2013届人教A版文科数学课时试题及解析(56)变量的相关关系与统计案例
高考数学复习统计与统计案例概率节变量间的相关关系与统计案例文新人教A版PPT课件
解析 易求－x＝9，－y＝4，样本点中心(9，4)代入验证，满足y^＝0.7x－2.3.
答案 C
3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它 们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型1的相关指数R2为0.98 B.模型2的相关指数R2为0.80 C.模型3的相关指数R2为0.50 D.模型4的相关指数R2为0.25 解析 在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越
最新考纲 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用 散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想， 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性 回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求 2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分 析的基本思想、方法及其简单应用.
到
的区
域，两个变量的这种相关关系称为一负条相直关线.
(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在
2.线性回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方最和小的方法叫做最
小二乘法.
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，
yn)，其回归方程为
知识
1.相关关系与回归分析 梳 理 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种
常用方法；判断相散关点性图的常用统计图是：
；统左计下量角有相关右系上数角与相关指数.
(1)在散点图中，点散布在从
到
的区
域，对于两个变量的这左种上相角关关系右，下我角们将它称为正相关.
(2)在散点图中，点散布在从
≈4.844.
则
认
为
完整版变量间的相关关系统计案例
完整版变量间的相关关系统计案例引言：经济学中一个重要的分支是相关关系的研究，通过统计分析不同变量之间的相关性，可以帮助我们理解变量之间的关系。
本文以汽车生产数量和国内生产总值（GDP）为例，通过统计分析两者之间的相关关系，展示相关分析在实际问题中的应用。
方法：本案例采用了经济学中常用的相关分析方法，包括Pearson相关系数和散点图。
本文使用了国在过去10年内的汽车生产数量和GDP的数据。
汽车生产数量的数据来自国家汽车协会，GDP数据来自国家统计局。
分析过程：1.数据收集和整理：将过去10年内的每年汽车生产数量和GDP数据整理成一个数据表格，便于后续分析。
2.描述统计分析：计算汽车生产数量和GDP的均值、标准差和极差等描述性统计量，以了解数据的整体情况。
3.散点图绘制：将每年的汽车生产数量和GDP数据绘制成散点图，横轴表示汽车生产数量，纵轴表示GDP，每个散点表示一个年份。
4.相关性分析：计算汽车生产数量和GDP之间的Pearson相关系数，该系数介于-1和1之间。
系数为正则表示两者正相关，系数为负则表示两者负相关，系数越接近于1或-1，则相关性越强。
结果：1.描述统计分析结果显示，过去10年内每年的汽车生产数量均值为X辆，标准差为X辆，极差为X辆；每年GDP的均值为X万元，标准差为X万元，极差为X万元。
2.散点图显示，汽车生产数量和GDP呈现出一定的正相关趋势。
随着汽车生产数量的增加，GDP也有相应增加的趋势。
3. 相关性分析结果显示，汽车生产数量和GDP之间的Pearson相关系数为X。
由于该系数为正数且接近于1，可以得出结论：汽车生产数量与GDP存在着强正相关关系。
讨论：本案例通过相关分析的方法，探讨了汽车生产数量与GDP之间的关系。
研究结果表明，两者之间存在着强正相关关系，即汽车生产数量的增加会促进GDP的增长。
可能的解释是汽车工业作为一个重要的制造业部门，对于经济的增长有着显著的贡献。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案变量间的相关关系、统计案例1
第四节 变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例 1．变量间的相关关系(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系． (2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 2．统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． (1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． (2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用． 知识点一 回归分析 1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x . (3)通过求Q ＝∑ni ＝1(y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．(4)相关系数：当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．易误提醒1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x ，y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上 .3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．[自测练习]1．已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝( )x 0 1 3 4 y2.24.3 4.86.7A.3.25 B ．2.6 C ．2.2D ．0解析：∵回归直线必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，代入回归方程，得a ^＝2.6.答案：B2．(2016·镇江模拟)如图所示，有A ，B ，C ，D ，E 5组(x ，y )数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．解析：由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D . 答案：D知识点二 独立性检验 独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋dK2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．易误提醒(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表．在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释．[自测练习]3．下面是2×2列联表：y1y2总计x1 a 2173x2222547总计 b 46120则表中a，b的值分别为()A．94,72B．52,50C．52,74 D．74,52解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.答案：C考点一相关关系的判断|1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3解析：易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2<r4<0<r3<r1.答案：A2．(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关解析：因为y＝－0.1x＋1，x的系数为负，故x与y负相关；而y与z正相关，故x与z 负相关．答案：C相关关系的判断的两种方法(1)散点图法．(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．考点二回归分析|(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw∑8i ＝1(x i －x)2∑8i ＝1(w i －w)2∑8i ＝1(x i －x )(y i－y )∑8i ＝1(w i －w )(y i －y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469108.8表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^ u . [解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于 d ^＝∑8i ＝1(w i －w )(y i －y )∑8i ＝1 (w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值 y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值 z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．回归直线方程的求法(1)利用公式，求出回归系数b ^，a ^.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．1．(2016·银川一中模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^. (2)已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由对照数据，计算得∑4i ＝1x 1y 1＝66.5，∑4i ＝1x 21＝32＋42＋52＋62＝86，x ＝4.5，y ＝3.5，b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(2)x ＝100，y ^＝100×0.7＋0.35＝70.35，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．考点三 独立性检验|(2016·邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表．平均每天喝500 mL 以上为常喝，体重超过50 kg 为肥胖.常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整．(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：K 2≥k 0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，x ＋230＝415，解得x ＝6.常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不肥胖 4 18 22 合计102030(2)由已知数据可求得K 2＝30×(6×18－2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A ，B ，C ，D ，女生为E ，F ，任取两人的取法有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中一男一女的取法有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，共8种．故抽出一男一女的概率是P ＝815.解独立性检验的应用问题的关注点(1)两个明确： ①明确两类主体； ②明确研究的两个问题． (2)两个关键：①准确画出2×2列联表； ②准确理解K 2.提醒：准确计算K 2的值是正确判断的前提．2．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男 女 总计 走天桥 40 20 60 走斑马线 20 30 50 总计6050110K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .附表：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 解析：K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.P (K 2≥6.635)＝0.01＝1－99%，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”，故选A.答案：A12.独立性检验与概率交汇综合问题的答题模板【典例】(12分)(2016·保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：(1)判断是否有(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：(参考公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)[规范解答](1)由公式K2＝55×(20×20－10×5)230×25×25×30≈11.978>7.879，(3分) 所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(6分)(2)设所抽样本中有m个男生，则630＝m20，得m＝4，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2.从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15个，(9分)其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8个．(11分)所以恰有1个男生和1个女生的概率为815.(12分)[模板形成]分析2×2列联表数据↓利用K 2公式计算K 2值↓对分类变量的相关性作出判断↓求相应事件的概率↓反思解题过程，注意规范化[跟踪练习] 某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据见下表所示：(1)加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )；其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是2250＝1125；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是2050＝25.(2)因为K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50×(17×20－5×8)225×25×22×28≈11.688>10.828，所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．A 组 考点能力演练1．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^>0 B.a >0，b <0 C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0解析：把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图(图略)，由图可知b ^<0，a ^>0.故选B.答案：B2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y^＝－0.3x ＋4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C ，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A ，B 得A 正确．答案：A3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附表及公式K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .则下面的正确结论是( )A ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析：由2×2列联表得到a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15，则a ＋b ＝55，c ＋d ＝45，a ＋c ＝75，b ＋d ＝25，ad ＝675，bc ＝300，n ＝100，计算得K 2的观测值k 0＝100×(675－300)255×45×75×25≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选A.答案：A4．根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝b x ＋a .若样本点的中心为(5，0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位解析：依题意得，a ＋b －25＝0.9，故a ^＋b ^＝6.5①；又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ^＋a ^②，联立①②，解得b ^＝－1.4，a ^＝7.9，则y ^＝－1.4x ＋7.9，可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位，故选B.答案：B5．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x ·y ∑6i ＝1x 2i －6x2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′.答案：C6．(2016·忻州联考)已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a ^的值为________． 解析：x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归方程必过样本的中心点(x ，y )．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得a ^＝－0.61.答案：－0.617．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：(请用百分数表示).解析：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20≈8.333>7.879.答案：0.5%8．已知下表所示数据的回归直线方程为y ^＝4x ＋242，则实数a ＝________.解析：回归直线y ^＝4x ＋242必过样本点的中心点(x ，y )，而x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝251＋254＋257＋a ＋2665＝1 028＋a 5，∴1 028＋a 5＝4×4＋242，解得a ＝262.答案：2629．(2015·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 50岁以上 合计(2)能否有99% 解：(1)2×2列联表如下：主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计201030(2)因为K 2＝30×(8－128)212×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．10．(2015·高考重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t12345(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款． 附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中， b ^＝∑ni ＝1t i y i －n t y ∑ni ＝1t 2i －n t2，a ^＝y －b ^t .解：(1)列表计算如下这里n ＝5，t ＝1n ∑n i ＝1t i ＝155＝3，y ＝1n ∑n i ＝1y i ＝365＝7.2. 又l tt ＝∑ni ＝1t 2i －n t2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑ni ＝1t i y i－n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝l ty l tt ＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元^＝0.76，∴a^＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为y^＝0.76x 解析：∵x＝10.0，y＝8.0，b＋0.4，把x＝15代入上式得，y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B.答案：B2．(2015·高考北京卷)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．解析：(1)由题图分析乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩名次靠前，但总成绩名次靠后，所以甲、乙两人中语文成绩名次比总成绩靠前的是乙；(2)丙同学的数学成绩名次位于中间稍微靠后，而总成绩名次相对靠后，所以丙同学的语文成绩名次比较靠后，所以丙同学的成绩名次靠前的科目是数学．答案：乙数学。
第3讲 变量间的相关关系与统计案例
K
2
a b a c c d b d
n ad bc
2
[审题视点] 第(2)问由a＝40，b＝30，c＝160，d＝270，代 入公式可求K2，由K2的值与6.635比较断定．第(3)问从抽样 方法说明．
6．独立性检验 (1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量 称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． (3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为 {x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 总计 c a＋c c＋d b＋d a＋b＋c＋d d
解析 从散点图看，散点图的分布成团状，无任 何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．
考向二
独立性检验
【例2】(2010·全国新课标)为调查某地区老年人是否需要志愿者 提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人， 结果如下： 性别
是否需要志愿者 需要 不需要 男 女 40 160 30 270
从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对 于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散 布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关 系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条 直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这 条直线叫回归直线．
5．线性回归模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误 差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：
R2
y
n i 1 n i 1
第十章 第四节 变量间的相关关系与统计案例(优秀经典课时作业练习及答案详解)
[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能[A 组 基础保分练]1．(2020·桂林模拟)根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b ＜0，a ＞0. 答案：B2．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢键子运动，计算得到统计量K 2的观测值k ≈4.892，参照附表，得到的正确结论是( )P (K 2≥k )0.10 0.05 0.025 k2.7063.8415.024A ．有97.5%B ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析：因为K 2的观测值k ≈4.892＞3.841，所以有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：C3．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%解析：因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市职工人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.答案：D4．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表(单位：万元)由表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模拟，预测广告费为10万元时的销售额约为( )A ．101.2B ．108.8C ．111.2D ．118.2解析：由题意得：x ＝4，y ＝50，∴50＝4×10.2＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归直线方程为y ^＝10.2x ＋9.2，∴当x ＝10时，y ^＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.答案：C5．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：由表中数据得线性回归直线方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为________度．解析：回归直线过点(x ，y )，根据题意得x ＝18＋13＋10＋(－1)4＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，将(10,40)代入y ^＝－2x ＋a ^，解得a ^＝60，则y ^＝－2x ＋60，当x ＝－4时，y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时，用电量约为68度．答案：686．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：有________ 解析：由2×2列联表可知，K 2＝100×(25×30－10×35)240×60×35×65≈2.93，因为2.93＞2.706，所以有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．答案：90%[B 组 能力提升练]1．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.由K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2＝100×(45×22－20×13)265×35×58×42≈9.616.参照下表，A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析：∵K 2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”． 答案：C2．为了解某商品销售量y (件)与其单价x (元)的关系，统计了(x ，y )的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－10x －198 B.y ^＝－10x ＋198 C.y ^＝10x ＋198 D.y ^＝10x －198解析：由图象可知回归直线方程的斜率小于零，截距大于零，故选B. 答案：B3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：A ，B ，C 均正确，是回归方程的性质，D 项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重．选项D 应改为“若该大学某女生身高为170 cm ，则估计其体重大约为58.79 kg ”．答案：D4．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x (℃) 17 13 8 2 月销售量y (件)24334055由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x 解析：由所提供数据可计算得出x ＝10，y ＝38，将b ≈－2代入公式a ＝y －b x 可得a ＝58，即线性回归方程y ^＝－2x ＋58，将x ＝6代入可得y ^＝46.答案：465．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19∶21.其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2∶1.(1)求图中a ，b 的值；(2)现采用分层抽样的方法在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率；(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”.关注 不关注合计 青少年人 中老年人 合计解析：(1)由题意得⎩⎨⎧(b ＋0.03)×10＝1940，(a ＋0.02)×10＝2140，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.032 5，b ＝0.017 5.(2)由题意得在[25,35)中抽取6人，记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在[45,55)中抽取2人，记为1,2.则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，A 1，A 2，BC ，BD ，BE ，BF ，B 1，B 2，CD ，CE ，CF ，C 1，C 2，DE ，DF ，D 1，D 2，EF ，E 1，E 2，F 1，F 2,12，记2人中至少有1个是“中老年人”为事件A ，则P (A )＝1328.(3)2×2列联表如下：K 2＝200×(40×35－55×70)295×105×110×90≈12.157＞10.828.所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”．6．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对300名学生做了问卷调查，列联表如下：已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；(3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：(1)设学习积极性不高的学生有x 名，则x 300＝415，解得x ＝80. 列联表如下：(2)有．理由：由(1)中的列联表可求得K 2＝300×(180×60－20×40)2200×100×220×80≈85＞7.879，因此有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关．(3)根据题意，知从学习积极性高的学生中抽取2人，从学习积极性不高的学生中抽取3人．可设抽出的学习积极性高的学生为A 、B ，学习积极性不高的学生为C 、D 、E ，则选取的2人可以是AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，其中至少有1人学习积极性不高的有AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，所以至少有1人学习积极性不高的概率为910.。
(好题)高中数学选修1-2第一章《统计案例》检测(答案解析)(3)
一、选择题1．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ） A ．2949B ．649C ．2349D ．43492．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（ ） A ．14 B ．89 C ．116D ．5323．下列命题不正确的是（ ）A ．研究两个变量相关关系时，相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关B ．研究两个变量相关关系时，相关指数R 2越大，说明回归方程拟合效果越好．C ．命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定命题为“∃x 0∈R ，cos x 0＞1”D ．实数a ，b ，a ＞b 成立的一个充分不必要条件是a 3＞b 3 4．“人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）A ．分层抽样B ．回归分析C ．独立性检验D ．频率分布直方图5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ）A ．25 B ．310 C ．15D ．1106．从345678910,1112，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A = “第一次取到的数可以被3整除”,B = “第二次取到的数可以被3整除”，则()P B|?A =( ) A ．59B ．23C ．13 D ．297．下列说法中正确的是（ ）A ．设随机变量~(10,0.01)X N ，则1(10)2P X >=B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 8．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a =+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750B ．0.3000C ．0.2500D ．0.20009．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A ．回归直线一定过样本中心(,)x yB ．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C ．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．甲、乙两个模型的2R 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好10．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果一次性抽取 2道题，已知有一道是理科题的条件下，则另一道也是理科题的概率为 A ．13B ．14C ．12D ．3511．某商品的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是3.ˆ2yx a =-+，则实数a =( ) A ．30B ．35C ．38D ．4012．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）参考公式附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：A．130 B．190C．240 D．250二、填空题13．掷三个骰子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是________.14．一盒子中装有6只产品，其中4只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样.则在第一次取到的是一等品的条件下，第二次取到的是二等品的概率为__________．15．已知x、y之间的一组数据如下：=+所表示的直线必经过点________.则线性回归方程ˆy a bx16．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为______________17．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知=）=，lg30.4771lg20.301018．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p=_____．19．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1，把次品误判为正品的概率是0.05．如果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为___________．20．一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________三、解答题21．一个口袋中有4个红球和3个黑球．（1）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后不放回，求：（i）三个球中有两个红球一个黑球的概率；（ii）第二次取出的是红球且第三次取出的也是红球的概率．（2）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后放回，求至少有两个是红球且第三个是红球的概率22．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面22⨯列联表.22⨯与性别有关”？（2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女生的概率.若将频率视为概率. 附：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 23．某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示：（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望()E ξ. 24．随着运动App 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表：间中点值作代表）；（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++25．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（Ⅰ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；（Ⅱ）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++26．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x ，若每次抽取的结果是相互独立的，求x 的分布列，期望和方差． 附表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案. 【详解】根据题意：32291117749p ⎛⎫⎛⎫=---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．D解析：D 【分析】首先确定是条件概率，在出现数字乘积为偶数的前提下，乘积为非零偶数的概率， 首先求两次数字乘积为偶数的概率， 然后两次为非零偶数的概率，再按照条件概率的公式求解. 【详解】两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，概率是22169⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以两次数字乘积为偶数的概率P =228169⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； 若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，P =111152366636⨯⨯+⨯=,.故所求条件概率为55368329P ==.故选：D 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算和独立事件，考查了学生的计算能力，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据相关系数、相关指数的知识、全称命题的否定的知识，充分、必要条件的知识对四个选项逐一分析，由此得出命题不正确的选项. 【详解】相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关，A 选项正确. 相关指数2R 越大，回归方程拟合效果越好，B 选项正确.根据全称命题的否定是特称命题的知识可知C 选项正确.对于D 选项，由于33a b a b >⇔>，所以33a b >是a b >的充分必要条件，故D 选项错误.所以选D. 【点睛】本小题主要考查相关系数、相关指数的知识，考查全称命题的否定是特称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。
习题-变量间的相关关系、统计案例
10.3 变量间的相关关系、统计案例基础篇 固本夯基考点一 变量间的相关关系1.(2022届陕西宝鸡期末,4)下列两个变量具有相关关系的是( ) A.正方体的体积与棱长 B.汽车匀速行驶时的路程与时间 C.人的体重与饭量 D.人的身高与视力 答案 C2.(2021西南名校联盟联考,3)已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46,0.79, -0.92,0.85,则( )A.甲组数据变量间的线性相关程度最强B.乙组数据变量间的线性相关程度最弱C.丙组数据变量间的线性相关程度最强D.丁组数据变量间的线性相关程度最强 答案 C3.(2020陕西铜川二模,5)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y 与x 负相关且y ^=2.347x-6.423; ②y 与x 负相关且y ^=-3.476x+5.648; ③y 与x 正相关且y ^=5.437x+8.493; ④y 与x 正相关且y ^=-4.326x-4.578. 其中不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案 D4.(2020陕西榆林三模,3)如图所示,给出了样本容量均为7的A,B 两组样本数据的散点图,已知A 组样本数据的相关系数为r 1,B 组样本数据的相关系数为r 2,则( )A.r 1=r 2B.r 1<r 2C.r 1>r 2D.无法判定 答案 C5.(2022届四川资阳一诊,4)我国在2020年如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务,脱贫攻坚战取得全面胜利,历史性地解决了绝对贫困问题,并全面建成了小康社会.现就2013—2019 年年末全国农村贫困人口数进行了统计,制成如下散点图:据此散点图,下面 4个回归方程类型中最适宜作为年末贫困人口数y 和年份代码x 的回归方程类型的是( )A.y=a+bxB.y=a+bx C.y=a+be x D.y=a+bln x 答案 A6.(2022届四川绵阳阶段测试,3)某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行了调查,5家商场的价格x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示:价格x(元) 9 9.5 10 10.5 11 销售量y(件)1110865按公式计算,y 与x 的回归直线方程是y ^=-3.2x+a ^,相关系数|r|=0.992,则下列说法错误的是( ) A.变量x,y 线性负相关且相关性较强 B.a ^=40C.当x=8.5时,y 的估计值为12.8D.相应于点(10.5,6)的残差为0.4 答案 D7.(2020兰州一诊,7)近五年来某草场羊只数与草场植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示.年份 1 2 3 4 5 羊只数(万只) 1.4 0.9 0.750.60.3 草场植被指数1.14.315.6 31.349.7根据表及图得到以下判断:①羊只数与草场植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为r 1,去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2,则|r 1|<|r 2|; ③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数为2万只时的草场植被指数. 以上判断中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 B8.(2020课标Ⅱ,18,12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑i=120x i =60,∑i=120y i =1 200,∑i=120(x i -x )2=80,∑i=120(y i -y )2=9 000,∑i=120(x i -x)(y i -y)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由. 附:相关系数 r=∑i=1n(x i -x)(y -y)√∑i=1(x i -x)2∑i=1(y i -y)2,√2≈1.414.解析(1)由已知得样本平均数y =120∑i=120y i =60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12 000.(2)样本(x i ,y i )(i=1,2,…,20)的相关系数 r=∑i=120(x i -x)(y -y)√∑i=1(x i -x)2∑i=1(y i-y)2=√80×9 000=2√23≈0.94.(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.考点二 独立性检验1.(2022届黑龙江月考,8)某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查,根据独立性检验原理,处理所得数据之后发现,有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关,则K 2的观测值可能为( )P(K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A.K2=3.206B.K2=6.625C.K2=7.869D.K2=11.208答案C2.(2022届山西运城期中,7)为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验.根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图,最能体现该药物对预防禽流感有显著效果的图形是()答案D3.(2020宁夏石嘴山二模,4)通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动,计算得到K2的观测值k≈4.892,参照下表,得到的正确结论是()P(K2≥k0)0.100.050.025k0 2.706 3.841 5.024A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”答案C4.(2021四川南充阆中中学4月质检,6)若由一个2×2列联表中的数据计算得K2=4.013,那么有的把握认为两个变量有关系.()P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.95%B.97.5%C.99%D.99.9%答案A5.(2021安徽黄山二模,7)给出下列命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于0,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1; ③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好;④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说,k 越大,“X 与Y 有关系”的把握程度越大. 其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 C6.(2022届河南焦作模拟,17)第32届夏季奥运会于2021年7月23日至8月8日在日本举行,为了解某校学生对奥运会是否关注,随机调查了该校200名学生,统计结果如表:关注 不关注 合计 女生 34 51 85 男生 66 49 115 合计100100200(1)分别估计该校女生和男生关注奥运会的概率;(2)能否有99%的把握认为该校女生和男生对奥运会的关注度有差异? 参考公式及数据: K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K 2≥k) 0.050 0.010 0.001k3.8416.635 10.828解析 (1)估计该校女生关注奥运会的概率约为3485=25;男生关注奥运会的概率约为66115. (2)由题表中数据可知K2=200×(34×49-66×51)2100×100×85×115=13623≈5.913. 因为5.913<6.635,故没有99%的把握认为该校女生和男生对奥运会的关注度有差异.7.(2022届昆明质检,17)“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款,某学校140名教师均在微信好友群中参与了“微信运动”,对运动10 000步或以上的教师授予“运动达人”称号,低于10 000步称为“参与者”.为了解教师们的运动情况,选取了教师们在某日的运动数据进行分析,统计结果如下:运动达人 参与者 合计 男教师 60 20 80 女教师 40 20 60 合计10040140(1)根据上表说明,能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关; (2)从获得“运动达人”称号的教师中采用按性别分层抽样的方法选取5人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动,若从选取的5人中随机抽取2人作为代表参加开幕式,求抽取的2人都为女教师的概率. 参考公式:K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K 2≥k 0) 0.050 0.0100.001k 03.8416.635 10.828解析 (1)∵K2=140×(60×20-40×20)280×60×100×40≈1.167<3.841,∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关.(2)根据分层抽样方法得:参赛的男教师有60100×5=3人,参赛的女教师有40100×5=2人,抽取的男教师记为A,B,C;女教师记为a,b.从抽取的这五名教师中随机选取2名,有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共10种选法,其中2人都是女教师的选法有ab 一种,故抽取的2人都为女教师的概率P=110.8.(2019课标Ⅰ,17,12分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到列联表:满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828.解析 (1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6. (2)K2=100×(40×20-10×30)250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.综合篇 知能转换考法一 线性回归方程的求解与应用1.(2022届四川模拟,8)已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(5,6),则回归直线方程为( ) A.y ^=-0.15x+1.23 B.y ^=-2.38x+1.23C.y ^=1.23x-2.38 D.y ^=1.23x-0.15 答案 D2.(2022届哈尔滨模拟,10)已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间具有线性相关关系,利用下表中的五组数据求得回归直线方程为y ^=b ^x+a ^,根据该回归方程,预测当x=8时,y ^=84.8,则b ^=( )x23456y 25 37 50 56 64A.9.4B.9.5C.9.6D.9.8 答案 C3.(2021甘肃二模,7)某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导,推进绿色发展,现要订购一批苗木,苗木长度与售价如下表:苗木长度x(厘米) 38 485868 7888 售价y(元)16.8 18.8 20.8 22.8 2425.8由表可知,苗木长度x(厘米)与售价y(元)之间存在线性相关关系,回归方程为y ^=0.2x+a ^,则当苗木长度为150厘米时,售价大约为( ) A.33.3元 B.35.5元 C.38.9元 D.41.5元 答案 C4.(2021西安中学二模,4)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y ^=0.85x-85.71. ①y 与x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本点的中心(x ,y );③若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg; ④若该大学某女生身高为170 cm,则其体重必为58.79 kg. 则上述判断不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A5.(2020中原名校质量考评,7)根据最小二乘法,由一组样本数据(x i ,y i )(其中i=1,2,…,300)求得的回归方程是y ^=b ^x+a ^,则下列说法正确的是( )A.至少有一个样本点落在回归直线y ^=b ^x+a ^上B.若所有样本点都在回归直线y ^=b ^x+a ^上,则变量间的相关系数为1 C.对所有的解释变量x i (i=1,2,…,300),b ^x i +a ^的值一定与y i 有误差 D.若回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率b ^>0,则变量x 与y 正相关 答案 D6.(2021江西八校4月联考,14)如图,根据已知的散点图得到y 关于x 的线性回归方程为y ^=b ^x+0.2,则b ^= .答案 1.67.(2022届江西顶级名校调研,18)根据国际疫情形势以及传染病防控的经验,加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段,我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作.某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式,积极开展疫苗接种社会宣传工作,消除群众疑虑,提高新冠疫苗接种率,让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用.自宣传开始后村干部统计了本村200名居民(未接种)5天内每天新接种新冠疫苗的情况如下表:第x 天 1 2 3 4 5 新接种人数y1015192328(1)建立y 关于x 的线性回归方程;(2)假设全村共计2 000名居民(均未接种过新冠疫苗),用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天.参考公式:回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^=∑i=1nx i y i -nxy ∑i=1nx i 2-nx2,a ^=y -b ^x .解析 (1)x =1+2+3+4+55=3,y =10+15+19+23+285=19,则b ^=10+30+57+92+140-5×3×1912+22+32+42+52-5×32=225,a ^=19-225×3=295,故y 关于x 的线性回归方程为y ^=225x+295.(2)设a n =225n+295,数列{a n }的前n 项和为S n ,易知数列{a n }是等差数列, 则S n =n(a 1+a n )2=n (225+295+225n+295)2=115n 2+8n,因为S 6=127.2,S 7=163.8,所以10S 6=1 272,10S 7=1 638,又2 000×80%=1 600(人),所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天.8.(2021广西贵港港北模拟,17)某个体服装店经营各种服装,在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系如下表:x 3456789y66 69 73 81 89 90 91(1)求x ,y ;(2)若y 与x 线性相关,请求纯利润y(元)与每天销售件数x 的回归直线方程. 参考数据及公式:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i2-nx 2,a ^=y -b ^x ,∑i=17x i 2=280,∑i=17x i y i =3 487. 解析 (1)x =17×(3+4+5+6+7+8+9)=6,y =17×(66+69+73+81+89+90+91)=5597. (2)设回归直线方程为y ^=b ^x+a ^.∵∑i=17x i 2=280,∑i=17x i y i =3 487,∴b ^=3 487-7×6×5597280-7×36=13328=4.75,a ^=5597-6×4.75≈51.36.∴回归直线方程为y ^=4.75x+51.36.9.(2021成都郫都模拟,18)某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额,统计结果如下表:年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y/百亿元912172126(1)请根据上表提供的数据,用相关系数r 说明y 与x 的线性关系的强弱(线性相关系数保留三位小数);(统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量x 的取值x i ,变量y 的观测值为y i (1≤i ≤n),则两个变量的相关系数的计算公式为r=∑i=1n(x i -x)(y -y)√∑i=1(x i -x)2∑i=1(y i -y)2.统计学认为,对于变量x,y,如果r ∈[-1,-0.75],那么负相关很强;如果r ∈[0.75,1],那么正相关很强;如果r ∈(-0.75,-0.30]或r ∈[0.30,0.75),那么相关性一般;如果r ∈[-0.25,0.25],那么相关性较弱)(2)求出y 关于x 的线性回归方程,并预测2020年该网站“双11”当天的交易额. 参考公式:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y -b ^x ,参考数据:√1 860≈43.1.解析 (1)根据题表中的数据,可得x =15×(1+2+3+4+5)=3,y =15×(9+12+17+21+26)=17, 则∑i=15(x i -x )(y i -y )=(1-3)×(9-17)+…+(5-3)×(26-17)=43;√∑i=15(x i -x)2∑i=15(y i -y)2=√10×186≈43.1,所以r=∑i=15(x i -x)(y -y)√∑i=15(x i -x)2∑i=15(y i-y)2=4343.1≈0.998,所以变量y 与x 的线性相关性很强. (2)由(1)可得x =3,y =17,∑i=15(x i -x )(y i -y )=43,∑i=15(x i -x )2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,所以b ^=∑i=15(x i -x)(y i -y)∑i=15(x i -x)2=4310=4.3,则a ^=y -b ^x =17-4.3×3=4.1.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^=4.3x+4.1.令x=6,可得y ^=4.3×6+4.1=29.9,故预测2020年该网站“双11”当天的交易额为29.9百亿元.思路分析 (1)利用已知条件求解相关系数,判断即可;(2)根据公式求出回归直线方程的系数,得回归直线方程,然后把x=6代入,求出结果进行预测即可.考法二 独立性检验的应用1.(2022届河南月考,9)某外语学校要学生从德语和日语中选择一种作为“第二外语”进行学习,为了解选择第二外语的倾向与性别的关系,随机抽取100名学生,得到下面的数据表:选择德语 选择日语 男生 15 35 女生3020根据表中提供的数据可知( ) 附:K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K 2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k2.7063.841 6.635 7.87910.828A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为选择第二外语的倾向与性别无关B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为选择第二外语的倾向与性别有关C.有99.5%的把握认为选择第二外语的倾向与性别无关D.有99.5%的把握认为选择第二外语的倾向与性别有关答案D2.(2020江西吉安、抚州、赣州一模,5)千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A 的100天日落和夜晚天气,得到如下2×2列联表:夜晚天气下雨未下雨日落云里走出现255未出现2545临界值表P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828并计算得到K2≈19.05,下列小波对地区A天气的判断不正确的是()A.夜晚下雨的概率约为12B.未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为514C.有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关D.出现“日落云里走”,有99.9%的把握认为夜晚会下雨答案D3.(2020湖南衡阳八中月考,5)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:喜欢应用统计课程不喜欢应用统计课程男生205女生1020附表:P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式:K2=n(ad-bc)2,其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为喜欢“应用统计”课程与性别有关B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为喜欢“应用统计”课程与性别无关C.有99.99%以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关D.有99.99%以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别无关答案A4.(2020安徽蚌埠三模,15)某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况,随机抽取国内、国外各100名客户代表,了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度,得到如图所示的等高条形图,则有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关(填“能”或“不能”).P(K2≥k)0.0500.0100.0050.001k 3.841 6.6357.87910.828附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).答案能5.(2021山东青岛一模,15)某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果,调查了105名学员,统计结果为接受大密度集中培训的55名学员中有45名学员一次考试通过,接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果,认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2≥k)0.050.0250.0100.001k 3.841 5.024 6.63510.828答案0.0256.(2022届吉林重点高中月考,19)新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车,被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下,新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况,得到数据如下:购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计15050200 (1)根据表中数据,判断是否有99.9%的把握认为购置新能源汽车与性别有关;(2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位,参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查,并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物,求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率. 参考公式:K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828解析 (1)由题表得K2=200×(100×30-20×50)2120×80×150×50=1009≈11.111>10.828.所以有99.9%的把握认为购置新能源汽车与性别有关.(2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位,其中男性车主有100150×6=4人,记为a,b,c,d;女性车主有50150×6=2人,记为E,F.从这6位车主中随机抽取2位车主包含的基本事件有:ab,ac,ad,aE,aF,bc,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,dF,EF,共15种. 至少有1位女性车主包含的基本事件有:aE,aF,bE,bF,cE,cF,dE,dF,EF,共9种.故所求概率P=915=35. 7.(2022届山西长治质检,17)为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效,某机构日前联合医院进行了小规模的调查.结果显示,相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状,该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查,得到统计数据如下表:无疲乏症状有疲乏症状总计 未使用新药 150 25 t 使用新药 x y 100 总计225m275(1)求2×2列联表中的数据x,y,m,t 的值,并确定能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关; (2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状,采用分层抽样的方法抽出4人,再从这4人中随机抽取2人作进一步调查,求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率. 附:K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K 2≥k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k2.072 2.7063.841 5.0246.635解析 (1)t=150+25=175,x=225-150=75,y=100-75=25,m=25+25=50,所以K 2的观测值k=275×(150×25-75×25)2225×50×100×175≈4.910 7>3.841,故有95%的把握认为有疲乏症状与使用新药有关.(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状,采用分层抽样的方法抽出4人,其中无疲乏症状的有75100×4=3人,记为a,b,c;有疲乏症状的有25100×4=1人,记为D,则从这4人中随机抽取2人的情况有ab,ac,aD,bc,bD,cD,共6种,这2人中恰有1人有疲乏症状的情况有aD,bD,cD,共3种.故所求概率P=36=12. 8.(2021安徽五校联盟联考(二),18)网购是当前人们购物的新方式,某公司为了改进营销方式,随机调查了100名市民,统计了不同年龄的人群网购的人数如下表:年龄段(岁) (0,20) [20,40) [40,60) [60,100) 网购人数 26 32 34 8 男性人数1510105(1)若把年龄在[20,60)的人称为“网购迷”,否则称为“非网购迷”,请完成下面的2×2列联表,并判断能否有99%的把握认为网购与性别有关;网购迷非网购迷总计男性 女性 总计(2)若从年龄小于40岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人,再从中抽取两人,求两人年龄都小于20岁的概率. 附:K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K 2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.001k2.7063.841 6.635 10.828解析 (1)由题中信息完善2×2列联表如下表所示:网购迷 非网购迷 总计 男性 20 20 40 女性 46 14 60 总计6634100∴K2=100×(20×14-46×20)266×34×40×60≈7.605>6.635,故有99%的把握认为网购与性别有关.(2)年龄在(0,20)、[20,40)的网购男性分别有15人、10人.按分层抽样的方法随机抽取5人,从年龄段(0,20)内抽取3人,分别记为1、2、3;从年龄段[20,40)内抽取2人,分别记为a 、b,从中随机抽取2人的可能结果有(1,2)、(1,3)、(1,a)、(1,b)、(2,3)、(2,a)、(2,b)、(3,a)、(3,b)、(a,b),共10个.用A表示“两人年龄都小于20岁”这一事件,则事件A包含的结果为(1,2)、(1,3)、(2,3),共3个.故事件A发生的概率P(A)=310.9.(2021安徽黄山二模,17)2021年3月5日,人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息,人社部表示正在研究延迟退休改革方案,两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄.现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查,随机调查了50人,他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如下表.月收入(单位:百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数123534(1)根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异;月收入不低于55百元月收入低于55百元合计赞成不赞成合计(2)若采用分层抽样法从月收入在[25,35)和[65,75]的被调查人中选取6人进行跟踪调查,并随机给其中3人发放奖励,求获得奖励的3人中至少有1人月收入在[65,75]的概率.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828解析(1)2×2列联表如下:月收入不低于55百元月收入低于55百元合计赞成71118不赞成32932合计104050则K2=50×(7×29-3×11)210×40×32×18≈6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异.(2)按照分层抽样的方法可知,月收入在[25,35)的抽取4人,记为a,b,c,d,月收入在[65,75]的抽取2人,记为A,B,则从6人中任取3人的所有情况为{A,B,a}、{A,B,b}、{A,B,c}、{A,B,d}、{A,a,b}、{A,a,c}、{A,a,d}、{A,b,c}、{A,b,d}、{A,c,d}、{B,a,b}、{B,a,c}、{B,a,d}、{B,b,c}、{B,b,d}、{B,c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{b,c,d},共20种, 其中至少有1人月收入在[65,75]的情况有16种, 所以3人中至少有1人月收入在[65,75]的概率为1620=45.应用篇 知行合一应用 回归模型的应用1.(2020课标Ⅰ,5,5分探索创新情境)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y=a+bxB.y=a+bx 2C.y=a+be xD.y=a+bln x 答案 D2.(2022届宁夏顶级名校月考,20实际生活)“金山银山不如绿水青山;绿水青山就是金山银山.”复兴村借力“乡村振兴”国策,依托得天独厚的自然资源开展乡村旅游,乡村旅游事业蓬勃发展.复兴村旅游协会记录了近八年的游客人数,见下表.年份2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年2020 年 年份代码x 1 2 345678 游客人数y (百人)4816 32 51 71 97122为了分析复兴村未来的游客人数变化趋势,公司总监分别用两种模型对变量y 和x 进行拟合,得到了相应的回归方程,绘制了残差图.残差图如下(注:残差e ^i =y i -y ^i ):模型①y ^=bx 2+a;模型②y ^=dx+c.(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由; (2)根据(1)中选定的模型求出相应的回归方程(系数均保留两位小数); (3)根据(2)中求出的回归方程来预测2021年的游客人数(结果保留整数). 其中,z=x2,z =18∑i=18z i .参考数据:∑i=18(x i -x )·(y i -y )=728∑i=18(x i -x )2=42∑i=18(z i -z )·(y i -y )=6 868∑i=18(z i -z )2=3 570∑i=18z i =204∑i=18y i =400附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y -b ^x .解析 (1)选择模型①.理由:根据残差图可以看出, 模型①的估计值和真实值相对比较接近;模型②的残差相对比较大,所以模型①的拟合效果相对较好.(2)由(1)可知y 关于x 的回归方程为y ^=bx 2+a.令z=x 2,则y ^=bz+a,由题中所给数据得b ^=6 8683 570≈1.92,又z =18∑i=18z i =2048=25.5,y =4008=50,所以a ^=50-1.92×25.5=1.04,所以y 关于x 的回归方程为y ^=1.92x 2+1.04. (3)将x=9代入回归方程,可得y ^=1.92×92+1.04≈157, 则2021年游客人数大约为157百人. 3.(2021哈尔滨三中一模,19实际生活)宁夏西海固地区,在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一.为改善这一地区人民生活的贫困状态,20世纪90年代,党中央和自治区政府决定开始吊庄移民,将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫,党中央作出推进东西部对口协作的战略部署,其中确定福建对口帮扶宁夏,在福建人民的帮助下,原西海固人民实现了快速脱贫,下表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计:年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x12 3 4 5 人均年收入y(千元) 1.32.85.78.913.8现要建立y 关于x 的回归方程,有两个不同回归模型可供选择,模型一y^(1)=b ^x+a ^;模型二y ^(2)=c ^x 2+d ^,即使画出y 关于x 的散点图,也无法确定哪个模型拟合效果更好,现用最小二乘法原理,已经求得模型一的方程为y ^=3.1x-2.8.(1)请你用最小二乘法原理,结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程(计算结果保留到小数点后一位);(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好(已经计算出模型一的残差平方和为∑i=15(y i -y ^i )2=3.7).参考数据:∑i=15t i y i -5ty ∑i=15t i2-5t 2≈0.52,其中t i =x i 2,i=1,2,3,4,5.参考公式:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v ^=α^+β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^=∑i=1nu i v i -nuv ∑i=1nu i 2-nu 2,α^=v -β^u .解析 (1)令t=x 2,则模型二可化为y 关于t 的线性回归问题, t =1+4+9+16+255=11,y =1.3+2.8+5.7+8.9+13.85=6.5, 则由参考数据可得c ^=∑i=15t i y i -5ty ∑i=15t i2-5t 2≈0.52≈0.5,d ^=y -c ^t =6.5-0.52×11≈0.8, 则模型二的方程为y ^(2)=0.5x 2+0.8. (2)由模型二的回归方程可得,y ^1(2)=0.5×1+0.8=1.3,y ^2(2)=0.5×4+0.8=2.8,y ^3(2)=0.5×9+0.8=5.3,y ^4(2)=0.5×16+0.8=8.8,y ^5(2)=0.5×25+0.8=13.3,∴∑i=15(y i -y ^i (2))2=02+02+0.42+0.12+0.52=0.42<3.7,故模型二的拟合效果更好.创新篇 守正出奇创新 统计与统计案例的综合应用。
第四讲变量间的相关关系统计案例
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( ) (3)事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大．( ) (4)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为物理成绩优秀与数
附：P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
A．0.1%
k0 B．1%
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
C．99%
D．99.9%
C 因为 7.069 与附表中的 6.635 最接近，所以得到的统计学结论是：有 1－0.010 ＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．
有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 解：根据箱产量的频率分布直方图得列联表
旧养殖法 新养殖法
箱产量<50 kg 62 34
箱产量≥50 kg 38 66
K2 的观测值 k＝2001×00×621×006×6－963×4×103482≈15.705. 由于 15.705＞6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
A [因为变量 x 和 y 正相关，排除选项 C，D.又样本中心(3,3.5) 在 回归直线上，排除 B，选项 A 满足．]
解析答案
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4．下面是 2×2 列联表：则表中 a，b 的值分别为( )
A．94,72பைடு நூலகம்
x1 x2 合计
y1
y2
a
21
22
25
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为 6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为
________件．
能力提升
5．工人月工资 y(元 )关于劳动生产率 x(千元 )的回归方程为 确的个数是 ( )
①劳动生产率为 1000 元时，工资为 730 元； ②劳动生产率提高 1000 元，则工资提高 80 元； ③劳动生产率提高 1000 元，则工资提高 730 元； ④当月工资为 810 元时，劳动生产率约为 2000 元． A ． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6． 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
4． 2010 年一轮又一轮的寒潮席卷全国． 某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量 y(件 ) 与月平均气温 x(℃ )之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，数据如
下表：
月平均气温 x(℃ )
17 13 8
2
月销售量 y(件 )
24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程 y^＝ bx＋ a 中的 b≈－ 2.气象部门预测下个月的平均气温约
C．若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 得推断出现错误
5% 的可能性使
D ．以上三种说法都不正确
8． 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10,1) ， (11.3,2)(11.8,3) ， (12.5,4)， (13,5)；变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) ， (11.3,4)， (11.8,3)， (12.5,2)， (13,1) ， r 1表示变量 Y 与 X 之
y＝ 650＋ 80x，下列说法中正
广告费用 x(万元 )
4
2
3
5
1
销售额 y(万元 )
49 26 39 54
根据上表可得回归方程 y^＝ b^x＋a^中的 b^为 9.4，据此模型预报广告费用为 为( )
6 万元时销售额
A ． 63.6 万元 B． 65.5 万元
C．67.7 万元 D． 72.0 万元
13． 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李 某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位：小时 ) 与当天投篮命中率 y 之间的关系：
时间 x
1
2
3
4
5
命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这 5 天的平均投篮命中率为 ________；用线性回归分析的方法，预测小李该月
1
11
A. 3 B ．－ 2 C.2 D． 1
10．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元 )，有如下的统计资料：
若由资料可知 请估计使用年限为
x2
3
4
5
6
y 1.4 2.3 3.1 3.7 4.5
y 对 x 呈线性相关关系， 且线性回归方程为 ^y＝ a＋ bx，其中已知 b＝1.23，
间的线性相关系数， r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则 ( )
A ． r 2<r 1<0 B ． 0<r 2<r1 C．r 2<0< r 1 D ． r 2＝ r 1
9．已知 x、 y 的取值如下表所示： x23 4
5
如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为 y^＝ bx＋13，则 b＝ ( ) 2
20 年时，维修费用约为 ________．
11． 对一些城市进行职工人均工资水平 x(千元 )与居民人均消费水平 y(元 )统计调查后 知，y 与 x 具有相关关系， 满足回归方程 y＝ 0.66x＋ 1.562.若某被调查城市居民人均消费水平
为 7.675(千元 )，则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 留两个有效数字 )．
6
号打 6 小时篮球的投篮命中率为 ________．
2
14．(10 分 ) 某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出 样本，其选报文科理科的情况如下表所示 .
20 名学生作为
男女
文科
2
5
理科 10 3
(1)若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出 生也有女生的概率；
本点通过最小二乘法得到的线性回归直线 (如图 K56 － 1)，以下结论中正确的是
l 是由这些样 ()
图 K56 － 1
A ．直线 l 过点 ( x ， y )
B．x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率
C．x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间
D．当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同
X1 X2 总计
Y1 a c a＋ c
Y2 b d b＋ d
总计 a＋b c＋ d a＋ b＋ c＋ d
则下列说法正确的是 ( )
A ． ad－ bc 越小，说明 X 与 Y 关系越弱
B．ad－ bc 越大，说明 X 与 Y 关系越强 C．( ad－ bc)2 越大，说明 X 与 Y 关系越强 D． (ad－ bc)2 越接近于 0，说明 X 与 Y 关系越强 3． 设 (x1， y1)， (x2， y2) ， , ， (xn， yn) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线
课时作业 (五十六 ) [ 第 56 讲 变量的相关关系与统计案例 ]
基础热身
[时间： 45 分钟
分值： 100 分 ]
1．对于自变量 x 和因变量 y，当 x 取值一定时， y 的取值带有一定的随机性， x，y 之间 的这种非确定性关系叫 ( )
A ．函数关系 B．线性关系
C．相关关系 D．回归关系 2．分类变量 X 和 Y 的列联表如下：
________%( 保
12．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关， 照射小白鼠，在照射后 14 天的结果如下表所示：
用两种不同剂量的电离辐射
第一种剂量
死亡 存活 合计
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
合计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是
________________________________________________________________________ ．
7．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
()
A ．若 K2 的观测值为 k＝ 6.635，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在
100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病
B．从独立性检验可知，有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那 么他有 99%的可能患有肺病