2020年山西省太原市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A. {1，2}B. （1，2]C. {0，1，2}D. （0，2]2.已知复数z满足（2+i）z=5（i为虚数单位），则z=（）A. -2-iB. 1-2iC. 2-iD. 1+2i3.下列命题中的真命题是（）A. 若＜0，则向量与的夹角为钝角B. 若am2≥bm2，则a≥bC. 若命题“p∨q是真命题”，则命题“p∧q是真命题”D. 命题“∃x0∈R，2”的否定是“∀x∈R，2x≥x2”4.已知tanα=2，α∈（0，π），则=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）=x lnx+a在x=e处的切线经过原点，则实数f（1）=（）A. eB.C. 1D. 06.已知{a n}为等比数列，a5+a8=2，a6•a7=-8，则a2+a11=（）A. 5B. 7C. -7D. -57.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A. 12B. 15C.D.8.在平面区域，内任取一点P（x，y），则存在α∈R，使得点P的坐标（x，y）满足（x-2）cosα+y sinα-=0的概率为（）A. 1-B.C.D. 1-9.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n-（-1）n a n=2n-6+，（n∈N*）则S100=（）A. 196B. 200C. 194+D. 198+10.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，斜率为2直线过点F1双曲线C第二象限相交于点P若|OP|=|OF2，则双曲线C的离心率是（）11.已知定义在R上的函数f（x）满足2f′（x）-f（x）＜0，且f（ln2）=2，则f（ln x）-＞0的解集是（）A. （0，2）B. （0，）C. （0，e）D. （0，）12.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足f（-x）=-f（+x），f（--x）=f（x），且在（0，）上是单调函数，则ω的值可能是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.抛物线y=x2的准线方程是______．14.已知（）n的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为______．15.如图，正方体的棱长为4，点Q在棱上，且，是面内的正方形，且，P是面内的动点，且P到平面的距离等于线段的长，则线段PQ长度的最小值为__________.16.已知函数f（x）=ln x-b，g（x）=ax+（1-a），其中a，b∈R，若f（x）≤g（x）恒成立，则当取最小值时，a-b=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A＋（c-a）sin C＝b sin B．若点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，BC＝2，．（1）求B；（2）求△ABC的面积．18.如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，面CDEF是菱形，∠DCF=60°，CD=2AD=2AB，AE=AD．（Ⅰ）证明：CE⊥AF；（Ⅱ）已知点P在线段BC上，且CP=λCB，若二面角A-DF-P的大小为60°，求实数λ的值．19.为方便市民出行，倡导低碳出行．某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车．该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x（单位：天）表示活动推出的天次，y（单位：人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图．表1：x第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天y71220335490148（1）由散点图分析后，可用y=e bx+a作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次y关于活动推出天次x的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）．表2：452 3.51402069112表中z =ln y，=．（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3．表3：支付方式现金乘车卡扫码频率10%60%30%优惠方式无优惠按7折支付随机优惠（见下面统计结果）统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为，享受7折支付的频率为，享受9折支付的频率为．已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量ξ为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求ξ的分布列和期望．参考公式：对于一组数据（u i，υi），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考数据：e5.3=200.33，e5.5=244.69，e5.7=298.87．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是其左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同点，证明：直线AM心与BN的交点在一条定直线上．21.已知函数f（x）=ln x-ax2+（2-a）x，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＜-，时，若对于任意x1，x2∈（1，+∞）（x1＜x2），都存在x0∈（x1，x2），使得f'（x0）=，证明：＜x0．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）已知点A（0，1），若曲线C1方程中的参数是t，0＜α＜π，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在实数x0，使得f（x0）≤5+m-m2成立的m的最大值为M，且实数a，b 满足a3+b3=M，证明：0＜a+b≤2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|0＜x≤2}；∴A∩B={1，2}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（2+i）z=5，得z=．故选：C．3.答案：D解析：解：选项A：若＜0，则向量与的夹角为钝角或平角，所以选项A是假命题；选项B：am2≥bm2，则a≥b并且m≠0或m=0，a，b∈R，所以选项B是假命题；选项C：命题“p∨q是真命题”p，q中至少有一个为真命题，只有当p，q都是真命题时，p∧q才是真命题，所以选项C是假命题；选项D；根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论这一原则；“∃x0∈R，2”的否定是“∀x∈R，2x≥x2”是真命题；故选：D．对于选项A：当＜0，则向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B：要注意am2≥bm2成立时，m=0这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C：命题“p∨q是真命题”p，q中至少有一个为真命题，不能确定p∧q是真命题；对于选项D：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题．本题考查了命题真假的判断，涉及向量的数量积，不等式的基本性质，复合命题的真假，命题的否定，属于基础题．4.答案：A解析：解：==-2cosα，又tanα=，sin2α+cos2α=1，解得：cosα=±，又α∈（0，π），t anα＞0，故α∈（0，），故cosα=，所以：=-．故选：A．由诱导公式及二倍角公式化简可得=-2cosα，由=2，结合同角三角函数基本关系式得cosα，即可求解．本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题．5.答案：A解析：解：函数f（x）=x lnx+a，f（e）=e+af′（x）=ln x+1，∴f′（e）=2，切线方程为y-e-a=2（x-e），故0-e-a=2（0-e），解a=e．则实数f（1）=e故选：A．先求导，再求切线斜率，利用点斜式写出方程，即可求解本题考查切线方程，导数的几何意义，考查计算能力，是基础题．6.答案：C解析：解：a5+a8=2，a6•a7=-8，∴a5•a8=-8，解得a5=4，a8=-2，或a5=-2，a8=4．当a5=4，a8=-2，q3=-，a2+a11=a5q-3+a8q3=4×-2×=-7，当a5=-2，a8=4．q3=-2．a2+a11=a5q-3+a8q3=-2×（）+4×（-2）=-7故选：C．通过已知条件求出a5，a8，求出公比，求出a7，然后求解a2+a11的值．本题考查等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．7.答案：D解析：【分析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积．本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积．【解答】解：由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高h为5．底面四边形可以分割成二个三角形，面积S=×4×4+=10，体积V==，故选：D．8.答案：A解析：解：由题意可知：单位圆与直线f（m，n）=（x-2）m+yn-存在交点，∴，即（x-2）2+y2≥2，结合图形，可知：P==1-．故选：A．画出约束条件的可行域，转化目标函数为可行域内的点与单位圆的交点，从而求解概率．本题考查线性规划的简单应用，几何概型的简单应用，考查计算能力．9.答案：B解析：【分析】推导出a n=S n-S n-1=（-1）n a n-（-1）n-1a n-1-+2，当n为奇数时，2a n+a n-1=2-，当n为偶数时，a n-1=-2，从而a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=4，由此能求出S100．本题考查数列的前100项和的求法，考查数列的递推公式、分组求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n满足S n-（-1）n a n=2n-6+，（n∈N*），∴S n=（-1）n a n+2n-6+，（n∈N*），a n=S n-S n-1=（-1）n a n+2n-6+-（-1）n-1a n-1-（2n-2）+6-=（-1）n a n-（-1）n-1a n-1-+2，当n为奇数时，2a n+a n-1=2-，当n为偶数时，a n-1=-2，∴a1=-2，a3=，，…，，=6-，a4=6-，，…，a100=6-，∴a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=4，∴S100=50×4=200．故选：B．10.答案：B解析：解：斜率为2直线过点F1双曲线C第二象限相交于点P，|OP|=|OF2|=c，可得三角形PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，设|F1P|=m，|PF2|=n，可得n-m=2a，又=2，解得m=2a，n=4a，又m2+n2=4c2，即4a2+16a2=4c2，即c=a，则e==．故选：B．由题意可得三角形PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，设|F1P|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义和斜率的定义、勾股定理和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线定义、方程和性质，考查直角三角形的性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：A解析：【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解不等式，构造函数，考查了运算求解能力，属于中档题．构造函数g（x）=，x∈R，g（ln2）==．可得f（ln x）-＞0⇔g（t）＞g（ln2），利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：由题意，构造函数g（x）=，x∈R，所以g（ln2）==，令ln x=t∈R，则不等式f（ln x）-＞0（x＞0），可化为：＞，即g（t）＞g（ln2），t∈R，因为定义在R上的函数f（x）满足2f′（x）-f（x）＜0，所以g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，由g（t）＞g（ln2），可得t＜ln2，∴ln x＜ln2，解得0＜x＜2，故选：A．12.答案：C解析：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足f（-x）=-f（+x），∴f（x）的图象关于点（，0）对称，∵f（x）在（0，）上是单调函数，∴•≥，∴ω≤8．若对称中心（，0）和对称轴x=-得距离d=-（-）=，①若d==，即T=2π，即T==2π，则ω=1，此时f（x）=sin（x+φ），x=-是对称轴，则-+φ=kπ+，得φ=kπ+，∵|φ|＜，∴k=-1时，φ=-，此时f（x）=sin （x-），满足条件，②若d==，即T=π，即T==π，则ω=3此时f（x）=sin（3x+φ），x=-是对称轴，则-×3+φ=kπ+，得φ=kπ+，∵|φ|＜，∴k=-1时，φ=，此时f（x）=sin （3x+），当0＜x＜时，＜3x+＜，此时函数不单调，不满足条件．③若d==，即T=π，即T==π，则ω=5此时f（x）=sin（5x+φ），x=-是对称轴，则-×5+φ=kπ+，得φ=kπ+，∵|φ|＜，∴k=-2时，φ=-，此时f（x）=sin （5x-），当0＜x＜时，-＜5x-＜，此时函数单调递增，满足条件．③若d==T，即T=π，即T==π，则ω=7此时f（x）=sin（7x+φ），x=-是对称轴，则-×7+φ=kπ+，得φ=kπ-，∵|φ|＜，∴k=1时，φ=-，此时f（x）=sin （7x-），当0＜x＜时，-＜7x-＜，此时函数不单调，不满足条件，④若d==T，即T=π，即T==π，则ω=9＞8不成立，综上满足条件的ω=1或ω=5，故选：C．根据条件判断f（x）的图象关于点（，0）对称，同时关于x=-对称，结合函数的单调性分别进行讨论即可．本题主要考查三角函数的单调性，对称性和对称轴的应用，根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．13.答案：4y+1=0解析：解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：=，∴准线方程y=-=-，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．14.答案：15解析：解：令x=1，则2n=64，所以n=6，则（）6的展开式的通项为T r+1=（）6-r（）r=x，令，解得r=4，即其展开式中的常数项为=15，故答案为：15．由二项式定理及其展开式通项公式得：令x=1，则2n=64，所以n=6，则（）6的展开式的通项为T r+1=（）6-r（）r=x，令，解得r=4，即其展开式中的常数项为=15，得解．本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，属中档题．15.答案：解析：【分析】本题考查线段的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．过Q作QM⊥BB1，连接MP，则QM⊥MP，从而PQ2=QM2+MP2=16+MP2，当MP最小时，PQ最小，利用空间直角坐标系，求出MP2的表达式，求出最小值，最后求出PQ 长度的最小值．【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：过Q作QM⊥BB1，连接MP，平面ABB1A1平面BCC1B1,平面ABB1A1平面BCC1B1=BB1且QM平面ABB1A1，QM平面BCC1B1,又MP平面BCC1B1,∴QM⊥MP，∴PQ2=QM2+MP2=16+MP2，当MP最小时，PQ最小．设P（x，4，z），F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），0≤x≤4，0≤z≤4，∵P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，∴x=，即2x-1=（z-3）2，MP2=（x-4）2+（z-3）2=x2-6x+15=（x-3）2+6≥6，∴x=3时，MP2有最小值6，∴PQ2的最小值为22，∴线段PQ长度的最小值为．故答案为：．16.答案：1解析：解：∵f（x）=ln x-b，g（x）=ax+（1-a），若f（x）≤g（x）恒成立，令h（x）=f（x）-g（x）=ln x-ax-b+a-1则①当a≤0时，h′（x）≥0恒成立，h（x）单调递增，h（x）≤0不可能恒成立②当a＞0时，令h′（x）＞0可得，0＜x，h′（x）＜0可得，∴h（x）在[，+∞）上单调递增，（0，）上单调递减，故当x=时h（x）min=h（）=a-ln a-b-2≤0∴a-ln a-2≤b∴令h（a）=1-，a＞0则，当a时，≥0，h（a）单调递增，时，＜0，h（a）单调递减，当a=时，h（a）取得最小值h（）=1-e∴≥1-e即取最小值1-e，此时a=，b=a-ae=a-1=，∴a-b=1故答案为：1令h（x）=f（x）-g（x）=ln x-ax-b+a-1，则h（x）≤0，结合导数，对a进行分类讨论，求解函数的单调性，即可求解本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系的应用，函数的单调性与最值求解的相互关系的转化，具有一定的综合性17.答案：解：（1）∵a sin A+（c-a）sin C=b sin B，由正弦定理得a2+c2-ac=b2，由余弦定理得：cos B==，∵0°＜B＜180°，∴B=60°，（2）连接CE，如下图：D是AC的中点，DE⊥AC，∴AE=CE，∴CE=AE=，在△BCE中，由正弦定理得，∴=，∴cos A=，∵0°＜A＜180°，∴A=45°，∴∠ACB=75°，∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=30°，∠BEC=90°，∴CE=AE=，AB=AE+BE=AE+BC cosB=，∴S△ABC==.解析：本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B．（2）根据已知条件可以确定AE=CE，并求出它们的表达式，在△BCE中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出角A，BE的大小，最后求出面积．18.答案：证明：（Ⅰ）∵CDEF是菱形，∴DE=CD=2AD，CE⊥DF，∵A=，∴AE2=AD2+DE2=5AD2，∴AD⊥DE，∵AD⊥CD，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥CE，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AF．（Ⅱ）由（I）知以D为坐标原点，DA为x轴，建立如图的空间直角坐标系D-xyz，设DA=1，由题设可得A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，-1，），F（0，1，），∴=（λ，-λ，0）．∴=（λ，2-λ，0），设=（x，y，z）是平面DFP的一个法向量，则，令z=-1，得=（，），由（Ⅰ）可知=（0，-3，）是平面ADF的一个法向量，∵二面角A-DF-P的大小为60°，∴cos60°===，解得．．解析：（Ⅰ）通过菱形的性质可以得到CE⊥DF，通过计算，由勾股定理的逆定理，可以得到AD⊥DE，已知AD⊥CD，能推出AD⊥CE，也就能推出CE⊥面ADF，最后证出CE⊥AF．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求出平面DFP和平面ADF的法向量，利用空间向量数量积，求出λ的值．本题考查本题考查了线线垂直，利用空间向量数量积求参数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）由题意得z=ln y=ln e bx+a=bx+a，∴==0.5，∴==3.5-0.5×4=1.5，∴z关于x的线性回归方程为z=0.5x+1.5，y关于x的回归方程为y=e0.5x+1.5，当x=8时，y=e5.5=244.69，∴第8天使用扫码支付的人次为245．（2）由题意得ξ的所有取值为0.5，0.7，0.9，1，P（ξ=0.5）==0.10，P（ξ=0.7）=60%+=0.75，P（ξ=0.9）==0.05，P（ξ=1）=10%=0.10，ξ0.50.70.91P0.100.750.050.10解析：本题考查了线性回归方程、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）由题意得z=ln y=ln e bx+a=bx+a，利用所给的公式求出，，求出z关于x的线性回归方程，然后预测第8天的使用扫码支付的人次；（2）由题意得ξ的所有取值为0.5，0.7，0.9，1，求出所有取值的概率，然后列出分布列，算出期望．20.答案：解：（1）由题意得，∴a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为+=1；（2）由（1）得A（-2，0），B（2，0），F2（1，0），设直线MN的方程为x=my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（4+3m2）y2+6my-9=0，∴y1+y2=-，y1y2=-，my1y2=-（y1+y2），∵直线AM的方程为y=（x+2），直线BN的方程为y=（x-2），∴（x+2）=（x-2），∴===3，∴x=4，∴直线AM与BN的交点在直线x=4上．解析：（1）利用椭圆的定义，可求出△PF1F2周长的表达式，当P点是椭圆的上（或下）顶点时，△PF1F2面积有最大值为，列出等式，结合a2=b2+c2，求出椭圆方程；（2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线AM 心与BN的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查两直线的交点在定直线上的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立．运用韦达定理，以及联立直线方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）由题意得：f′（x）=-2ax+（2-a）=-（x＞0），①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，则x＞，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．（2）证明：当a＜-时，=-a（x1+x2）+（2-a）．f′（x0）=-2ax0+（2-a）．∴-a（x1+x2）=-2ax0．∵f（）-f′（x0）=-a（x1+x2）-+2ax0=-==令t=＞1，g（t）=-ln t，g′（t）=-＜0，∴g（t）＜g（1）=0．∴f（）-f′（x0）＜0，即f（）＜f′（x0），设h（x）=f′（x）=-2ax+（2-a），x＞1．则h′（x）=--2a＞-1+1=0．∴h（x）=f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴＜x0．解析：（1）由题意得：f′（x）=-2ax+（2-a）=-（x＞0），对a分类讨论，即可得出单调区间．（2）当a＜-时，=-a（x1+x2）+（2-a）．f′（x0）=-2ax0+（2-a），可得-a（x1+x2）=-2ax0．作差f（）-f′（x0）=，通过换元，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）∵ρ=2cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为∴（x-1）2+y2=1，∵α是曲线C1：的参数，∴C1的普通方程为x2+（y-1）2=t2，∵C1与C2有且只有一个公共点，∴|t|=-1或|t|=+1，∴C1的普通方程为x2+（y-1）2=（）2或x2+（y-1）2=（）2（2）∵t是曲线C1：的参数，∴C1是过点A（0，1）的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，把，代入（x-1）2+y2=1得t2+2（sinα-cosα）t+1=0，∴∴+=+=|t1|+|t2|=|t1+t2|=2|sin（α-）|≤2，当α=时，=4（sinα-cosα）2-4=4＞0，+取最大值2．解析：本题考查了参数方程化为变通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，利用参数的意义求最值问题，属中档题．（1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出|t|（2）把曲线C1参数方程代入曲线C2直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设与点P，Q，的参数分别是t1，t2一元二次方程根与系数关系，求出+的表达式，求出最大值．23.答案：解（1）∵f（x）=|2x-1|+2|x+1|≤5，∴|x-|+|x+1|≤，由绝对值得几何意义可得x=-和x=1上述不等式中的等号成立，∴不等式f（x）≤5的解集为[-，1]；（2）由绝对值得几何意义易得f（x）=2（|x-|+|x+1|）的最小值为3，∴3≤5+m-m2，∴-1≤m≤2，∴M=2，∴a3+b3=2，∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），a2-ab+b2≥0，∴a+b＞0，∵2ab≤a2+b2，∴4ab≤（a+b）2，∴ab≤，∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）[（a+b）2-3ab]≥（a+b）3，，∴a+b≤2∴0＜a+b≤2．解析：（1）根据绝对值的几何意义，求出解集；（2）求出函数f（x）的最小值，求出M，利用立方差公式，结合重要不等式2ab≤a2+b2，最后证出本题考查了绝对值的几何意义、利用立方差公式，结合重要不等式证明不等式问题，属中档题．。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},若集合A={1,2,3,5}，B={2,3,4}则(C U A)∪B为()．A. {1,2,4}B. {4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则x的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,0)C. (−∞,0)D. (0,1)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13=26，a11=10，则a20=()A. 26B. 28C. 30D. 324.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 45.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.6.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是()A. 101102B. 100101C. 99100D. 98997.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.设变量x，y满足约束条件{2x+y≤2x+2y≤2x≥0 y≥0，则目标函数z=−2x+y的最大值是()A. 4B. 2C. 1D. −239.若对任意x∈R，都有cos(2x−5π6)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω,φ)的对数为A. 0B. 1C. 2D. 310.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，已知某“堑堵”和“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 5√36B. 7√36C. √36D. 3√3611.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=√3(x−1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=163，则p=()A. 8B. 4C. 2D. 112.函数f(x)是定义域在R的可导函数，满足：f(x)<f′(x)且f(0)=2，则f(x)e x>2的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x24−y23=1的渐近线方程是______，实轴长为______．14.已知函数f(x)=ax−log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数，则a=________________．15.如图，四边形ABCD和ABEF均是边长为1的正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF.M，N分别为对角线AC，BF上两点，则MN的最小值为________．16.已知首项为1的数列{a n}，满足a n+1=11+a n(n∈N∗)，则a3=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．等级不及格及格良好优秀得分[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数6a24b(Ⅰ)求a、b、c的值；(Ⅱ)试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；(Ⅲ)已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现在再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中恰有1人为“优秀”的概率．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若sin(A+π)=2cos A，求A的值；6(2)若cos A=1，b=3c，求sin C的值.319.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D−BCG的体积．20. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．21. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4√2y 的焦点，离心率等于√63.椭圆E 的左焦点为F ，过点M(−3,0)任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)求△MBC 面积的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x −1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，且2a +b =m(a >0,b >0)，求2a +1b 的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B即可．解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,2，3，5}，B={2,3，4}，则∁U A={0,3，4}，所以(∁U A)∪B={0,2，3，4}．故选D．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．由题意，可得1+x<0，即可得解．解：∵复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1，∴x的取值范围是(−∞,−1)．故选A．3.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的性质求解即可．=13a7=26，所以a7=2，解：S13=13(a1+a13)2所以4d=a11−a7=8，解得d=2，所以a20=a11+9d=10+9×2=28．故选B．4.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．6.答案：B解析：本题考查的知识要点：程序框图在数列中的应用，利用裂项相消法求数列的和的应用．属于基础题型．直接利用程序框图的循环结构，数列的求和和利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．解：根据程序框图：S=S+1i −1i+1，执行第一次循环时：S=0+1−12=12，执行第二次循环时，S =1−12+12−13=23，当n =100时，输出结果为：S =1−12+12−13+⋯−1101=1−1101=100101．故选：B ． 7.答案：B解析：本题主要考查函数图像的识别，考查学生思考推理的过程．解：因为f(−1)=|2−1−2|2−1+2=35，f(1)=|21−2|21+2=0，所以f (−1)≠f (1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ，又f (0)=13，排除D ．故选B ． 8.答案：C解析：本题考查利用简单线性规划求最值.由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z =y −2x 的最大值的位置，即可求出其最值．解：由题意，作出可行域，如图所示：由{x +2y =2x =0，得A(0,1)，由z=−2x+y得y=2x+z，平行移动直线y=2x+z，当直线过点A时，截距最大，则z的值最大，∴目标函数z=−2x+y的最大值是1.故选C．9.答案：C解析：本题考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题．由诱导公式可得，cos (2x−5π6)=sin (2x−π3)，即可得ω=±2，从而可得ω=2时φ=−π3；ω=−2时，φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，即可得结果．解：cos(2x−5π6)=cos(2x−π3−π2)=sin(2x−π3)，由条件知ω=±2，若ω=2，由φ=−π3+2kπ(k∈Z)且|φ|<π，得φ=−π3；若ω=−2，sin(−2x+φ)=sin(2x+π−φ)，则π−φ=−π3+2kπ(k∈Z)，所以φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，又|φ|<π，则φ=−2π3．故选C．10.答案：A解析：解：由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和√3，高为1，其体积V1=13×√3×1=√33左边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是√3和1的直角三角形，高为1，其体积V2=12×1×√3=√32∴该几何体的体积V=V1+V2=√33+√32=5√36．故选：A．由已知中的三视图，可知该几何体右边是四棱锥，即“阳马”，左边是直三棱柱，即“堑堵”，该几何体的体积只需把“阳马”，和“堑堵”体积分别计算相加即可．本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：直线l：y=√3(x−1)与抛物线y2=2px联立，可得3x2+(−6−2p)x+3=0，Δ=(6+2p)2−36>0，x1+x2=6+2p3,x1x2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=2|x1−x2|，∴2√(6+2p3)2−4=163，∴p=2，故选：C．直线与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求出p．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：设F(x)=f(x)e x，则F′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f(x)<f′(x)，∴F′(x)>0，即函数F(x)在定义域上单调递增；∵f(0)=2，∴不等式f(x)e x>2等价为F(x)>F(0)，解得x>0，所求不等式的解集为(0,+∞)．故选：B．根据条件构造函数F(x)=f(x)e x，求函数F(x)的导数，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．本题主要考查了函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．13.答案：√3x±2y=0 4解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可．解：双曲线x24−y23=1，可得a=2，b=√3，所以双曲线的渐近线方程是：√3x±2y=0，实轴长为：4．故答案为：√3x±2y=0；4．14.答案：12解析：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．根据偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即可得−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+ 1)+cos x，整理即可求得a．解：因为f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，即−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cos x，∴2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=log22x+12−x+1=x，由x的任意性2a=1，可得a=12．故答案为12．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33． 16.答案：23解析：本题主要考查数列项的求解，属于基础题，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据数列的递推关系即可得到结论．解：∵首项为1，满足a n+1=11+a n ∴a 2=11+1=12，a 3=11+12=23，故答案为：2317.答案：解：(Ⅰ)由频率和为1，得(0.005+c +0.02+0.01)×20=1，解得c =0.015，由a 6=0.0150.005，解得a =18，由b 6=0.010.005，解得b =12；(Ⅱ)该校安全意识测试评定为“优秀”的频率是0.01×20=0.2，估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数为3000×0.2=600；(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人，抽取比例为12：24=1：2；“优秀”人数选2人，记为A、B，“良好”人数选4人，记为C、D、E、F，现再从这6人中任选2人，基本事件数是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，选取的2人中有1人为“优秀”的基本事件数是AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF共8种，故所求的概率为P=815．解析：本题考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．利用列举法写出基本事件数，求出对应的概率值．(Ⅰ)由频率和为1求出c的值，根据频率与频数的比例关系求出a、b的值；(Ⅱ)计算评定为“优秀”的频率，求出对应的频数即可；(Ⅲ)采用分层抽样法，抽取优秀和良好的学生分别为2人和4人，18.答案：解：(1)由题意知sin Acosπ6+cos Asinπ6=2cos A，即sin A=√3cos A，且cos A≠0，所以tan A=√3，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由cos A=13，b=3c，及a2=b2+c2−2bccos A，可得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，所以sin C=cos A=13．解析：本题考查三角形的余弦定理、考查两角和的正弦公式，属于基础题．(1)利用两角和的正弦公式，即可求出角A的正弦，从而求出角A;(2)利用余弦定理得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，即可求解．19.答案：证明：(1)∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF//AD，∴EF⊥平面BCG．解：(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO=AB⋅sin60°=2√3，∴三棱锥D−BCG的体积：V D−BCG=V G−BCD=13×12×BD×BC×sin120°×√3=4．解析：(1)推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF//AD，由此能证明EF⊥平面BCG．(2)作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D−BCG的体积V D−BCG=V G−BCD．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=(x−2)e x−1，∴f′(x)=(x−1)e x−1，∴k=f′(2)=e，∵f(2)=0，∴y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=e(x−2)；(2)g(x)=f(x)+alnx−x=(x−a−1)e x−1+alnx−x，x>0，∴g′(x)=(x−a)e x−1+ax−1，x>0，由g′(x)=(x−a)e x−1−x−ax=(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．21.答案：解：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，抛物线x 2=4√2y 的焦点为(0,√2)，由题意可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2， 解得a =√6，b =√2，c =2，∴椭圆E 的方程为x 26+y 22=1；(Ⅱ)证明：点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3)，联立{y =k(x +3)x 2+3y 2=6得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6=0， △=(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k ，x 1x 2=27k 2−61+3k ，y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)，∵F(−2,0)，C(x 1,−y 1).∴FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)， ∵(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)=(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)=k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[2⋅27k 2−61+3k 2+5⋅(−18k 21+3k 2)+12]=0，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：k 2<23，由题意可知：S =12|MF||y 1|+12|MF||y 2|=12|MF||y 1+y 2|=12|k(x 1+x 2)+6k|=3|k|1+3k 2=31|k|+3|k|≤2√3=√32． 当且仅当k 2=13<23，“=”成立，∴k 2=13时，△MBC 面积S 取得最大值√32．解析：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意可知可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2，解方程即可得到所求；(Ⅱ)点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3).设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F(−2,0)，C(x 1,−y 1)，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，利用向量共线定理即可判断出； (Ⅲ)利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2,因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1),解得：x无解或1≤x≤2或2<x≤4，故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]；(2)由(1)可知f(x)在(−∞,2]时单调递增，在[2,+∞)时单调递减，则f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13(2√2ab·2ba+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以2a +1b的最小值为3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)f(x)≥13(x−1)转化为{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，先求出每个不等式组的解集，再求它们的并集即可；(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，再由基本不等式即可求出．。
2020届山西省太原市一模数学(文科)试卷及答案
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．194．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+ 与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．15．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13326．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．1377．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为()A ．3B ．5C ．8D ．119．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A 3B ．3C 3D ．411．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()x xx f x f x e-'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是．14．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆，求11a b+的值．19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}【解答】解：{0U A = ð，4}，(){0U A B ∴= ð，2，4}；故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞【解答】解： 复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1020m m +<⎧⎨->⎩，解得1m <-．∴实数m 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ．3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．19【解答】解：525S = ，23a =，53255S a ∴==，则35a =，则公差322d a a =-=，11a =，则918217a =+⨯=．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．1【解答】解： 平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，(∴2)46100a b b a b b λλλ+=+=++=，求得1λ=-，故选：C ．5．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为222222232=，故概率716P =．故选：C ．6．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．137【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列1{}(1)n n +前四项的和再加上1．111(1)1n n n n =-++，11111111(1)()()(2233445S ∴=+-+-+-+-95=．故选：B ．7．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C．D ．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．5C．8D．11【解答】解：作出可行域如图，由2z x y=+知，1122y x z =-+，所以动直线1122y x z=-+的纵截距12z取得最大值时，目标函数取得最大值．由16xx y=⎧⎨+=⎩得(1,5)A．结合可行域可知当动直线经过点(1,5)A 时，目标函数取得最大值12511z =+⨯=．故选：D ．9．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解： 对于任意实数x 都有sin(3sin()3x ax b π-=+，则函数的周期相同，若3a =，此时sin(3sin(3)3x x b π-=+，此时5233b πππ=-+=，若3a =-，则方程等价为sin(3)sin(3)sin(3)sin(3)3x x b x b x b ππ-=-+=--=-+，则3b ππ-=-+，则43b π=，综上满足条件的有序实数组(,)a b 为5(3,3π，4(3,)3π-，共有2组，故选：B ．10．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A B ．3C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以r ==．故选：C ．11．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定【解答】解：120k k +=，231k k =- 可得设1l d 的斜率为k ，则2l ，3l 的斜率分别为：k -，1k，设直线1l 的方程为：(1)2y k x =-+，则2l 的方程为(1)2y k x =--+，3l 的方程为1(1)2y x k=-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立直线1l 与抛物线的方程：2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4](2)0k x k k x k +--+-=，所以22(2)1A k x k -=，所以22(2)A k x k -=，代入直线1l 中可得22(2)44(1)2[1]2A k k y k x k k k --=-+=-+=，即22(2)(k A k -，42kk -；联立直线2l 与抛物线的方程可得2(1)24y k x y x =--+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4(2)0k x k k x k -++++=，所以22(2)1B k x k +=，可得22(2)B k x k +=，代入2l 中可得22(2)24(1)2[1]2B k k y k x k k k ++=--+=--+=-，即22(2)(k B k +，24k k +-；联立直线3l 与抛物线的方程：21(1)24y x k y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理可得24840y ky k -+-=，284C y k =- ，所以42C y k =-，代入抛物线的方程可得2(21)C x k =-，可得2((21)C k -，42)k -；所以222224224818(2)(2)ABk k k k k k k k k k k k -++===---+-为定值；故选：B ．12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()xxx f x f x e -'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令()(2)()g x x f x =-，2x <，由题意可得，1()xxg x e -'=，当1x >时，()0g x '<，函数单调递减，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，又(0)0g =，2x →时，()0g x →，由()0f x <可得()02g x x <-即()0g x >，结合函数图象可知，02x <<．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是4．【解答】解：双曲线2228x y -=化为标准方程为22148x y -=24a ∴=2a ∴=24a ∴=即双曲线2228x y -=的实轴长是4故答案为：414．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为12-．【解答】解：（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-即441log 241x xkx -+=-+，4log 42x kx=-2x kx ∴=-对一切x R ∈恒成立，12k ∴=-故答案为12-．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+= ，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||3min MN ==．MN ∴．故答案为：3．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =1m +．【解答】解：11a = ，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈，123a a a ∴+=，234a a a +=，345a a a +=，⋯⋯201920202021a a a +=，202020212022a a a +=，以上累加得：12342020202134202120222222a a a a a a a a a a ++++⋯⋯++=++⋯⋯++，123202020222a a a a a a m ∴+++⋯⋯+=-=，20221a m ∴=+，故答案为：1m +．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：0.002200.00620200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.008a =，设中位数是110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=，解得15x =，∴中位数是125．（Ⅱ）由175(0.002200.006200.00820)98⨯⨯+⨯+⨯=，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间(150，170]中有28人，在区间(170，190]中有7人，在区间(190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从(150，170]中抽取4人，(170，190]和(190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数2615n C ==，这两人均来自区间(150，170]包含的基本事件个数246m C ==，∴这两人均来自区间(150，170]的概率62155m p n ===．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆的面积为2，求11a b+的值．【解答】解：（Ⅰ）212cos sin()cos 362C c C ππ++=-，1sin()cos 62C C π∴+-=，∴11cos cos 222C C C +-=，∴11cos 222C C -=，1sin(62C π∴-=，而C 为三角形的内角，3C π∴=；（Ⅱ）ABC ∆，及3C π=，得1sin 23ab π=化简可得6ab =，又3c =，由余弦定理，得222cos 9a b ab C +-=，化简得2215a b +=，a b ∴+=，∴11a b a b ab ++==19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===，∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1A C BC =，G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DG CG G = ，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A D BD D = ，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112A G AB ==，DG =，∴11111222A DG S A G DG =⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥1G A DC -的体积：1111123323G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．【解答】解：（1）(0)0f =．∴切点为(0,0)．()sin x f x e x '=+．(0)1f ∴'=，()f x ∴在点(0，(0))f 处的切线方程为：00y x -=-，化为：0x y -=．证明：（2）()sin x f x e x '=+．0x 时，1x e ，()0f x ∴' ，∴函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，而(0)0f =，∴函数()f x 在[0，)+∞上只有一个零点0．(2x π∈-，0)时，()cos 0x f x e x ''=+>．∴函数()f x '在(2x π∈-，0)上单调递增，而21(102f eππ'-=-<，(0)10f '=>，∴存在唯一实数0(2x π∈-，0)，使得000()sin 0x f x e x '=+=，且函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上单调递减，0(x x ∈，0)上单调递增．又21()02f eππ-=>，00000()cos sin cos 0x f x e x x x =-=--<，(0)0f =．∴函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上存在唯一零点，而在0[x x ∈，0)上无零点．综上可得：()f x 在(2π-，)+∞上仅有2个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，1||||AB BF = ，1||3BF m ∴=，由椭圆定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，故此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b -，从而由已知条件可得3(2B ，)2b，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为：22132x y +=；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入椭圆22236x y +=中，得：22(23)440m y my ++-=，∴122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，∴1212y y m y y +=，由题设知(2,0)H ，直线BH 斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，∴直线BH 的方程为：1(2)y y x =-，而直线2l 方程为：1y y =，代入1(2)y y x =-，得3x =，故点C 的横坐标是定值3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos 16θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan k θ==．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a-<且1a->，∴312a-<<-．实数a的取值范围：3(2-，1)-．。
山西省太原市2020届高三高考模拟考试试题二 数学文【含解析】
山西省太原市2020届高三高考模拟考试试题二 数学文【含解析】一、选择题1.已知集合()(){}210A x x x =-+<，{}11B x x =-≤≤，则AB =（ ） A. {}11x x -<≤ B. {}11x x -≤≤ C. {}12x x -<≤ D. {}12x x -≤≤ 【答案】A【解析】【分析】计算集合A ，根据交集的定义，与集合B 进行交集运算即可. 【详解】{}{}(2)(1)012A x x x x x =-+<=-<<,{}11B x x =-≤≤ {}11A B x x ⋂=-<≤故选：A【点睛】本题考查集合的运算，涉及一元二次不等式的解及集合交集的计算，考查计算能力，属于基础题2.设复数z 满足()1i z i -⋅=，则z =（ ） 22 C. 2 D. 12【答案】B【解析】【分析】 先求出复数z ，然后利用复数模的计算公式求复数的模.【详解】由()1i z i -⋅=，有()()()111112i i i i z i i i ⋅+-+===--+ 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了复数的运算性质和复数模的计算，在求解z 时，用到分母实数化，这是本题计算的关键步骤，要熟练掌握，属于基础题型.3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ）A. 18B. 10C. -14D. -22 【答案】D【解析】【分析】由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由求和公式可得()212121a q S q -==-①，()313161a q S q -==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，()()()5515212122112a qS q ⎡⎤----⎣⎦∴===---- 故选D ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ．4.已知5log 2a =，0.25b =，0.20.5c =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】B【解析】【分析】先将a ，b ，c 的大小与比较，得到1,1,1b a c ><<，再对a ，c 进行变形，判断a ，c 之间的大小即可.【详解】因为55log 2log 51a =<=，0.20551=>=b ，0.200.50.51=<=c ， 而522111log 2log 5log 42==<=a ，150.25110.5222⎛⎫===> ⎪⎝⎭c ， 所以a c <，所以a c b <<.故选：B【点睛】本题主要考查指、对、幂比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.5.下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()modm n N ≡表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如()104mod6≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A. 11B. 13C. 14D. 17【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果.【详解】()()11,112mod3,113mod4n =≡≡继续执行循环：()12,120mod3,n =≡继续执行循环：()13,131mod3,n =≡继续执行循环：()()14,142mod3,142mod4n =≡≡继续执行循环：()15,150mod3,n =≡继续执行循环：()16,161mod3,n =≡继续执行循环：()()17,172mod3,171mod4n =≡≡跳出循环，输出17n =故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.6.已知sin （π4x -）14=，则sin2x 的值为（ ） A. 58 B. 68 C. 78 D. 38【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式求解.【详解】设4x y π-=,则1sin 4y =，217sin2sin2212124168x y cos y sin y π⎛⎫=-==-=-⨯= ⎪⎝⎭,选C. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析判断能力，属基础题.7.函数()()1ln 1f x x x =-+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设()1ln ,0=-->f x x x x ，用导数法可得ln 1x x <-，从而有()ln 1,1+<>-x x x ，可得()0f x >确定选项【详解】设()1ln ,0=-->f x x x x ，所以()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()()10f x f >=，所以ln 1x x <-，所以()ln 1,1+<>-x x x ，所以()()10ln 1=>-+f x x x ，排除B ，C ，D. 故选A【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是( ) A. 4M N B. ()4N M N - C. 2M N N + D. 42M N N+ 【答案】B【解析】【分析】首先求出0＜a ＜1，0＜b ＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解.【详解】学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，得到N 个实数对（a ，b ），因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内，如图所示：若a ，b ，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以1a b +>，22102a b ab+-＞，即a 2+b 2＞1，1a b +> 所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2=1外的有M 对， 由几何概率的概率公式可得：21111411M N π⨯-⨯==⨯114π-， 所以π()4N M N -=，故选：B .【点睛】本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.9.已知,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，且2a b a b +=-，则cos θ=（ ）A. 12B. 35C. 12-D. 3 【答案】B【解析】【分析】由()()a b a b +⊥-可得a b =，再由2a b a b +=-两边平方可得235a b a ⋅=，代入公式cos a b a b θ⋅=⋅可得答案.【详解】由()()a b a b +⊥-，得()()0a b a b +⋅-=，可得220a b -=，即a b =. 由2a b a b +=-，可得224a b a b +=-，即()2222+242a a b b a a b b ⋅+=-⋅+整理得235a b a ⋅=22335cos 5a a b a ab θ⋅===⋅ 故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.10.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB 的面积为42|AB |=( )A. 2B. 4C. 23D. 8 【答案】D【解析】【分析】设直线l 的方程为x =ty +1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB |，根据三角形的面积求出|y 1﹣y 22.【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |21t =+y 1﹣y 2|21t =+221212 ()41y y y y t +-=+21616t +△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 22 21616t +=2t =±1，则|AB |11=+ 1616+=8，故选：D .【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11.对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据题意，先得到()cosx sinx cosx f x sinx sinx cosx ≥⎧=⎨<⎩，，，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx ≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误；当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数与余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.12.三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，△PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为6-三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 12D. 13【答案】D【解析】【分析】由已知作出图象，找出二面角P AC B --的平面角，设出AB BC AC ，，的长，即可求出三棱锥P ABC -的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC 长度的字母表示），再设出球心O ，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求. 【详解】如图所示，过点P 作PE ⊥面ABC ，垂足为E ，过点E 作ED AC ⊥交AC 于点D ，连接PD ， 则PDE ∠为二面角P AC B -的平面角的补角，即有63cos PDE ， 易知AC ⊥面PDE ，则AC PD ⊥，而△PAC 为等边三角形，∴D 为AC 中点， 设22AB a BC b AC a b c ，，，则3PE PDsin PDE =∠=c 32c =， 故三棱锥P ABC -的体积为：1132V ab =⨯2231121212224c a b c abc c +⨯=≤⨯=， 当且仅当2a b ==时，体积最大，此时B D E 、、共线. 设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，半径为R ，由已知，248R ππ=，得2R =.过点O 作OF PE ⊥于F ，则四边形ODEF 为矩形， 则22()2c OD EF ==- 362ED OF PDcos PDE ==∠==，2c PE =， 在Rt △PFO 中22222()()(2())2222c c c =+-，解得2c = ∴三棱锥P ABC -的体积的最大值为：332124243c ==. 故选：D.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题.二、填空题13.若曲线()x f x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________ 【答案】12e + 【解析】【分析】先将1x =代入切线方程求出切点坐标，然后代入曲线方程得m ，n 的一个方程①，然后求出曲线在1x =处的导数，令其等于e ，得另一个关于m ，n 的一个方程②，联立①②求解即可.【详解】解：将1x =代入y ex =，得切点为()1,e ，∴e me n =+①，又()()1x f x me x '=+，∴()12f me e '==，12m =②. 联立①②解得：12m =，2e n =， 故11222e e m n ++=+=. 故答案为：12e +. 【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上一点，若12PF F △为等腰三角形，12120PF F ∠=︒，则双曲线的离心率为______. 13+【解析】 【分析】在12PF F △中利用余弦定理可得2||PF ，再利用双曲线的定义可得,a c 关系，即可得到答案； 【详解】12PF F △为等腰三角形，12120PF F ∠=︒，∴2222221||(2)(2)2(2)(2)()12||232PF c c c c c PF c =+-⋅⋅⋅-=⇒=，∴223113223c c c a e a ⇒===--=， 故答案为：13+【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.已知ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，6a c +=，sin sin 1cos 3cos B AB A=+-，则ABC面积的最大值是______. 【答案】22【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出b 的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本关系式的应用求出结果. 【详解】解：因为sin sin 1cos 3cos B AB A=+-，所以sin (3cos )sin (1cos )B A A B -=+， 整理得3sin sin cos sin sin cos B B A A A B -=+,所以3sin sin cos sin sin cos sin()sin sin sin B B A A A B A B A A C =++=++=+，由正弦定理得，3b a c =+， 因为 6a c +=，所以2b =，因为6a c +=，所以6a c =+≥2ac ，整理得ac ≤9，（当且仅当3a c ==时等号成立），所以2222()2416cos 22a c b a c ac ac B ac ac ac+-+---===， 所以24sin 1cos 216B B ac ac=-=- 所以1421622162ABCSac ac ac ac=⨯-=-2291622⨯-= 当且仅当3a c ==时等号成立， 所以ABC 面积的最大值为22 故答案为：22【点睛】此题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式的应用，基本不等式的应用，考查运算能力和转换能力，属于中档题.16.中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分6场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为()*,,,,,a b c a b c a b c N >>∈，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：①每场比赛第一名得分4a =分； ②甲可能有一场比赛获得第二名； ③乙有四场比赛获得第三名； ④丙可能有一场比赛获得第一名. 则以上说法中正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】 【分析】根据总分得到8a b c ++=，根据甲得分得到5a ≥，计算5a =，2b =，1c =，得到每个选手的得分情况，得到答案.【详解】根据题意：()626111148a b c ++=++=，故8a b c ++=，88215a c b =--≤--=，甲不是全部得到第一，故626a >，故133a >，即5a ≥，故5a =，2b =，1c =. 故甲有5个第一，0个第二，1个第三；乙有1个第一，1个第二，4个第三；丙有0个第一，5个第二，1个第三.对比选项知：③正确. 故答案为：③.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力. 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n S a n =+-.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）若()()()31323log 1log 1...log 1n n b a a a =-+-++-，1=n nc b .求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+ 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得132n n a a -=-，给等式两边同时减1得，1311n n a a ，从而可证得数列{}1n a -是以3为公比，3为首项的等比数列；（2）由（1）可求得13nn a -=，从而可求出(1)2n n n b +=，所以()211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项求和的方法可求得n T .【详解】解：（1）当1n =时，1113132S a a ==+-，得14a =， 当2n ≥时，()113132n n S a n --=+--， 则1133122n n n n n a S S a a --=-=-+，即132n n a a -=-，∴1311n na a ，∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列. （2）由（Ⅰ）得13nn a -=，∴()()()()313231log 1log 1...log 1123 (2)n n n n b a a a n +=-+-++-=++++=， ∴()1211211n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴111111221 (2233411)n n T n n ⎛⎫=-+-+-++-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】此题考查了由递推式证明等比数列，裂项求和的方法，属于中档题.18.按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d 的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm ）：d[18,20)[20,22) [22,24) [24,26) [26,28)等级 三级品 二级品一级品 特级品特级品 频数 1m 29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个. （1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A ：以6.5元/斤收购；方案B ：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.【答案】（1）这批水果中特级品的比例为58%；（2）方案B 种植户的收益更高，详见解析. 【解析】 分析】（1）由题意结合分层抽样的特征可得1+297100762292m n n +++=⎧⎪+-⎨=⎪⎩，解方程求得n =51后，即可得解；（2）分别计算出选择两个方案的的收益，比较大小即可得解.【详解】（1）由题意1+297100762292m n n +++=⎧⎪+-⎨=⎪⎩，解得m =12，n =51，所以特级品的频率为51+7=0.58100， 所以可估计这批水果中特级品的比例为58%；（2）选用方案A ，种植户的收益为20000 6.5130000⨯=（元）； 选用方案B ，由题意可得种植户的收益为：1112295820000203+4+5+820100100100100⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭132000=； 由132000130000>可得选择B 方案种植户的收益更高.【点睛】本题考查了分层抽样性质的应用，考查了利用频率估计样本总体的应用，关键是对于题意的理解，属于基础题.19.如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点，点F 在AB 上，且4AB AF =.（1）求证：EF CD ⊥；（2）求点F 到平面ADE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】 【分析】（1）过E 作EH DC ⊥于H ，连结FH ，根据2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点，利用平面几何的知识，得到12DH =，再结合4AB AF =，即12AF =，得到FH DC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到DC ⊥面EFH 即可.（2）由（1）知，//FH 平面ADE ，将点F 到平面ADE 的距离转化为点H 到平面ADE 的距离，根据侧面PCD ⊥底面ABCD ，得到AD ⊥侧面PDC ，设点H 到平面ADE 的距离为d ，利用等体积法由H ADE A DEH V V --=求解.【详解】（1）如图所示：过E 作EH DC ⊥于H ，连结FH ，因为2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点， 所以33,cos302===CE CH CE ， 所以12DH =， ∵底面ABCD 是正方形，4AB AF =，即12AF =， ∴AFHD 是矩形， ∴FH DC ⊥， 又EH DC ⊥，EH FH H =，∴DC ⊥面EFH ， 又∵EF ⊂面EFH ， ∴DC EF ⊥.（2）由（1）知，//FH 平面ADE ，∴点F 到平面ADE 的距离等于点H 到平面ADE 的距离， ∵底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ， ∴AD ⊥侧面PDC ， ∴AD DE ⊥，在三棱锥H ADE -中，设点H 到平面ADE 的距离为d ， 由于H ADE A DEH V V --=， ∴1133DEH ADE S AD S d ⋅⋅=⋅⋅， 在侧面PCD 中，2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 中点， ∴1DE =，3EH =11113232∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅DH EH AD AD DE d ∴111311221322232⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯d ， ∴3d =， 即点F 到平面ADE 3【点睛】本题主要考查线面垂直与线线垂直的转化，点到面的距离以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3一个顶点为()0,1M ，直线l 交椭圆于,A B 两点，且M A M B ⊥.（1）求椭圆C 的方程； （2）证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及性质，列出方程组，求解即可；（2）设出直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，将M A M B ⊥转化为数量积为0，求出m 的值，即可证明直线l 过定点.【详解】解：（1）由题意得222222341c a b e a a b ⎧-===⎪⎨⎪=⎩解得24a =，21b =所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）依题意，直线l 斜率存在，设方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-= 得122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+所以()12122y y k x x m +=++，()22121212y y k x x mk x x m =+++∵M A M B ⊥，∴0MA MB ⋅=，即()()1212110x x y y +--=代入整理得222222444210141414m m k mk k k --+-+=+++即25230m m --=，解得35m =-，1m =（舍） 所以直线l 过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中直线过定点问题，属于中档题. 21.已知()2ln 1af x x x=++. （1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，对任意满足()()1221f x f x m ==+的正实数1x ，()212x x x <，都有121x x +>.【答案】（1）320,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由()f x 求导得到()2222a x af x x x x-'=-=，再分0a ≤和0a >两种情况结合零点存在定理讨论求解.（2）当1a =时，由()()1221f x f x m ==+，得到112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，然后两式相减解得1212112ln x x x x x -=，2122112ln x x x x x -=，令()211x t t x =>，则1212ln t t x x t-+=，然后构造函数()12ln h t t t t =--，用导数法证明()0h t >即可.【详解】（1）()f x 的定义域是0x >，()2222a x af x x x x -'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点； ②当0a >时，由()220x a f x x -'==，得02a x =>， 当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在定义域上单调递减；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 的定义域上单调递增； ∴2ax =时，()f x 取得极小值. 因为()f x 有两个零点，所以02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，解得3202a e -<<， ∵()30a f e e =+>，∴()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一实数根： 取2022a ax e =<，设()21ln 2a g a a a -=-，()()2222111022a a g a a a a -+'=-=-<， 所以()g a 在()0,1上递减， 所以()()10g a g >=，即21ln 2a a a->，则()22222012324ln 34302e a e a e a f x a a a a a-+--=-+>⋅-+=>，∴()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一实数根. 综上，a 的取值范围是320,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由()()1221f x f x m ==+，得112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，两式相减得：()1221122ln ln 0x x x x x x --+=， 则1212112ln x x x x x -=，2122112lnx x x x x -=，令()211x t t x =>，则1212ln t t x x t-+=， 设()12ln h t t t t=--，()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，∴()h t 在()1,+∞上为增函数，()()10h t h >=， 又()2ln 01t t >>，∴112ln t t t ->， 即121x x +>.【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，导数与不等式的证明以及零点存在定理，还考查了分类讨论的思想和转化求解问题的能力，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩（t 为参数），曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线1(0)2πθββ=<<与曲线C 2交于O ，P 两点，射线22πθβ=+与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值.【答案】（Ⅰ）10x y -+=，4cos ρθ=；（Ⅱ）22【解析】【分析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数t ，即得曲线C 1的普通方程. 由曲线C 2的参数方程消去参数α，得曲线C 2的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ.曲线C 1的普通方程化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ-+=，则点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭.由112POQ S OP OQ =⨯⨯=，求出β，即求OP 的值. 【详解】（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，（t 为参数），消去参数t ，得曲线C 1直角坐标方程为：10x y -+=.曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α， 得直角坐标方程为2240x y x +-=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）由曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ.由于直线C 1的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，可得点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭， 114cos 12cos sin POQ S βββ∴=⨯⨯=+， cos sin ,4πβββ∴=∴=. ∴|OP |＝4cos 22β=【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，属于中档题.23.已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论； （Ⅱ）变形111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，三个分式中分子a b c ++提取出来并变为()()()12b c a c a b ⎡⎤+++++⎣⎦，即原不等式左边 ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再用柯西不等式可证得结论． 【详解】证明：（Ⅰ）1111112221118a b c b c a c a b bc ac ab a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⋅⋅=⋅⋅≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当“a=b=c ”时取等号； （Ⅱ）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 22113(333222b c a c a b b c a c a b≥+++-=⨯-=+++，当且仅当“a =b =c ”时取等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题．。
山西省2020年高考数学一模试卷(II)卷
山西省2020年高考数学一模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·龙泉驿模拟) 设集合，，则集合为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·金华期末) 设z= （i为虚数单位），则|z|=（）A . 2B .C .D .3. （2分）(2019·奉贤模拟) 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 非充分非必要条件4. （2分）设命题是的充要条件；命题若则，则（）A . 为真B . 为真C . p真q假D . p,q均为假5. （2分） (2017高二下·芮城期末) 已知随机变量满足，， .若，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，6. （2分） (2016高二上·眉山期中) 已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A .B .C . [2，5]D . （2，5）7. （2分）(2017·吕梁模拟) 如图，过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于AB，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=2，则p=（）A . 1B .C . 2D . 2﹣8. （2分）(2017·南昌模拟) 已知O为△ABC内一点，满足，，且∠BAC=则△OBC的面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·武平月考) 设函数则满足的实数a的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·天水期末) 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，．设点F在线段CC'上，直线EF与平面A'BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2017·吴江模拟) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为________．12. （1分） (2020高二上·丽水期末) 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是________ ．13. （1分）(2019·全国Ⅲ卷文) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则 ________.14. （1分） (2018高二上·西安月考) 在中，，，的角平分线，则 ________.15. （1分） (2018高二下·黑龙江月考) 下图中共有________个矩形.16. （1分） (2017高一下·南通期中) 已知xy= ，x，y∈（0，1），则 + 的最小值为________．17. （1分） (2020高一下·上海期末) 等差数列的前项和为，，，则取最大值时n=________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （5分） (2017高二下·湖州期末) 已知函数f（x）=cos（2x ）﹣2sin（x ）cos（x ）（1）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣， ]上的值域．19. （5分）如图，如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB 是等边三角形，已知．（I）求证：平面SAB⊥平面SAC；（II）求二面角B﹣SC﹣A的余弦值．20. （15分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（1）若函数f（x）在点区间[e，+∞]处上为增函数，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且k∈Z时，不等式 k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；（3） n＞m≥4时，证明：（mnn）m＞（nmm）n ．21. （10分） (2018高二上·江苏月考) 设椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长及中点坐标．22. （15分） (2019高三上·扬州月考) 给定数列，若满足（且），对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．（1）已知数列的通项公式为，试判断数列是不是“指数型数列”；（2）已知数列满足，，证明数列为等比数列，并判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；（3）若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2020年4月山西省太原市普通高中2020届高三下学期一模考试数学(文)试卷及解析
第二次循环： , ；
第三次循环： , ；
第四次循环： , ,退出循环,
此时输出的S为 .
故选：B
7.函数 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
根据函数的解析式,得到 ,所以函数 为偶函数,图象关于 对称,排除B、C；再由函数的单调性,排除A,即可得到答案.
【详解】由题意,函数 ,可得 ,
即 ,所以函数 为偶函数,图象关于 对称,排除B、C；
当 时, ,则 ＞0,
所以函数在 上递增,排除A,
故选 .
8.已知变量 , 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 8D. 11
【答案】D
【解析】
作出可行域,利用几何意义即可得到答案.
【详解】作出可行域如图所示, ,易知截距与 成正比的关系,平移直线 ,当直线过 时,截距最大,此时 .
故答案为：4
14.已知函数 是偶函数,则 _________．
【答案】
【解析】
由题意 ,即 ,对 恒成立,化简即可得到答案.
【详解】由已知, ,因为 为偶函数,所以
,即 ,对 恒成立,
即 ,对 恒成立,解得 .
故答案为：
15.在如图所示实验装置中,正方形框架的边长都是1,且平面 平面 ,活动弹子 分别在正方形对角线 , 上移动,则 长度的最小值是___________．
【详解】设 ,由已知,得 ,显然当 时, ,
当 时, ,故 在 上单调递减,在 单调递增,且
, ,作出示意图如图
,所以只需 即可,解得 .
故选：D
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
山西省太原市2020年高三一模理科数学试题文字版带解析
太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−x≥0}，N={x|x≥2}，则M∩N=()A. ⌀B. {x|x≥1}C. {x|x≥2}D. {x|x≥1或x≤0}+1，则|z|2018=()2.已知复数z=2018+2019i2019−2018iA. 22018B. 21009C. 1D. √23.已知正方形ABCD如图所示，其中AC，BD相交于O点，E，F，G，H，I，J分别为AD，AO，DO，BC，BO，CO的中点，阴影部分中的两个圆分别为△ABO与△CDO的内切圆，若往正方形ABCD中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为()A. 1+(2−√2)π2B. 1+(4−2√2)π4C. 1+(6−2√2)π4D. 1+(6−4√2)π44.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S2017>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f(x)=sin x+ln|x|的图象大致为()A. B.C. D.6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是()A. 3B. 6C. 8D. 117.在(x2−2x)7的展开式中，x5的系数为()A. −35B. 35C. −280D. 2808.如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 403B. 323C. 163D. 2839. 已知x ，y 满足约束条件{x +y ⩾3x −y ⩾−12x −y ⩽3，若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为10，则5a +4b 的最小值为 ( ) A. 6 B. 8 C. 4 D. 10 10. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >c >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，若以F 2为圆心，b −c 为半径作圆F 2，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于√32(a −c)，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A. [35,1)B. [35,√22)C. (0,35)D. (√22,1) 11. 点G 为△ABC 的重心，AB =2，BC =1，∠ABC =60°，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CG⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −59 B. −98 C. 59 D. 1912. 设函数f ′(x )是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，，则不等式(x 2−20192)f(x)>0的解集为( )A. (−2019,0)∪(0,2019)B. (−2019,0)∪(2019,+∞)C. (−∞,−2019)∪(2019,+∞)D. (−∞,−2019)∪(0,2019) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知双曲线x 2m −y 23=1(m >0)的一条渐近线方程为y =√32x ，则m 的值为____________． 14. 若函数f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√2，则ω=________．15. 如图，四边形ABCD 和ABEF 均是边长为1的正方形，且平面ABCD ⊥平面ABEF.M ，N 分别为对角线AC ，BF 上两点，则MN的最小值为________．16. 将正整数1,2,3,⋯,n,⋯，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i 行、第j 列的数可用(i,j)表示，则2015可表示为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a−c=2bcos C．+B)的值；(1)求sin(A+C2(2)若b=√3，求c−a的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=AD=1，CD=√3．PD=2，BC=12(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)在棱PC上是否存在一点M，使二面角M−BQ−C为30°，若存在，确定M的位置，若不存在，请说明理由．19.某次运动会的游泳比赛中，已知5名游泳运动员中有1名运动员服用过兴奋剂，需要通过检验尿液来确定因服用过兴奋剂而违规的运动员，尿液检验结果呈阳性的即为服用过兴奋剂的运动员，呈阴性则没有服用过兴奋剂，组委会提供两种检验方法：方案A：逐个检验，直到能确定服用过兴奋剂的运动员为止．方案B：先任选3名运动员，将他们的尿液混在一起检验，若结果呈阳性则表明违规的运动员是这3名运动员中的1名，然后再逐个检验，直到能确定为止；若结果呈阴性则在另外2名运动员中任选1名检验．(Ⅰ)求依方案A所需检验次数不少于依方案B所需检验次数的概率；(Ⅱ)ξ表示依方案B所需检验次数，求ξ的数学期望．20.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点C(1,0)．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若过点(−13,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|=2|CM|．21. 已知函数f(x)=ln(2−x)+x ，求f(x)的极值．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知a >b >0，函数f(x)=|x +a +1b |+|x −1a−b |．(1)若b =1，a =2，求函数f(x)的最小值；(2)证明：f(x)≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：解：M ={x|x ≤0，或x ≥1}；∴M ∩N ={x|x ≥2}．故选：C ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，属于基础题．求出z ，求出z 的模，从而求出答案．解：∵z =2018+2019i 2019−2018i +1=(2018+2019i)i (2019−2018i)i +1 =(2018+2019i)i +1 =i +1，∴|z|=√2，则|z|2018=21009，故选：B ． 3.答案：D解析：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．根据条件分别求出小正方形和三角形内切圆的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：设正方形的边长为1，则对角线AC =√2，则AO =√22， 即小正方形的边长FO =√24，则小正方形的面积S =(√24)2=18，则等腰直角三角形AOB 中，设内切圆的圆心为M ，半径为r ，则由等积法得12AD ⋅r +12AB ⋅r +12AB ⋅r =12AB ⋅AD ，即(√22+√22+1)r =√22×√22， 得r =12(√2+1)=√2−12则一个小圆的面积S =π(√2−12)2=3−2√24π， 则阴影部分的面积S =3−2√24π×2+18×2=1+(6−4√2)π4， 则对应的概率P =1+(6−4√2)π4， 故选：D ．4.答案：C解析：解：若公比q =1，则当a 1>0时，则S 2017>0成立，若q ≠1，则S 2017=a 1(1−q 2017)1−q ，∵1−q 与1−q 2017符号相同，∴a 1与S 2017的符号相同，则“a 1>0”⇔“S 2017>0”，即“a 1>0”是“S 2017>0”充要条件，故选：C根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．5.答案：B解析：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数值的符号以及函数的奇偶性即可判断．解：因为f(x)=sin x+ln|x|是非奇非偶函数，所以其图象不关于原点成中心对称，也不关于y轴成轴对称，所以选项C、D错误；当x>e时，f(x)=sin x+ln x>0恒成立，所以选项A错误，B正确．故选B．6.答案：D解析：解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=10，S=0，满足条件S≤t，S=20=1；k=8，满足条件S≤t，S=1+21=3；k=6，满足条件S≤t，S=3+23=11；k=4，不满足条件S≤t，输出k=4；则t的值不可能是11．故选：D．模拟程序框图的运行过程，得出不满足条件S≤t时输出k=4，由此求出t的值不可能是11．本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．7.答案：C)7的展开式的通项公式为解析：解：二项式(x2−2xT r+1=∁7r⋅(x2)7−r⋅(−2)r=(−2)r⋅∁7r⋅x14−3r，x令14−3r=5，解得r=3；∴展开式中x5的系数为：(−2)3⋅∁73=−280．故选：C．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x5的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题8.答案：A解析：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直四棱锥；且四棱锥的底面为梯形，梯形的上底长为1，下底长为4，高为4；所以，该四棱锥的体积为V=S底面积⋅ℎ=13×[12(1+4)×4]×4=403．故选A．9.答案：B解析：分析】本题考查了简单线性规划和利用基本不等式求最值，属于中档题．利用简单线性规划计算得4a+5b=10，再利用基本不等式求最值计算得结论．解：作满足约束条件的可行域如下图的阴影部分，把目标函数变形为y =−a b x +zb ，斜率始终为负值．z b是直线z =ax +by(a >0,b >0)在y 轴上的截距，当直线z =ax +by(a >0,b >0)过点D(4,5)时，zb 取得最大值， 即z 取得最大值，z max =4a +5b ，又因为z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为10，所以4a +5b =10， 因此5a +4b =110(4a +5b )(5a +4b )=110(40+25b a +16a b) ≥110(40+2√25b a×16a b)=8，当且仅当25b a=16a b，即a =54，b =1时，等号成立，因此5a +4b 的最小值为8． 故选B ．10.答案：B解析：本题考查椭圆的性质、离心率的计算公式、圆的切线的性质、勾股定理、一元二次不等式的解法是解题的关键，是中档题．利用切线的性质和勾股定理可得|PT|=√|PF 2|2−(b −c)2，利用椭圆的性质可得|PF 2|的最小值为a −c ，再利用题意可|PT|的最小值为√32(a −c)，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b >c ，可得b 2>c 2，即a 2−c 2>c 2，又得出e 满足的不等式，联立解出即可． 解：当P 点位于椭圆的右顶点的位置的时候，|PF 2|最小值，且最小值为|PF 2|=a −c ． ∵|PT|=√|PF 2|2−(b −c)2， ∴√(a −c)2−(b −c)2=√32(a −c)，∴(a −c)2=4(b −c)2，∴a −c =2(b −c)， ∴a +c =2b ，∴(a +c)2=4(a 2−c 2)， 化为5c 2+2ac −3a 2=0，即5e 2+2e −3=0． 解得e =35，可得35≤e <1，① ∵b >c ，∴b 2>c 2，∴a 2−c 2>c 2，∴a 2>2c 2，∴e 2<12，② 解得0<e <√22．由①②解得35≤e <√22．故椭圆离心率的取值范围为[35,√22).故选B ．11.答案：A解析：先根据余弦定理求得AC =3，于是得到△ABC 为直角三角形，然后建立平面直角坐标系，根据重心得到点G 的坐标，然后根据数量积的坐标运算得到所求．解：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ·BCcos60°=4+1−2×2×1×12=3， 所以AC =√3，所以AB 2=AC 2+BC 2，所以△ABC 为直角三角形，且C =90°． 以点C 为原点，边CA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则A(√3,0)，B(0,1)，又G 为△ABC 的重心，∴点G 的坐标为(√33,13).所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√33,13)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,13)， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√33×√33+13×13=−59． 故选A ．12.答案：D解析：本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系，属于难题． 以及不等式的解法，关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集．解：根据题意，设g(x)=ln x2019⋅f(x)，(x >0)，其导数g ′(x )=1x f(x)+ln x2019f ′(x )， 又由当x >0时，ln x2019⋅f ′(x )<−1x f (x )，则有g ′(x )=1x f(x)+ln x2019f ′(x )<0， 即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数，又由g(1)=ln 12019⋅f(x)=0，则在区间(0,1)上，g(x)=ln x 2019⋅f(x)>0，又由ln x2019<0，则f(x)<0， 在区间(1,+∞)上，g(x)=ln x2019⋅f(x)<0，又由ln x2019>0，则f(x)<0， 则f(x)在(0,1)和(1,+∞)上，f(x)<0，又由f(x)为奇函数，则在区间(−1,0)和(−∞,−1)上，都有f(x)>0， (x 2−20192)f(x)>0⇒{x 2−20192>0f (x )>0或{x 2−20192<0f (x )<0. 解得：x <−2019或0<x <2019，则x 的取值范围是(−∞,−2019)∪(0,2019)； 故选D ．13.答案：4解析：本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握求双曲线的渐近线的方法是解题的关键． 解：双曲线x 2m−y 23=1(m >0)的渐近线方程为y =±√3m x ， 由于双曲线x 2m−y 23=1(m >0)的一条渐近线方程为y =√32x ， ∴√3m =√32，解得m =4，故答案为4．14.答案：34解析：本题考查正弦函数的性质，属于基础题．根据已知区间，确定ωx 的范围，求出它的最大值，结合0<ω<1，求出ω的值． 解：x ∈[0,π3],0≤x ≤π3,0≤ωx ≤ωπ3<π3，f(x)max =2sinωπ3=√2, sin ωπ3=√22, ωπ3=π4, ω=34故答案为34 ．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33．16.答案：(37,17)解析：∵第一行有a 1=3个数，第二行有a 2=6个数，∴每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列，∴第n 行有a n =3+3(n −1)=3n 个数，由求和公式可得前n 行共n (3+3n )2个数，经检验可得第36行的第1个数为36×(3+3×36)2=1998，按表中的规律可得第37行共3×37=111个数，第一个为1999，∴2015为第37行的第17个数，故答案为(37,17)...17.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a −c =2bcosC =a 2+b 2−c 22ab×2b ，整理可得，a 2+c 2−b 2=ac ，cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB =√32，所以a sinA =c sinC =bsinB =2，从而a =2sin A ，c =2sin C ．所以c−a=2sinC−2sinA=2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)．因为A+C=2π3，所以0<A<2π3，从而−π3<π3−A<π3，所以−√3<2sin(π3−A)<√3，故c−a的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c−a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．18.答案：(1)证明：∵AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∴BC//DQ且BC=DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ，∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD，∵PA=PD，∴PQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；(2)结论：当M是棱PC上靠近点C的四等分点时有二面角M−BQ−C为30°．理由如下：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Q−xyz如图，∴Q(0,0，0)，P(0,0，√3)，B(0,√3,0)，C(−1,√3,0)， 则平面BQC 的一个法向量为n ⃗ =(0,0，1)， 设满足条件的点M(x,y ，z)存在，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y ，z −√3)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,√3−y,−z)， 令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t >0， ∴{x =t(−1−x)y =t(√3−y)z −√3=t(−z)，∴{x =−t1+t y =√3t1+t z =√31+t，在平面MBQ 中，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t1+t ,√3t 1+t ,√31+t )，设平面MBQ 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3b =0m ⃗⃗⃗ ·QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 1+t a +√3t 1+t b +√31+t c =0, 取a =√3，得c =t ，∴平面MBQ 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(√3,0，t)， ∵二面角M −BQ −C 为30°， ∴cos30°=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√3+0+t2=√32，解得t =3，∴满足条件的点M 存在，M 是棱PC 的靠近点C 的四等分点．解析：本题考查面面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． (1)通过四边形BCDQ 为平行四边形、∠AQB =90°，及线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论； (2)以Q 为坐标原点，以QA 、QB 、QP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系Q −xyz ，通过平面BQC 的一个法向量与平面MBQ 的一个法向量的夹角的余弦值为√32，计算即得结论．19.答案：解：(Ⅰ)若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：∁42A 33A 53×1A 31=15．②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性(无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束)：A 43A 53⋅A 21A 22=25，∴乙只用两次的概率为15+25=35． 若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为25． ∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：35×(1−15)+25×(1−15−15)=1825． (Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数， ∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．解析：(1)由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． (2)根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意知b =1，c a =√22，又因为a 2=b 2+c 2解得，a =√2， 所以椭圆方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)设过点(−13,0)的直线为x =ty −13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{x =ty −13y 22+x 2=1得(9+18t 2)y 2−12ty −16=0，且．则{y 1+y 2=12t 9+18t 2,y 1y 2=−169+18t 2,又因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(ty 1−43)(ty 2−43)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−43t(y 1+y 2)+169=(1+t 2)−169+18t2−4t 3⋅12t 9+18t2+169=0，所以．因为线段AB 的中点为M ，所以|AB|=2|CM|．解析：本题考查了椭圆的性质，考查了直线和椭圆的关系，属中档题． (Ⅰ)由题意，可得ca =√22，b =1解得a =√2，故椭圆C 的方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)联立直线与椭圆，根据韦达定理可得y 1+y 2=12t9+18t 2，y 1y 2=−169+18t 2，可证CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得|AB|=2|CM|．21.答案：解：f(x)的定义域是(−∞,2)，所以f′(x)=1x−2+1=x−1x−2.令f′(x)=0，得x =1.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：所以f(x)在x =1处取得极大值1，无极小值．解析：本题考查了利用导数求函数的极值，是一道简单题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=xy′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0， 由于点P(1,0)在直线l 上， 故{x =1+12t y =√32t(t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x24+y2=1，得到13t2+4t−12=0，(t1和t2为M、N对应的参数)所以t1+t2=−1413，t1⋅t2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t1−t2||t1t2|=√(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当b=1，a=2时，f(x)=|x+3|+|x−1|={−2x−2,x<−3 4,−3≤x≤12x+2,x>1,这时函数f(x)的最小值为4．(2)由a>b>0，故−a−1b <0，1a−b>0，f(x)=|x+a+1|+|x−1|={−2x−a−1b+1a−b,x<−a−1ba+1b+1a−b,−a−1b≤x≤1a−b2x+a+1b−1a−b,x>1a−b,(别解|x+a+1b |+|x−1a−b|≥(x+a+1b)−(x−1a−b)=a+1b+1a−b)故f(x)≥a+1b +1a−b，又a+1b +1a−b=a−b+b+1b+1a−b≥a−b+1a−b+b+1b≥2√(a−b)(1a−b )+2√b×1b=4，当且仅当a=2，b=1时等号成立，故f(x)≥4．解析：本题考查绝对值不等式以及绝对值不等式的证明，属于中档题．(1)根据已知可得f(x)=|x+3|+|x−1|={−2x−2,x<−34,−3≤x≤12x+2,x>1进而求出最小值；(2)去掉绝对值然后利用基本不等式证明．。
山西省太原市2020届高三理科数学一模试卷(解析版)
．
16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了
数表的奇数行和偶数行．如图，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（5，2）
＝11，则 a（41，18）＝
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；
以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任
取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C5．函数 ሺᖈݔ
若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设|AB|＝10，若平面上点 P 满足对任意的λ∈R，恒有
λ
，则一定正确的是
3
（）
A．
B． 諨
C．
D．∠APB≤90°
12．设函数 f'（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，当 x＞0 时，xlnx•f′（x）＜﹣f（x），
山西省太原市 2020 届高三理科数学一模试卷（解析版）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|y 諨 ᖈ ᖈ }，则 M∩N＝（ ） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣2≤x＜3} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣3＜x≤3}
2020届山西省太原市高三模拟(二)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届山西省太原市高三模拟（二）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案：正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则()A ．{2}AB =I B ．A B R =UC ．(){1,2}R B C A =-ID ．(){|12}R B C A x x =-<<U答案：A首先解不等式220x x +->得到{|2A x x =<-或1}x >，再根据{2}A B =I 即可得到答案：. 解：因为2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-或1}x >，{1,0,1,2}B =-，所以{2}A B =I ，A B R ≠U ，(){1,0,1}R C A B =-I ，()[2,1]{2}R C A B =-U U 故选：A 点评：本题主要考查集合的运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于简单题. 2．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则a 等于（）A ．B ．1-CD ．1答案：D分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能3．已知0.250.520.20.5a log b log c ===，，，则() A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b答案：B由对数函数性质和指数函数性质与特殊值1和12比较大小后可得． 解：∵555125log log log ＜＜，∴0＜a 12＜， ∵log 0.50.2=log 25＞log 22，∴b ＞1， ∵0.51＜0.50.2＜0.50，∴112c ＜＜， ∴a ＜c ＜b ， 故选：B . 点评：本题考查对数、幂的大小比较，掌握对数函数性质和指数函数性质是解题关键．对于不同类型的数可以借助中间值比较．4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4（mod 6）.执行该程序框图，则输出的n 等于()A ．11B ．13C ．14D ．17答案：D根据程序框图得出其功能是求同时满足被3除余2，被4除余1的最小两位数，从而得由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被3除余2， ②被4除余1， 故输出的n 为17， 故选：D. 点评：本题考查程序框图中的循环结构，考查学生的分析能力，属于基础题.5．若a b r r ，是两个非零向量，且a b m a m b m ⎡+==∈⎣r r r r ，.则向量b r 与a b -r r 夹角的取值范围是() A ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．2536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案：C设|a r |=|b r |=t ，设向量b r 与a b -r r 夹角为θ，由已知和a b ⋅r r 222m t =-t 2，计算出a b-r r 后，由向量数量积求出cos θ，由m 的范围可得结论． 解：根据题意，设|a r |=|b r |=t ，则|a b +rr |=mt ，再设向量b r 与a b -r r 夹角为θ， 则有|a b +r r |2=（a b +r r ）2a =r 2b +r 2+2a b ⋅r r =m 2t 2，变形可得a b ⋅r r 222m t =-t 2，则有|a b -r r |2=（a b -r r ）2a =r 2b +r 2﹣2a r •b =r 2t 2﹣2（222m t -t 2）=4t 2﹣m 2t 2，变形可得|a b -rr|=t ，则cos θ()2222221122m t t t b a b a b b ba b b a b --⋅-⋅-=====---r r r r r r rr r r r r 又由1≤m ≤1≤≤，则有≤cos θ12≤-， 又由0≤θ≤π，则有23π≤θ56π≤，即θ的取值范围为[23π，56π]；本题考查求平面向量间的夹角，掌握平面向量数量积的定义是解题关键． 6．函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断大小关系，可得结果.解：由题可知：函数定义为当时， 当时，所以可知：原函数在递增，在递减 令，则当时， 当时，则在递减，且 在递增，所以函数在定义域中，函数值均大于故选：A 点评：本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题.7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是() 4M4N M -2M N+42M N+首先求出0＜a ＜1，0＜b ＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解. 解：学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ， 得到N 个实数对（a ，b ），因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内， 如图所示：若a ，b ，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以22102a b ab+-＞，即a 2+b 2＞1，所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2=1外的有M 对，由几何概率的概率公式可得：21111411M N π⨯-⨯==⨯114π-， 所以π()4N M N-=，故选：B . 点评：本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.8．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，，由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0.选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内9．过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB的面积为|AB |=()A ．2B ．4C ．D ．8答案：D设直线l 的方程为x =ty +1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB |，根据三角形的面积求出|y 1﹣y 2，代入计算即可求解. 解：抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0）， 可设直线l 的方程为x =ty +1， 代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |=y 1﹣y 2|==△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2，=，解得t =±1，则|AB |==8， 故选：D .本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．已知数列{a n}的前n 项和为S n，且满足a n()21nnS S -=.数列{b n }满足(1)(21)n n n b n a =-⋅+则数列{b n }的前100项和T 100为()A ．101100B ．101100-C ．100101-D ．100101答案：C由已知求出12,a a ，归纳猜测出n a ，再用数学归纳法证明猜测n a 对于*n N ∈成立，进而求出数列{b n }通项公式，用裂项相消法，即可求出结论. 解： ∵()21nnnS a S -=，∴当n =1时，有a 1211(1)S S -=，解得a 112=；当n =2时，可解得a 216=，故猜想：a n ()11n n =+，下面利用数学归纳法证明猜想： ①当n =1，2时，由以上知道a n ()11n n =+显然成立；②假设当n =k （k ≥2）时，有a k ()11k k =+成立，此时S k ()11111111112231122311k k k k k k =+++=-+-++-=⨯⨯+++L L 成立， 那么当n =k +1时，有2221111111(1)(1)(1)11k k k k k k k k k ka S S a k a k S S a a k ++++++++--+-+===+++，解得a k +1()()1111k k =⎡⎤+++⎣⎦，这说明当n =k +1时也成立. 由①②知：a n ()11n n =+.∵(1)(21)n n n b n a =-⋅+，∴111(1)(21)(1)()(1)1nn n b n n n n n =-⋅+⋅=-+++，∴数列{b n}的前100项和1001111111 (1)()()()22334100101T=-+++-++++L11001101101=-+=-.故选：C.点评：本题考查数学归纳法证明数列通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，考查计算求解能力，属于中档题.11．对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx=+--.有下列说法：①()f x的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Zππ=+∈时，函数()f x取得最大值；③函数()f x的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Zπππ⎛⎫∈+∈⎪⎝⎭，时,()0f x>.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案：B根据题意，先得到()cosx sinx cosxf xsinx sinx cosx≥⎧=⎨<⎩，，，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果.解：因为()()1122cosx sinx cosxf x sinx cosx sinx cosxsinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误；。
山西省太原市2020届高三模拟试题(二) 数学(理)【含答案】
山西省太原市2020届高三模拟试题（二）数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022>-+=x x x A ．{}2101，，，-=B 则 A ．A∩B={2} B ．A ∪B= RC ．{}2,1)(-=A C B RD ．{}21)(<<-=x x A C B R 2．已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a= A ．1 B ．-1 C ． 2 D ．2- 3．已知2.05.055.02.0log 2log ===c b a ，，，则A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b4．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡ 4（ mod6）．执行该程序框图，则输出的n 等于A ．11B ．13C ．14D ．175．若b a ，是两个非零向量，且]31[，，∈==+m b m a m b a ．则向量b 与b a -夹角的取值范围是 A ．]32,3[ππ B ．]65,3[ππ C ．]6532[ππ， D ．]65[ππ， 6．函数)1ln(1)(+-=x x x f 的图象大致为7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人．让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是A ．N M 4 B ．N M N )(4- C ．N N M +2 D ．NNM 24+ 8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0．则不等式0)()(<--xx f x f 的解集是A ．（-1，0） （1，+∞）B ．（-1，0） （0，1）C ．（-∞，-1） （1，+∞）D ．（-∞，-1） （0，1）9．过抛物线x y 42=的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为24．则|AB|=A ．2B ．4C ．32D ．810．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．且满足nn n S S a 2)1(-=．数列{}n b 满足n n n a n b )12()1(+⋅-=，则数列{}n b 的前100项和100T 为A ．100101 B ．100101- C ．101100- D ．10110011．对于函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=．有下列说法：①f （x ）的值城为[-1，1]； ②当且仅当)(42Z k k x ∈+=ππ时，函数f （x ）取得最大值；③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当))(222(Z k k k x ∈+∈πππ，时f （x ）＞0．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．412．三棱锥P —ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P —AC —B 的余弦值为36-，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π ．则三棱锥体积的最大值为 A ．1 B ．2 C ．21 D ．31 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知5(1)(1)x ax -+的展开式中，x 2的系数为0，则实数a = ．14．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB= 120°，则双曲线的离心率为 ． 15．已知数列{a n }满足11(1)11n n a a n n n n +-=-++（n ∈N *），且a 2=6，则{a n }的通项公式为 ． 16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N(33,42)，下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N(44,22)，从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法： ①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是 ．参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z ≤μ＋σ) = 0.6826，P(μ－2σ＜Z ≤μ＋2σ) = 0.9544，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin 2sin A C a bB --=，且△ABC 外接圆的半径为1．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD = 60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF//AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知F 1，F 2是椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为)41,43(P （Ⅰ）求椭圆C 的方程；20．（本小题满分12分）为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．下图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足： 121x -≤为一级品，1122x -＜≤为二级品，122x -＞为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[ 12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15 ]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验? 请说明理由；（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备。