人教A版高中数学选修第一册同步练习3.1.1 椭圆及其标准方程-A基础练(详细解析版)
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程
人A数学选择性必修1
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[例 3] (1)方程k－x24＋10y－2 k＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的
取值范围是( C )
A．(4，＋∞) B．(4,7)
C．(7,10)
D．(4,10)
分析：(1)根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数范围时，考虑两个分 式对应的分母都大于0，然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大 小．
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[解析] (1)由 a＝4，c＝ 15，得 b2＝a2－c2＝1， ∵焦点在 y 轴上，∴其标准方程为1y62 ＋x2＝1. (2)法一：由于椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a ＞b＞0)． 由椭圆的定义知 c＝2，
2a＝ 52＋22＋－322＋ 52－22＋－322＝2 10，
C．94
D．14
解析：依题意a＝10，且|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝20⇒|PF2|＝14.
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3．适合条件a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ___1x_62_＋__y_2_＝__1______． 解析：由已知，所求方程为：4x22＋1y22＝1，即1x62 ＋y2＝1.
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[例1] (1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是
(B)
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．线段
(2)已知F1(0，－3)，F2(0,3)，|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是( D )
A．圆
B．椭圆
人教A版高中数学选修一解析几何同步练习(椭圆及其标准方程1A).docx
高中数学学习材料唐玲出品解析几何同步练习（椭圆及其标准方程1A ）知识要点： ①定义：()||22||||2121F F a a PF PF >=+；②标准方程：()012222>>=+b a b y a x ；()012222>>=+b a bx a y 。
一、选择题1、若点P 到两定点F 1（-4，0），F 2（4，0）的距离和是8，则动点P 的轨迹为 [ ]A.椭圆B.线段F 1F 2C.直线F 1F 2D.不能确定2.下列说法正确的个数是 [ ] ①平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆②与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆③方程122222=-+c a y c x （a>c>0）表示焦点在x 轴上的椭圆④方程12222=+bx a y （a>0,b>0)表示焦点在y 轴上的椭圆A ．1B.2C.3D.43.椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 [ ]A.5或3B.8C.5D.164.过点（3，-2）且与14922=+y x 有相同焦点的椭圆是 [ ]A.1101522=+y x B. 110022522=+y x C. 1151022=+y x D.122510022=+y x5．已知方程122=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 [ ] A ．m<1 B ．-1<m<1 C ．m>1 D ．0<m<16.椭圆ax 2+by 2+ab=0（a<b<0）的焦点坐标是 [ ]A.（)0,b a -±B.（0，b a -±）C.（a b -±，0）D.（0，a b -±）二、填空题7.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点 F 2的距离是 ；8过椭圆C ：12222=+by a x 的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为三、解答题：9．求经过点A(0,2)和B(3,21)的椭圆的标准方程10.椭圆的两个焦点F 1、F 2在x 轴上，以| F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆标准方程.11．已知点Ｐ在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两个焦点的距离分别为352,354，过Ｐ作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程参考答案一、选择题： BAAA DD二、填空题：1、14；2、ab 22。
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》基础训练
《椭圆及其标准方程》基础训练题组一 椭圆的定义1.若椭圆2211625y x +=上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 （ ） A.2 B.4 C.6 D.82.若椭圆2213616y x +=上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△P F 1F 2的面积为 （ ） A.36 B.16 C.20 D.243.下列命题为真命题的是 (将所有真命题的序号都填上).①已知定点F 1(-1，0)，F 2(1，0) ，则满足12PF PF +=P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1 (-2，0)，F 2 (2，0)，则满足124PF PF +=的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1 (-3，0)，F 2 (3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1 (-4，0)，F 2 (4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F 1 (-4，0) ，F 2 (4，0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆.题组二 椭圆的标准方程4.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同的焦点，且满足的椭圆的方程是 （ ）A.2212520y x +=B.2212025y x += C.2212045y x += D.2218085y x += 5.已知曲线C ： 22153y kx k +=---，则“4≤k<5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的 （ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知椭圆过点P 3(,4)5-和点Q 4(,3)5--，则此椭圆的标准方程是 .7.与椭圆9x 2+5y 2=45有共同的焦点，且经过点M(2， 6)的椭圆的标准方程是 .8.如图所示，设椭圆()222210b a bx y a +=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，12122F F DF =，∆D F 1F 2的面积为22.求椭圆的标准方程.参考答案1. 答案：B解析：由椭圆的标准方程知1210PF PF +=，16PF =，24PF ∴=，故选B. 2. 答案：B解析：由椭圆的标准方程知a=6，b=4， c ==. 由椭圆的定义知12212PF PF a +==①2222121212,=80PF PF PF PF F F c ⊥∴+==(2)②， ①2-②，得12264PF PF =，即1232PF PF =，12121162PF F SPF PF ∴==. 3.答案：②④<2，所以点P 的轨迹不存在，故错误；②因为1224a FF ==，所以点P 的轨迹是线段12F F ，故正确；③到定点()()123,0,3,0F F -距离相等的点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线(y 轴)，故错误；④点M(5，3)到定点()()124,0,4,0F F -的距离之和为8>，点P 的轨迹为椭圆，故正确. 4. 答案：B解析：由229436x y +=，得22149y x +=，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且2945c =-=，又2b =，所以252a b ==，所以所求椭圆的方程为2212025y x +=.故选B. 5.答案：A解析：将曲线C 的方程化为22153y x k k +=--，若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则350k k ->->，即4<k<5，故“4≤k<5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 6.答案：22125y x +=解析：设椭圆的方程为22(00,)1,mx ny m n m n +=>>≠，将P 34(,4),(,3)55P Q ---代入，得91,161,25116,161,2525m m n n m n ⎧=+=⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪+=⎩⎪⎩解得所以椭圆的标准方程是22125y x +=.7.答案：221128x y +=解析：由229545x y +=，得22159y x +=，其焦点坐标分别为()()120,2,0,2F F -.设所求椭圆的标准方程为222210)(x a b a by +=>>.因为点M(2，)在椭圆上，所以122MF MF a +=，即2a =+=解得a =又c=2，所以2228b a c =-=，故所求機圆的标准方程为221128x y +=.8.答案：见解析解析：设()()12,0,c,0F c F -，其中222c a b =-.由1211.2F F DF DF =得1221212DF F SDF PF ==又11,c DF ==所以所以22211221129,2DF F F DF DF F F ⊥=-由得=，22DF =所以122a DF PF =+=所以2221,a b a c ==-=所以故所求椭圆的标准方程为2212x y +=.。
人教版高中数学选择性必修第一册3-1-1(2课时)椭圆及其标准方程
【解析】 ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－4＝6－4＝2.∵|F1F2|＝2c ＝2 7，∴在△F1PF2 中，利用余弦定理可得，
cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|－PF|2F| 1F2|2＝－12， ∴∠F1PF2 的大小为 120°.
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探究 1 此类题的条件恰好满足椭圆的定义，故先确定动点 的轨迹为椭圆，再由待定系数法求解．
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思考题 1 设圆 Q：(x－1)2＋y2＝81，A 是圆内一点，坐 标为(－1，0)，P 是圆 Q 上任意一点，线段 AP 的垂直平分线和 半径 QP 相交于点 M，求 M 的轨迹方程．
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例 4 如图，设点 A，B 的坐标分别为(－5， 0)，(5，0)．直线 AM，BM 相交于点 M，且它们 的斜率之积是－49，求点 M 的轨迹方程．
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【解析】 设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 A 的坐标是(－5， 0)，
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探究 5 椭圆中的焦点三角形问题经常是用定义结合正余弦 定理、勾股定理等来解决，在解题时，出现|PF1|＋|PF2|形式，经 常用到配方、解方程，把|PF1|·|PF2|看作一个整体．
高中数学 人教A版选择性必修第一册3.1节椭圆课后练习
浙江省2020-2021学年第一学期人教A 版（2019）选择性必修第一册3.1节椭圆课后练习一、单选题1．椭圆22123x y +=的焦点坐标是（ ）A ．(0,1)±B ．(1,0)±C ．(0,D ．(2．已知1F ､2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D ､E 两点，11||5||DF F E =，2||DF =，且2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[]35，B ．[]25，C ．[]24，D ．[]34，3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（ ） A ．22134x y += B ．2214x = C ．22142x y += D ．22143x y += 4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是F ，O 为坐标原点，若椭圆上存在一点P ，使∆POF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能．．．为（ ，A ．2BCD 5．设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．6．我国于2010年10月1日成功发射嫦娥二号卫星，卫星飞行约两小时到达月球，到达月球以后，经过几次变轨将绕月球以椭圆型轨道飞行，其轨迹是以月球的月心为一焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近月点到月心的距离为m,远月点到月心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m,2n.则第一次变轨前的椭圆离心率比第二次变轨后的椭圆离心率 ( )A ．变大B ．变小C ．不变D ．与m n的大小有关 7．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22143y x +=上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定二、填空题 9．已知1,F 2F 为椭圆22184x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上一点，若124F PF S =，则12F PF ∠等于________．10．斜率为12的直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于A ，B 两点，且2P ⎫⎪⎪⎭在直线l 的左上方.若90APB ∠=︒，则PAB △的面积为________.11．已知椭圆C 的两个焦点为()11,0F -，()21,0F ，过1F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，若113BF AF =，2AB BF ⊥，则C 的方程为________.12．已知过椭圆22:12x C y +=的左焦点F 的直线交C 于A 、B 两点，若2AF BF k +≥恒成立，则k 的最大值为______.三、解答题13.已知命题 p ：“方程 x 29−k +y 2k−1=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”，命题 q ：“方程 x 22−k +y 2k =1 表示双曲线”.（1）若 p 是真命题，求实数 k 的取值范围；（2）若命题 p 和 q 都是真命题，求实数 k 的取值范围.14.已知椭圆C ：4x 2+9y 2=36．求的长轴长，焦点坐标和离心率． 15.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 {x =√3+tcosαy =1+tsinα（ t 为参数， α∈[0,π) ），曲线C 的参数方程 {x =2√3cosβy =2sinβ（ β 为参数）． （1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线 l 所得线段的中点极坐标为 (2,π6) 时，求 α ．16.已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 （ a >b >0 ）的焦距为2，离心率为√22 ，右顶点为 A .（I ）求该椭圆的方程；（II ）过点 D(√2,−√2) 作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P 、Q ，求证：直线 AP ， AQ 的斜率之和为定值.参考答案1．A2．A3．D4．C5．C6．C7．D8．B9．90︒10．242511．2212x y +=12．14+ 13.【答案】 （1）解：命题 p ：“方程 x 29−k +y 2k−1=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”，则 {9−k >k −1k −1>0 ，解得 1<k <5 .（2）解：命题 q ：“方程 x 22−k +y 2k =1 表示双曲线”，则 (2−k)k <0 ，解得 k >2 或 k <0 . 若“ p 和 q ”都是真命题， {1<k <5k >2或k <0，所以 2<k <5 【解析】（1）根据方程表示焦点在 x 轴上的椭圆得到 {9−k >k −1k −1>0，计算得到答案.（2）命题 q 为真命题时满足 k >2 或 k <0 ，求交集得到答案.14.【答案】 解：椭圆C ： 4x 2+9y 2=36 的标准方程为：x 29+y 24=1 ， 所以 a =3, b =2, c =√a 2−b 2=√9−4=√5 ，所以椭圆的长轴长 2a =6 ，焦点坐标 (−√5,0),(√5,0) ，离心率 e =c a =√53 ．【解析】写出椭圆的标准方程，求出a ， b ， c ， 代入求出长轴长，焦点坐标和离心率．15.【答案】 （1）解：由 {x =2√3cos βy =2sin β 得 {cos β=2√3sin β=y 2，消去 β 得 x 212+y 24=1 ， 所以曲线C 的普通方程为 x 212+y 24=1（2）解：直线l 所得线段的中点极坐标为 (2,π6) 化成直角坐标为 (√3,1) ．设直线l 与曲线C 相交于 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) 两点，则 x 1+x 22=√3 ， y 1+y 22=1 ， {x 1212+y 124=1①x 2212+y 224=1② ， 由 ②−① 得x 22−x 1212+y 22−y 124=0 ， 所以 y 2−y 1x 2−x 1=−x 1+x 23(y 1+y 2)=−2√33×2=−√33 ，即 k l =−√33=tan α ， 又， α∈[0,π) ，，直线 l 的倾斜角为 5π6【解析】（1）消去参数 β ，即可得曲线的普通方程；（2）利用点差法求出直线的斜率k 的值，从而求得直线的倾斜角.16.【答案】 解：（I ）由题意可知 2c =2 ，故 c =1 ，又 e =c a ，， a =√2 ，， b =1 ，，椭圆方程为 x 22+y 2=1 ．（II ）由题意得，当直线 PQ 的斜率不存在时，不符合题意； 当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y +√2=k(x −√2) ，即 y =kx −√2k −√2 .由 {y =kx −√2k −√2x 22+y 2=1 消去y 整理得 (1+2k 2)x 2−4√2(k 2+k)x +4k 2+8k +2=0 ， ，直线与椭圆交于两点，， Δ=−4(8k +1)>0 ，解得 k <−18 ．设 P(x 1,y 1) ， Q(x 2,y 2) ，则 x 1+x 2=4√2(k 2+k)1+2k 2 ， x 1·x 2=4k 2+8k+21+2k 2 ，又 A(√2,0) ，， k AP +k AQ =1x −√2+2x −√2=1√2)−√2x −√22√2)−√2x −√2=2k −√2(x 12x x −√2(x +x )+2=1 .即直线 AP ， AQ 的斜率之和为定值.【解析】（I ）由椭圆的焦距和离心率可得 c =1 ， a =√2 ，故 b =1 ，从而可得椭圆的方程．（II ）讨论直线 PQ 的斜率，当斜率存在时设其方程为 y =kx −√2k −√2 ，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得 k AP +k AQ =1 ，即得结论成立．。
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 讲义(知识点考点汇总及配套习题)
第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆 ................................................................................................................................ - 1 -3.1.1 椭圆及其标准方程 .............................................................................................. - 1 - 3.1.2 椭圆的简单几何性质 ........................................................................................ - 12 -第1课时 椭圆的简单几何性质 ........................................................................ - 12 - 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 ........................................................ - 23 -3.2 双曲线 .......................................................................................................................... - 35 -3.2.1 双曲线及其标准方程 ........................................................................................ - 35 - 3.2.2 双曲线的简单几何性质 .................................................................................... - 46 - 3.3 抛物线 .......................................................................................................................... - 60 -3.3.1 抛物线及其标准方程 ........................................................................................ - 60 - 3.3.2 抛物线的简单几何性质 .................................................................................... - 70 - 章末复习 ............................................................................................................................... - 82 -3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程2008年9月25日211．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．()(3)方程x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．()[提示](1)×(2)√(3)×2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [由椭圆方程知a 2＝25，则a ＝5，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100＋y 236＝1B ．y 2400＋x 2336＝1C ．y 2100＋x 236＝1D ．y 220＋x 212＝1C [由条件知，焦点在y 轴上，且a ＝10，c ＝8， 所以b 2＝a 2－c 2＝36，所以椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1.]4．方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．(－6，－2)∪(3，＋∞) [由a 2＞a ＋6＞0得a ＞3或－6＜a ＜－2.]【例1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142.[解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16b 2＝1. 又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与a ＞b ＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)或整式形式mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．[跟进训练]1．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16 ①. 又点(3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋(15)2b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1 ②.由①②得a 2＝36，b 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1.又椭圆过点(3，15)，将x ＝3，y ＝15代入方程得925＋λ＋159＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.【例2】 (1)已知椭圆x 216＋y 212＝1的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝( )A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[思路探究] (1)借助PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点，所以PF 2⊥x 轴，再用定义和勾股定理解决．(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程，通过解方程求解．(1)C (2)335 [(1)依题意知，线段PF 1的中点在y 轴上，又原点为F 1F 2的中点，易得y 轴∥PF 2，所以PF 2⊥x 轴，则有|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，又根据椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，即|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ②由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．1．本例(2)[探究问题]1．用定义法求椭圆的方程应注意什么？[提示]用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.2．利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？[提示] (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP中点Q 的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．(1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1， 所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1.](2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， ∴|CM |＋|MA |＝5.∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1 ，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．[跟进训练]2．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)． (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标．(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m＞n ＞0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．3．椭圆上的点P 与两焦点F 1，F 2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F 1PF 2＝θ，如图．(1)当点P 与B 1或B 2重合时，∠F 1PF 2最大． (2)焦点△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )． (3)|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，且当P 与B 1或B 2重合时，面积最大．4．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点法)．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为2a －2＝2×5－2＝8.] 2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y 24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＞12且m ≠1[由方程x 2m ＋y22m －1＝1表示椭圆，得⎩⎨⎧m ＞0，2m －1＞0，m ≠2m －1，解得m ＞12且m ≠1.]4．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．x 225＋y 29＝1 [如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.]5．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然1．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？[提示]不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. ()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. ()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()[提示](1)×(2)√(3)√2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A．x29＋y24＝1B．y29＋x24＝1C．x29－y24＝1 D．y29－x24＝1A[由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.]3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，3)，则椭圆的标准方程是________．x2＋y24＝1[依题意得2a＝4b，c＝3，又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋y24＝1.]4．设椭圆x225＋y2b2＝1(0＜b＜5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率的值为________．35[由条件知2×5＋2c＝4b，即2b＝c＋5，又a2－b2＝c2，a＝5解得b＝4，c＝3.∴离心率e＝ca＝35.]【例1】(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与椭圆xa2＋yb2＝λ(λ＞0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．(1)C[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.](2)[解]把已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，所以a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝ca＝74；两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同的离心率．[思路探究](1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1F A2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)， 且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2，设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆的方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．提醒：与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝k 1(k 1>0，焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b2＝k 2(k 2>0，焦点在y 轴上)．[跟进训练]1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．[解] 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m＝1，2m ＝3·2n 或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3·2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝9n ＝1或⎩⎨⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.。
311椭圆及其标准方程(同步练习)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
3.1.1椭圆及其标准方程一、单选题1．若椭圆2219x y +=上一点A 到焦点1F 的距离为2，则点A 到焦点2F 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知方程22132x y k k+=+-表示椭圆，则实数k 的取值范围是（）A ．113,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．113,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．(),3-∞-3．设P 是椭圆221259x y +=上的点，P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为（）A ．2B ．4C ．8D ．164．焦点坐标为()0,4-，（0，4），且长半轴6a =的椭圆方程为（）A ．2213620x y +=B ．2212036x y +=C ．2213616x y +=D ．2211636x y +=5．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（）A ．3B C 12D 1二、多选题6．已知P 是椭圆2214945x y +=上一动点，M ，N 分别是圆221(2)16x y ++=与圆221(2)16x y -+=上一动点，则（）A ．||||PM PN +的最小值为272B ．||||PM PN +的最小值为252C ．||||PM PN +的最大值为252D ．||||PM PN +的最大值为2927．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，则（）A ．a =时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有2个B ．a 时，满足1290F PF ∠=︒的点P有4个C ．12PF F △的周长等于4aD ．12PF PF ⋅的最大值为a 28．已知椭圆E ：22194x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，若12F PF △是直角三角形，则12F PF △的面积可能为（）A ．5B ．4C D 三、填空题9．若椭圆的两焦点分别为()14,0F -，()24,0F ，点P 在椭圆上，且三角形12PF F 的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．10．若椭圆23x m ＋221y m +＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是_______11．已知点()()5,0,5,0M N -，MNP △的周长是36，则MNP △的顶点P 的轨迹方程为___.四、解答题12．曲线C 任意一点P 到点()2,0F 的距离与它到直线4x =的距离之比等于2，求C 的方程.13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的长半轴为10a =，半焦距长为6c =；（2）经过点(2,3)，且与椭圆229436x y +=有共同的焦点；（3）经过(2)P Q --两点．14．已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且椭圆的长轴长为（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.参考答案1．D 【分析】利用椭圆的定义有12||||2AF AF a +=，结合已知即可求A 到焦点2F 的距离.【详解】由椭圆方程知：3a =，又12||||2AF AF a +=，1||2AF =，∴21||2||624AF a AF =-=-=.故选：D 2．B根据方程表示椭圆列不等式，由此求得k 的取值范围.【详解】由于方程22132x y k k +=+-表示椭圆，所以3011203,,22232k k k k k+>⎧⎪⎛⎫⎛⎫->⇒∈--⋃-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+≠-⎩.故选：B 3．C 【分析】根据椭圆的定义即可求出．【详解】设该椭圆左焦点为1F ，右焦点为2F ，由题可知5a =，所以12210PF PF a +==，而12=PF ，所以28PF =．故选：C ．4．B 【分析】根据题意可知4,6c a ==，即可由222b a c =-求出2b ，再根据焦点位置得出椭圆方程．【详解】因为4,6c a ==，所以22220b a c =-=，而焦点在y 轴上，所以椭圆方程为2212036x y +=．故选：B ．5．A 【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点），故选：A.6．AD利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可.【详解】解：圆221(2)16x y ++=与圆221(2)16x y -+=的圆心分别为：(2,0)A -；(2,0)B ，则A 、B 是椭圆2214945x y +=的两个焦点坐标，两个圆的半径为14，所以||||PM PN +的最大值为11129||||2224222PA PB a ++⨯=+=⨯=；||||PM PN +的最小值11127||||2224222PA PB a +-⨯=+=⨯=.故选：AD.7．ABD 【分析】对A 和B ，椭圆中使得12F PF ∠最大的点P 位于短轴的两个端点，利用余弦定理与基本不等式即可得到答案；对C ，结合椭圆定义及a 和c 的大小关系即可得到答案；对D ，结合椭圆定义及基本不等式即可得到答案.【详解】对A 和B ，2222212121212121212||||||(||||)||cos 12||||2||||PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+-∠==-⋅⋅又 12||||2PF PF a+=∴212122cos 1||||b F PF PF PF ∠=-⋅又 21212||||||||()2PF PF PF PF +⋅≤∴2221221212222cos 111||||||||()2b b b F PF PF PF PF PF a ∠=-≥-=-+⋅当a =时，2210b a-=，两个短轴端点恰能使1290F PF ∠=︒，A 正确；当a >时，2210b a-<，P 点位于短轴端点时，12F PF ∠为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使1290F PF ∠=︒，B 正确；对C ， a c >，∴12F PF △的周长为1212||||||224PF PF F F a c a ++=+<，C 错误；对D ， 12||||2PF PF a +=，∴221212||||||||()2PF PF PF PF a +⋅≤=，D 正确.故选：ABD .8．BC 【分析】根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，求出1PF 的长，再由面积公式即可求面积，当12PF PF ⊥时，结合122PF PF a +=，()222122PF PF c +=求出12PF PF ⋅，再由面积公式即可求面积.【详解】由22194x y +=可得3a =，2b =，所以c ==根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，将x =22194x y +=可得43y =±，如图：122F F c ==143PF =，所以12F PF △的面积为1423⨯=当12PF PF ⊥时，由椭圆的定义可知：1226PF PF a +==，由勾股定理可得()22212220PF PF c +==，因为()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，所以1220362PF PF =-⋅，解得：128PF PF ⋅=，此时12F PF △的面积为12142PF PF ⋅=，综上所述：12F PF △的面积为445故选：BC.9．221259x y +=##【分析】根据三角形12PF F 的面积的最大值求得b ，进而求得a ，从而求得椭圆方程.【详解】依题意4,28c c ==，椭圆焦点在x 轴上，三角形12PF F 的面积的最大值为181232b b ⨯⨯=⇒=，所以229165a b c =+=+=，所以椭圆方程为221259x y +=.故答案为：221259x y +=10．01m <<【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点在y 轴上，列出不等关系，求解即可【详解】由题意，2221,3a m b m=+=21030213m m m m +>⎧⎪∴>⎨⎪+>⎩解得：01m <<则实数m 的取值范围是01m <<故答案为：01m <<11．()2210169144x y y +=≠【分析】由于点P 满足36102610PM PN +=-=>，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且226a =的椭圆（由于P 与M 、N 不共线，故0y ≠），再利用待定系数法求解.【详解】由于点P 满足36102610PM PN +=-=>，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且226a =的椭圆（由于P 与M 、N 不共线，故0y ≠），∴13a =，又5c =，∴22222135144b a c =-=-=，故MNP △的顶点P 的轨迹方程为()2210169144x y y +=≠，故答案为：()2210169144x y y +=≠.12．22184x y +=【分析】设点()P x y ，，根据条件建立等式，化简即可；【详解】设()P x y ，()()2221242x y x ⇒-+=-，化简得：22184x y +=，即C 的方程为：22184x y +=.13．（1）22110064x y +=，或22164100x y +=；（2）2211015x y +=；（3）221155x y +=。
新教材2022版人教A版数学选择性必修第一册学案：3.1.1 椭圆及其标准方程(含解析)
第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程素养目标·定方向课程标准学法解读1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程．2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(数学建模)2．掌握椭圆的定义和标准方程．(数学抽象)3．会求椭圆的标准方程．(数学运算)必备知识·探新知知识点1 椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__常数__(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2．3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|．4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝__2a__(常数)且2a__＞__|F1F2|．知识点2 椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)____y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)__图形焦点坐标 __F 1(－c,0)，F 2(c,0)____F 1(0，－c )，F 2(0，c )__a ，b ，c 的 关系 __b 2＝a 2－c 2__思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？提示：能．椭圆的焦点在x 轴上⇔标准方程中含x 2项的分母较大；椭圆的焦点在y 轴上⇔标准方程中含y 2项的分母较大．关键能力·攻重难题型探究题型一 求椭圆的标准方程 角度1 待定系数法典例1 根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[分析] (1)设出焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a ，b 的值，即可求得方程；(2)设出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a ，b 的值，即可求得方程；(3)焦点位置不确定，可以分两种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．[解析] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，所以a ＝5．又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9． 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1．(3)方法1：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为不满足a ＞b ＞0，所以无解．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．方法2：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．[规律方法] 椭圆方程的求法1．利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下：(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为焦点位置包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两种情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算．角度2 定义法典例2 一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．[分析] 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，由此可以找到动圆圆心满足的条件等式．[解析] 两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，r 1＝1；Q 2(3,0)，r 2＝9．设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由题意有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ，∴|MQ 1|＋|MQ 2|＝10＞|Q 1Q 2|＝6．由椭圆的定义可知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16．故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1．[规律方法] 1．若动点轨迹满足椭圆的定义，则根据椭圆的定义来确定a ，b ，c ，从而确定椭圆的标准方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．2．一般步骤：(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离)； (2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴； (3)确定椭圆的基本量a ，b ，c ，从而确定椭圆的标准方程． 【对点训练】❶ 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[解析] (1)方法一：(分类讨论法)若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．方法二：(待定系数法)设椭圆的方程为 Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16．设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16．① 又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1．②由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1．题型二 对椭圆标准方程的理解典例3 (1)若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示椭圆，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－9,25)B ．(－9,8)∪(8,25)C ．(8,25)D ．(8，＋∞)(2)若方程x 2－3my 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－∞，－13__．[解析] (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9≠25－m ，解得－9＜m ＜8或8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是(－9,8)∪(8,25)．(2)由题意知m ≠0，将椭圆方程化为x 21＋y 2－13m＝1，依题意有⎩⎨⎧－13m＞0，1＞－13m ，解得m ＜－13，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13． [规律方法] 根据椭圆方程求参数的取值范围 1．给出方程x 2m ＋y2n＝1，其表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ≠n ，其表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是m ＞n ＞0，其表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是n ＞m ＞0．2．若给出椭圆方程Ax 2＋By 2＝C ，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式x 2C A ＋y 2C B＝1，再研究其焦点的位置等情况．【对点训练】❷ 若方程x 2a 2－y 2a －12＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是__(－4,0)∪(0,3)__．[解析] 方程化为x 2a 2＋y 212－a＝1，依题意应有12－a ＞a 2＞0，解得－4＜a ＜0或0＜a ＜3． 题型三 椭圆中的焦点三角形问题典例4 已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上的任一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝π3，求△PF 1F 2的面积．[分析] (1)由|PF 1|＋|PF 2|是定值，求|PF 1|·|PF 2|的最大值，可考虑用基本不等式；(2)求焦点三角形的面积，可考虑用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理先求|PF 1|·|PF 2|，再考虑用三角形面积公式求面积．[解析] (1)由|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|知， |PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫2022＝100， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝10时，等号成立， 即|PF 1|·|PF 2|取到最大值100． (2)c 2＝a 2－b 2＝100－64＝36，c ＝6， 则F 1(－6,0)，F 2(6,0)． ∵P 为椭圆上任一点， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20． 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝12，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3，即122＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|，∴122＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|， ∴122＝202－3|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝202－1223＝2563．∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝12×2563×32＝6433．[规律方法] 焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c ．(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos θ．(3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|sin θ＝b 2tan θ2．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)【对点训练】❸如图，已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△AF 1B 的周长；(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？ [解析] (1)由题意知A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，故有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝10＋10＝20，∴△AF 1B 的周长为20．(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长仍为20不变．理由：|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ，和AB 与x 轴是否垂直无关．易错警示典例5 △ABC 的三边a 、b 、c (a ＞b ＞c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．[错解] 设点B 的坐标为(x ，y )．∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即|BC |＋|BA |＝2|AC |，∴|BC |＋|BA |＝4． 根据椭圆的定义易知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．[辨析] 错误的原因是忽略了题设中的条件a ＞b ＞c ，使变量x 的范围扩大，从而导致错误．另外一处错误是当点B 在x 轴上时，A 、B 、C 三点不能构成三角形．[正解] ∵a ＞c ，即(x －1)2＋y 2＞(x ＋1)2＋y 2，解得x ＜0．又点B 不在x 轴上，∴x ≠－2．故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2＜x ＜0)．[规律方法] 要认真审题，弄清已知条件，注意是否存在隐含条件，不能扩大或缩小变量x 或y 的取值范围．。
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3.1.1椭圆及其标准方程 -A 基础练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆 D ．到点12(4,0),(4,0)F F -距离相等的点的轨迹是椭圆 【正确答案】C
【详细解析】对于选项A ,128F F =,故到点12,F F 的距离之和等于8的点的轨迹是线段12F F ,所以该选项错误;对于选项B ,到点1,2,F F 的距离之和等于6的点的轨迹不存在,所以该选项错误;对于选项C ,根据椭圆的定义,知该轨迹是椭圆,所以该选项正确;对于选项D ,点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线,所以该选项错误．故选:C
2．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）若椭圆22:184
x y C +
=的右焦点为F ,过左焦点F '作倾斜角为60︒的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,则PQF △的周长为（ ） A
．B
．C ．6
D ．8
【正确答案】B
【详细解析】由椭圆方程可知28a a =⇒= 根据椭圆的定义可知'2PF PF a +=,
'2QF QF a +=,PQF △
的周长为''4PQ PF QF PF QF PF QF a ++=+++==
3.（2020·天津一中期中）若椭圆2a 2x 2-ay 2=2的一个焦点是(-2,0),则a =（ ） A
B
C
D
【正确答案】C
【详细解析】由原方程可得22
2y 1
12
x a a -=,因为椭圆焦点是(-2,0),所以2124a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
,
解得a =
,
因为20a -
>,即0a <,所以a =,故选:C 4.（2020·浙江丽水高二月考）已知△ABC 的周长为20,且顶点B （0,﹣4）,C （0,4）,则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A ．22
13620
x y +=（x≠0）
B ．22
12036x y +=（x≠0）
C ．22
1620
x y +=（x≠0）
D ．22
1206
x y +=（x≠0）
【正确答案】B
【详细解析】∵△ABC 的周长为20,顶点B （0,﹣4）,C （0,4）,∴BC ＝8,AB +AC ＝20﹣8＝12,∵12＞8,∴点A 到两个定点的距离之和等于定值,∴点A 的轨迹是椭圆,∵a ＝6,c ＝4,∴b 2＝20,
∴椭圆的方程是()22
102036
x y x +=≠,故选B ．
5．（多选题）已知椭圆22
:13620
x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ,定点(1,4)A ,若点P 是椭圆E 上的
动点,则1||PA PF +的值可能为（ ） A ．7
B ．10
C ．17
D ．19
【正确答案】ABC
【详细解析】由题意可得2(4,0)F ,则25AF ==,故22|||5PA PF AF -=|
．因为
点P 在椭圆E 上,所以12212PF PF a +==,所以1212F PF P =-,故1||12||PA PF PA +=+2PF -,由于2
5||5PA PF --,所以17||17PA PF +,故1||PA PF +的可能取值为7,10,17．
6．（多选题）（2020全国高二课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上一点,12,F F 是其两个焦点,则
12F PF ∠的大小可能为（ ）
A ．
34
π B ．
23
π C ．
2
π D ．
4
π 【正确答案】BCD
【详细解析】设12,PF m PF n ==,则0,0m n >>,且24m n a +==,在12F
PF △中,由余弦定理可
得2221212()2122cos 122m n m n mn F PF mn mn mn +-+--∠===-,因为2
42m n mn +⎛⎫= ⎪⎝⎭
,
所以12
1cos 2
F PF ∠-,当且仅当m n =时取等号,故12F PF ∠的最大值为23π,
所以12F PF ∠的大小可能为2,,324
πππ
．故选:BCD 二、填空题
7.（2020全国高二课时练）已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2√15,则此椭圆的标准方程为 . 【正确答案】y 2
16+x 2=1
【详细解析】由已知2a=8,2c=2√15,所以a=4,c=√15,所以b 2=a 2-c 2=16-15=1.又椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 2
16+x 2=1. 8.椭圆x 2
12+y 23
=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点M 在y 轴上,则点M 的纵坐标
为
.
【正确答案】±√34
【详细解析】∵线段PF 1的中点M 在y 轴上且O 是线段F 1F 2的中点,∴OM 为△PF 1F 2的中位线,∴PF 2⊥x 轴,∴点P 的横坐标是3或-3,∵点P 在椭圆上,∴912
+
y 23
=1,即y 2=3
4
,∴y=±√32
.∴点M 的纵坐标
为±√34
.
9．（2020河北石家庄二中高二月考）已知椭圆()22
2:1024x y C b b +=<<的左、右焦点分别为1F 、
2F ,P 为椭圆上一点,13PF =,123
F PF π
∠=
,则b =______．
【正确答案】
32
【详细解析】根据椭圆的定义:2231PF a =-=,
在焦点12PF F △中,由余弦定理可得:2
22
2
12
121242cos
73
c F F PF PF PF PF π
==+-⋅=,
274c ∴=
,则222
79444
b a
c =-=-=,所以,32b =.
10．（2020·江西南昌二中高二月考）如图所示,12F F 分别为椭圆22
22x y 1a b
+=的左右焦点,点P 在椭圆
上,2POF ,则2
b 的值为 .
【正确答案】
【详细解析】
2POF ,2=
解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得:22131a b
+=,与224a b =+联立解得:2b = 三、解答题
11．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2);
(2)c ∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【详细解析】 (1)由焦距是4可得c=2,
且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=√32+(2+2)2+√32+(2-2)2=8, 所以a=4,所以b 2=a 2-c 2=16-4=12.
又焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 2
16+x 2
12=1. (2)由题意知,2a=26,即a=13,又c ∶a=5∶13,所以c=5, 所以b 2=a 2-c 2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x 2
169+y 2
144=1或y 2
169+x 2
144=1.
12. （2020·富平县富平中学高二月考）已知某椭圆C,它的中心在坐标原点,左焦点为F （﹣,0）,
且过点D （2,0）．
（1）求椭圆C 的标准方程;
（2）若已知点A（1,）,当点P在椭圆C上变动时,求出线段PA中点M的轨迹方程．
【详细解析】（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上,
∵椭圆经过点D（2,0）,左焦点为F（﹣,0）,
∴a=2,c=,可得b=1
因此,椭圆的标准方程为．
（2）设点P的坐标是（x0,y0）,线段PA的中点为M（x,y）,
由根据中点坐标公式,可得,
∵点P（x0,y0）在椭圆上,
∴可得,化简整理得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是．。