高考数学 椭圆性质大全(92条结论)

椭圆92条结论

1.122PF PF a +=

2.标准方程22

221x y a b += 3.11

1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.

9．椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点

的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

10．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.

11．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是

00221x x y y

a b

+=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2

2OM AB b k k a

?=-.

13．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.

14．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.

15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111

(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.

16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22

2211A B a b +=+

;(2)

L =17．给定椭圆1C ：222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222

()a b b x a y ab a b

-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222

002

222(,)a b a b x y a b a b

---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'

P 点.

18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22

221x y a b

+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为

k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2

122

11m b k k m a +?=-

?-. 19．过椭圆22

221x y a b

+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定

向且20

20

BC

b x k a y =（常数）. 20．椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的

面积为122

tan 2

F PF S b γ?=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan tan 22

a c a c αβ

-=+. 22．椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).

23．若椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当

11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

24．P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,

当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.

25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是2222

0222

()a b x a b k

-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ??

=??

=?（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2

2

11sin e ?=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22

221x y a b

+=相交于,P Q ,则AP BQ =.

30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()

2222222

221()cos sin x y m a b a b αα??=-++???

?,其中

tan bx

ay

α=-

,当0y =时, 90α=. 31．设S 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB

中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.

32．椭圆22221x y a b

+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222

A a

B b

C +≥.

33．椭圆22

0022

()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 34．设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c

e a

αβγ==+.

35．经过椭圆222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则

2

1122

||||P A P A b ?=. 36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）

2222

1111

||||OP OQ a b +=+;

（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是2222

a b

a b +. 37．MN 是经过椭圆222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.

38．MN 是经过椭圆222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则

22

22111

||||a MN OP a b

+=+. 39．设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交

于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2

b y m

=)上.

40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭

圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'

y k x =上,而且2'2b kk a

=-.

43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22

221x y a b

+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不

在椭圆上,则22222

222

cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββ

αα?+=?+. 44．已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、

F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()

2

222

22

2

222a y b x x c c y a y b x c ??+±??=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.

46．过椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =.

47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21

21

b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L

的距离, 12,r r 分别是A

ab =.

48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和22

22x y a b

λ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则

│AB│=|CD│.

49．已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则

22220a b a b x a a

---<<.

50．设P 点是椭圆22

221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则

(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122

tan 2

PF F S b θ?=.

51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相

应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()2

2

2

2

90()

a n m a m MBN a m

b n a --∠=?=++.

52．L 是经过椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，

若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.

53．L 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L

与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab

PH c

=时取等号）.

54．L 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率

为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2

sin arc e α≤（当且仅当||PH =.

55．已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1

连结起来，则2222

112

(2)||||a b b F A F B a -≤?≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时

左边不等式取等号）.

56．设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，

c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b S b a γ?=-. 57．设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、

B x 的横坐标2A B x x a ?=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.

58．设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与

这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ?=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满

足2A B x x a ?=.

59．设'

,A A 是椭圆22221x y a b

+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'

AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线

22

22

1x y a b -=. 60．过椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则22222

82()||||ab a b AB CD a b a +≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222

()x a y b ±+=.

62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c

b -（

c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆

222()()a b x y e e

±+=.

63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a c

b -（

c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆

22222()()a b

x y e e

±+=（e 为离心率）.

64．已知P 是椭圆22221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，'

,A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的

轨迹方程是222

241x b y a a

+=.

65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121

b x a y -的直线l ，过'

,A A 分

别作垂直于长轴的直线交l 于'

,M M ,则（1）'

'

2

||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .

67．已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,

点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.

68．OA 、OB 是椭圆

22

22()1x a y a b

-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点22

22(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222

2222()()ab ab x y a b a b

-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆22

2

2()1x a y a b

-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()

(

,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是 22224222222222222

[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).

70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）2

12d d b =，且F 1、F 2在L 同侧?

直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相离，（3）2

12d d b <，或F 1、F 2在L 异侧?直

线L 和椭圆相交.

71．AB 是椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则

梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22

2241(0)x y y a b

+=≠.

72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22

221x y a b

+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当

弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2

()

(||||)a b a y b x PA PB b -+?=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,

22222200min 2

()

(||||)a b a y b x PA PB a -+?=.

73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)

78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.

85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.

88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及b

y x a

=-的平行线，与x 轴

于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222

||||2OQ OR b +=.

90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b

l y x a

=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若

222

||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b

+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是

22

221(0,0)x y a b a b

+=>>. 91. 点P 为椭圆22

221(0,0)x y a b a b

+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、

x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，则：122

ab

S S +=.

92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b

y x a

=-于,Q R ，记 OMQ

?与ONR ?的面积为12,S S ，已知122

ab

S S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.

椭圆性质92条证明

1.椭圆第一定义。

2.由定义即可得椭圆标准方程。

3.椭圆第二定义。

4. 如图，设00(,)P x y ，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k 。

4图

5图

由两直线夹角公式12

12

tan 1k k k k θ-=

+得：

()()200

222222222222

000000012222222

00

100000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c α++++++-======++-++-?+ ()()200

222222222222

000000022222222

00

200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c β+--+---======+-----?- ,0,2

παβαβ??

∈∴= ??

?

同理可证其它情况。故切线PT 平分点P 处的外角。

5.如图，延长F 1P 至A ，使PA=PF 2，则2PAF ?是等腰三角形，AF 2中点即为射影H 2。则122

F A

OH a ==，同理可得1OH a =，所以射影H 1，H 2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

6.设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为d ，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则

1222d d PF FQ r

d r

e e

++=

==>，故以PQ 为直径的圆与对应准线相离。 7图 8图

7.如图，两圆圆心距为122

2222

PF a PF PF d OM a a r -==

==-=-，故两圆内切。 8.如图，由切线长定理：11121222FS FT PF PF F F a c +=++=+，11

F S FT a c ==+ 而1

12FT a c F A =+=，T 与2A 重合，故旁切圆与x 轴切于右顶点，同理可证P 在其他位置情况。 9.()()()()220012100200

22

,0,0,,,1x y A a A a P x y P x y a b --+=易知,设,则()()00

112200:,:y y A P y x a A P y x a a x a x =+=-+- 2222222222222

0002222222

22000000,11P P P ay a y a b a y x y a a a x y x P P x x x a

b x b x b x a b ??-=?∴-=-==∴-= ???则点的轨迹方程为 10.

000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上22

00221x y a b ∴+=，对22221x y a b +=求导得：'22220x yy a b +=2'

020

b x y a y ∴=-

∴切线方程为()20

0020

b x y y x x a y -=--即22

000022221x x y y x y a b a b +=+=

11.设()()111222,,,P x y P x y ，由10得：

01010202

22221,1x x y y x x y y a b a b

+=+=，因为点12,P P 在直线12P P 上，且同时满足方程00221x x y y a b +=，所以00212

21:P x y a P x y

b

+= 12.()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 设2222112222221,1x y x y a b a b +=+=则有作差得：

2222

1212

22

0x x y y a b --+= ()()()()121212122

2

x x x x y y y y a b -+-+?+=()()2222

12012222212120AB

AB OM OM b x x b x y y b b k k k x x a y y a y a k a

+-?==-=-=-??=--+ 13.由12可得：()202000

b x x x a y y y ---=222222

00000a y y a y b x x b x ?-+-=

2

2

22

2

2000

b x x a y y b x a y ?+=+22

0000

2222x x y y x y a b a b

+=+?

14. .由12可得：2

200b x x y y y x a

-?-=-222222000a y a y y b x b x x ?-+-=

2

2

2

2

2

2

00b x a y b x x a y y ?+=+22002222x x y y

x y a b a b

++?=

15.设()()

'

'

cos ,sin ,cos ,sin P a t b t Q a t b t ，则''sin sin 1cos cos OP OQ

b t b t k k a t a t ?=?=-2'

2tan tan a t t b

∴?=- ()()()()

()()

()()222'222'22

122

222222222'22'12122'22

2222'222'222'22'222222'

cos cos sin sin 11cos sin cos sin 11tan tan 2tan tan tan tan 2tan cos cos cos cos tan tan a t t b t t r r r r r r a t b t a t b t t t a b a t t b t t b t t t t a b t a b t +++++==++????+++ ? ?+++++????==++()22'42222'422'tan tan tan tan tan t t a a b t t b t t +++ ()()()()()2

2222'2222'2222222242222'22'211tan tan 2tan tan 2112tan tan 2tan tan a a b t t a b t t a a b b b a a b a a b t t t t b

????++++ ?+++??????==

=+++++

16.将直线AB 代入椭圆方程中得：()()

222222222210A a B b x Aa x a B b +-+-=

(

)

222

2

2

22

41a B b

A a

B b ?=+-

，AB =设()()1122,,,A x y B x y 则2

1222222Aa x x A a B b +=+，()2221222221a B b x x A a B b -=+，()

222122222

1b A a y y A a B b -=+ OA OB ⊥

()22222222121222

110x x y y a b a b A B A B a b ∴+=?+=+?+=

+

2222

AB A a B b ==

=

=

+

17.()I 设椭圆内直角弦AB 的方程为：()y x m k n -=-即y kx m kn =+-。 当斜率k 存在时，代入椭圆C 1方程中得：(

)()()2

222

2

22220a k b

x

a k m kn x a m kn

b ??++-+--=??

设()()1122,,,A x y B x y 得()122

2222a k m x x kn a k b +=+--，()2

212

2222

a m kn

b a k b x x ??--=??+

则()()()()01020102PA PB x x x x y y y y ?=--+--

()()()()2

222

1200120010k x x k n ky x mk x m x k x y n =+-++-+++-=???-?

()()()()()()()()()()()()()()

()()()()()()()2

222222

222

0000222222222

2

2222222222222

22222222

2200202002222220

10111a m kn b a k m kn a k b a k b m kn a m k k n ky x m kn a b a k b a k b a k b m kn m kn k x y a k b a m kn a k m kn a k m kn a m kn a k k x y k x y k a y b ??---++-??

--++++--+--+-=??++++-++-=?????++++---++-+()()()()()()()()()()()()2200002222

2222222222

222222200020220

20

21k b a k b b m kn m kn b a k m kn a x y y x x y k k b a b m kn a b m kn a k b x y ++++++++----=?++----=+

()()()()()222222220000002222222222222

202222

0222220

a k

b a b a b kmn a b x y x y m a b a b ma k mb k na kn k n k x y x y b ?+++++++--+-+--+=

()()()2222222022222222222222

00220200022200020202x n x x x y y m a a b b na b a m y a b ma nb mn a b a b n x b a b a mb a b y y ??+-=-=????+?++???-??=++-=+=--??

+?? 即直线AB 过定点2222002222,a b b a x y a b a b ??-- ?++??

，此点在C 2上。当直线斜率不存在时，直线AB 也过C 2上的定点。 ()II 由上可知C 1和C 2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。

18.必要性：设P 1P 2：()00k x m m y y x =-+。k 存在时，代入椭圆方程中得：

()()()2

222222222000020a k b x a km y kx x a m y kx a b +-+++-=

设()()111222,,,P x y P x y 得()202222102a km y kx b x a x k +++=，()2

22220012222

a m y kx a

b a k b x x +-+= ()()()()

()()()()()()()()()()()()2

201021212122

0102120120000022222000022222

0000001211111211y y y y k x x k m x x m k k x x x x x x x x x x b m kmx y k x m y m b m a m a m kmx y k x y mk m y x y x y m y mk ++---++?==---++??++-+++??==-??-+-++++?

?

k 不存在时，P 1P 2：x=mx 0

则y =

()()()()()

()()222222222000020122222

22

22000111111b y y y a m x b x m b m a k k a m x m x m a x m ?-- -+?????====---- 必要性得证。

充分性：设P 1P 2过定点(),q p ，则P 1P 2：y kx p kq =+-。代入椭圆方程得：

()()()2

2222222220a k b x a k p kq x a p kq a b ++-+--=

设()()111222,,,P x y P x y 得()1222222a k p x x kq a k b +=+--，()2

22

22

1222a p kq a x b a b x k --+= 则()()()()

()()()()2

21020120120122

1020120120y y y y k x x k p kq y x x p kq y k k x x x x x x x x x x --+--++--?==---++

()()()()()

()()()

()()()()()()2

222222222

222222

22002

0022

2222

0002

2222200022211222k k p kq y p kq y x x b a p kq a b a k p kq a k b p kq y p kq y a p kq a b a k p k x m b m a a p kq kx p kq k x y kq a k b ---+--=

++??---+-+??==?-??---+---+-+-+-??

()()()()()()()()()()()()2

2220002222

00022222

00000000002

200000000022

00021

1

220010

200p kq y p kq y k x m m p kq kx p kq k x y k mx q mqx qx k mpx px mqy qy pq mpy py p my q x q mx mx q mqx qx mpx px mqy qy pq mpy py p my ---+-+?=--+-+-?+--++-+-+-+-=--=???????+--=?

?+-+-=???-+-=?()()()()()()

0000112203px m qy m pq p y my p ??++-=????????-+=???????

注意到m≠1，解（1）（3）得00,p my q mx =-=，代入（2）式，成立。

验证k 不存在的情况，也得到此结论。故l 过定点()()00,1mx my m -≠，充分性得证。 19. 设AB ：()00k y x y x =--即00y kx y kx =+-

()()()00

2222222222000022201

y kx y kx a k b x a k y kx x a y kx b x y a

b =+-?????++-+--=???

+=?? ()222222222222200000

0000000222222222222

2222,B B a k kx y a k x a ky b x a k x a ky b x b y a k y b kx x x x B a k b a k b a k b a k b -??------?+=?=? ?++++?? 222222222200000000

222222

220

0224,4BC a k x a ky b x b y a k y b kx b kx b x C k a k b a k b a ky a y ??+--+∴== ?++??同理 20.由余弦定理：()()

()2

2

2

2

2121212

122cos 242cos 1PF PF PF PF c PF PF c PF PF γγ+-=?+=++

()22

2

2

121222442cos 1cos 1cos 2

b b a

c PF PF PF PF γγ

γ?=++?==+

1222

2122222sin cos

1sin 22sin tan 2cos 122cos 2

tan ,tan 22F PF P P P b b S PF PF b c y b b y x P c c γγ

γγγγγγγ?=====+???===± ? ???

21.由34：

()()

sin sin sin 1sin sin sin 1sin sin sin sin sin sin a c e a c e βααββαγβαγβααβ+-+--+-===

+++++++

()()()()

2

2

22sin 1cos sin 1cos sin sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin

sin

cos sin c 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin 22222222222sin cos 2cos 2sin cos 2cos 222222βααββααββαβααββαβααβα

ββαβ

β

ααα

β

ββαααβ-+-+--=

=

+++++++?+?==

?+?os sin 22cos cos sin cos sin cos 222222αββαβααβ?

? ?

????+ ?

??

sin

sin

2

2tan tan 22cos cos 22

α

β

αββα=

= 22.由第二定义得：22100200,a a MF e x a ex MF e x a ex c c ????=+=+=-=- ? ?????

23.

()1221000211PF PF e

e PF e PF a ex e a ex x a d PF e e

-==?=??-=+?=+ (]())

202

10,121021120,121,1e

x a e e e e e e e e

-?∈∴

≤?+-≥?≥-≤--∈∴∈-?+或

24.22222APF PF AF PA PF AF ?-≤≤+在中,有

112221122222,2PF PA PF PF AF a AF PF PA PF PF AF a AF A P F ∴+≤++=++≥+-=-都当且仅当、、三点共线时取等号。

25.设椭圆上的点()()1122,,,A x y B x y 关于:l y kx m =+对称，()

''00,M x y 。 由12得：()2'

2'2'220''00002'2'2'220001,AB

a kx m

b x a y a m b m k k x y a y k b x b x

c k c

+=-=-?==?=-=-

又

M 在椭圆内，()2

2222222

422424

42

222

1a b k m a m b m

c k m c k c

c k a b k <

+∴

+=

2

2

24

2

222222

a b c x a b k a b k <-=

++

26.由5即可得证。

27.设P ()cos ,sin a b ??，则切线cos sin :1l x y a b ??

+=，A 2cos ,1sin a b a c c ??????- ? ??

???

27图

30图

()22222

cos cos cos cos ,sin ,10sin b b a ab ab FP FA a c b b b FP FA c c c c ??????????∴?=-?-=

-+-=∴⊥ ? ????

? 28.()()()2

2

222cos ,sin ,:sin

cos cos cos P a b b c a c a c a ??????=-+=-设由射影定理有

()()()22222222222

2

2

2

2

2cos sin cos 1sin 1

1sin sin cos 11sin c a a c e e e e ????????

?=+-?=+-?+=+=?=

+

29.设()()2222

122222:1,:1,:0x y x y C C k k AB l Ax By C a b a b +=+=>++=。联立1,C l 得：

()2

2

22

2

2

2

2

22

2

20A a B b x Aa Cx a C a b B +++-=，由韦达定理：222222A B Aa C

x x A a B b +=-+

同理222222P Q Aa C x x A a B b +=-+。则AP -

)

A P

B Q A P B Q x x x x x x --=---

而,A P B Q x x x x --的符号一定相反，故A P B Q x x x x ---=()

A B P Q x x x x +-+=0。所以AP=BQ 30.设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b θθ??，()00,M x y 为AB 中点。 则()

()2

2

2

2

222

2

22

2

2cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin 42

2

2

2

AB a

b a b m θ?

θ?

θ?

θ?

θ?θ?+-+-=-+-=+=

22

2

22

2

2sin sin cos sin 22

2

2

a b m θ?θ?

θ?

θ?

+-+-?+=

而00cos cos sin sin cos cos ,sin cos

222222

a a

b b x a y b θ?θ?θ?θ?θ?θ?

++-++-=

=== 设22sin ,sin 22

A B θ?θ?-+==，则()()()()222

22220011,1,1x a A B y b A B m a AB b A B =--=-=+-

解得2

0222

00222200221,y x y b A B x y a b a b ??=-+= ???+，代入m 2得：2222

00

22222002

22222000022221a y b x x y b a m x y x y a b a

b a b ?? ?????=-++ ??? ? ?????++ ???

令00tan bx ay α=-得：()2222

222220000222

222222

tan cos sin tan tan 1111x y x y a b m a b a

b a b ααααα???????????=-++=-++???? ? ? ?++?????????? 所以定长为2m （0＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()222

2222

221()cos sin x y m a b a b αα??=-++???

?。

其中tan bx

ay

α=-

,当0y =时, 90α=。 31. 设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b ααββ，()00,M x y 为AB 中点。则：

00cos cos cos cos cos 2222cos 2

x a a x a a αβαβαβαβ

αβ++--=

=?=

+ ()()222

22222222cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin 2222

AB a b a b αβαβαβαβαβαβ+-+-=-+-=+

2

222222222

2222222222

2

22

22

22

002

4sin sin cos 41cos cos 22222cos cos cos

cos 22224cos 24cos 2

a b a c l l a a c c x l e x c a a

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++-+?

?????=+=--= ? ??

????

???

-++-???-++= ????

?

?+?-++=≤ ?+ ?

??

二次函数

y=e 2x 2-mx+a 2与

24l y =在[]0,a 内的交点即为x 0的值。由图易知y=e 2x 2-mx+a 2与2

4

l y =的左交点为x 0的值。当m

增大时，x 0减小。要使x 0最大，则要使m 最小。

2

22

02

cos 22

cos 2

x c cx αβ

αβ

++≥+，此时等号成立时2

0max

0max cos 12

x x c c

αβ

+=

≤?≤ 31图

35图

当此式成立时2222

2

2

222

0max 0max 0max 0max 244222l l l a l a l y e x mx a e x cx a ex a x e e c e

=-+=?-+=?-=-?=-

=- 当20max

22a l a l x c e e c e =-=-=时：()()()222

242=b l ce a l a ce a =-?=-=Φ通径 当0max

x c ≤时：22=b l a ≥Φ∴当22=b l a

≥Φ时0max x c ≤，20max 2a l x c e =

-。 当0max x c >时，当2

cos

12

αβ

+=，即AB 垂直于x 轴时x 0最大。

()2

2

222

222

2

2

22220max

0max

0max

0max 22

4444

142l b l a a e x

x

a c x

b l x b l e b b

-

-+-=?==-?=-- 考虑到对称性0min 0x =对任意情况均成立。

0min 0x ∴=，22200max 0max

2

2220max 2,=,cos 2224,=cos 122x a l b x c l AB c e a c x a b b l x c l AB x b a αβαβ???+-≤≥Φ=? ?

???=?+?-><Φ⊥=???过焦点，，轴，

32.()()2222222222222222200b x a y a b A a B b x a ACx a C B b Ax By C ?+=?+++-=?++=? ()()4222222222222222440a A C a C B b A a B b A a B b C ?=--+≥?+≥

33. ()()222222000

b x x a y y a b

Ax By C ?-+-=??++=??

()()()22222222222222222222200000220A a B b x a AC B b x a ABy x a C a B y B b x a B b a BCy ?++-++++-+= ()2

222222222000000002202A a B b A x B y C ABx y ACx BCy Ax By C +≥+++++=+?+?≥ 当000x y ==时，即为32：22222A a B b C +≥

34.由正弦定理得

1221

sin sin sin F F PF PF αβγ

==，所以

1212sin 2sin sin 2F F c c e PF PF a a αβγ====++。 35. 设()cos ,sin P a b ??，则P 点处的切线为

cos sin 1x y a b

??

+=， 由此可得：()()121cos ,1cos sin sin P P b b y y ????=+=-()222

11222

1cos sin b P A P A b ??

-∴?== 36.（1）同15.

（2）由15,36（3）：222222

22222

2211||||||||||||||||4OPQ

OP OQ OP OQ a b OP OQ OP OQ S a b ?++++=== ()()22

22

222222

2

2

22

222222

444||||OPQ

a b S a b a b a b OP OQ a b a b a b a b ?++??+=

≥?= ?++??

∴ （3）设()()cos ,sin ,cos ,sin P a b Q a b θθ??，2

2

2

2cos cos sin sin 0tan tan a OP OQ a b b

θ?θ?θ?=-?=+=?

()cos sin 2sin cos sin cos cos sin OPQ a b S OP OQ ab a b θθ

θ??θ??

?=?=

=-

2222222

4sin cos +sin cos 2sin cos sin cos OPQ

S a b

θ??θθθ????

=-

()()4

2422222422

44242tan 2tan tan 2tan tan tan =tan 1tan 1tan 1

tan a a b b a a b b θθ?θ?θθ?θθ

+++-=+++++

()42

2222224224222242242

22222222

24222

min 22

2

2

21211444tan 2tan OPQ OPQ OPQ a a a b a b a a b b a b a b b b S S a S a b a b a b a b a b b

a b S a b θθ???-++??-+?=+≤+=?≥?≥ ?=++??++∴+

37.设cos ,:sin x t MFx AB y t θθθ

=?∠=?=?，椭圆21cos p b p e a ρθ??

== ?+??

37图 38图

则22

2222222222221cos 1cos 1cos cos sin cos p p p ab ab MN e e e a c a b θθθθθθ=+===+---+

将AB 的方程代入椭圆的标准方程中得：22

2

2222sin cos a b t a b θθ

=+，由参数t 的几何意义可知：

22

2

2

2222

442sin cos a b AB t a MN a b θθ

===+ 38.作半弦OQ ⊥OP ，由37得：2

2

a

OQ MN =

，由15：2222

2111211||||||OP OQ OP a MN a b +=+=+ 39.设()()1122:,,,,l x ty m P x y Q x y =+，将l 的方程代入椭圆得：()()

2222222220a b t y b mty b m a +++-=

由韦达定理得：()22221212

2222222,b m a b mt

y y y y a b t a b t -+=-=++，直线A 1P 的方程为()11y y x a x a =++，直线A 2Q 的方程为()2

2y y x a x a =--，联立A 1P 和A 2Q 得交点N 的横坐标()()()()1221212ty y a m y m a y x a a m y a m y +++-=

++-，代入化简： ()()

()()

()()()()2222

2222222222

212122222222

2121222222a a b t y y ab t b tm b ta b m t a a b t y y a x a a m ab mt m a b t y y m a b t y y ab t ??+----++-??

=

==??-++-+--??

所以交点一定在直线2

a x m

=上。同理可证M 在y 轴上的情况。

引理（张角定理）：A,C,B 三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P 对AC 的张角为α，对CB 的张角为β。 则：

()sin sin sin PC PB PA

αβαβ

+=+

40图 41图

40.如图，A 为左顶点时，设,PFH MFH θ?∠=∠=，则,AFP PFM πθθ?∠=-∠=-

2222,cos a b b p p b FH c FM p c c ae e e a ???

=-===== ???

。 对F-APM 由张角定理：

()()()sin sin sin FP FM FA π?πθθ?---=+ ()()()sin sin cos sin cos sin sin sin sin e e e ??θθ?θ?θ??θ??+=+---?=-

0θπ?θ?<<∴=-即FM 平分PFH ∠，同理FN 平分QFH ∠。90MFN ∴∠=即MF ⊥NF

当A 为右顶点时，由39可知左顶点A’与P 、M ；Q 、N 分别共线，于是回到上一种情况。 41.如图，设22,PFA MFA θ?∠=∠=，则12,A FP PFM A FQ πθθ?,πθ∠=-∠=-∠=- 对F-QA 2M 和F-A 1PM 由张角定理：

()()()()()12sin sin sin sin sin sin ,FP FM FA FA FM FQ

π?πθθ?πθ?πθ?

----+-=+=+

两式相减并化简得：()()()12

sin sin sin sin sin sin FP FQ FA FA θ?θ????θ?--+=+?=-

0θπ?θ?<<∴=-即FM 平分2PFA ∠，同理FN 平分2QFA ∠。90MFN ∴∠=即MF ⊥NF

42.由12即可证得。

43.设()00,P x y ，AB ：00cos sin x x t y y t αα=+??=+?，CD ：00cos sin x x t y y t β

β=+??=+?

，将AB 的方程代入椭圆得：

()()()2

2222222222

220000cos sin 2cos sin 0b

a t

b x a y t b x a y a b αααα+++++-=

由参数t 的几何意义可知：2222

22

00122222cos sin b x a y a b PA PB t t b a αα

+-?==

+，同理2222

22

002222cos sin b x a y a b PC PD b a ββ

+-?=

+

22222

222

cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββ

αα

?∴+=?+ 44. 对于外角平分线的情况由5即可证得，下仅证l 为内角平分线的情况。

设P ()cos ,sin a b ??，则0cos sin :

1cos sin 0l x y b a ab a b

??

??+=?+-=

则2

:sin cos sin cos 0l a x b y c ????--

=，1:cos sin cos 0l b x a y bc ???++=

2:cos sin cos 0l b x a y bc ???+-=。分别联立l 、1l 和l 、2l 得：

()2212222cos sin cos sin cos ,sin cos cos c ac b bc H a b a c ??????????- ?- ?+-??，()2222222

cos sin cos sin cos ,sin cos cos c ac b bc H a b a c ??????????

+ ? ?++??

则12sin cos H ac x c a c ??+=-，22sin cos H ac x c a c ?

?-=-+ 对1H 点：()()tan tan b x c b x c ay ay

??++=-?=-

()

()

2

2

2

2

2

2

2

2

sin ,cos b x c a y b

x c a y b

x c ??+∴=±

=

++++，代回1H x c +式得：

()

()()

()()()2

22

2222222222222

2221b x c a y b x c b c x c x c acy ac a y b x c a y b x c a a y b x c +++++=?±=++++±

++ ()

()()

()

()()

()()

2

2

222222222222

2

2

2

2

2

2

2222222

2

2

2

a y

b x x

c b c x c a y b x c a y b x x c c y a y b x c a y b x c a y b x c a y b x c ??+++--+++???±=

=-

?=++++++++ 同理对2H 点得()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ??+-??=+-。故1H 点、2H 点的轨迹方程为()()

2

22222

2

222a y b x x c c y a y b x c ??+±??=+± 45.由伸缩变换'

a

y y b

=

将椭圆（左图）变为圆（右图）

，椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证命题变为证CD 与圆O 相切的充要条件是D 为EF 中点。

充分性：若D 为EF 中点 ∵C 在圆上，AB ⊥OE ∴FC ⊥CE ，OF ⊥OB ∴CD=DE=DF ∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA ∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC ⊥CD ∴CD 与圆相切。 必要性：若CD 与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD ∴DF=DC ∵∠ECF=90°

∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE ∴CD=DE=DF 即D 为EF 中点。 46.设MFx ?∠=，由椭圆极坐标方程：2221cos 1cos 1cos p p p

MN e e e ???

=

+=-+-

22cos 1cos 1cos 21cos p p

ep e e HF e ????

-

-+==

-，22cos 1cos HF ep PF e ??==- 2PF e

MN ∴= 47.由10可知l 为切线2

2

22

11:0l b x x a y y a b +-=

22d ∴=

由22:222

121r r a e x =-

22ab ==

=

=

48.同29。

49.()()222000

0000222000

,,:AB

MP b x a y a y AB M x y k k MP y y x x a y b x b x =-∴=∴-=-设中点为则

()22

22220

02

0,,,P P a b a b a b y x x x a a x a a a ??

---==∈-∴∈- ???

令得

50.同20。

51.设()()1122:,,,,l x ty m P x y Q x y =+，代入椭圆方程得：()()

2222222220a b t y b mty b m a +++-=

由韦达定理得：()22221212222222

2,b m a b mt

y y y y a b t a b t -+=-=

++ 由A 、P 、M 三点共线得()1111M n a y n a

y y x a ty m a ++=

=+++，同理()22N

n a y y ty m a +=++ ()()()()()()

2

2

2

122

21212M N

n a y y BM BN n m y y n m t y y t m a y y m a +∴?=-+=-++++++ ()()()()()()()()()()

()()()

()()()()()2

2222

2

2222222222

22

2

2

2

2

2222

22

222

2

2202()b m a n a n m b t m a b mt m a m a a b t b m a n a b m a n a n m n m a m a b t m a b mt m a n m a m a m b n a a a b t -+=-+--++++-+-+=-+

=-+

=?+----=+++++

52,53,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点A (),0k -，B (),0k ，点P (),m y 在直线x=m 上（m>k ），则当()()2

2

2

y m k m k m k =+-=-时，∠APB 最大，其正弦值为

k m

。 52.k=c,m=a ∴sinα≤e,当且仅当PH=b 时取等号。 53. k=a,m=2a c ∴sinα≤e,当且仅当PH=ab

c 时取等号。

54. k=c,m=2a c ∴sinα≤e 2,

当且仅当时取等号。

55.设∠AF 2x=θ，()2

1122

42241cos 1cos 1cos p p a p p F A F B a a a e e e θθ

θ-???

??=-

-=+ ??

?+--????

()40p p a -< 2cos θ∴↑ 11F A F B ?↓

∴当θ=0°时，()

211min

F A F B

b ?=；当θ=90°

时，()()

2

22112

max

2a b F A F B a

-?= ∴()

2

222

112

2a b b F A F B a

-≤?≤

56.（1）设cos :sin x t a

AP y t αα

=-??

=?，代入椭圆方程得：()222222cos sin 2cos b a t ab t ααα+= ∵AP=t ≠0

∴AP=222222222

2cos 2cos cos sin cos ab ab t b a a c α

αααα

==+- （2）设()00,P x y 则222

0222

0tan tan 1y b e a x a

αβ===-- （3）2222222222

12sin cos 2tan sin 2cos tan a b a b S PA AB a c a b

ααα

ααα=?==-+ 由（2）：()2

22222

22222

2

tan tan tan tan tan tan cot tan tan 1b a b c a b c a b a

αααααβγγαα+++===-?=-+- 2222222

2cot 2cot a b a b S c b a

γγ

∴=-=- 57.由58可证。

58.（1）易知PQ 的斜率为0和斜率不存在时，对任意x 轴上的点A 都成立。设:PQ x ty m =+，A （m ，0）

代入椭圆方程得：()()2222222220a b t y b mty b m a +++-=，则()22221212

222222

2,b m a b mt

y y y y a b t a b t -+=-=++ 若PBA QBA ∠=∠，则()()12

122112000BQ BP B B B B

y y k k y ty m x y ty m x x x x x +=?

+=?+-++-=--

()()()

()

()()222222221212222222

222222

222002200B B B B B A B b t m a b mt m x ty y m x y y b t m a b mt m x a b t a b t a a

m t a t m t mtx x x x m a m m

--?+-+=?-=?---=++?--+=?=??=?= （2）作P 关于x 轴的对称点'

P ，由（1）即证。 59.同9。

60.设椭圆21cos cos p b e a c ρ??==--，0,2π???

∈????

。

则()2

222

3cos cos cos cos 22b b b b AB CD a c a c a c a c ππ?

?π??+=+

++--+???

?

-+-+

? ????

?

()2222222

2242

8cos cos sin sin 4sin 2ab a b b b b b a c a c a c a c a b c ?????

+=+++=-+-++ 当4π

?=时，AB CD +有最小值2228ab a b +；当0?=或2π

时，AB CD +有最大值()222a b a

+

()222

2228a b ab AB CD a b a

+∴≤+≤

+ 61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P 到两定点A (),0m -，B (),0m 的距离之比

()0,1PA

k k k PB

=>≠，则P 点的轨迹为一个圆，圆心坐标为221,01k m k ??+ ?-??

，圆的半径为2

21km

k -。 下三个题的比值k 均为

a c

b -，代入上述公式得：圆心坐标为,0m e ??

???

，圆的半径为b m c 。

61.m=c ，圆心坐标为(),0a ±，圆的半径为b 。轨迹方程是姊妹圆()2

2

2

x a y b ±+=。

62.m=a ，圆心坐标为,0a e ??± ???，圆的半径为b e 。轨迹方程是姊妹圆22

2a b x y e e ????

±+= ? ?????。

63.m=2a c ，圆心坐标为2,0a e ??± ???，圆的半径为2b e 。轨迹方程是姊妹圆2

2

222x y a b e e ????

? ????+?

±=。

64.设()()()()'

cos ,sin ,,,,0,,0P a b Q x y A a A a ??-，由'

'

0AP AQ A P AQ ?=?=得2sin cos ,a Q a b ????-- ??

?

消去参数?得Q 点的轨迹方程：222

241x b y a a

+=

65.同37。 66.（1）同35（2）由基本不等式''2AM A M b +≥，则梯形'

'

MAA M 面积的最小值为

1

2222

a b ab ??=。 67.设AC 交x 轴于M ，AD ⊥l 于D 。由椭圆第二定义：1AM BC FM AM BC AF BC e AC CM AD EM CM AD BF AD e

AC

???=

====??? ∴AC 过EF 的中点。

68.（1）由17可知当椭圆方程为22221x y a b +=时，AB 过定点222

2

,0a b a a b ??-?- ?+??。当椭圆方程变为22

22()1x a y a b -+= 时，椭圆向右平移了a 个单位，定点也应向右平移了a 个单位，故此时AB 过定点2222,0a b a a a b ??-?-+ ?+??即222

2,0ab a b ??

?+??

（2）由69（2）P 为原点，即m=n=0时Q 点的轨迹方程是2

2

2222222ab ab x y a b a b ????

-+= ? ?++????

()0x ≠。

69.（1）由17可知当椭圆方程为22221x y a b +=时，AB 过定点()2222

2

222,a b b a m a n a b a b ??--- ?++??

。当椭圆方程变为22

2

2()1x a y a b -+=