2 代入6 x h h 式得 （7） c 2 x y h
当z=ze时， z 0 ∴ c K1 ln(rb ze tan )
rb z tan z K1 ln( ) ……(7) rb ze tan rb rb 当z=0处， z 即为挤入深 p K ln( ) K1 ln( ……(8) ) 1 rb ze tan re 度为 ze 所需的单位变形力 ∵∴
h
p
x
y 4
2
2 xy
4 2 4K s 3
2
a
2 x y 2 K 2 xy (2)
当y=0时，xy =0 1 xy y h
(3)
得
（2）代入（1）得
2
2
K
2
2 xy
xy
xy
2
xy
第六章 主应力法及其应用
6.1 解析法的求解思路
1、基本假设 （1） 连续的，宏观的 （2） 确定的 描述方程+边界条件 求定解 2、描述方程，基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 屈服准则 边界条件 连续方程 塑性变形体积不变
（1）平衡方程
ij xi 0
i. j x. y.z
第八章 主应力法及其应用
d x
2 dx h
（3）、确定摩擦条件 采用常摩擦条件： s （4）、确定的
x、关系 z
采用平面变形条件下的屈服准则，当取σ3和σ1的绝对值时 ，该式为 2
x z
d x d z
d z 2 s
3
s
（5）、代入得：
P P 1a =2k(1+ ) F la 4h
p
h
x
a
轴对称挤压型的变形力
2 z r tan( )dz r 2 d z 2 rdz 2r u tan( )dz 0
由静力平衡关系 ……(1)
u r tan( )
简化屈服方程
……(2)
2[ (1 tan 2 ) Y tan ] d z dz r
第八章
工程法解析变形问题
主要内容
8.1 解析法的解本思路 8．2 矩形件压缩 8．3 圆柱体镦粗
8.1 解析法的解本思路
工程法是最早应用于塑性加工中计算变形力的一种方法，通常又称为 切块法（Slab method），或主应力法。它是一种近似解析法，通过对物体 应力状态作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性 条件，这些简化和假设如下：
பைடு நூலகம்
z
s
即
z s
d z d
6、联立求解 将（6.7）带入（6.4）、（6.5）得：
d z
s
h
d
积分上两式，相应得：
z
s
h
C
7、计算（6.10）式的定积分常数 当
主应力法
接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
F xe
单位流动压力为： p P 1
xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s
2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
主应力法
C = 2k + 2k
R h
2k σ z = 2k + ( R − r ) h
总压力和平均压力
假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 沿接触面的积分： 沿接触面的积分： R R
P=
2µ ( R−r ) h
∫
0
σ z ⋅ 2π rdr = ∫ σ s e
r z
为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 为单元体边界上的摩擦应力，
的，剩下的未知应力只有两个，即 剩下的未知应力只有两个， 个方向的平衡方程就可以了。 个方向的平衡方程就可以了。
σr 和 σz
只需要建立一
§6.2 直角坐标平面应变问题解析
低摩擦条件下镦粗矩形件时， 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 接触面宽度为b 图所示。由于对称性，仅研 图所示。由于对称性， 究其右半部。 究其右半部。
2µ ( R−r ) h
当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ=k 当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得：dσ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得： 积分后得： 积分后得： σ z = − 2 k 由边界条件可得： 由边界条件可得：
r +C h
z
= −2k
dr h
把k作常量处理 作常量处理
dσ x = dσ y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 ( r , θ , z ) 研究轴对称问题， 根据主应力法的假设， 认为变形是均匀的。 根据主应力法的假设 ， 认为变形是均匀的 。 从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面， 离出来的单元体的界面是圆柱面 ， 在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r 圆柱面 。假想一个半径为r ，高为 z的圆柱体，在变形过程 高为z的圆柱体， 中满足下面的体积不变条件： 中满足下面的体积不变条件：
主应力法全解析
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
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第18章 工程应用本章内容：各种方法的原理及应用本章重点：主应力法，滑移线法，摩擦与边界条件的处理。
18．1 主应力法principal stress method塑性理论：分析变形力——确定变形力, 选设备，设计模具，定工艺精确解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫1663塑性条件应力应变关系几何方程应力平衡方程非常困难甚至无法（共18个未知量）必须简化，近似求解⇒主应力法18．1．1基本原理主应力法（切块法slab method）：基本思路：近似假设应力状态，简化应力平衡方程和塑性条件要点：1) 简化应力状态为平面问题或轴对称问题2) 沿变形体整个截面截取基元体，设正应力与一个坐标无关且均匀分布，摩擦为库伦或常摩擦条件，根据静力平衡，得简化的平衡微分方程3) 列塑性条件时，假定基之接触面上的正应力为主应力（即忽略摩擦力对塑性条件的影响）。
4) 联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求出接触面上的应力分布进而求得变形力。
注意：准确程度与假设是否接近实际有关。
18．1. 2 轴对称镦粗变形特点及变形力计算18.1.2.1 镦粗upsetting 变形特点无摩擦：均匀变形有摩擦：鼓形，双鼓形——不均匀镦粗inhomogeneous upsetting 变形分区：Ⅰ区：难变形区 Ⅱ区：大变形区 Ⅲ区：小变形区端面：滑动区，粘着区结论：镦粗是一个非稳定的塑性流动过程18.1.2.2 圆柱体镦粗时变形力计算 求接触面上的应力分布，主要步骤： 1) 截取基元 注意条件：轴对称问题，有：0==z θθρττ θσ为主应力θρσσ=2) 列径向静力平衡方程()()2sin2+++-θσθσσθσθd hdr d dr r h d hrd r r r简化为：02=-++hdr dr hdr hrd r r θστσσ圆柱体镦粗：dr d h r r τθσσσ2-==3) 引入塑性条件 设z σ为主应力 S z =-γσσ0=-⇒γσσd d zγτσd hd z 2-=∴4）设定摩擦条件 假设z μστ=rz z h cedr h z d μσμσσ22-=⇒-=∴5） 引入边界条件求积分常数 2D r =时0=r σ 此时S z =σ得C=hDSeμ()⎪⎩⎪⎨⎧===∴--r z r z Dh u Dh SeSe2222)(μμστσμ 上式即解得应力分布 但上式解存在问题，问题在τ的处理，因为τ≤S 5.0max =τ解决方法：重新设定摩擦条件 实验表明：ab 段：z μστ= 滑动区bc 段：S 5.0=τ 制动区co 段：S h r c S 22≈=γγτ停滞区将上式分别代入γστd d hz 2-=几个特殊点：b 点：b 点处有S b 21=τ 又有：()b z b u στ=ab段代入：()b dz hu se γσ-=22可求b γ 即：u u h dn b 222ιγ+=而对于bc 段（制动区），c hsz +-=γσ在处有b γs u z 5.0=σ 可求出()zb h u usC σγ及+=121 C点：CO段停滞区2222c s h z +-=γσ在处h c ==γγ，C 点z σ应相等可求C 2()[]()2222212γσγ-++=-h hs u s h h u z b18.1.2.3 讨论0<u <0.5 )1(2ψ+>h d三区并存 0<u <0.5 2≤h d≤)1(2ψ+制动区消失u >0 h d≤2 只有停滞区u ≤0.5 n d＞2 停滞区+制动区18.1.2.4 锻粗变形力计算 F=dA z σ⎰⎰ 单位流动压力：A F =ρ将前已计算出的z σ分别积分即求得常摩擦时：us =τγσd husd z 2-= ()[]γσ-+=221d h u z s ()huds p 31+=热锻中按最大摩擦条件s 5.0=τ（全部为制动区）()hd z s γσ-+=5.01()h d s p 611+=18.1.2.5 镦粗时变形功deformation work （选设备用）W=-⎰01h h Fdh=⎰-PAdh h h 01W=⎰1h h p v dh hv =⎰10h h ∈=m v hdh p ρ 注意：变形时单位流动压力与坯料体积及打击速度有关习题 18章 318.1.3 开式模锻drop-forging变形特点及变形力计算18.1.3.1 变形特点定义：利用模具die迫使金属坯料产生塑性变性并充满锻模型腔的一种塑性加工方法过程：1) 镦粗阶段2) 充满模镗阶段3) 上下模闭合阶段（打靠）飞边槽作用：1) 形成阻力2) 容纳多余金属18.1.3.2 变形力计算上下模闭合时需要力最大，所以计算此时的力以圆盘类锻件为例：可分为三个部分⎪⎩⎪⎨⎧飞边仓部飞边桥部锻件主体18.1.3.3 飞边仓部受力分析作用：阻止桥部金属向外流动受力模型：厚壁筒thick-walled barrel 受内压作用1) 取单元体 2) 列静力平衡方程()()0sin 2=⋅⋅-∂+++θγσγθσθγγσσγθγγd d d d d d22sin θθd d ≈()0=++∴γσσγσθγγγd d d即0=++γσσγσθγγd d 3) 屈服准则 ()s βσσγθ=--代入上式γγβσd r sd -=热模锻S 为常数，应力状态为平面应力1.1=βcr s r ln 1.1-=∴σ4) 边界条件21D =γ 处0=γσC=12D∴γσ21ln 1.1D r S =∴仓桥交界处()b D+=2γγγισ211.1D ns =锻模设计常识：一般b D D 21+≤1.6在b D+=2γ处，S S 5.06.1ln 15.1=≈γσ18.1.3.4 飞边桥部变形力计算 受力模型：轴对称镦粗 1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd hd 2-=热模锻用最大摩擦条件s 5.0=τγσγd hsd -=∴C hs+-=∴γσγ3) 边界条件：b D +=2γ s 5.0=γσ()hbD s C ++=∴25.0()5.0222+=∴-+hb D sγγσ4) 屈服准则（近似） s z =-γσσ()[]γσ-++=∴b s Dh z 215.1F b =⎰⎰+=22DD z bdA σγπγσd z ∂⋅()()bD b D h b b D b sb F +++⋅++=3225.1π()b D b Fb Ab Fb p b +==π模锻件D>>b 再简化132≈++b D b D()h b b s p 25.1+=∴18.1.3.5 锻件本体变形力受力模型（简化）：圆盘镦粗D φ h 0=2h (透镜状镦粗)1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd h d o2-=最大摩擦条件 s 5.0=τc hos +-=∴γσγ3) 边界条件 2D =γ ()5.0222+=-+hr b D s γσ 可求出C()oh D hbs 225.0γγσ-++=∴4) 屈服准则（近似）s z =-γσσ （h 0=2h ）()hD hbz s 425.1γσ-++=∴⎰=∴01224D d D p π()h D h b S 425.1γ-++ =()h Dh b S 125.1++结论：模锻力F=dd b b A p A p +=()()Ad S A S h Dh b b h b 1225.15.1++++=()[]h Dh b Ad Ab h b S D 12225.15.14++++π习题 18章 218.1.4 板料弯曲定义：把平板、型材（管材）弯成一定曲率（角度）的塑性成形工序应用：模具弯、折弯、滚弯、拉弯18.1.4.1 线性弹塑性弯曲 18.1.4.2 弹性弯曲弯矩小⇒弹性变形（弯曲角度小，曲率半径大） 外区受拉内区受压⇒交界处受力为0且位于板厚中间2t+==γρρσε 且应变公式为：()εεεεθρρραρεyy =∂∂-+=（ερ应变中性层曲率半径，y 到中性层距离，弯曲角度） 而弹变时0==z σσρ3ρθθεσEyE ==∴18.1.4.3 弹塑性弯曲弯矩↑⇒角度↑⇒曲率半径↓γ。
当maxθσ≥sσ，板料内外表层进入塑性状态且不断向里扩展，而又由于加工硬化，使周向应力高于初始屈服应力，中性层附近仍处于弹性状态。
18.1.4.4 纯塑性弯曲当弹性变形区很小，可以忽略不计时则可认为变形均处于塑性状态。
18.1.4.5 三维塑性弯曲时的应力应变状态弯曲时⎩⎨⎧⇒三维弯曲刚端牵制塑性流动宽周经,,,,Bθρ18.1.4.6 应变状态周向应变θε：绝对值最大主应变 (BA ≤3)窄板时：刚端牵制作用较弱， B εερ,均存在（BA>3）宽板时：刚端牵制0=B ε， ρε存在18.1.4.7 应力状态θσ：外区θσ>0，内区θσ<0ρσ：内外表面ρσ=0，中性层最大B σ：（B/T ≤3）窄板，宽度方向可自由变形无约束，0=B σ ()2θρσσσ+=∴B窄板：B εεερθ,, ()平面应力0,=B σσσρθ 宽板：(),,,,0B B σσσεεεθρρθ= 平面应变18.1.4.8 宽板弯曲时应力分布（平面应变） 18.1.4.9 无硬化 1）取基元体2）列力平衡条件 ()()0sin22=-++-θθρρρρσθρρσσθρσd d d d d d简化得：()ρρσσσθρρd d +-=3）屈服准则()s s βσσσβσσσθρρθ=+⇒=--ρρρβσσd sd -=∴c c +-=+-=ρρβσρln 155.1ln4）边界条件0r =ρ0ln 155.10r c s σσρ-=⇒=()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=∴00ln 2121155.1ln 1155.1ln 155.10r s z r s s r ρρθρσσσσρσσ18.1.4.10 有硬化 S=3ρρισσnS s D D +∈=+初始屈服应力 外区 S=ερρισn S D +内区S=εερρρρισισns ns D D -=+代入()ρρισβσερρρρρd D s d n s d +-=-=155.1()[]c Dns n+-⨯-=∴ρισισερρρ155.1155.122边界条件：R =ρ 0=ρσC=()[]22155.1155.1ερσιισRnn s D R +()[]εερρρρριιισσ222155.1n R n D Rn s -+=再由屈服准则求θσ，由平面变形主应力关系求B σ18.1.4.11 中性层内移由于 外区ρθσβσσ-=s （拉）ρσ影响内区ρθσβσσ+=s （压）⇒>外内θθσσ 为了平衡，中性层向曲率中心方移动（内移）计算1）应力中性层上ρσ应相等。