直线的方向向量与直线的向量方程PPT课件
人教版选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义
人教版选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义讲堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为开始作向量ta AP =①，如 下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的偏向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形准则。
知识点二 用向量要领证明平行干系。
（1）设直线1l 和2l 的偏向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个偏向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）要是C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式AC y AB x AM +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的鉴定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件要是我们知道两条直线的偏向向量，我们就可以利用两个偏向向量是否垂直来鉴定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的偏向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的偏向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角 设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既 不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。
人教版【高中数学】选修2-1第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如 下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。
知识点二 用向量方法证明平行关系。
（1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式AC y AB x AM +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角 设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既 不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
2022-2023学年高一数学：空间中点、直线和平面的向量表示课件
2OB.设点
Q 的坐标为(x′，y′，z′)，则上
式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，
D1
C1
A1
B1
D
A
x
y
C
M
B
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4, BC=3, CC1 =2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为
(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0), 1=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2⊥ ，n2⊥ 1，
所以
2 ⋅ = −3 + 2 = 0
2
= 3
解得
=
2 ⋅ 1 = −2 + 2 = 0
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
总结
求平面法向量的步骤
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、
面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
知识回顾
推广
平面向量
建系
空间向量
代数运算
空间向量解决了哪些几何问题？
平行、垂直问题
距离问题
夹角问题
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有
关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对
1 3
C. 1, 2 , 2
2 1
D. - 3 , 3 ,1
2 1
解析: =(2,-1,-3)=-3 - 3 , 3 ,1 ,故选 D.
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
B1 M
A B
D C
向量证法
三、概念形成
概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称 的角
例子：已知三棱锥O-ABC(如图)，OA=4，OB=5，OC=3， ∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M，N分别是棱OA，BC的 中点，求异面直线MN与AC所成角的余弦。 O M C N B
已知三棱锥O-ABC(如图),OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=∠BOC=60°， ∠COA=90°，M，N分别是棱OA，BC的中点，求异面直线MN与AC所 成角的余弦。
则点M在平面ABC内的充要条件 是，存在一对实数x,y使得 AM x AB yAC 成立。
l
2
1
三、概念形成
概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平 行，平面与平面平行
3.用向量的方法证明面面平行
设两个不共线向量 和 与平面 共面，则 1 2 // 或与 重合 1 // 且 2 // 2 1
如果在l上取 AB a, 则②式可化为
② l P ta B
M
OP OA t AB OA t (OB OA)
即
Aa
OP (1 t )OA t OB
③
①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程.
O
注: ⑴当t=
1 时, 1 1 OP OA OB .此时P是线段AB的中 2 2 2
A1
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是B1B与CA1的中点。 求证：MN⊥BB1 ；MN⊥A1C 。 (1)证明：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为1，则
高考数学复习考点知识讲解课件41 直线的方程
的取值范围为____13_，____3_ ____．
— 14 —
(新教材) 高三总复习•数学
[解析] (1)直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
— 返回 —
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，4π， 当－1≤k<0时，倾斜角的范围是34π，π.故选D． (2)如图，过A(2,1)，P(－1,0)的直线的斜率为k1＝2－1－－01＝13，过B(0， 3)，P(－1,0)
取值范围是23π，34π.
— 20 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
考点二 直线的方程——自主练透
对点训练
1．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转
45°，得到的直线方程是( D )
A．x＋y－3＝0
B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0
D．3x＋y－6＝0
高考数学复习考点知识讲解课件
第一节 直线的方程
基础知识夯实 核心考点突破
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
考试要求：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要 素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过 两点的直线斜率的计算公式；3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的 几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
____(－__∞__，__－____3_]∪___[1_，__＋__∞__)_____．
[解析] (1)直线l的斜率k＝csoinsαα＝tanα， ∵α∈－2π，0，∴π＋α∈π2，π， 故k＝tanα＝tan(π＋α)． ∴直线l的倾斜角为π＋α.
高二数学选修课件：3-2-1直线的方向向量与直线的向量方程
[说明] 证明线平行于面，可以有两种方法(以后还可
用法向量证)，一是在平面 A1BD 内找一向量与M→N共线，
二是将M→N用平面 A1BD 中两不共线向量线性表示．在上面
人 教 B
版
两种方法中既可以建立空间坐标系证明，也可以利用向量
数 学
分解等运算进行证明．
第三章 空间向量与立体几何
如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，
则l1⊥l2⇔______________________________.
[答案] 1.直线l的参数方程(t为参数)
人 教
B
2.12(O→A＋O→B)
版 数 学
3．v1∥v2 4．v∥v1(或v∥v2)或存在两个实数x，y，使v＝xv1＋
yv2
5．v1⊥v2，cosθ＝cos<v1，v2>
第三章 空间向量与立体几何
∴O→M＝12B→C1，∴O→M∥B→C1，∵O∉BC1，
∴OM∥BC1.
第三章 空间向量与立体几何
[例3] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、
N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
人 教
B
版
数
学
第三章 空间向量与立体几何
[证明] 方法一 ∵M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C
2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
人 教
B
(3)显然b＝－3a，即a∥b，故l1∥l2(或l1与l2重合)．
版 数
[说明] 首先根据a，b的坐标，对a，b的关系(平行、 学
垂直或其他情况)作出初步判断，然后再用有关知识给予验
证，从而得到相关结论．直线的方向向量在研究线线、线
立体几何中的向量方法(人大附中)选修2-1：3.2.1直线方向向量和直线的向量方程
| MN |2 MN MN 1 45 2 2 2 (| a | | b | | c | 2b c 2a b 2a c) 2 4 | AC |2 AC AC | a |2 | c |2 2a c 25 ， 1 45 MN AC (b c a) (c a) ， 2 4 MN AC 3 5 因此 cos MN , AC ， | MN | | AC | 10
平行
2．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的
3 (1, , 1) 交点，则M点的坐标为__________. 2
3．空间四个点A(1, 0, 1)，B(4, 4, 6)，C(2,
共面 2, 3)，D(10, 14, 17)，则这四个点_______ (填共面或不共面)．
z Q B P O x A y
5 11 (1) P ( , , 1) 3 3
(2) (0，2，6)
2．用向量的方法证明直线与直线平行、直 线平面平行、平面与平面平行 （1）设直线l1和l2的方向向量分别为 v1和v2
则由向量共线的条件得
l1
l1 / /l2 (或l1与l2重合) v1 / /v2
例4．已知三棱锥O－ABC，OA=4，OB=5，
OC=3，∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°, M、N分别是棱OA、BC的中点，求：直线 MN与AC所成的角的余弦值。
O c b C N B M a A
3 5 10
解：设 OA a, OB b, OC c ，
1 则 MN ON OM (b c a ) ， AC c a ， 2
方程①通常称作直线l的参数方程，向量
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1.会用向量表示点、直线、平面 2.掌握用向量法证明线与线、
线与面、面与面的平行的方法
3. 能根据具体问题合理选定基底、建 系
基础知识
空间向量在立体几何中的应用
平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
基础知识
2
A' D'
N B'
M
C'
A D
B C
基础知识
5.用向量方法证明平面与平面平行:
两个不共线向量 v1, v2 与平面 共面
// 或与 重合 v1 // 且v2 //
v1
v2
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/垂直的步骤是： a)以不共面的三个向量为基底， b)用基底表示欲证的两直线的方向向量， c)验证这两个方向向量的数量积为零。 （2）空间四边形中有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。
a
，则CD=CB=a，设∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=
则 BD CD CB
(1)CC1 BD CC1 CD CC1 CB
a cos a cos 0∴C1C⊥BD；
基础训练
3: 已 知 OE 是 以 OA、OB 、OC 为 棱 的 平 行 六 面 体
1
(1,3,3)
3 x
5
,
y
311
,
z
1
P(5 ,11 ,1)
3 同法可求得Q(0,2,6)
3
33
基础知识
3.用向量方法证明直线与直线平行:
直线 1 的方向向量为 v1 思考：如何用向
直线 2 的方向向量为 v2 量证两直线平行？
结论：
1 //
或
2
与
1
重合
2
v1
//
v2
图示：
v1
1
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内, 且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
v2
1
2
v1
v2
2
基础知识
4.用向量方法证明直线与平面平行:
直线 的方向向量为 v 思考：如何用向
两个不共线向量 v1, v2 与平面量证共线面面平行？
结论：//或 x、y R,使v xv1 yv2
图示：
v
v1
v2
例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M， N 分别是面对角线A’B 与面对角线A’C’的中点， 求证：MN//侧面AD’；MN/1/AADD.’；并且MN=
一条数轴，P，Q 为轴上两点，且分别
满足条件（1）AP：PB=1：2；
B
（2）AQ：QB=－2， 求点P 和点Q 的坐标。
P
O
y
解：由已知得PB 2AP
A
l
OB OP 2(OP OA)
x
OP 2 OA 1 OB)
33 设P(x，y，z),则
( x,
y, z)
2
(2,4,0)
∴ OP OA m(OB OA) n(OC OA) ∴ OP (1 m n)OA mOB nOC
OADB─CFEG 的对角线,点 M 是△ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上.
G
E
分析:
C
F
证三点共 线可尝试用向量来 分析.
B M
D
O
O
A
基础训练
4:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且OP xOA yOB ，x求 y 的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
P99例3（垂直） P100例4（求角 ）
基础训练
2.如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1底面
是菱形，且C1CB C1CD BCD 600
求证：(1）CC1
BD;(2)当 CD CC1
的值为多少时，
能使A1C 平面C1BD,并加以证明。
基础训练
CD
解：设CC1为1个单位，CC1
② OP OA ta,t R
P Ba
A
OP OA t AB,t R
O
③ OP (1 t)OA tOB,t R
OP xOA yOB,(x y 1)
①、②、③都叫做空间直线的向量参数方程
例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)， Q 以AB 的方向为正向，在直线AB上建立 z
P
程，其中t为参数
A
a 称为直线的方向向量
基础知识
2.直线的向量方程:
定点A，向量 a ，t R, P , a //
则： AP ta
a
为直线 的参数方
P
程，其中t为参数
A
a 称为直线的方向向量
O
OP OA ta,t R
基础知识
2.直线的向量方程:
① AP ta,t R
1.用向量表示空间中的点:
在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那 么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量.
P
O
基础知识
2.用向量表示空间中的直线及直线的向量方程:
定点A，向量 a ，t R, P , a //
则： AP ta
a
为直线 的参数方
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC 可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC ,
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性
∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB nAC
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?