第4讲-多元函数概念与极限
第4讲 平面点集与多元函数极限讲授内容一、平面点集平面点集()()(){}2202|,δ<-+-y y x x y x 与(){}δδ<-<-00,|,y y x x y x 分()00,y x A 为中心的δ圆领域与δ方领域，并以记号U(A ；δ)或U(A)来表示．空心邻域是指 ()()(){}22020|,δ<-+-<y y x x y x 与()()(){}0000,,,,|,y x y x y y x x y x ≠<-<-δδ，并用记号()()A U A U;或δ来表示．任意一点2R A ∈与任意一个点集2R E ⊂之间必有以下三种关系之一：（i ）内点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)E ⊂，则称点A 是点E 的内点；E 的全体内点构成的集合称为E 的内部，记作intE ．(ii)外点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)φ=⋂E ，则称A 是点集E 的外点．(iii)边界点——若在点A 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点．则称A 是集合E 的边界点．即对任何正数δ，恒有()(),;;φδφδ≠≠cE A U E A U 且 E 的全体边界点构成E 的边界，记作E ∂．点A 与点集E 的上述关系是按“点A 在E 内或在E 外”来区分的．此外，还可按在点A 的近旁是否密集着E 中无穷多个点而构成另一类关系：(i)聚点——若在点A 的任何空心邻域0U (A)内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点，聚点本身可能属于E ，也可能不属于E ．(ii)孤立点——若点A E ∈，但不是E 的聚点，即存在某一正数δ，使得()φδ=E A U;0，则称点A是正的孤立点．显然，孤立点一定是边界点；内点和非孤立的边界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．例如 设平面点集(){}41|,22<+≤=y x y x D ，满足4122<+<y x 的一切点都是D 的内点；满足122=+y x 的一切点是D 的边界点，它们都属于D ；满足422=+y x 的一切点也是D 的边界点，但它们都不属于D ；点集D 连同它外圆边界上的一切点都是D 的聚点．根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即intE=E)，则称E 为开集．闭集——若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集．若点集E 没有聚点，这时也称E 为闭集． 开域——若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开域(或称连通开集)． 闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域．区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集，统称为区域．又例如(){}0|,>=xy y x E ，虽然是开集，但因Ⅰ、 Ⅲ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域．有界点集——对于平面点集E ，若存在某一正数，使得(),;r O U E ⊂其中O 是坐标原点. 点集E 的直径)(E d . 就是()(),,sup 21,21p p E d Ep p ρ∈=其中()21,p p ρ表示1P 与2P 两点之间的距离，当1P 和2P 的坐标分别为()11,y x 和()22,y x 时，则， ()()().,22122121y y x x p p -+-=ρ根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式：()()()323121,,,p p p p p p ρρρ+≤二、2R 上的完备性定理定义 设{}⊂n P R 2为平面点列，∈o P R 2为一固定点。
若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当N n >时，有()ε;o n P P ∈，则称点列{}n P 为收敛于点o P ，记作o n n P P =∞→lim 或 ).(∞→→n P P o n在坐标平面中，以()n n y x ,与()o o y x ,分别表示n P 与o P 时，o n n P P =∞→lim 显然等价于o n n x x =∞→lim ，o n n y y =∞→lim 同样地，当以()o n n p p ,ρρ=表示点n P 与o P 之距离时，o n n P P =∞→lim 也就等价于.0lim =∞→n n P 由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理．定理1.16(柯西准则) 平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当N n m > ,时，都有()ερ<m n p p ,定理16.2(闭域套定理) 设{}n D 是R 2中的闭域列，它满足：(ⅰ);,2,1,1 =⊃+n D D n n (ⅱ)(),0lim ,==∞→n n n n d D d d 则存在惟一的点n o D P ∈，.,2,1 =n定理16.3(聚点定理) 设2R E ⊂为有界无限点集，则E 在2R 中至少有一个聚点．三、二元函数定义 设平面点集2R D ⊂，若按照某对应法则f ，D 中每一点),(y x P 都有惟一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数（或称f 为D 到R 的一个映射），记作,,:z P R D f →且称D 为f 的定义域；D P ∈所对应的z 为f 在点P 的函数值，记作),(y x f z =或)(P f z =；全体函数的集合为f 的值域，记作()R D f ⊂。
通常还把P 的坐标x 与y 称为f 的自变量，而把z 称为因变量．二元函数f 的图象．通常()y x f z ,=的图象是一空间曲面．f 的定义域D 便是该曲面在xOy 平面上的投影．二元函数也记作(),,y x f z = ()D y x ∈, 或 (),P f z =,D P ∈且当它的定义域D 不会被误解的情况下，也简单地说“函数()y x f z ,=”或“函数f ”．例1 函数y x z 52+=的图象是3R 中一个平面，其定义域是2R ，值域是R ．例2 函数221y x z --=的定义域是xOy 平面上的单位圆域(){}1,22≤+y x y x ，值域为区间[]1,0，它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部（图416-）．例3 xy z =是定义在整个xOy 平面上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物（图516-）．设E 为nR 中的点集，若有某个对应法则f ，使E 中每一点()n x x x P ,,,21 ，都有惟一的一个实数y 与之对应，则称f 为定义在E 上的n 元函数（或称f 为nR E ⊂到R 的一个映射），记作(),,,,21n x x x f y =四、二元函数极限定义定义 设f 在0P 的某个空心邻域内有定义，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当()δ;0P U P o ∈时，都有(),ε<-A P f 则称A 是),(y x f 当0P P →时的极限，记作 ().lim 0A P f P P =→ 或().,lim)(),(0,0A y x f y x y x =→例4 依定义验证.5)(lim 22)1,2(),(=+→y x y x例5 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=),0,0(),(,0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f 证明．0),(lim )0,0(),(=→y x f y x证： 对函数的自变量作极坐标变换.sin ,cos ϕϕrl y r x ==。
这时)0,0(),(→y x 等价于对任何ϕ都有.0→r 。
由于 22220),(yx y x xy y x f +-=-,414sin 4122r r ≤=ϕ因此，对任何,0>ε， 只须取,2εδ=，当δ<+=<220y x r 时，不管ϕ取什么值都有ε=<-0),(y x f 即0),(lim )0,0(),(=→y x f y x 。
例6 讨论22),(yx xyy x f +=当)0,0(),(→y x 时是否存在极限． 解：当动点),(y x 沿着直线mx y =而趋于定点)0,0(时，由于此时21),(),(m m mx x f y x f +==，而有.1),(lim ),(lim 2)0,0(),(mmmx x f y x f x mxy y x +==→=→这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值不同，因此所讨论的极限不存在．例7 讨论242),(yx yx y x f +=当)0,0(),(→y x 时是否存在极限． 解：当动点),(y x 沿着直线mx y =而趋于定点)0,0(时，由于此时22),(),(m x mx mx x f y x f +==，因而有.0),(lim ),(lim 0)0,0(),(==→=→mx x f y x f x mxy y x但是，动点),(y x 沿曲线2x y =趋于原点时，有.21),(lim ),(lim20)0,0(),(2==→=→x x f y x f x x y y x 因此该极限不存在． 定理16.5 A P f P P =→)(lim 0的充要条件是对于动点P 按任意路径趋于0P 点，都有A P f EP P P =∈→)(lim 0.推论1 极限)(lim 0P f P P →存在充要条件是对于任一满足条件0P P n ≠且0lim P P n n =∞→的点列{}n P ，它所对应的函数列(){}n P f 都收敛．。
多元函数及其极限
多元函数及其极限多元函数在数学中起到重要的作用，与一元函数相比，多元函数是以多个自变量为输入并产生一个或多个因变量输出的函数。
本文将介绍多元函数的定义、性质以及多元函数的极限。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指含有多个自变量的函数，通常用f(x₁, x₂, …, xn)表示。
其中x₁, x₂, …, xn是自变量，f(x₁, x₂, …, xn)是因变量。
多元函数可以是实函数或复函数。
多元函数的性质主要包括：1. 定义域：与一元函数类似，多元函数也有定义域，即自变量的取值范围，使得函数有意义；2. 值域：多元函数的值域是函数的输出范围，可以是实数集或复数集；3. 奇偶性：多元函数也可以具有奇偶性，即函数在自变量取相反值时的表现是否相同；4. 有界性：多元函数是否存在上下界；5. 连续性：多元函数的连续性代表着函数在自变量连续变化时，函数值是否连续变化。
二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋近于某一点或无穷大时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，多元函数的极限也可以分为以下几种情况。
1. 极限存在与不存在多元函数f(x₁, x₂, …, xn)在自变量(x₁₀, x₂₀, …, xn₀)处的极限存在，如果无论自变量如何接近(x₁₀, x₂₀, …, xn₀)，函数值f(x₁, x₂, …, xn)都趋近于某一确定值L。
数学上表示为：lim (x₁, x₂, …, xn)→(x₁₀, x₂₀, …, xn₀) f(x₁, x₂, …, xn) = L2. 极限的计算方法多元函数的极限计算方法与一元函数类似，可以通过直接代入、夹逼定理、极坐标转换等方法进行计算。
3. 偏导数多元函数的偏导数是指在函数中固定某些自变量，对剩余自变量求导数的过程。
一元函数的导数可以看作是对函数在某一点的率变化速度的测量，多元函数的偏导数可以看作是对函数在某一点沿着某一方向的变化速度的测量。
三、应用领域多元函数广泛应用于数学和其他学科中，例如：1. 物理学：多元函数用于描述物体的运动、力学等问题；2. 经济学：多元函数用于描述供求关系、成本函数等；3. 金融学：多元函数用于建立风险评估模型、资产定价模型等；4. 工程学：多元函数用于建立工程模型、优化设计等。
1多元函数的概念与极限 50页PPT文档
f (1, y ) ________________. x
3、
若
f
(
y )
x 2 y 2 ( y 0),则 f ( x ) ________.
x
y
4、 若
f(x
y, y) x
x2
y2, 则
f ( x, y) _________.
函数z
4 x y 2 的 定 义 域 是 __________.
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
( x, y )( x0 , y0 )
思考题解答
不能.
例 f(x,y)(xx23yy24)2, (x ,y) (0 ,0 ) 取 ykx, f(x,kx)(xx23kk42xx42)2 x 00
设 D是开集．如果对于 D内
任何两点，都可用折连线结起来， E
且该折线上的点都属D于，则称 开集D 是连通的．
连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
开 区 域 连 同 它 的 边 界 一 起 称 为 闭 区 域 .
y 例如， {x (,y)|1x 2y24 }.
ln( 1 x 2 y 2 )
6、 函数z x y的 定义 域是 ______________. 7、 函数zarcsy的 in定义 域是 _______________.
x 8、 函数zy22x的 间断 点是 ________________.
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数
( x, y )
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}
这个点集称为二元函数的图形. 注意：二元函数的图形通常是一张曲面.
医用高等数学
z
M ( x, y, z)
y
o
x
p
y
D
x
医用高等数学
三、二元函数的极限与连续
1.二元函数的极限 定义4-2 设函数 z f ( x, y)在点P 0 ( x0 , y 0 )的某一邻域内 有定义(点 P 0 ( x0 , y 0 ) 可以除外).如果当 P( x, y ) 沿任何路径 趋近于 P 0 ( x0 , y 0 )时，函数 f ( x, y )无限趋近于一个常数 A ,则 称 f ( x, y )当 P( x, y) P0 ( x0 , y 0 ) 时 ,以 A 为极限，记作
证明 当 p( x, y)沿曲线 y kx 趋于(0, 0)时
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
当k取不同的值时,所得的值不同
xy 所以 lim 不存在． x 0 x 2 y 2 y 0
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M 1 P PN NM 2
2
2
医用高等数学
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
M 1 P PN NM 2
医用高等数学
自变量 ( x , y ) 的取值范围称为函数的定义域.
多元函数的概念与极限
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§8.1 多元函数的概念与极限
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设
称点集
为点
的
邻域。
称为点
的
空心邻域。
一 平面上的点集
1 邻域
01
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02
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2 区域
（1）内点与开集
设
若
使得
则称点
是
开区域连同它的边界
一起称为闭区域。
将开区域与闭区域统称为区域。
3 有界点集
有界闭区域
二 多元函数的定义
定义1 设
称映射
为二元函数，记为
其中
为定义域。
注：
类似可以定义三元函数
n元函数
三 多元函数的极限定义2 设在点的某个空心邻域
内有定义，
有
若
使得当
时，
则称
是
当
趋于
时
的极限，
记为
或
或
（此极限也称为二重极限）
是
区域
上的连续函数。
注：多元初等函数在其定义域上是连续的。
例如：
（1）
在圆周
上不连续，
其它地方都连续。
（2）
在原点处不连续，
其它地方都连续。
（3）
在整个
平面上连续。
有界闭区域上连续函数的性质：
定理1（最值定理）
有界闭区域上连续函数可以在
该区域上取得最大值与最小值。
定理2（介值定理）
有界闭区域上连续函数可以在
注：定义中
趋于
的方式是任意的。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
多元函数的基本概念与极限
例2. 求函数
解:
f ( x, y )
2
arcsin(3 x y ) x y
2
2
2
的连续域.
3 x2 y2 1
x y 0 2 x2 y2 4 x y2
y O
2
2
x
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有界闭区域上二元连续函数的性质
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
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3. 二元函数的极限
P P0
lim f ( P) A
4. 二元函数的连续性 1) 函数f ( P) 在 P0 连续 有界定理 ; 最值定理 ;
P P0
lim f ( P) f ( P0 )
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
lim
f ( x, y ) A
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定义2.
设二元函数
在P0 ( x0 , y0 ) 的某一去心邻域内有定义， 若对任意正数 , 总存在正数 , 使得适合不等式
0 PP0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点（ P x, y) D
则称 A 为函数 f ( x, y )
x
O
1 2x
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结束
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;
y
1O 1
点集
( x, y )
x 1 是开集，
多元函数微积分(课件)
zx f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) ，
如果极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记为
z
x (x0 , y0 ) 或 f x (x0 , y0 ) 。
求函数的二阶偏导数，并验证
2z x2
2z y2
0。
解 MATLAB求解代码如下：
程序运行结果为：
>>syms x y >>z = log(sqrt(x^2+y^2)) >>dz_dx2 = diff(diff(z,x),x) >>dz_dy2 = diff(diff(z,y),y) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x) >>a = simplify(dz_dx2+dz_dy2)
MATLAB求解代码如下：
z xy ln x 。 y
>>syms x y >>f = x^y; >>dfx = diff(f,x) >>dfy = diff(f,y)
17
第、 二节 偏导数与全微分
、
3．高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y) 来说，如果它的一阶偏导数 fx (x, y) 、 f y (x, y) 仍是关于每个自变 量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数存在，则称这个二元函数具有二阶偏导数。
12
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
1多元函数的概念及极限
x0 x
x0 xy
x0 xy x0
y2y2y2y2令u xy , u 0
lim sin xy lim sin u 1 x0 xy u0 u
y2
例8
求极限
sin( x2 y)
lim
x0
x2
y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
( x, y )( x0 , y0 )
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2、lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
1 (x
cos( x 2 y2
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
•P0
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；