第六章 相关关系(0-1)
第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
第六章 相关与回归分析
第六章相关与回归分析第一节简单线性相关一、变量间的关系：1、函数关系：①、是一一对应的确定关系；②、设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称y 是x 的函数，记为y= f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量；③、各观测点落在一条线上。
2、相关关系：①、变量间关系不能用函数关系精确表达；②、一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；③、当变量x 取某个值时，变量y 的取值可能有几个；④、各观测点分布在直线周围。
3、相关关系的种类：①、根据密切程度分为：完全相关、不完全相关、完全不相关；②、根据相关的方向分为：正相关、负相关；③、根据相关的形式分为：线性相关、非线性相关；④、根据变量的多少分为：单相关、复相关、偏相关。
二、相关分析和回归分析1、相关分析：用一个指标来表明现象间相互依存的密切程度；广义的相关分析包括相关关系的分析（狭义的相关分析）和回归分析。
2、回归分析：是指具有相关关系的现象，根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型（称为回归方程式）用来近似地表达变量的平行变化关系的一种统计分析。
3、相关分析与回归分析的区别及联系：①、相关分析中，变量x变量y 处于平等的地位；回归分析中，变量y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化②、相关分析中所涉及的变量x 和y 都是随机变量；回归分析中，因变量y 是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量③、相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x 对变量y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制④、相关分析是回归分析的基础与前提，回归分析是相关分析的深入和继续。
三、相关系数：1、简单相关系数：是指在线性条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。
2、相关关系的计算公式为：公式一：2222)()(/))(()()(/))((y y x x y y x x y y x x y y x x r -∑⋅-∑--∑=-∑⋅-∑--∑= 公式二：2222)()(/y y n x x n xy x xy n r ∑-∑⋅∑-∑⋅∑-∑=公式三：y x y x xy r σσ⋅⋅-=/3、“r ”的取值范围及其意义：①、取值范围：相关系数的取值范围在+1和-1之间（-1≤r ≤1）。
计量地理 第六章 地理要素的相关分析
rxy == lxy lxxlyy
2
x2
2
lxx = ∑ xi
1 − n
(∑ x )
i
2
lyy = ∑ yi
2
1 − n
(∑ y )
i
2
lxy = ∑ xiyi −
1 ( ∑ xi )( ∑ yi ) n
30
20
月月月5 5厘厘厘厘
10
年径流量 11 11 7 12 15 11 13 15 11 12 10 12 13 8 11 13
(2)顺序(等级)相关系数(rs)的计算公式
表示两个要素(变量 顺序间直线相关程度 表示两个要素 变量)顺序间直线相关程度 变量 和方向的系数，称为顺序(或等级 相关系数。 和方向的系数，称为顺序 或等级 相关系数。 顺序 或等级)相关系数
例2：右表是某 ： 地多年降水量量 与径流量，请进 与径流量， 行相关分析
年 份 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975
年降水量 336 340 291 361 441 352 410 444 386 411 334 379 341 372 370 401
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温（ 平均气温（x） -4.7 -2.3 4.4 13.2 20.2 24.2 26 24.6 19.5 12.5 4 -2.8 5厘米平均地温(y) -3.6 -1.4 5.1 14.5 22.3 26.9 28.2 26.5 21.1 13.4 4.6 -1.9
统计学06第六章相关与回归分析
-5.3339 -21.2729 -20.0669
0.02111209 -58.5559
0.0675121 -201.421
2019/11/7
第六章 相关与回归分析
20
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 1
n x y
Lxx
L yy
Lxy
2
xx
2
y y
xx
3559.59
22
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 2
n x y x2 y2 x y
10 6470 5.813 4814300 3.446609 3559.59
r
10 3559.59 6471 5.813
10 4814300 64702 10 3.446609 5.8132
第六章 相关与回归分析
第二节 简单线性相关分析
2.1 相关系数的计算公式 2.2 相关系数的特征及判别标准 2.3 相关系数的检验
2.1 相关系数的计算公式
相关系r数与计ρ算公式： X 、Y 的协方差
相总关样 系体数本：相关 系V数Caor是 vXX一，Va个 YrY统
计量。可以证明，样本相
y y
10 6470 5.813 628210 0.0675121 -201.421
r
201 .421
628210 0 .0675121
0 .978051034 0.9781
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第六章 相关与回归分析
21
2.2 相关系数的特征及判别标准
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
第六章相关与回归分析
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
第六章-相关与回归
间相关程度的比较。
（2）1≤r≤1，0≤|r|≤1。 |r|越接近于1，说明两变量的相关程度越强； |r|越接近于0，两变量的相关程度越差。
（3）r=0表示x与y无相关， r＜0表示负相关， r＞0表示正相关， |r|=1为完全相关。
二、样本相关系数的计算
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。
前面已经指出，要研究两种变量间的关系，最简单的方 法是把一系列观测数据在坐标中用散点图表示，如果散点 大致分布在一条直线附件，就可以判断两者为直线回归关 系。这种关系可用直线回归方程表示。则总体直线回归方 程为：
yi xi i （i=1，2，…，n） i服 N 0 从 ，2，且相互独
相关变量间的关系一般分为两种: 一种是平行关系，是研究变量间关系的强弱程度，此
时我们不关心在它们之间是谁影响了谁，谁是因，谁是果， 变量间的地位是平等的。如黄牛的体长和胸围之间的关系， 猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。
另一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几 个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、 饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影 响。
N 1N 1 (XX X)Y ( Y Y)
(XX)Y (Y) (XX)2 (YY)2
r SP xy
xy(x)n(y)
SSxSSy
x2(nx)2y2(ny)2
其中：
SPxy— 变量x和变量y的离均差乘积和简称乘积和 SSx — 变量x 的离均差平方和 SSy — 变量y 的离均差平方和
相关系数r 的特点:
变量。
例如，进行药物疗效试验 时，应用不同的剂量 （x），分析疗效（y）如 何受到药物剂量的影响及 其变化规律。这里规定的
相关关系系数
相关关系系数
相关关系系数是一种用于衡量两个变量之间关系强度的统计量。
它可以帮助我们了解两个变量之间的相关性，从而更好地理解数据和做出正确的决策。
相关关系系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，0表示没有相关性，1表示完全正相关。
在实际应用中，我们通常使用皮尔逊相关系数来衡量两个变量之间的相关性。
皮尔逊相关系数是一种线性相关系数，它假设两个变量之间的关系是线性的。
它的计算公式为：
r = (Σ(x - x̄)(y - ȳ)) / sqrt(Σ(x - x̄)²Σ(y - ȳ)²)
其中，x和y分别表示两个变量的取值，x̄和ȳ分别表示两个变量的平均值，Σ表示求和符号。
皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，当r>0时表示正相关，当r<0时表示负相关，当r=0时表示没有相关性。
当r的绝对值越接近1时，表示两个变量之间的相关性越强。
除了皮尔逊相关系数外，还有一些其他的相关系数，如斯皮尔曼相关
系数和切比雪夫相关系数等。
它们都有各自的特点和适用范围，我们
需要根据具体情况选择合适的相关系数来衡量两个变量之间的相关性。
总之，相关关系系数是一种非常重要的统计量，它可以帮助我们了解
两个变量之间的相关性，从而更好地理解数据和做出正确的决策。
在
实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的相关系数，并结合其
他统计方法进行分析和判断。
相关系数 解读
相关系数解读
相关系数是一种统计方法，用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
它的取值范围在-1到1之间。
当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关关系，即一个变量增加，另一个变量也随之增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量增加，另一个变量会减少。
相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数的绝对值越接近1，代表相关关系越强。
当相关系数等于1或-1时，表示存在完全的线性关系，可以通过一条直线完全描述变量之间的关系。
当相关系数接近0时，表示两个变量之间几乎没有线性关系。
需要注意的是，相关系数只能衡量线性关系，无法反映其他类型的关系，如曲线关系或非线性关系。
此外，相关系数并不代表因果关系，仅仅表示两个变量之间的相关程度。
在解读相关系数时，我们通常使用以下标准：
- 0.8至1.0（包括）：表示强正相关
- 0.6至0.8（包括）：表示中等正相关
- 0.4至0.6（包括）：表示弱正相关
- 0.2至0.4（包括）：表示弱相关或无线性关系
- 0至0.2（包括）：表示无线性关系
需要注意的是，这些解释只是一般情况下的参考，具体解读还需结合具体研究领域和数据特点进行分析。
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第六讲相关关系课时安排：6课时教学课型：理论课，课堂同步练习教学目的要求：理解相关分析的意义与条件；熟练掌握积差相关法的基本思想与分析方法；熟练掌握等级相关、点二列相关、二列相关及φ相关的使用前提与分析方法；能应用各种相关解决实际问题。
教学重点与教学难点：重点——积差相关的意义与应用；难点——各种相关方法的选择应用教学方法、手段、媒介：讲授、教材、板书、多媒体教学过程与教学内容：第一节相关与相关系数 (2)第二节积差相关 (8)第三节等级相关 (14)第四节质与量的相关 (22)第五节品质相关——φ相关 (25)本章小结 (28)学习目标：1．理解相关分析的意义与条件2．熟练掌握积差相关法的基本思想与分析方法（重点）3．熟练掌握等级相关、点二列相关、二列相关及φ相关的使用前提与分析方法（难点）4．能应用各种相关解决实际问题问题导入：在学校、社会及家庭教育中，人们常常会遇到一些涉及事物关系的问题，譬如学生品德与家庭教育的关系，个体的智力水平高低与成绩的关系，学生身高与体重的关系，各科成绩之间的关系，人的兴趣爱好与学科成绩的关系，一般能力与特殊能力的关系，智力与创造力的关系，教育经费投入与教学效果的关系等等。
对这些问题的解释需要借助相关分析的方法进行说明。
客观世界涉及事物关系的问题比比皆是。
然而，我们在前几章所处理的数据均属单—变量范围的，即分析一种变量及其取值的分布情况与特征，属单变量的分析。
而涉及事物的关系的时候，至少要有两个变量，分析或研究两个或两个以上变量之间相互关系的量数称相关量数。
第一节 相关与相关系数一、事物的关系与相关量数事物或现象之间的关系大致可分为三种类型：一是因果关系：这种关系说明的是事物之间互相依存、互为因果的关系，是事物之间存在的一种必然关系，即一种引起与被引起的关系，因在前果在后的顺序是不能颠倒的。
二是函数关系（共变关系）：这是事物之间的一种共变关系，其特点是函数与反函数可以互换位置。
三是伴随关系：这是两个事物或变量相伴随而变化的关系。
它既不同于因果关系和函数关系，又不排斥因果关系和函数关系，是事物之间的一种更为复杂关系，相关关系即属这种关系。
三者的关系如图6-1所示。
图6-1 事物之间的关系正如我们在教育和心理研究中经常碰到的有关学科成绩之间关系的问题。
一般而言，语文成绩好，其数学也较好。
但是事实上并不能肯定地认为某个人语文成绩好，其数学也必然会好。
因为实际上会有许多偏离的现象。
相关关系只是说明事物之间有关联而已，并不能指出哪个是因，哪个是果。
相关关系也不同于函数关系。
在函数关系中，一个变量值与另一个变量值的关系是确定的。
如圆的周长与圆的半径之间存在函数关系r C π2=，对于某一半径值，只有一个确定的周长值与其对应。
但是是相关关系中，一个变量值与另一个变量值的关系因受诸多因素的影响而变得不那么确定，其关系只有在大量的试验或观察中才能显现出来。
二、相关的种类事物或现象的相关种类可以从方向、形态及变量个数诸多方面划分。
（一）正相关、负相关和零相关相关从变量变化的方向上，可以分为正相关、负相关和零相关。
正相关（positive correlation）是指一列变量由大而小或由小而大变化时，另一列变量亦由大而小或由小而大的变化，即两列变量是同方向变化的，属“同增共减”的关系。
譬如人的身高与体重的关系，学习能力倾向与学业成就的关系，学习动机与学业成绩的关系及学科成绩之间的关系，商品在不变的情况下，价格提高利润随之增加或价格降低利润随之减少的关系等，在一般情况和一定范围内属于正相关。
负相关（negative correlation）是指一列变量由大而小或由小而大的变化，另一列变量却反由小而大或由大而小的变化，即两列变量的变化方向是相反的，属“此增彼减”的关系。
譬如学生考试焦虑水平与考试成绩的关系，健康状况与发病率的关系，旷课次数与学业成绩的关系，视敏度与视距的关系，劳动生产率提高，产品成本随着降低等均属负相关。
零相关（zero correlation）又称无相关，是指一列变量由大而小或由小而大变化时，另一列变量则或大或小的变化，即两列变量的变化看不出一定的趋势，甚至毫无关系。
如人的相貌与人的品行的关系，人的身高、体重与智力或学业成绩的关系等均属零相关。
（二）直线相关和曲线相关相关从变量变化的形态上，可以分为直线相关和曲线相关。
直线相关（line correlation）是指两列变量中的一列变量在增加时，另一列变量随之而增加；或一列变量在增加，另一列变量却相应地减少，形成一种直线关系。
两列变量的变化在坐标轴上绘制散点图时形成的是长轴或椭圆形图形，如图5-2所示（P110）。
曲线相关（curve correlation）是指两列相伴随变化的变量，未能形成直线关系。
两列变量的变化莫测在坐标轴上绘制散点图时形成的是成弯月状或曲线形图形，如图5-3所示(P111)。
直线相关的情形在教育，心理现象中很多，如两次测验的关系。
如10名学生两次测验的分数如下表。
与直线相关比，曲线相关在教育，心理领域相对来说少一些。
曲线相关所表现的是事物在增加到一定程度时，反而会出现下降的趋势。
譬如农田灌溉情况就是一典型的事例，水量与农作物的生长关系是随着水量的增加农作物会越长越好，若水量只要达到一定限度后，继续增加水量农作物的生长则会越来越差。
在心理与教育中，如动机强度与活动效率的关系也属此类。
（三）简相关和复相关相关从变量个数上，可以分为简单相关和复杂相关。
简单相关是指只有两个变量的相关，又称简相关。
复杂相关则是指有三个或三个以上变量的相关，也称复相关。
（四）完全相关、强相关、弱相关和无相关相关从变量的的紧密程度上，可以分为有完全相关、强相关、弱相关和无相关。
完全相关（complete correlation）是指两列变量的关系是一一对应、完全确定的关系。
在坐标轴上描绘两列变量时会形成一条直线。
这种现象在自然科学中是存在的，如图的半经和周长的关系。
但是在教育和心理的研究中是极其少见的。
强相关又称高度相关：即当一列变量变化时，与之相应的另一列变量增大（或减少）的可能性非常大。
在坐标图上则表现为散点图较为集中在某条直线的周围。
如身高与体重的关系，数学成绩与物理成绩的关系等一般显现强相关。
弱相关又称低度相关：即当一列变量变化时，与之相对应的另一列变量增大（或减少）的可能性较小。
亦即两列变量之间虽然有一定的联系，但联系的紧密程度较低。
在坐标图表现出散点比较分散地分布在某条直线的周围。
如历史成绩与物理成绩的关系。
无相关：则是当一列变量变动时，相对应的另一列变量可能有变动，也可能无变动，而且毫无规律。
三、相关分析的方法研究两个或两个以上变量之间是否存在相互关系，如果存在关系，其相关的性质（即方向）和程度如何，这个过程在统计学上称相关分析。
相关分析的方法主要是图示法和计算法。
（一）图示法图示法主要是利用散点图来描述变量之间的相互关系。
散点图是将成对变量的变动值描绘在坐标图上形成的一种图形。
从散点图上，我们既可以了解相关的方向（是正相关、负相关，还是零相关）、相关的形态（是直线相关还是曲线相关），也可以了解相关的大致程度（是强相关还是弱相关）。
如果在坐标图上散点图从原点向对角线方向分布则为正相关，或散点是从左上角向右下角分布则为负相关，如图5-2所示。
又如散点越集中于直线，表明相关程程度超高，如图6-3a 和6-5b所示。
a强相关b弱相关图6-4 相关的方向图6-5 相关的程度（二）计算法计算法是通过计算变量之间的相关系数来描述其相关情形的。
相关系数（correlation coefficient）是表示相关方向和大小的一种数值，用符号r表示。
+相关系数的取值范围为：︱r︱≤1或1-≤r≤1+，其中符号表示相关的方向，绝对值表示相关的程度。
正负号与相关程度的大小无关，如80.0-和80.0的相关程度相同，只是方向不同，前者是负相关，后者是正相关。
相关系数为1时表示完全正相关，相关系数为1-时表示完全负相关，相关系数为0时表示零相关。
相关系数越接近1，其相关程度越高，反之，越接近0，相关程度越低。
相关系数究竟达到何种程度才算相关高或低属于统计检验的问题。
不过也有一些统计学家对相关程度作了规定，如认为40.0~0±表示低度相关，70.0~40.0±±表示中度相关， 表示高度相关。
四、相关系数的解释对事物关系的解释和说明并非纯粹依据所计算出相关系数来进行，为此，在解释相关系数是否显著时，我们必须得谨慎。
第一：要从逻辑上判断事物之间是否真正存在关系。
因为相关系数是由样本数据计算而来的，即使所考察的两列变量确无任何关系，我们也可以通过概率得到强的正相关或是强的负相关。
第二：要注意随着样本容量的增大，达到相关显著的相关系数值会变得越来越小。
例如相关系数同为0.20，样本容量较小时则会不显著，而当样本容量很大时却会得到显著的结果。
对于相关系数，我们不仅要问是否显著，还要问有多大，而决定其大小的是测定系数。
测定系数是相关系数的平方（即2r ），用以说明二列变量的变异中一方能由另一方解释部分的多少。
例如，相关系数为0.20时，测定系数则为0.04，也就是说二列变量的变异中一方能由另一方解释的部分只有0.04或4%。
可见，相关的意义要看测定系数。
一般来说，相关系数在0.3以下为低相关，这时的 r 只有理论意义而无实际意义；相关系数在0.4～0.7之间为中等相关，这时的r既有有理论意义也有实际意义；相关系数在0.7以上为高相关，这时的 r 理论意义与实际意义都很大。
00 . 1 ~ 70 . 0 ± ±第三：要在一定的时空间范围内解释相关系数。
如幼儿智力与年龄的相关，会随着社会生产力的发展而产生变化；城市儿童的身高与体重的关系，就不一定适用于农村儿童。
此外，应注意不同类型的数据其相关的计算方法不同。
相关分析方法有十多种，如有积差相关法、等级相关法、点二列相关和二列相关、 相关、复相关、偏相关、相关比、多系列相关、列联相关、四分相关和自相关等等。
常用的相关方法主要是前五种。
使用者必须注意各种相关量的使用条件，不可混用和滥用。
第二节 积差相关一、积差相关的意义（一）积差相关的定义（P112）积差相关（product moment correlation ）是直线相关中最基本的方法，又叫积矩相关（或均方相关），其公式由英国统计学家皮尔逊（Pearson ）提出，故又称皮尔逊积差相关，简称皮尔逊相关，用符号XY r 表示。
积差相关是利用离差乘积的关系来说明事物的关系，是将原始记分转换为离差乘积（即积差），再转换为标准积差后所求得的标准积差的平均数。