基本立体的投影
4
(2)正棱柱的投影分析及画法
正棱柱的投影分析
图中正六棱柱,上下底 面为水平面。
前后棱面为正平面。
棱柱的其他四个侧 棱面都为铅垂面。
5
1 2(6)
3(5) 4 6(5) 1(4)
高 平 齐
2(3) 正棱柱的画法
• 画积聚的水平投影— 多边形。
• 画其他两投影,先画上 下两平行面，再求出顶 点，连棱线。
角形的两腰分别是圆锥最左、 最右素线即圆锥面前后分界 的转向轮廓线的投影。
• W面投影为等腰三角形,三
角形的两腰分别是圆锥最前、 最后素线即圆锥面左右分界 的转向轮廓线的投影。
16
圆锥的画法
• 画俯视图的中心线及轴线的正面、侧面投影（细点画线）。
• 画俯视图的圆和底面的其他投影。
• 按圆锥体的高度确定顶点S的投影,并按“三等”关系完成另两
在三面投影体系中,棱锥一般按如下位置放置: • 底面为投影面平行面。 • 其它的棱面则为投影面垂直面或一般位置的平面。
7
(2)正棱锥的投影分析及画法
s
s
b
c b
b
a
b (c)
c
s
a
a
图中正三棱锥底
面△ABC为水平 面,△SAB、△SAC为
一般位置平面，
△SBC为侧垂面。
8
正棱锥的画法:
• 作底面ABC的三面投影。
第3章 基本立体的投影
3.1 平面立体投影 3.2 曲面立体投影 3.3 基本几何体投影小结 3.4 平面与立体表面相交 3.5 两回转体表面相交
1
3.1 平面立体投影
1.平面立体基本概念
由若干个平面围成的几何体称为平面立体,围成平面立体 的平面称棱面，两个相邻棱面的交线称为棱线。常见的平面体 有棱柱、棱锥、棱台等。
③ 具有“长对正、高平齐、宽相等”特
性。
3
3.棱柱
(1)正棱柱表面的组成
正棱柱是最常见的平面立体。 其表面组成: • 互相平行的上、下两底面 • 与底面垂直的若干个棱面 • 棱面与棱面的交线称为棱线
常见的棱柱有正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱等。 在三面投影体系中,正棱柱一般按如下位置放置: • 上、下底面为投影面平行面。 • 其它的棱面则为投影面垂直面或投影面平行面。
圆柱的投影分析
圆柱轴线为铅垂线,圆柱的顶面和 底面为水平面。
• H面投影 整个圆柱面积聚成一个
圆,与底面的水平投影重合。
• V面投影 前、后两半圆柱面的
投影重合为一矩形,矩形的两条 竖线是圆柱面的V面转向轮廓线 的投影。
• W面投影 左、右两半圆柱面的
投影重合为一矩形,矩形的两条竖 线是圆柱面的W面转向轮廓线的投 影。
个视图。
s'
s"
a'
b' d"
c"
d
a
sb
c
17
(3)锥面上取点
s'
b'
（a'）
c' c a s b
s"
例3.2 已知点A、B的V
b" 面投影,求另两面投影。
(a")
• 素线法求点A的两
面投影。
• 直接求得特殊位
置点B。
18
s'
（a '）
a s
s" (a")
例3.3 已知点A的V面 投影,求另两面投影。
• W面投影的轮廓圆是左、右 两半球面可见与不可见的分 界圆的投影,在球的左右对称 面上。
21
② 圆球的画法
• 分别用细点画线画出对称中心线,确定球心的三面投影。 • 画出三个与球等直径的圆。
轴 线 形成回转面的定线。 母 线 形成回转面的动线。 素 线 母线在回转面上的任
意位置线。
直母线
10
2.圆柱
(1)圆柱的形成 ① 圆柱面由一直线绕与它相平行的
轴线旋转一周而成。 圆柱表面有: • 圆柱面 • 顶面 • 底面
② 在三面投影体系中一般将圆柱的 上、下两底面置为投影面平行面。
11
(2)圆柱的投影分析及画法
线。
s
素线
在三面投影体系中圆锥的底面一
直母线
般为投影面平行面。
A
15
最左边素 线的投影
最右边素 线的投影
最后面素 线的投影
最前面素 线的投影
(2)圆锥的投影分析及画法
圆锥的投影分析
圆锥轴线为铅垂线,底面 平行于水平面。
• 圆锥面的三个投影都没有
积聚,H面投影与底面的投影 重合。
• V面投影为等腰三角形,三
面的哪一部分。
b" • 判断点、线的可见性。
(c")
注意:点、线投影可见
性与曲面部分的可见性
相同。
例3.1 已知圆柱面上的点
bc
A、B、C的V面投影a'、b' 、c' ,求作它们的H、W 面
的投影。
14
3.圆锥
(1)圆锥的形成
圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转一周而成。
• 该斜直线为圆锥的母线。
• 圆锥顶点和底边圆上任意一点的连线为圆锥的素
s
s • 确定顶点S的三面投影。
• 完成棱线SA、SB、SC的三
面投影,即得三棱锥的投影。
b
a
c b
b
(c)
c
s
a
S
a
C
B A
9
3.2 曲面立体投影
1.曲面立体基本概念
由曲面或平面与曲面围成的立体 称为曲面立体,常见的曲面立体为回 素线 转体，如圆柱、圆锥和圆球等。
回转体 一动线绕一定线回转 一周后形成的曲面。
长对正
6
5
1 2
4
宽 相
等
△y
3
宽相等 △y
画图规律:
可不画投影轴,但各点的 三面投影仍遵守点的三 个投影规律。
• 长对正
• 高平齐
• 宽相等
注意: 当图形对称时,应用细点画线画出其对称中心线。
6
4.棱锥
(1)棱锥表面的组成
棱锥表面组成: • 一底面,为多边形 • 若干个棱面组成,为三角形 • 所有的侧棱线都交于一点
➢ 纬圆法求点A的两面 投影
19
4.圆球
(1)圆球的形成 球面由圆绕其直径为轴线旋
转半周而成。 (2)圆球的投影分析及画法
① 圆球的投影分析 • 圆球的三个投影均为大小
相等的圆。
20
• V面投影的轮廓圆是前、后半 球面可见与不可见分界线的投 影,在球的前后对称面上。
• H面投影的轮廓圆是上、下 两半球面可见与不可见的分 界圆的投影,在球的上下对称 面上。
12
圆柱的画法 • 画出圆的对称中心线和圆柱轴
线的投影。 • 画出投影为圆的视图。 • 画出其它视图。
最左边 的素线
最右边 的素线
最后边 的素线
最前边 的素线
注意: 应用细点画 线画出其对称中心 线和圆柱轴线。
13
(3)圆柱表面取点
(a')
a"
b'
c'
a
曲面上确定点和线:
• 确定要取的点、线在曲将立体向投影面投射所得的图 形称为视图。
(2)在三面投影体系中,立体的三面 投影称为三视图。
主视图:立体的正面投影，通常 用 来表示立体的主要形状特征
俯视图：立体的水平投影
左视图：立体的侧面投影
(3)三面投影展开后得到平面体的三视图:
① 投影轴可以省略不画。
② 视图的名称也不必标出。
(2)正棱柱的投影分析及画法
正棱柱的投影分析
图中正六棱柱,上下底 面为水平面。
前后棱面为正平面。
棱柱的其他四个侧 棱面都为铅垂面。
5
1 2(6)
3(5) 4 6(5) 1(4)
高 平 齐
2(3) 正棱柱的画法
• 画积聚的水平投影— 多边形。
• 画其他两投影,先画上 下两平行面，再求出顶 点，连棱线。
角形的两腰分别是圆锥最左、 最右素线即圆锥面前后分界 的转向轮廓线的投影。
• W面投影为等腰三角形,三
角形的两腰分别是圆锥最前、 最后素线即圆锥面左右分界 的转向轮廓线的投影。
16
圆锥的画法
• 画俯视图的中心线及轴线的正面、侧面投影（细点画线）。
• 画俯视图的圆和底面的其他投影。
• 按圆锥体的高度确定顶点S的投影,并按“三等”关系完成另两
在三面投影体系中,棱锥一般按如下位置放置: • 底面为投影面平行面。 • 其它的棱面则为投影面垂直面或一般位置的平面。
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(2)正棱锥的投影分析及画法
s
s
b
c b
b
a
b (c)
c
s
a
a
图中正三棱锥底
面△ABC为水平 面,△SAB、△SAC为
一般位置平面，
△SBC为侧垂面。
8
正棱锥的画法:
• 作底面ABC的三面投影。
第3章 基本立体的投影
3.1 平面立体投影 3.2 曲面立体投影 3.3 基本几何体投影小结 3.4 平面与立体表面相交 3.5 两回转体表面相交
1
3.1 平面立体投影
1.平面立体基本概念
由若干个平面围成的几何体称为平面立体,围成平面立体 的平面称棱面，两个相邻棱面的交线称为棱线。常见的平面体 有棱柱、棱锥、棱台等。
③ 具有“长对正、高平齐、宽相等”特
性。
3
3.棱柱
(1)正棱柱表面的组成
正棱柱是最常见的平面立体。 其表面组成: • 互相平行的上、下两底面 • 与底面垂直的若干个棱面 • 棱面与棱面的交线称为棱线
常见的棱柱有正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱等。 在三面投影体系中,正棱柱一般按如下位置放置: • 上、下底面为投影面平行面。 • 其它的棱面则为投影面垂直面或投影面平行面。
圆柱的投影分析
圆柱轴线为铅垂线,圆柱的顶面和 底面为水平面。
• H面投影 整个圆柱面积聚成一个
圆,与底面的水平投影重合。
• V面投影 前、后两半圆柱面的
投影重合为一矩形,矩形的两条 竖线是圆柱面的V面转向轮廓线 的投影。
• W面投影 左、右两半圆柱面的
投影重合为一矩形,矩形的两条竖 线是圆柱面的W面转向轮廓线的投 影。
个视图。
s'
s"
a'
b' d"
c"
d
a
sb
c
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(3)锥面上取点
s'
b'
（a'）
c' c a s b
s"
例3.2 已知点A、B的V
b" 面投影,求另两面投影。
(a")
• 素线法求点A的两
面投影。
• 直接求得特殊位
置点B。
18
s'
（a '）
a s
s" (a")
例3.3 已知点A的V面 投影,求另两面投影。
• W面投影的轮廓圆是左、右 两半球面可见与不可见的分 界圆的投影,在球的左右对称 面上。
21
② 圆球的画法
• 分别用细点画线画出对称中心线,确定球心的三面投影。 • 画出三个与球等直径的圆。
轴 线 形成回转面的定线。 母 线 形成回转面的动线。 素 线 母线在回转面上的任
意位置线。
直母线
10
2.圆柱
(1)圆柱的形成 ① 圆柱面由一直线绕与它相平行的
轴线旋转一周而成。 圆柱表面有: • 圆柱面 • 顶面 • 底面
② 在三面投影体系中一般将圆柱的 上、下两底面置为投影面平行面。
11
(2)圆柱的投影分析及画法
线。
s
素线
在三面投影体系中圆锥的底面一
直母线
般为投影面平行面。
A
15
最左边素 线的投影
最右边素 线的投影
最后面素 线的投影
最前面素 线的投影
(2)圆锥的投影分析及画法
圆锥的投影分析
圆锥轴线为铅垂线,底面 平行于水平面。
• 圆锥面的三个投影都没有
积聚,H面投影与底面的投影 重合。
• V面投影为等腰三角形,三
面的哪一部分。
b" • 判断点、线的可见性。
(c")
注意:点、线投影可见
性与曲面部分的可见性
相同。
例3.1 已知圆柱面上的点
bc
A、B、C的V面投影a'、b' 、c' ,求作它们的H、W 面
的投影。
14
3.圆锥
(1)圆锥的形成
圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转一周而成。
• 该斜直线为圆锥的母线。
• 圆锥顶点和底边圆上任意一点的连线为圆锥的素
s
s • 确定顶点S的三面投影。
• 完成棱线SA、SB、SC的三
面投影,即得三棱锥的投影。
b
a
c b
b
(c)
c
s
a
S
a
C
B A
9
3.2 曲面立体投影
1.曲面立体基本概念
由曲面或平面与曲面围成的立体 称为曲面立体,常见的曲面立体为回 素线 转体，如圆柱、圆锥和圆球等。
回转体 一动线绕一定线回转 一周后形成的曲面。
长对正
6
5
1 2
4
宽 相
等
△y
3
宽相等 △y
画图规律:
可不画投影轴,但各点的 三面投影仍遵守点的三 个投影规律。
• 长对正
• 高平齐
• 宽相等
注意: 当图形对称时,应用细点画线画出其对称中心线。
6
4.棱锥
(1)棱锥表面的组成
棱锥表面组成: • 一底面,为多边形 • 若干个棱面组成,为三角形 • 所有的侧棱线都交于一点
➢ 纬圆法求点A的两面 投影
19
4.圆球
(1)圆球的形成 球面由圆绕其直径为轴线旋
转半周而成。 (2)圆球的投影分析及画法
① 圆球的投影分析 • 圆球的三个投影均为大小
相等的圆。
20
• V面投影的轮廓圆是前、后半 球面可见与不可见分界线的投 影,在球的前后对称面上。
• H面投影的轮廓圆是上、下 两半球面可见与不可见的分 界圆的投影,在球的上下对称 面上。
12
圆柱的画法 • 画出圆的对称中心线和圆柱轴
线的投影。 • 画出投影为圆的视图。 • 画出其它视图。
最左边 的素线
最右边 的素线
最后边 的素线
最前边 的素线
注意: 应用细点画 线画出其对称中心 线和圆柱轴线。
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(3)圆柱表面取点
(a')
a"
b'
c'
a
曲面上确定点和线:
• 确定要取的点、线在曲将立体向投影面投射所得的图 形称为视图。
(2)在三面投影体系中,立体的三面 投影称为三视图。
主视图:立体的正面投影，通常 用 来表示立体的主要形状特征
俯视图：立体的水平投影
左视图：立体的侧面投影
(3)三面投影展开后得到平面体的三视图:
① 投影轴可以省略不画。
② 视图的名称也不必标出。
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第6章 基本立体的投影视图
r' 1'
b'
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C 第二点
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返回
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第二点
返回
三棱锥表面上取点2
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b c
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B S
2'
2 C
A
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位置的母线称为素线，母线上的各点绕轴线旋转时，
形成回转面上垂直于轴线的纬圆。
返回
返回
曲面立体的投影特性
1、圆柱的投影特性 2、圆锥的投影特性 3、球的投影特性
返回
1.圆柱体
(1) 圆柱体的组成 由圆柱面和两底平面组成。
(2) 圆柱面的形成 圆柱面是由直线AA1绕与
它平行的轴线OO1旋转而成。 这条运动的直线AA1称为
母线。母线上的各点绕轴线 旋转时，形成回转面上垂直 于轴线的纬圆。
基本体是构成复杂物体的基本单元，一般也称基本体 为简单形体。本章主要介绍基本体的投影以及基本体截切、 相交产生的交线的求作方法。
按立体表面的性质不同，将立体分为平面立体和曲面立体。 平面立体—表面是由平面围成的立体。（例如） 曲面立体—表面由曲面或曲面和平面围成的立体。（例如）
基本立体的投影及其表面取点
因点M所在表面△SAB为一般位置平面，所以可以利用辅助线法来
作图。
(a)
图3.5 正三棱锥表面取点
(b)
方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m， 再根据m、m求出m″（如图3.5a）所示；
方法二：过锥顶S和点M作一辅助线SⅡ，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。 可见性判断：同棱柱。
2.圆锥 (1) 圆锥的形成 如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与 其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。
(a) (c)
(b) 图3.8 圆锥的投影
(2)投影分析 由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影
(3)画法 首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其 次画出投影为圆的圆的视图——俯视图，最后根据圆柱高及投影的 外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须 画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线 应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点 轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的
1.2曲面立体的投影及其表面上取点 表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为
回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线ห้องสมุดไป่ตู้回转运动所形成。常见的回 转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。
1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平 行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位 置称为素线。
作图。
(a)
图3.5 正三棱锥表面取点
(b)
方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m， 再根据m、m求出m″（如图3.5a）所示；
方法二：过锥顶S和点M作一辅助线SⅡ，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。 可见性判断：同棱柱。
2.圆锥 (1) 圆锥的形成 如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与 其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。
(a) (c)
(b) 图3.8 圆锥的投影
(2)投影分析 由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影
(3)画法 首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其 次画出投影为圆的圆的视图——俯视图，最后根据圆柱高及投影的 外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须 画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线 应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点 轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的
1.2曲面立体的投影及其表面上取点 表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为
回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线ห้องสมุดไป่ตู้回转运动所形成。常见的回 转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。
1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平 行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位 置称为素线。
第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
工程制图-第三章基本立体的投影
本章是这门课程的一个难点，教师为了自身业务的提高，要试做一定数目的练习，这对于讲课、辅导答疑、画好黑板图等都有很大的帮助，下面是教师在教学过程中的部分练习，虽然不要求学生掌握到这种难度，但教师要能绘制这种图样。
在讲解本章内容时可作为参考案例。
教师绘制的作业（三棱住切割）教师绘制的作业（长方体切割）教师绘制的作业（五棱柱切割）教师绘制的作业（长方体切割）教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业学生作业学生作业学生作业学生作业学生作业学生作业返回第一讲基本立体的投影1．知识要点（1）平面基本立体的投影（2）圆柱体的投影（3）圆锥体的投影（4）球体的投影2．教学设计本讲的内容不多，表面上容易，实际上同学掌握起来比较难，所以教学上要注意直观教学和空间想象能力培养的关系，明确教学目的。
虽然在上一章介绍了平面立体三视图的画法，在本章开始时还要进一步归纳平面基本体的投影，及其与平面相交时交线的画法，这是一个难点，要逐步掌握。
通过对圆柱体、圆锥体和球体在三面投影体系中投影的研究，进一步巩固三视图的投影规律，通过研究曲面上点、线的投影，暗示线面分析法的思想方法。
在介绍基本曲面立体的投影时，要紧紧抓住转向轮廓线的概念和投影，这对于接下来的截交线和相贯线的学习也是非常重要的，在讲圆柱截交线时，利用动画、模型、虚拟现实等多媒体技术介绍基本概念和作图方法。
把粗实线圆规铅心的修理、圆规的使用放在这里介绍，目的是分散难点，学生有了绘制粗实线直线的经验，学习绘制粗实线圆弧就容易些。
3．课前准备准备教具、熟悉教学内容和要使用的教学课件，课前最好将要布置的作业试做一遍，对学生作业中的问题作到心中有数。
机械制图基本几何体投影
X
A ⅠB c
b"
线法）。
a
s
1m b
Y
棱锥表面点的投影确定
s'
Z s"
长
沙
职
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院
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(n') a" n"
b"
机 械 系
1'
X
b' c' O (c")
YW
a
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c
s
1m
b
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六棱柱的投影
长A
沙 职 院
F
E
（f'） （e'）
a' b'
c' d'
D
BC
（e" ）（d" ）（c" ） f" a" b"
正三棱锥的表面有特殊位置平面, 也有一般位置平面。
属于特殊位置平面的点的投影, 可利用该平面的积聚性作图。
长 沙 职
属于一般位置平面的点投影, 可通过在平面上作辅助线的方
法求得。
Z
院
V s'
机 械 系
S
s"
m'
b'
a' 1'
m"
M C a"
如图: 己知属 于棱面ΔSAB上的 点M，试求点M、 的投影（利用辅助
已知圆锥表面点M的正面投影m′, 求m和m″。
方法: (1)辅助素线法
长 沙
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立体图形的基本投影与展开方法
立体图形的基本投影与展开方法立体图形是在三维空间中存在的物体，其具有长度、宽度和高度三个维度。
在实际生活和工程设计中，我们经常需要对立体图形进行投影和展开，以便更好地理解和分析它们的特性。
本文将介绍一些基本的立体图形投影和展开的方法。
一、投影的基本原理在进行立体图形投影时，我们需要将三维空间中的物体投影到二维平面上。
这种投影是一种近似，因为三维物体的所有细节无法完全呈现在二维平面上。
投影的基本原理有三种类型：平行投影、透视投影和斜投影。
1. 平行投影：平行投影是指投影线与被投影物体平行的投影方式。
在平行投影中，投影线与物体之间的距离保持不变，因此得到的投影图形与实际物体的形状相似。
平行投影常用于工程设计和制图中。
2. 透视投影：透视投影是指投影线与被投影物体不平行的投影方式。
在透视投影中，投影线与物体之间的距离逐渐变远，因此得到的投影图形会产生远近和大小的变化，更接近人眼所见的效果。
透视投影常用于艺术绘画和建筑设计中。
3. 斜投影：斜投影是指投影线与被投影物体倾斜的投影方式。
在斜投影中，投影线与物体之间的角度不是90度，因此得到的投影图形会产生形变。
斜投影常用于工程制图中，以展示物体的各个面。
二、立体图形的展开方法立体图形的展开是指将三维物体展开成为一个平面图形。
通过展开，我们可以更好地了解物体的各个面和结构。
下面介绍几种常见的立体图形展开方法。
1. 正交展开：正交展开是指将立体图形的各个面沿着它们的法线方向展开成为平面图形。
这种展开方法可以保持各个面的形状和尺寸不变，适用于简单的立方体、长方体等几何体。
2. 黏合展开：黏合展开是指将立体图形的各个面按照一定的规则黏合在一起展开成为平面图形。
这种展开方法可以展示出物体的整体结构和关系，适用于复杂的多面体如四面体、六面体等。
3. 切割展开：切割展开是指通过在立体图形上进行切割，将其展开成为平面图形。
这种展开方法可以展示出物体的内部结构和各个面的连接方式，适用于复杂的多面体如球体、圆柱体等。
第4章 立体的投影
二、曲面体的投影图 曲线是点按一定的运动规律运动形成的轨迹。 曲面是直线或曲线按一定规律运动形成的轨迹。运 动的线叫做母线，母线的任一位置称为素线。 旋转面：当母线绕一条固定轴回转所形成的曲面。 ——曲面体 母线上的任意一点的轨迹都是一个圆，称为纬圆， 其圆心在回转轴上。
2、棱柱体 ㈠棱柱体的组成 由两个底面和若干侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的 交线叫侧棱线，侧棱线相 互平行。 ㈡棱柱体的三视图 在图示位置时，六棱柱的 两底面为水平面，在俯视 图中反映实形。前后两侧 棱面是正平面，其余四个 侧棱面是铅垂面，它们的 水平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
三棱锥
3、棱椎体 ㈠棱椎体的组成 由一个底面和若干侧棱面组成。 侧棱线交于有限远一点：锥顶。 s s ㈡棱椎体的三视图 S 棱锥处于 图示位置 b 时，其底 b c a(c) a C 面是水平 A 面，在俯 B a c s 视图上反映实形。 侧棱面SAC为侧垂面，另两个 b 侧棱面为一般位置平面。 上述可知，求平面体的投影 求其棱线的投影。
叠加式
章目录
返 回
切割式
综合式
粘合：指两部分有相互粘合的表面。
相切：指两部分间有光滑过渡的平面与 曲面或曲面与曲面。
相交：指两部分间有彼此相交的表面。
形体分析
第三节 剖视图与断面图
剖视图的概念 1、剖视图的形成 假想用一个剖切平面平行于某一个投影面， 把物体在某一位置剖开，将观察者和剖切平 面之间的部分移去，其余部分向投影面作投 影，所得到的图形为剖视图，如图所示。 注意：剖切平面是一个假想的平面，应平行 于投影面。在该投影面上是移去前面部分， 但其他视图仍应完整画出。
工程制图第五章立体的投影
投影的分类
01
02
03
正投影
光线与投影面垂直，物体 的投影与原物体形状、大 小一致。
斜投影
光线与投影面形成一定角 度，物体的投影与原物体 形状、大小可能存在差异。
中心投影
光线通过一点投影到投影 面上，物体的投影与原物 体形状、大小可能存在较 大差异。
投影法在工程中的应用
建筑设计
通过正投影法绘制建筑物 的平面图、立面图和剖面 图，以表达建筑物的外观 和内部结构。
圆锥体的投影
1 2
圆锥体的投影特性
圆锥体在三面投影体系中分别形成圆、椭圆和抛 物线。
圆锥体的三视图
主视图、俯视图和左视图。
3
圆锥体投影的作图方法
根据圆锥体的轴线位置，确定其在三面投影体系 中的位置，然后根据投影规律画出其三视图。
曲面立体投影的作图方法
曲面立体投影的作图步骤
曲面立体投影的应用
首先确定曲面立体的形状和尺寸，然 后根据其在三面投影体系中的位置， 按照投影规律画出其三视图。
曲面立体投影在工程制图、建筑设计、 机械制造等领域有着广泛的应用，是 工程技术人员必须掌握的基本技能之 一。
曲面立体投影的注意事项
在作图过程中，需要注意曲面的曲率、 方向和投影角度等因素，以确保绘制 的图形准确无误。
04 组合体的投影
组合体的构成方式
叠加型
由基本几何体按一定方式叠加而成，各基本体之间相 对位置关系明确。
对于截断立体和相贯立体，尺寸标注更为复杂。需要明确截断和相贯的位置，以及各个部分的大小。这涉及到对立体结构的 深入理解，以确保标注的尺寸能够准确反映立体的实际结构和形状。
Hale Waihona Puke 组合体的尺寸标注全面反映组合体的结构和功能
第二讲 基本立体的投影
V
无轴投影图及方位对应关系
1.无轴投影图
无轴投影图及方位对应关系
1.无轴投影图
高 长 宽
宽
在投影图中不再画投影轴，将按照点的投影规律， 使各点的正面投影和水平投影的连线位于同一条铅直 线上，正面投影和侧面投影位于同一条水平线上，任 意两点的水平投影和侧面投影保持前后方向的宽度相 等即可。
---无轴投影图
s s
S
B b b s a c c b(c) a A
C
a
棱锥处于图示位 置时,其底面ABC是水 平面，在水平投影图 上反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另两 个侧棱面为一般位置 平面。
(3)棱锥表面上取点
s s 2 2 m 1 b b (3) 3 1 a
n
m s 1 n a
（2）圆锥的投影图
如图示位置，水平投影图为一圆。另 两个投影图为等腰三角形，三角形的底边 为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不 同方向的两条轮廓素线的投影。
•圆锥的投影特点
轮廓线的投影 底圆的投影
•圆锥可见性的判别—V面 曲面的可见 性的判断。
后半面 不可见
前半面 可见
注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断
在生产实际பைடு நூலகம்，球形的零件也较为 常见。不过大都是部分球面，如图中所 示的球阀芯、螺钉。
•圆球的投影
三个投影均为与圆球的直径相等的圆，它 们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。
•圆球的投影特点
圆球的轮廓线的投影
•圆球可见性的判别
4.圆环面
一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回 转而成。
4.圆环面
S
O
圆锥面是由直母线SA 绕与它相交的轴线OO1 旋转而成。
无轴投影图及方位对应关系
1.无轴投影图
无轴投影图及方位对应关系
1.无轴投影图
高 长 宽
宽
在投影图中不再画投影轴，将按照点的投影规律， 使各点的正面投影和水平投影的连线位于同一条铅直 线上，正面投影和侧面投影位于同一条水平线上，任 意两点的水平投影和侧面投影保持前后方向的宽度相 等即可。
---无轴投影图
s s
S
B b b s a c c b(c) a A
C
a
棱锥处于图示位 置时,其底面ABC是水 平面，在水平投影图 上反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另两 个侧棱面为一般位置 平面。
(3)棱锥表面上取点
s s 2 2 m 1 b b (3) 3 1 a
n
m s 1 n a
（2）圆锥的投影图
如图示位置，水平投影图为一圆。另 两个投影图为等腰三角形，三角形的底边 为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不 同方向的两条轮廓素线的投影。
•圆锥的投影特点
轮廓线的投影 底圆的投影
•圆锥可见性的判别—V面 曲面的可见 性的判断。
后半面 不可见
前半面 可见
注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断
在生产实际பைடு நூலகம்，球形的零件也较为 常见。不过大都是部分球面，如图中所 示的球阀芯、螺钉。
•圆球的投影
三个投影均为与圆球的直径相等的圆，它 们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。
•圆球的投影特点
圆球的轮廓线的投影
•圆球可见性的判别
4.圆环面
一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回 转而成。
4.圆环面
S
O
圆锥面是由直母线SA 绕与它相交的轴线OO1 旋转而成。
立体的三面投影三视图
平面立体旳投影 是平面立体各表面投影旳集合 ----由直线段构成旳封闭图形。
➢1 棱 柱
（1). 三棱柱旳视图
由两个底面和三个侧棱面构成。侧棱面 与侧棱面旳交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。
三棱柱旳 两底面为水平 面，在俯视图 中反应实形。 其他三个侧棱 面都是铅垂面， 水平投影积聚， 与三角形旳边 重叠。
➢（2） 三棱柱表面旳点
因为三棱柱旳表面都是平面，所以在三棱 柱旳表面上取点与在平面上取点旳措施相同。
点旳可见性鉴别： 若点所在旳
平面旳投影可见， 点旳投影也可见； 若平面旳投影积 聚成直线，点旳 投影也可见。
➢2.棱锥
S
⑴ 棱锥旳构成
由一种底面和若干侧 棱面构成。侧棱线交于有 限远旳一点——锥顶。
S称为锥顶，圆锥面上过锥顶旳任一直线 称为圆锥面旳素线。
➢1. 圆锥旳视图
如图示位置，俯视图为一圆。另两
注意：轮廓线旳投影与 曲面旳可见性旳判断
个视图为等边三角形，三角形旳底 边为圆锥底圆旳投影，两腰分别为 圆锥面不同方向旳两条轮廓素线旳
➢2. 圆锥面上旳点 投影。
1) 素线法
过
锥
顶
作
一
条
素 线
2）纬线圆法
⑵ 棱锥旳三视图
A
C
B
s
s
⑶ 在棱锥面上取点
棱锥处于图示位置时，
其底面ABC是水平面，在俯
视图上反应实形。侧棱面 a SAC为侧垂面，另两个侧棱 a 面为一般位置平面。
k n
b s kn
k (n)
c a(c) b c
b
➢4.2.2 曲面立体旳投影
工程中常见旳曲面立体,是回转体。 回转曲面是由母线(直线或曲线)绕 定轴线作回转运动生成旳。