特殊值解题-高中数学破题之道专题7
高考数学复习点拨 巧选特殊值快解选择题
巧选特殊值快解选择题数学选择题的解法一般分为直接法和间接法两种，特殊值法是间接法的一种，因它具有快捷、简便、准确率高等特点，在解选择题时应用较多，下面我们就看一下它在解对数函数选择题中的应用.一、求函数定义域问题例2 函数 的定义域为（ ）.A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]解析：此题若采用直求法需解不等式组 ，运算量较大，何况，以我们现有的知识还不能解，通过分析选择支，我们使用特殊值法：令2±=x ，代入函数解析式，函数没意义，排除B 、C 、D ，故选A.评注：特殊值法应用时往往结合排除法，选择题的选择支中往往蕴涵着解题信息，特殊值往往通过分析选择支后选定，因此，同学们在做选择题时，要养成分析选择支的好习惯.二、求字母变量的取值范围问题例1 若 ，则a 的取值范围是（ ）.A ．B ．C ．D ．解析：此题若直求需讨论a ，比较麻烦，下面用特殊值法解之.根据对数函数值同正异负（即底数和真数同在），或（，∞+1)10(上时函数值为正，否则为负）的特点，通过分析选择支，分别取a =2和a = ，结果都不适合 ，排除A 、B 、D ，选C.三、比较大小问题例3 已知 ，则a 、b 的关系是（ ）. A ．1＜b ＜a B ．1＜a ＜b C ．0＜a ＜b ＜1 D ．0＜b ＜a ＜1),21(+∞),1(+∞)1,21()21,0(011log 22<++a a a41011log 22<++aaa⎩⎨⎧≠-+->-+-13403422x x x x )34(log 1)(22-+-=x x x f 031log 31log >>b a解析：本题是比较底数大小的问题，直求倒也不难，但用特殊值法就更简单了.通过分析我们发现a 、b 都是小于1的数，令 ，代入不等式，适合（若不适合就选C ），选D.四、求函数解析式问题例4 已知()x f 为偶函数，且当0>x 时，())lg(2x x x f +=，则当0<x 时，()x f 等于（ ）.A ．)lg(2x x +B ．)lg(2x x -C ．)lg(2x x +-D ．)lg(2x x --解析：选用特殊值1-=x ，∵()x f 为偶函数，∴()()2lg 11==-f f ，将1-=x 代入选择支中的解析式，只有B 符合，选B.五、解对数不等式（组）问题例5 不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为（ ）.A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(解析：将2=x 代入，适合不等式组，排除A 、B 、D ，选C.六、函数图象有关问题例6 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）.解析：通过观察图象我们会发现x 的特殊值不能选1，我们选 和2，利用对数恒等式)0(ln >=x x e x ，我们可得相应的y 值为 和1，大致符合的只有D ，故选D.例7 下图是对数函数①x y a log =，②x y b log =，③x y c log =，④x y d log =在同④y91,31==b aAB2123一坐标系中的的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）.A ． b ＜a ＜1＜d ＜cB ．a ＜b ＜1＜c ＜dC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c解析：令1=y ，则四个函数的自变量值分别变成a 、bc 、d ，如果作出直线1=y 从左到右依次是b 、a 、d 、c ，显然b ＜a ＜1＜d ＜c ，故选A. 七、抽象函数问题例8若对任意正数x 、y 总有f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），则下列各式中错误的是（ ）. A ．f （1）＝0 B ．f （ ）＝ f （x ） C ．f （ ）＝ f （x ）－f （y ） D ．f （x n ）＝n f （x ）（n ∈N ）解析：这是一个抽象函数问题，根据题干对此函数性质的描述，我们可设它为：()10log ≠>=a a x y a 且，从而易得B 是错误的，所以选B.由上面的例题大家可以看出特殊值法的确是解选择题的一个好方法，本文是以对数函数为例来阐述的，大家可尝试着用此法解决其它数学选择题.另外，利用特殊值法要注意以下三点：1、由例8可以看出特殊值法并不局限于取特殊值，还可以取特殊函数，当然有的时候还可以取特殊点、特殊图形等，这些请大家在以后的学习中自己去发现；2、特殊值要在充分了解题目信息的基础上选择，只有选的准、选的巧，才能收到事半功倍的效果；3、利用特殊值法就是为了快速解选择题，选特殊值一般不要超过两个，否则此法就没有利用的价值了.x1yx。
巧借特殊值法,妙解高考真题
２０２３年８月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀巧借特殊值法,妙解高考真题◉张家港高级中学㊀黄㊀轶㊀㊀摘要:巧妙利用特殊值法,借助特殊值的选取,有时可以更加简捷地求解客观题．本文中结合２０２２年高考真题,剖析特殊值法的巧妙应用,总结特殊值法的解题技巧与规律．关键词:高考;特殊值;客观题;函数;三角;不等式㊀㊀特殊值法破解数学客观题,有其特殊的优势与美妙的体验,它是数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验等 四基 落实并上升到一定高度的特殊 产物 ,是特殊与一般思维的升华．特别在解决一些函数或方程㊁数列㊁三角函数或不等式等的选择题时,利用特殊值法,解题过程简洁明了,很好地提升解题速度与解题效益．下面结合２０２２年高考数学真题中一些客观题特殊值法的合理选用与巧妙应用加以剖析．１巧判函数图象例１㊀(２０２２年高考数学全国甲卷理科 ５)函数y ＝(３x －３－x)c o s x 在区间－π２,π２éëêêùûúú的图象大致为(㊀㊀)．A．㊀㊀B ．C ．D．分析:解决此类题的常用思维就是先根据函数的解析式判定函数的奇偶性,再借助特殊值的选取合理排除错误的选项．而此题两次利用函数特殊值的选取,即可将不满足函数值取值情况的图象完美地排除,实现巧妙判定函数图象的目的．解析:选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝(３１－３－１)c o s １＞０,由此排除选项C ,D ;再选取特殊值x ＝－１,得f (－１)＝(３－１－３１) c o s (－１)＜０,由此排除选项B ．故选择答案:A ．点评:巧妙选取特殊值来判断函数或方程所对应的函数图象问题,将特殊值所对应的函数值情况与点的位置特征加以联系与对比,排除不合理的图象选项．对于单选题,在利用特殊值法巧判函数或方程所对应的函数图象问题时,经常要多次利用特殊值的巧妙选取来合理排除,直到剩下最后一个正确答案为止．２判定函数关系式例２㊀(２０２２年高考数学北京卷 ４)已知函数f (x )＝１１＋２x,则对任意实数x ,有(㊀㊀)．A．f (－x )＋f (x )＝０㊀B ．f (－x )－f (x )＝０C ．f (－x )＋f (x )＝１D．f (－x )－f (x )＝１３分析:解决此类题的常用思维就是利用题设给出的函数关系式,结合选项中对应函数关系式代入,通过指数运算与变形来转化与验证,进而得以正确判定．而此题选取特殊值加以验证即可正确判定,从而减少数学运算量,这也是一种不错的技巧方法．解析:由函数f (x )＝１１＋２x,选取特殊值x ＝０,可得f (０)＝１１＋２０＝１２,代入各选项中进行验证,选项B ,C 成立;又选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝１１＋２１＝１３,f (－１)＝１１＋２－１＝２３,只有选项C 成立．故选择答案:C ．点评:在判定一些复杂函数关系式的成立问题时,为避免复杂的逻辑推理与繁杂的数学运算,经常借助一些特殊值的选取,代入函数关系式加以化简与求值,可以很好地优化解题过程,同时对于函数关系式的判定更加直接㊁有效．３４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年８月上半月㊀㊀㊀３求解相应函数值例３㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 ６)角α,β满足s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β,则(㊀㊀)．A．t a n (α＋β)＝１B ．t a n (α＋β)＝－１C ．t a n (α－β)＝１D．t a n (α－β)＝－１分析:解决此类题的常用思维就是利用三角恒等变换公式对题设的三角函数方程加以变形与转化,进而结合化简的结果来分析与求解对应的三角函数值问题．而此题结合两次特殊值的选取,即可合理排除不满足条件的选取,简化公式变形与推理过程,优化数学运算．解析:s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β．①选取特殊值β＝０,代入①式,得s i n α＋c o s α＝０,即t a n α＝－１;再将β＝０分别代入四个选项,由此可以排除选项A ,C ．选取特殊值α＝０,代入①式,可得s i n β－c o s β＝０,即t a n β＝１;再将α＝０分别代入四个选项进行验证,由此可以排除选项B ．故选择答案:D ．点评:这里很好地通过三角函数关系式中角的变化以及对应选项中的三角函数值不变的特征,利用两次特殊值的选取,结合选项中的三角函数值进行排除．借助特殊值法处理相关数学问题时,有时一次特殊值的选取不能直接达到目的,可以进行第二次特殊值的选取,直至剩下最后一个选项为止．４确定参数取值范围例４㊀(２０２２年高考数学浙江卷 ９)已知a ,b ɪR ,若对任意x ɪR ,a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,则(㊀㊀)．A．a ɤ１,b ȡ３B ．a ɤ１,b ɤ３C ．a ȡ１,b ȡ３D．a ȡ１,b ɤ３分析:解决此类题的常用思维就是绝对值不等式的函数图象化处理思维㊁参数的分类讨论思维等,过程复杂,讨论繁多．而此题利用特殊值的选取,代入题设的绝对值不等式加以化简,利用含参不等式恒成立的条件确定参数的取值情况,结合各选项中的参数取值范围即可验证与确定．解析:选取特殊值x ＝４,由a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,可得a |４－b |－３ȡ０．显然a ʂ０且b ʂ４,观察各选项可知,只有a ȡ１,b ɤ３符合这个结论．故选择答案:D ．点评:借助含参绝对值不等式中特殊值的选取,简化不等式,减少变量,借助不等式恒成立等相关知识确定相关参数的取值情况,再结合选项合理验证．在具体借助特殊值法确定参数取值范围的问题时,经常不能直接得到对应参数的取值范围,而是借助选项中参数不同取值范围加以验证与判断,合理排除,巧妙确定．５判断不等式成立例５㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 １２)(多选题)对任意x ,y ,x ２＋y ２－x y ＝１,则(㊀㊀)．A．x ＋y ɤ１B ．x ＋y ȡ－２C ．x ２＋y ２ɤ２D．x ２＋y ２ȡ１分析:解决此类题的常用思维就是不等式思维㊁配方思维或换元思维等,利用条件中的二元方程,结合基本不等式㊁完全平方公式或三角换元等方法来处理,解题过程较为繁琐．而此题利用特殊值法,根据满足二元方程条件下的特殊值的两次合理选取,即可正确排除对应的选项来达到正确判断的目的,简单快捷．解析:选取特殊值x ＝y ＝１,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ＋y ＝２ɤ１不成立,故选项A 错误;再选取特殊值x ＝－y ＝３３,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ２＋y ２＝２３ȡ１不成立,故选项D 错误;根据多选题 至少有两个选项是正确 的特征,故选择答案:B C ．点评:利用特殊值法破解一些数学的综合与创新问题时,有一定的 秒杀 效果,但要注意一般 可遇而不可求 ,不具有可推广性与普及性．如果一定要花大量时间去配凑特殊值,往往得不偿失．这里借助二元方程的结构特征,可以快速选取相应的特殊值来验证,综合多选题的特征,当确定其中两个选项为错误时,则另外两个选项肯定是正确答案．巧借特殊值法,可以在很大程度上简化繁杂的逻辑推理过程与复杂的数学运算过程,但也不能盲目任意选取特殊值,要吻合数学问题中特殊与一般思维之间的联系与转化,才能达到正确使用特殊值法的目的．巧妙借助特殊值法,能很好降低知识复杂层次,弱化基础知识难度,强化数学思想方法,优化数学解题过程,提升数学解题效益,节省宝贵考试时间,真正达到小题小做 小题巧做 小题快做 等良好解题效益．Z４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考解题特值法(浙江)
浙江高考“压轴小题”的“解题秘籍”------特值法1 一次让人惊喜的解题。
例1（2012年浙江理科第17题）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1][1)0a x x ax ----≥，则a =_________。
巧解：令1x =得到：(2)()0a a --≥，即02a ≤≤，再令2x =得到：[2(1)1](32)0a a ---≥，即2(32)0a -≤，得到32a =。
评注：这是2012年浙江数学高考理科填空题的最后一题，也就是我们说的“压轴小题”，先代了一个1x =，虽没有结果，但是参数a 范围大大缩小了，紧接着又代了一个2x =，答案竟然出来了。
这次让人惊喜的解题过程让我有了一个想法，是不是在浙江高考中还有这样的题目呢？不研究不知道，一研究吓一跳。
浙江最近几年大家普遍认为是难题的“压轴小题”，几乎都可以用特殊值来做。
笔者收集整理为下面几种典型情况，以飧读者。
2 特值法非常强大。
1.1 巧代特殊数字解决带参（包括多个参数问题）难题。
例 2 （2011年浙江理科第10题）设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0 B ．|S |＝1且|T |＝1 C ．|S |＝2且|T |＝2 D ．|S |＝2且|T |＝3 巧解：令1a b c ===时，2()(1)(1)0f x xx x =+++=所以1x =-，2()(1)(1)g x x x x =+++，所以1x =-，故B 可能。
令0,1,2a b c ===时，2()(2)0f x x x x =++=所以0x =，2()210g x x x =++=，无解，故A 可能。
巧借特殊值，妙解客观题——2020年高考数学
３０° ３０° ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
（ ） （ ） ６０° ６０°
６０° ６０°
Ｃ．３狀 ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀 Ｄ．６狀 ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
分析：由于π的近似值是比较熟悉的，通过选取特
４２ Copyrigh高t©中博看网 . All Rights Reserved.
术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数狀 充
分大时，计算单位圆的内接正６狀边形的周长和外切正
６狀 边形（各边均与圆相切的正６狀 边形）的周长，将它
们的算术平均数作为２π的近似值．按照阿尔·卡西的
方法，π的近似值的表达式是（ ）．
（ ） （ ） Ａ．３狀
３０° ３０° ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
Ｂ．６狀
二、开放探究问题
例２ （２０２０年高考数学北京卷第１４题）若函数
犳（狓）＝ｓｉｎ（狓＋φ）＋ｃｏｓ狓 的最大值为２，则常数φ 的
一个取值为
．
分析：直接利用题目条件选取比较熟知的特殊值
φ＝
π，代 入 ２
三
角函
数关
系
式，利 用
诱
导
公式
加
以
转
化，得 到 相 应 的 三 角 函 数 解 析 式 满 足 条 件，从 而 即 为
与判断．
四、学科融合问题
例４ （２０２０年高考数学全国卷 Ⅱ 理科第１２题）０
－１周 期 序 列 在 通 信 技 术 中 有 着 重 要 应 用．若 序 列
犪１犪２…犪狀… 满足犪犻 ∈ ｛０，１｝（犻＝１，２，…），且存在正整 数犿，使得犪犻＋犿 ＝犪犻（犻＝１，２，…）成立，则称其为０－１ 周期序列，并称满足犪犻＋犿 ＝犪犻（犻＝１，２，…）的最小正整 数 犿 为这个序列的周期．对于周期为 犿 的０－１序列
利用特殊值解高考题
解
（ 估算 鉴 别法 ） ２ ４ ６ １ ，８ 由 ＋ ＋ — ２４ —
① ② ③
２ ×６ ｛ 为递增等差数 ， ｏ 一２ 故选 Ｂ ×４ ，“ ） 知 ｒ ， ．
例 ２ 极坐标方程 Ｐ ｓ （＋÷ ） 一２ｉ ｎ 的图
‘
ｔ
（ ） 一 Ｐ： Ｐ Ｌ （ Ｐ３ Ｐ２ Ｐ Ａ 尸３ ＞ Ｒ） ＞ 一 （ Ｐ３ Ｐ： Ｐ ｆ Ｐｊ Ｐ２ Ｐｌ Ｃ） ＞ ＞ Ｌ Ｄ） — 一
（ ） Ａ １ （ ２ Ｂ） （ ４ Ｃ） （ ６ Ｄ）
一
＿ ｓ ７ 。６ 厂 ｉ ５ ， 一 ｎ
选 Ｃ．
例 ４ 一 问民房 的屋顶 有 如 图三 种不 同
的盖法 ： ①单向倾斜 ； ＠双 向倾斜 ； 四向倾 ③
斜 ． 三种 盖法 屋顶 面积 分别 为 Ｐ ， Ｐ 记 Ｐ ， 。 若 屋 顶 斜 面 与 水 平 面 所 成 的 角 都 是 ．
形是 （
） ．
解 １ （ 取特值法） 巧 当 一 ０是 三 种 不 。
同 的房 盖 均变成 平 房盖 ， 一问 民房 的房 盖 同
面 积 全 部 相 同 ， 选 Ｄ． 故
（ Ａ） （ Ｂ） （ Ｃ） （ ） Ｄ
解 ２ （ 影 法 ） 平 行 于 水 平 的 截 面 面 投 设 积为 Ｓ 由面积射 影定 理公 式 ： Ｐ 一 ． Ｐ —Ｐ 一
老 师 留 的 几 何 题 就 比 较 难 ｒ， 常 几 天 解 决 常
：ｒ
一
心性 质给 出一个 比老 师公布 的解答 还 简捷 的 方法 ， 我第 一次感 到几 何学 的还有 点眉 目， 从 此 我对 几 何 的学 习兴 趣 倍增 ， 每次都 想将 老 师 留的 思 考题 寻求 最 简单 的方 法解 出来 ， 绐 老 师一 个惊 喜． 后来老 师又 留了一 些题 目， 一 其
高考数学专题突破：数学方法(特殊解法)
高考数学专题突破：数学方法（特殊解法）一．知识探究：1．换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量X围的选取，一定要使新变量X围对应于原变量的取值X围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
2．待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
高考数学复习第二部分高考22题各个击破专题七解析几何7.3.2圆锥曲线中的最值范围证明问题文市赛课公
4
2
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-13-
(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),
3
∵e= 2 ,
∴a =4b ,c =3b ,联立
2
2
2
2
= (-),
2
4 2
+
2
2
= 1,
得(1+4k2)x2-8ck 2x+4c 2k2-4b2=0,Δ>0,
(2)求|PA|·|PQ|最大值.
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难点突破 (1)由 A - ,
2 4
1
1
3
2
2
2
,P(x,y)⇒kAP=x- ,由- <x< 易得所求范围;
(2)以AP斜率k为自变量,表示出|PA|,联立直线AP与BQ方程用k表
示出点Q横坐标,从而用k表示出|PQ|,得到|PA|·|PQ|是关于k函数,用
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圆锥曲线中证实问题
解题策略 转化法 2 2
例4已知A是椭圆E: 4 + 3 =1左顶点,斜率为k(k>0)直线交E于A,M
两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证实: 3 <k<2.
π
⇒AM方
4
难点突破 (1)A是椭圆左顶点及MA⊥NA⇒AM倾斜角为
7.3.2 圆锥曲线中最值、范围、证实问题
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解题策略
圆锥曲线中最值问题
函数最值法
1 1
例 1(2017 浙江,21)如图,已知抛物线 x 2=y,点 A - ,
特殊点法-高中数学破题之道专题1
特殊点法-高中数学破题之道数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一【典例示范】[例1］如图所示，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =， P 为边AB 的中点，现将DAP ∆绕直线DP 翻转至'DA P ∆处，若M 为线段'A C 的中点，则异面直线BM 与'PA 所成角的正切值为（ ）A. 12B. 2C. 14D. 4 【分析】本题是选择题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，题中并没有支出'DA P ∆在几何图形的位置关系，我们就把A 与A '看作重合即可【解析】找点----A 与A '重合，即如图所示D CP B A(A /)PBM ∠即为所求角因为,M P 为中点所以MP AB ⊥所以1tan 2PM PBM PB ∠== 故答案选A【例2】将集合{22|0,,}t s s t s t Z +≤<∈且中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为__________．【答案】1040【强化训练】1．如图把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |+|P 2F |+……+|P 7F |=_______.2．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且A 1P =CQ ，则四棱锥B 1—A 1PQC 1的体积与多面体ABC —PB 1Q 的体积比值为.【解析】找“点”——动点P 、Q 的极限点.如图所示，令A 1P = CQ = 0. 即动点P 与A 1重合，动点Q 与C 重合.则多面体蜕变为四棱锥C —AA 1B 1B ，四棱锥蜕化为三棱锥C —A 1B 1C 1 . 显然311 1 1 —=C B A C V V 棱柱.∴1 1 1 —C B A C V ∶B B AA C V 1 1 —=21 于是奇兵天降——答案为21. 3.已知向量OA ， OB ，满足1OA =， 2OB =， 3AOB π∠=， M 为OAB ∆内一点（包括边界），OM xOA yOB =+，若1OM BA ⋅≤-，则以下结论一定成立的是（ ）A. 2223x y ≤+≤B. 12x y ≤C. 13x y -≤-D. 213x y ≤+≤ 【答案】B【 方法点睛】本题主要考查平面向量数量积以及平面向量基本定理、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.4.．梯形ABCD 中//AB CD ，对角线,AC BD 交于1P ，过1P 作AB 的平行线交BC 于点1Q ， 1AQ 交 BD 于2P ，过2P 作AB 的平行线交BC 于点2,.Q ，若,AB a CD b ==，则n n P Q =______(用,,a b n 表示) 【答案】,*ab n N a nb∈+, 【解析】由题意得1111111111111111,11PQ BQ PQ CQ PQ PQ PQ PQ ab PQ CD BC AB BC CD AB b a a b==⇒+=⇒+=⇒=+ 22222122222222222111111,112P Q BQ P Q Q Q P Q P Q P Q P Q ab P Q ab PQ BQ AB BQ PQ AB a a b a b==⇒+=⇒+=⇒=++ 类推可得n n ab P Q a nb =+ 5．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为_______.【答案】194.考点：数列的运用.【思路点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1q =或1q ≠等.6．在直角梯形ABCD 中， ,//,1,2AB AD DC AB AD DC AB ⊥===， ,E F 分别为,AB BC 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示).若AP ED AF λμ=+，则λμ+的值是__________．【答案】4【解析】7．在锐角ABC ∆中， 1tan 2A =， D 为边BC 上的点， ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4，过D 做DE AB ⊥于E ， DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=__________． 【答案】1615- 【解析】1tan cos2A A A =⇒== 因为DE AB ⊥， DF AC ⊥，所以D,E,A,F 四点共圆，即 ()2cos |DE DF DE DF A DE DF ⋅=⋅-=-⋅ 1112,4,sin 24222DE AB DF AC AB AC A ===+3232121DE DFAB AC∴===因此1615DE DF<⋅=-点睛：(1)向量数量积为一个实数,将向量数量积与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.8．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D-中，点E是棱1CC上的一个动点，平面1BED交棱1AA于点F．给出下列命题：①存在点E，使得1AC//平面1BED F；②对于任意的点E，平面11AC D⊥平面1BED F；③存在点E，使得1B D⊥平面1BED F；④对于任意的点E，四棱锥11B BED F-的体积均不变.其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）.【答案】②④【解析】①E为棱1CC上的中点时，此时F也为棱1AA上的中点，此时11AC EF；满足1AC//平面1BED F，∴①正确．②1B D ⊆平面1BED F ，∴不可能存在点E ，使得11B D BED F ⊥平面 ，∴②错误． ③连结1D B ， 则1D B ⊥平面11AC D ，而1B D ⊆平面1BED F ，∴平面11AC D ⊥平面1BED F ，成立，∴③正确．④四棱锥B 1-BED 1F 的体积等于1111D BB F D B BF V V --+， 设正方体的棱长为1，∵无论E F ，在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯＝ 为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变．三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯＝为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变． ∴三棱锥11D BB E -和三棱锥11D BB F -体积为定值，即四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D B BF V V --+ 为定值，∴④正确． 故答案为：①③④9．在长方体1111ABCD A BC D -中， 11,2AB BC AA ===，点,E F 分别为1,CD DD 的中点，点G 在棱1AA 上，若//CG 平面AEF ，则四棱锥G ABCD -的外接球的体积为__________．10．正方体1111ABCD A BC D -中， ,,M N Q 分别是棱1111,,C D A D BC 的中点，点P 在对角线1BD 上，给出以下命题：①当P 在线段1BD 上运动时，恒有//MN 平面APC ； ②当P 在线段1BD 上运动时，恒有1AB 平面BPC ；③过点P 且与直线1AB 和11AC 所成的角都为060的直线有且只有3条. 其中正确命题为__________．【答案】②③。
数学高分必备：妙用特值探路法解答选择题、填空题
数学高分必备：妙用特值探路法解答选择题、填空题特值探路法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊模型等对选择题各选项进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判断选项正确与否的方法．【技巧总结】破解此类求参数的取值范围题目的关键：一是“取值”，特殊值的选取一般通过观察选项来选取，注意既要典型，能定性说明问题，又要简单，便于推理运算；二是“检验”，即把所选取的特殊数值代入题设条件中去检验，若适合，就选取，否则，排除相应的选项，从而得出正确的选项．【技巧总结】破解根据已知函数的解析式判断其图象的题目常需“取特殊点”，即从函数的解析式入手，求其图象所经过的特殊点，从而对选项中不满足题意的图象进行排除，得出正确的选项．【技巧总结】破解此类新定义函数题目的关键：一是“取特殊函数”，即认真审读新定义函数的内涵，利用初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）来选取，常常可从特殊函数中提取有效信息；二是“检验”，即检验所选取的特殊函数是否满足题设条件，从而得出正确的选项．【技巧总结】破解此类三角题目的关键：一是“取特殊角”，即特取满足题干的角，常取特殊角，使得三角函数的值易求；二是“代入验证”，即将所特取的角代入题干中进行验证，对不满足的选项进行排除，从而得出正确的选项．【技巧总结】破解此类数列与不等式交汇题目的关键：一是“取特殊数列”，即特取满足题干的数列，如遇等差数列常特取an=n,遇等比数列常特取an=2n等；二是“代入验证”，对所特取的数列求其指定项的值，并代入选项中进行验证，即可得出正确的选项．利用特殊数列探求其中存在的规律，为“直奔”问题解答找到一条蹊径．【技巧总结】破解空间几何体的截面图题目的关键：一是“取特殊位置”，即通过观察空间体的结构特征、联系其背景来选取特殊位置；二是“用公理”，即利用公理2及其推论，判断截取的图形是否共面，并注意图形可能出现的各种情形．此类题目需要空间想象能力，若能掌握特殊位置法，解决问题就能事半功倍.【技巧总结】破解空间几何体的表面积与体积（判断空间线、面平行与垂直关系）题目的关键：一是“取特殊模型”，即通过构造长方体或正方体的模型，把难以想象的空间几何体（空间线、面）放置其中去研究；二是“用公式（用定理）”，即利用柱体、锥体的表面积与体积公式（空间线、面平行与垂直的判定定理、性质定理）求其表面积与体积（判断空间线、面平行与垂直关系）．特值探路法是特殊化思想在解题中的体现,合理运用特值探路法可以将繁杂的问题简单化，抽象的问题具体化，高效且省时省力，真正达到巧得分的效果，为考生节省宝贵的时间，去对大题作更为扎实有效的解答．。
2019年高考冲刺-热点重点难点专题透析数学理科-特殊解题法
大做,真正做到准确和快速.
01 02
选择题 解题方法
方法01 直接法
方法02 特例法
03 04 05 06
方法03 排除法
微专题02
力与物体的直线 方法04 运动 数形结合法
方法05 估算法
微专题方法 03 06 力与物体的曲线运动 概念辨析法
直通提分圈
返
方法圈
圈分有道 解题有略
FANG FA QUAN
(2)∵cos
������ C=2cos2 -1=2³ 2 5 5 2
-1=-5,
3
3
∴由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC³AC³cos C=1+25-2³1³5³ − 5 =32,∴AB=4 2,故选A.
返
方法 归纳
FANGFA GUINA
方法归纳▶ 直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广, 只要运算正确必能得出正确的答案,解题时要多角度思考问题,擅于简化计算 过程,快速准确得到结果.
返
方法圈
圈分有道 解题有略
FANG FA QUAN
方法2
▶
特例法
从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题
设条件的特殊函数或图形位置进行判断.特例法是“小题小做”的重要策 略,要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是特殊值、特殊点、特 殊位置、特殊函数等.
典型 例题
(2)(2018年全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos = A.4 2 B. 30 C. 29
������ 5 ,BC=1,AC=5,则AB=( A 2 5
).
D.2 5
答案
解析
典型 例题
DIAN XING LI TI
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特殊值解题-数学破题之道一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！.模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！数学的特殊性（特值）解题，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），这样，才能做到“一点动众”. 特值一旦确定，要研究的是特值的共性.选择题中的“特值否定”，填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，都是“一点动众”的例子.【典例示范】【例1】 如果0<a <1,那么下列不等式中正确的是 （ ）A .(1-a )31>(1-a )21B .log (1-a )(1+a )>0C .(1-a )3>(1+a )2D .(1-a )1+a >1【点评】本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众. 你还需要讲“道理”吗？x y 21log=为减函数，log 2123=<1log210, B 不对；xy )21(=也是减函数，12121023=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛,D 不对；直接计算，C 也不对；只有A 是对的.【例2】已知定义在实数集R 上的函数y =f (x )恒不为零，同时满足:f (x+y )=f (x )·f (y ),且当x >0时，f (x )>1,那么当x <0时，一定有 （ ）A ．f (x )<-1B .-1<f (x )<0C .f (x )>1D .0<f (x )<1【点评】题干中的函数抽象，先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底，选定最简单且又符合题意的函数y =2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金，你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗？ 【思考2】 取特值. 令x =0, y =0, 有f (0) = ［f (0)2( f (x )≠0), 则f (0)=1,f (0)= f (x-x )= f (x ) f (-x ), 即)(1)(x f x f -=, 当x <0时，-x >0.由条件：f (-x )>1, 故x <0时, 0< f (x )<1.【例3】 若A, B, C 是△ABC 的三个内角，且A<B<C （C ≠2π), 则下列结论中正确的是（ ）A .sinA <sinCB .cosA <cosC C .tanA <tanCD .cotA <cotC【思考】本题的模特是取特殊角. 令A =30°, B = 45°,C =105°, 则cosC <0,tanC <0,cotC <0.B 、C 、D .故A .【点评】此题用常法论证也不难，但是谁能断言：本解比之常法不具有更大的优越性呢？【强化训练】1．若a b >，则下列不等式中正确的是（ ）A . 22a b < B .11ab<C . 222a b a b +>D . 22a c b c >【答案】C【解析】取3,2,a b a b ==>，但22a b >，故A 错；取2,2,a b a b ==->，但11ab>，故B 错；()2222a b a b a b +-=-，因a b >，故0a b ->，从而()22220a b a b a b +-=->，故C 正确；若0c =，则220a c b c ==，故D 错，综上，选C .2．设()32x f x x =-.则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是( )A . ()1,0-B . ()0,1C . ()1,2D . ()2,3【答案】C3．已知245lo g 6,lo g 12,lo g 15a b c ===，则（ ）A . a b c >>B . b c a >>C . c a b >>D . c b a >>【答案】A【解析】224455lo g 61lo g 3,lo g 121lo g 3,lo g 151lo g 3a b c ==+==+==+， 所以a b c >>。
4．函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()0.2lo g y f x =的图像大致是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】因为()0.50.50,1,log y x ∈=是减函数， 而()f x 在(]0,1上是减函数，在()1,2是增函数， 由复合函数的单调性（同增异减）可知，函数()0.5lo g y f x =在(]0,1上是增函数，在()1,2是减函数，故选C . 5．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）A .23B . 1C .43D . 2【答案】A6．函数3c o s sin y x x x =+的图象大致为（ ）A .B .C .D .【答案】D【解析】由题意可知： 3c o s s in y x x x =+的为奇函数，排除B ； 当x 2π=时， 1y =，当x π=时， 30y π=-<，排除A ，C ，故选：D点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．7．设φ ∈R ，则“φ=0"是“()()()co s f x x x R φ=+∈为偶函数”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当φ=0时， ()co s f x x =为偶函数；反之，当函数()()co s f x x φ=+为偶函数时，()k k Z φπ=∈．故“φ=0"是“()()()co s fx x x R φ=+∈为偶函数”的充分不必要条件．选A ．8．直线240a x b y +-=被圆224210x y x y ++-+=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是（ ）A . 3BC . 2D 【答案】C9．设函数()4s in 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线512x π=-对称；②图象C 关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数；④把函数()4s in 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C . 【答案】①③ 【解析】521232πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，①正确； 2063ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，但16f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即图象C 关于点,16π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，②错误；当51212x ππ-<<时， 2232x πππ-<+<，③正确；把函数()4s in 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象解析式为()4s in 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，图象不是C ，④错误．故答案为①③．点睛：三角函数()sin y A x ωϕ=+的性质： （1）对称轴由2x k πωϕπ+=+， k Z ∈求得，对称中心由,x k k Z ωϕπ+=∈求得；（2）单调增区间有22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈求得，单调减区间有322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈求得．10．已知球的面上四点A 、B 、C 、D ，，，，求球的体积.【答案】试题分析： 由于，，构造如图所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，又.故球的体积．。