2020高考数学统计与概率小题专项练(20张)
图所示.现要从中抽取50名职工作样本,若采用分层抽样方法,则
40~50岁年龄段应抽取
人.
关闭
从图中可知,三个年龄段的人数比例分别为 5∶3∶2,40~50 岁年
龄段的人数占130,则
40~50
岁年龄段应抽取 3
10
×
50=15
人.
关闭
15
解析 -17-
答案
一、选择题 二、填空题
14.某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相 关性,在生产过程中收集4组对应数据如下表所示:
3
39 2 6
增大.
关闭
D
解析 -12-
答案
一、选择题 二、填空题
9.如图,在矩形OABC中的曲线分别是y=sin x,y=cos x的一部分,A π2,0 , C(0,1),在矩形OABC内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为
P1,取自非阴影部分的概率为P2,则( )
A.P1>P2
B.P1<P2
关闭
记“不发芽的种子数为ξ”,则ξ~B(1 000,0.1),所以E(ξ)=1 000×0.1=100,而
X=2ξ,故E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200.
关闭
B
解-析9-
答案
一、选择题 二、填空题
6.(2019河南名校联盟压轴卷四,理4)“关注夕阳、爱老敬老”——某
爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金,下表记录了
C.P1=P2
关闭
根D.据大题小意关,系阴不影能部确分定的面积的一半为
π 4
0
(cos
x-sin x)dx=
2-1,于是
此点取自阴影部分的概率为 P1=2× 又 P2=1-P1<12,故 P1>P2.
2-1
π
2
=
4(
2-1) π
>
4(1.4-1) 3.2
=
1.
2
关闭
A
解析 -13-
答案
一、选择题 二、填空题
14(3+4+5+6)=4.5,������=0.7×4.5+0.35=3.5. ������ = 14(2.5+3+4+m)=3.5,
∴m=4.5.
关闭
4.5
解析 -18-
答案
一、选择题 二、填空题
15.(2019全国卷2,理13)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停
某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点
①古典概型的特点:有限性,等可能性; 计算公式 P(A)=事件试���验���中的所基含本的事基件本总事数件数.
②几何概型的特点:无限性,等可能性; 计算公式 P(A)=试验的构全成部事结件果������所的构区成域的长区度域(面长积度或(面体积积或) 体积).
-2-
2.条件概率:A 发生的条件下 B 发生的概率 P(B|A)=������������(���(���������������)).
n=C62=15,这 2 个球中有白球包含的基本事件个数 m=C41C21 +
C22=9,∴这
2
个球中有白球的概率是
p=������������
=
9 15
=
3.故选
5
B.
关闭
B
解-析4-
答案
一、选择题 二、填空题
2.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统 计得到如下折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 关闭
10.
(2019 全国卷 1,理 6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.
每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻“
关”闭
和由阴题爻可“知,每一爻有”,2右种图情就况是,一故重一卦重.卦在的所有6 重个卦爻中有随26机种取情一况重.其卦,
则中该6 重个卦爻恰中有恰3有个3阳个爻阳的爻概有率C是63种( 情况),所以该重卦恰有 3 个阳爻
D等级;分数在[70,80)为C等级;分数在[80,90)为B等级;分数在
[90,100]为A等级,考核评估后,得其频率分布折线图如图所示,估计
这100间学生公寓评估得分的平均数是( )
关闭
CA.80.25 B.80.45 C.80.5 D.80.65
解-析7-
答案
一、选择题 二、填空题
4.(2019福建漳州质检二,理7)某工厂利用随机数表对生产的600个 零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为 001,002,…,599,600,从中抽取60个样本,如下提供随机数表的第4行 到第6行:
测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选B.
关闭
B
解-析6-
答案
一、选择题
3.
二、填空题
关闭
设(2分01数9山为西变晋量城x二,则模,理8)某学校对100间学生公寓的卫生情况进行 ���综���=合(65评×比0.0,依15考+7核5分×0数.0分40为+8A5,×B0,C.0,D20四+个95等×0级.0,2其5)中×分10数=8在0.[56.0,70)为
甲同学
乙同学
-5-
一、选择题 二、填空题
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分; ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成
绩在区间[110,120]内;
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为关闭
正 ①甲相同关学; 的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于
率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车
扇形
OAD=12
·π
3
·1=π6,S△OAD=
3,
4
∴S 阴影=2 π − 3 =π − 3,
64 32
∴P= ������阴影
=
π 3
-
3 2
=
3π − 1.
������△������������������
3
92
关闭
A
解析 -16-
答案
一、选择题 二、填空题
13.(2019山东德州一模,理13)某单位200名职工的年龄分布情况如
X
0
a
1
1
1
1
P
3
3
3
则当a在(0,1)内增大时,( )
A.D(X)增大
B.D(X)减小
关闭
由C.分D(布X)列先增得大E(后X)减=小1+���D���,则.D(DX)(先X)减= 小1+后������-增0 大2× 1+ 1+������-a 2× 1+
3
3
33
3
1+������-1 2× 1 = 2 a-1 2+1,所以当 a 在(0,1)内增大时,D(X)先减小后
A适.,552728合适B.,3则24满足C.条53件5 D的.567个8 编号为436,535,577,348,522,578,则第6个
编号为578,故选D.
关闭
D
பைடு நூலகம்
解-析8-
答案
一、选择题 二、填空题
5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发 芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望 为( ) A.100 B.200 C.300D.400
A的.1概56 率为C2663 = 156,故B.选1312 A.
C.2312
D.1116
关闭
A
解析 -14-
答案
一、选择题 二、填空题
11.(2019河北武邑中学调研二,理7)某学校10位同学组成的志愿者,
组织活动分别由李老师和张老师负责.每次献爱心活动均需该组织
4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独
变量
X
满足
P(a<X≤b)=
������ ������
φμ,σ(x)dx,记作
X~N(μ,σ2).
-3-
一、选择题 二、填空题
1.(2019四川宜宾二模,理3)一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中 任取2个球,则这2个球中有白球的概率是( )
A.45
B.35
C.25
D.13
关闭
一个袋子中有 4 个红球,2 个白球,从中任取 2 个球,基本事件总数
如共图部所分示,若,取在B△CAB的C中内点部任D,取AC一的点中,则点此O点,连取接自A阴D影,D部O,分的概率为
()
设∴AS.A△39BAπB=C−2=,在12 3△. ACD 中B.,A39Dπ-=11,CD=
3,S△ACD= 23,
在C扇.1-形39πOAD
中,∠ADO.D12 −=6039°π,S
x
3
y
2.5
4
5
6
3
4
m
根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为
^^
������=0.7x+a
,若根据回
关闭
残归差方=程实计际算值出-在预样测本值(,4即,3残)处差的=残y-差���^���=为y--(0b^.1x5+,则���^���)表, 中m的值
2020高考数学复习—概率与统计练习试题卷
4 C 2 1 高考数学复习—概率与统计练习试题卷一、选择题(10×5′=50′)1.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射导弹 10 次，其中出事故的次数为ξ,则下列结论正确的是()A.E ξ=0.1B.P (ξ=k )=0.01k ·0.9910-kC.D ξ=0.1D.P （ξ=k ）=C k 0.99k ·0.0110-k102.一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个，红球 12 个，白球 4 个，从中任取 2 个，其中白球的个数记为ξ , 则下列算式中等于C 1 C 122 22C 2 26的是()A.P (0<ξ≤2)B.P (ξ≤1)C.E ξD.D ξ3.已知随机变量ξ和η，其中η=12ξ+7,且 E η=34,若ξ的分布列如下表，则 m 的值为ξ 12 3 4P m n41 12A. 1B. 1C. 1D. 134684.一整数等可能地在 1、2、…、10 中取值，以ξ记除得尽这一整数的正整数的个数，那么Eξ等于()A.2.6B.2.5C.2.7D.2.85.若ξ的分布列为：ξ01P p q其中p∈(0,1),则()A.Eξ=p,Dξ=p3B.Eξ=p,Dξ=p2C.Eξ=q,Dξ=q2D.Eξ=1-p,Dξ=p-p26.如果ξ是离散型随机变量，η=3ξ+2,那么()A.Eη=3Eξ+2,Dη=9DξB.Eη=3Eξ,Dη=3Dξ+2C.Eη=3Eξ+2,Dη=9Eξ+4D.Eη=3Eξ+4,Dη=3Dξ+27.设随机变量ξ～B（n,P）,且Eξ＝1.6，Dξ=1.28,则()A.n=8,P=0.2B.n=4,P=0.4C.n=5,P=0.32D.n=7,P=0.458.设掷1颗骰子的点数为ξ,则()A.Eξ=3.5,Dξ=3.52B.Eξ=3.5,Dξ=3512C.Eξ=3.5,Dξ=3.5D.Eξ=3.5,Dξ=35169.设离散型随机变量ξ满足Eξ＝-1，Dξ＝3，则E［3(ξ2-2)］等于()⎪2(1 ≤ x < 2) ⎪2(1 ≤ x < 2) ⎪ 1⎪ 1 (1 ≤ x < 2) ⎪1( x ≥ 2) ⎪ 1⎪ 3 (1 ≤ x < 2) P a BA.9B.6C.30D.3610.设随机变量ξ的分布列如下所示：ξ12P1 31 61 2则函数 F (x )=P (ξ≤x )(x ∈R )的解析式为( )⎧0( x < 0) A.F (x )=P (ξ≤x )= ⎪1(0 ≤ x < 1)⎨ ⎪⎩3( x ≥ 2)⎧0( x < 0) B.F (x )=P (ξ≤x )= ⎪3(0 ≤ x < 1)⎨ ⎪⎩1( x ≥ 2)C.F (x )=P (ξ≤x )=⎧0( x < 0) ⎪ (0 ≤ x < 1) ⎪ 3 ⎨ ⎪ 2⎩D.F (x )=P (ξ≤x )= ⎧0( x < 0) ⎪ (0 ≤ x < 1)⎪⎪ 6⎨ 1 ⎪⎪ 1 ( x ≥ 2) ⎪⎩ 2二、填空题（4×4′=16′）11.已知某离散型随机变量ξ的数学期望 E ξ= 7 ，ξ的分布列如下：6ξ 0 1231 1 36则 a =.12.两名战士在一次射击比赛中，战士甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4、0.1、0.5;战士乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1、0.6、0.3,那么两名战士得胜希望大的是 .13.某人有6把钥匙，其中只有一把能打开门，今任取一把试开，不能打开的除去，则打开此门所需试开次数ξ的数学期望Eξ=.14.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望Eξ=.三、解答题（4×10′+14′=54′）15.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.13(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差.16.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量.已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km,且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a.(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差.(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.17.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为110,路段CD发生堵车事件的概率为115).(1)请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小;(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ,求ξ的数学期望Eξ.第17题图18.一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是1.3(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通岗的概率；(2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差.19.A有一个放有x个红球、y个白球、z个黄球的箱子（x、y、z≥1,x+y+z=6）,B有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定当两球同色时为A胜，异色时为B胜.(1)用x、y、z表示A胜的概率；(2)若又规定当A取红、白、黄而得胜的得分分别为1、2、3；负则得0分，求使A得分的期望最大的x、y、z.概率与统计练习100分参考答案一、选择题1.A∵P(ξ=k)=C k·0.01k(1-0.01)10-k,Eξ=nP=0.1.102.B作出概率分布可得.3.A本题考查随机变量的期望及有关的运算，由2 P 1 P 2 P n-1 P nη=12ξ+7 ⇒ E η=12E ξ+7 ⇒ 34=12E ξ+7 ⇒ E ξ= 94⇒ 94=1× 1 +2×m +3×n +4× 1 ,4 2 又 1 +m+n + 1 =1, 联立求解可得 m = 1 ,故选 A.4234.C P (ξ=1)= 1 ,P (ξ=2)= 4 ,P (ξ=3)= 2 ,P (ξ=4)= 3 . 10 10 10 10∴E ξ= 1 +2× 4 +3× +4× 3 =2.7.101010105.D 由于 p ＋q =1,所以 q =1-p ,从而 E ξ=0×p +1×q =q =1-p ,D ξ=［0-(1-p )］2p +［1-(1-p )］2q =(1-p )2p +p 2(1-p )=p -p 26.A 设随机变量ξ的分布列是：ξx 1 x 2 …x n-1 x nPP 1P 2…P n-1P n则η=3ξ+2 的分布列为：η3x 1+2 3x 2+2 …3x n-1+2 3x n +2P从而…E η =E (3 ξ +2)=(3x 1+2)P 1+(3x 2+2)P 2+ …+(3x n-1+2)P n-1+(3x n +2)P n=3(x 1P 1+x 2P 2+… +x n-1P n-1+x n P n )+2(P 1+P 2+ …+P n -1+P n )=3E ξ+2;D η = ［ (3x 1+2)-(3E ξ +2) ］ 2P 1+ ［ (3x 2+2)-(3E ξ +2) ］ 2P 2+ … +⎩nP(1 - P) = 1.28.［(3x n-1+2)-(3E ξ+2)］ P n-1+［(3x n +2)-(3E ξ+2)］ P n =9(x 1-E ξ)2P 1+9(x 2-Eξ)2P 2+…+9(x n-1-E ξ)2P n-1+9(x n -E ξ)2P n=9［(x 1-E ξ)2P 1+(x 2-E ξ)2P 2+…+(x n-1-E ξ)2P n-1+(x n -E ξ)2P n ］=9D ξ.点评 对于随机变量ξ和η，如果η=a ξ+b (a 、b 为常数)，则有 E η=aEξ+b ,D η=a 2D ξ.7.A ∵ξ~B (n ,P ),∴E ξ=nP ,D ξ=nP (1-P),从而有 ⎧nP = 1.6,⎨ 解之，得 n =8,P =0.2.8.B 随机变量ξ的分布列是：ξ123456P161 61 61 61 61 61 6 从而 E ξ=1× 1 +2× 1 +3× 1 +4× 1 +5× 1 +6× 1 =3.5,6 6 6 6 6 6D ξ=(1-3.5)2× 1 +(2-3.5)2× 1 +(3-3.5)2× 1 +(4-3.5)2× 1 +(5-3.5)2×6 6 6 6+(6-3.5)2× 1 = 35 . 6 129.B E ［3(ξ2-2)］=E (3ξ2-6)=3E ξ2-6=3［D ξ+(E ξ)2］-6=6.10.C 从表中可见，当 x <0 时，P （ξ≤x ）=0;当 0≤x <1 时，P (ξ≤x )=P (ξ=0)= 1 ;3当 1≤x <2 时，P （ξ≤x ）=P (ξ=0)+P (ξ=1)= 1 ;2当 x ≥2 时，P （ξ≤x ）=P (ξ=0)+P (ξ=1)+P (ξ=2)=1.点评 对于密度函数，要理解其意义，搞清它与概率分布的联系与区别.⎪ ∴p =C 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛1 ⎫ 3 =20× 16 ⎪ 1 - ⎪ 二、填空题11. 1本题需运用离散型随机变量的期望等知识.3 E ξ= 7 =0×a +1× 1 +2× 1 +3b ⇒ b = 1 .6366又 P (ξ=0)+P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1a + 1 + 1 + 1 =1 ⇒ a = 1 .366312.乙 甲获胜的期望与方差分别是:(E ξ) 甲 =0.4×1+0.1×2+0.5×3=2.1,(D ξ) 甲 =(2.1-1)2 ×0.4+(2.1-2)2 ×0.1+(2.1-3)2×0.5=0.89.乙获胜的期望与方差分别是:(E ξ) 乙 =0.1×1+0.6×2+0.3×3=2.2,(D ξ) 乙 =(2.2-1)2 ×0.1+(2.2-2)2 ×0.6+(2.2-3)2×0.3=0.456.∵乙的期望高于甲，且乙的水平比甲稳定，故得胜希望大的是乙.13. 7E ξ=1× 1 +2× 1 +3× 1 +4× 1 +5× 1 +6× 1 = 7 .2666666214. 12因为是有放回地摸球，所以每次摸球（试验）摸得红球（成功）5的概率均为 3 ,连续摸 4 次（做 4 次试验），ξ为取得红球（成功）的次数， 5则ξ~B ⎛ 4, 3 ⎫ ,从而有 E ξ=nP =4× 3 = 12 .⎝5 ⎭55三、解答题15.解 (1)p =(1- 1 )2· 1 =334 27.(2)6 场胜 3 场的情况有 C 3 种. 6⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭27 × 8 27 = 160 .729 (3)由于ξ服从二项分布，即ξ～B (6, 1 ),3∴Eξ=6×1=2,Dξ=6×1×(1-1)=4.3333答：(1)这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为4;27(2)这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160;729(3)在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2,方差为4.3点评在二项分布ξ～B(n,p)中,期望Eξ=np,方差=npq.这两个公式只要求考生了解、会用，不要求给予证明.16.解（1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1.∴100a2+7a=0.3,∴1000a2+70a-3=0,a=3100,或a=-110(舍去)，即a=0.03,∴100a2+3a=0.18,4a=0.12,∴ξ的分布列为ξ200220240260280300P0.120.180.200.200.180.12∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km)Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964;(2)由已知η=3ξ-3(ξ>3,ξ∈Z),∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=8676.17.解(1)记路段MN发生堵车事件为MN,因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1-P(AC·CD·DB)=1-P(AC)·P(CD)·(DB)=1-［1-P(AC)］［1-P(CD)］［1-P(DB)］=1-910·14·5= 156310;同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1-P(AC·CF·FB)=239(大于800310);路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1-P(AE·EF·FB)=91300(小于310);显然要使得由A到B路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小.(2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=P(AC ·CF·FB)=561.800P(ξ=1)=P(AC·CF·FB)+P(AC·CF·FB)+P(AC·CF·FB)=110×17×11+2012910×320×11+12910×17×20112=6372400.P(ξ=2)=P(AC·CF·FB)+P(AC·CF·FB)+P(AC·CF·FB)=110×320×11+12110×17×20112+910×320×112=772400,P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=1×3×1=3,1020122000Eξ=0×561+1×8006372400+2×772400+3×32000=1.3答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为1.3111 x1y1z36=18+y18.解(1)因为这位司机第一二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=(1-1)(1-1)×1=3334 27 .(2)易知ξ~B(6,1).∴Eξ=6×1=2,Dξ=6×1×(1-1)=4.3333319.解(1)从两个箱子里各取1球，共C1C1=36种取法，66其中同色的取法有C1C1+C1C1+C1C1=3x+2y+z故A胜的概率为x3y2z13x+2y+z.36(2)设A得分为ξ,则ξ可能取值为0、1、2、3,其概率分别为P(ξ=0)=1-C1C3+C1C4+C1C5=1-3x+4y+5zC1C16636P(ξ=1)=C1C3C1C166=3x 36P(ξ=2)=C1C2C1C166=2y 36P(ξ=3)=C1C1=z 36C1C166∴Eξ=0×1-3x+4y+5z+1×3x+2×2y+3×363636z36=3x+4y+3z36∵x+y+z=6,∴Eξ=3(6-y)+4y36∵x,y,z≥1,∴当x=1,y=4,z=1时，Eξ最大为11.18。
2020高考数学大二轮专题突破文科通用统计与概率小题专项练(20张)
5.标准差 s=
1 ������
[(������1-������)2
+
(������2-������)2
+
…
+
(������������
-������)2].
6.古典概型:P(A)=������中所基含本的事基件本总事数件������ 数������.
7.几何概型的概率
P(A)=试验的构全成部事结件果������所的构区成域的长区度域(面长积度或(面体积积或) 体积).
8.线性回归方程:回归直线^������ = ^bx+^������经过样本点的中心(������, ������).
-3-
一、选择题 二、填空题
1.(2019全国卷1,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些
学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取
100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被
6.1 统计与概率小题专项练
1.分层抽样满足各层抽取的比例=样 总本 体容 容量 量. 2.在频率分布直方图中,小长方形的面积等于频率,各小长方形的 面积的总和等于1. 3.茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边的 数字表示个位数;当数据是三位数时,前两位相对比较集中时,常以 前两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推). 4.方差 s2=���1���[(x1-������)2+(x2-������)2+…+(xn-������)2].
答案
一、选择题 二、填空题
8.
(2019湖南湘潭一模,文8)在一次53.5公里的自行车个人赛中,25名参 赛手的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,现将参赛选手按成绩由 好到差编为1~25号,再用系统抽样方法从中选取5人.已知选手甲的 成绩为85分钟,若甲被选取,则被选取的其余4名选手的成绩的平均 关闭 数 将参为赛( 选手)按成绩由好到差分为5组,则第一组(80,81,82,83,85),第二组 A.97 B.96 C.95 D.98
小题训练05 计数原理与概率统计-2023年高考数学三轮复习(新高考专用)
aX,则 D(Y)=D(aX)=a2D(X),所以方差变为原来的 a2 倍,故 A 错误.
对于选项 B,从中任取 3 条有 4 种取法,其中能构成三角形的只有 3,5,7 一种,故这 3 条线 段能够组成三角形的概率为1,故 B 正确.
4
对于选项 C, |r|→1,成对样本数据的线性相关性越强,|r|→0,成对样本数据的线性相关性
条线段能够组成三角形的概率为1
4
C.样本相关系数 r 越大,成对样本数据的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为19,A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生
的概率相同,则事件
A
发生的概率为2
3
【解析】对于选项 A,设一组数据为 X,则每个数据都乘以同一个非零常数 a 后,可得 Y=
的方差分别为 10,8,则二线城市的房价的方差为 117.98.
【解析】设二线城市的房价的方差为 s2,
由题意可知 20= 1 [s2+(2.4-1.2)2]+ 3 ×[10+(1.8-1.2)2]+ 6 ×
1+3+6
1+3+6
1+3+6
[8+(0.7-1.2)2],
解得 s2=117.98,即二线城市的房价的方差为 117.98.
3.某机构调査了 10 种食品的卡路里含量,结果如下:107,135,138,140,146,175,
179,182,191,195.则这组数据的第 25 百分位数和中位数分别是( A ).
A.138,160.5 C.138,175
B.138,146 D.136.5,160.5
高考数学《概率与统计》专项练习(选择填空题含答案)(20200625015306)
8 2 √ √ √ √ √ √ √ √
∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率 P＝ 12 ＝ 3
解法二：（不重复的树状图） 设红、黄、白、紫分别为 a、 b、 c、d 种在第 1 个花盆的树状图如下 所有可能的结果有 6 种 红色和紫色的花不在同一花坛， 则要把 ad 和 bc 都要排除 红色和紫色的花不在同一花坛的结果有 4 种
3 种颜色的运动服中选择 1
6．（ 2020 全国Ⅰ卷， 文 3， 5 分）从 1， 2， 3， 4 中任取 2 个不同的数， 则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ( )
A ．12
B． 13
C． 14
D ． 16
【解析】从 1， 2， 3， 4 中任取 2 个不同的数
共有 (1 ， 2)， (1， 3)， (1 ， 4) ， (2， 3)， (2， 4)， (3 ， 4)， 共 6 种不同的结果
(1 ， 2)， (1， 3)， (1 ， 4) ， (1 ， 5)， (2， 3)， (2， 4) ， (2 ， 5)， (3， 4)， (3， 5) ， (4， 5) ， 共 10 种 其中和为 5 的有 2 种 ∴所求概率为 210 ＝ 0.2
8．（ 2011 全国Ⅰ卷， 文 6， 5 分）有 3 个兴趣小组， 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组， 各个小组的可能性相同， 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
1
∴小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 15 ， 故选 C．
【考点二】几何概型
13（ 2020 全国Ⅱ卷， 文 8， 5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 一名行人来到该路口遇到红灯， 则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 (
7
2020全国卷高考数学概率与统计冲刺练习(含答案)
类型一：规范解答过程对于会做的题，要做到不丢分，具体要求解题步骤表达准确、考虑周密、书写规范、关键步骤清晰，防止分段扣分。
类型二：探究型问题的解答(1)未给出结论的通常称为归纳型问题．解答这类问题思路：归纳—猜想—证明；(2)结论不确定的，通常称之为存在型问题．解答思路：假设—推理—定论；(3)条件不全，需探求补足条件的，通常称为：条件探索型．解答思路：结论⇐条件．答案往往不唯一；(4)给定一些对象的某种关系，通过类比得到另一些对象的关系．解答思路：透彻理解条件，转换思维；(5)给出几个论断，选择其中若干个论断为条件，某一个(或几个)为结论，通常称为重组型．解答思路：组合条件，逐一验证．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<L ，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<L ，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<L ，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-L ，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'L ，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ． 方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243． 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． 【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333k k kP X k k -===． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=． （2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====U ． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====U(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=．。
2020年高考数学(理)专题训练附解答： 概率与统计
（2020江西省上饶市一模）在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2相对贫困户 52总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.072 2.7063.8415.024专题 概率与统计大题肢解一统计案例与数学期望【肢解1】完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2相对贫困户 52总计100【肢解2】上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X .【解析】（1）由题意可知，绝对贫困户有()0.250.500.75++0.210030⨯⨯=（户），可得出如列联表：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 5270总计2080 100()22100182825230702080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.762 3.841≈>． 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户）， “亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，()210215307C P X C ===，()1110521510121C C P X C ===，()252152221C P X C ===， 则X 的分布列为X0 12P371021221故31022()012721213E X =⨯+⨯+⨯=．1.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）计算K 2的值；(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断． 2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法：(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E (ξ)； (5)由方差的定义求D (ξ)．【拓展1】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75]频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数828241221若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁 年龄不低于45岁 使用手机支付 不使用手机支付参考数据：)(02k K P ≥ 0.0250.010 0.005 0.0010k3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：年龄低于45岁 年龄不低于45岁 使用手机支付 60 15 不使用手机支付1015于是有K2的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞． 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．【拓展2】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段 [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁 年龄不低于45岁 使用手机支付 不使用手机支付（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解析】由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()223222531010C C P X C C ===，()112213223222225353215C C C C C P X C C C C ==+=，()11122322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()212222531315C C P X C C ===， 于是X 的分布列为：X 0 1 2 3P110 25 1330 115所以1213122()0123105301515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．1.(2019年湖北模拟)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100（1）能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.【解析】（1）因为K2＝100×(40×25－20×15)255×45×60×40≈8.249＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．（2）由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)．则P(A)＝815.故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.2.（2019年湖北省宜昌模拟）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．变式训练一（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望．【解析】（1）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取21045⨯=人．记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则()3 4 3 813114CP AC=-=．故至少有一人来自甲部门的概率为1314．（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．()()()()03122130646464643333101010101311 0,1,2,3301026C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C============，所以X的分布列为X0 1 2 3P1303101216所以()1311901233010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．(2019河南洛阳市模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．大题肢解二二项分布【肢解1】若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；【肢解2】每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．【解析】（1）随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C13(C14A22＋C24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.（2）设事件A：“一个城市需复检”，则P(A)＝1－4)21(＝1516，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C03·3)161(＝14 096，P(X＝1)＝C13·3)161(·1)1615(＝454 096，P(X＝2)＝C23·1)161(·2)1615(＝6754 096，P(X＝3)＝C33·3)1615(＝3 3754 096.所以X的分布列为X 0123P14 096454 0966754 0963 3754 096由题意知X～B)1615,3(，所以E(X)＝3×1516＝4516.二项分布的期望与方差如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．1.(2019四川成都诊断)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到变式训练二如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的 用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差． 【解析】（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ，则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为31. X 的所有可能取值为0，1，2，3， 易知X ～B )31,3(，P (X ＝k )＝C k 3kk-⋅⋅3)32()31(，k ＝0，1，2，3，则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P8274929127所以数学期望E (X )＝3×13＝1，D (X )＝3×13×)311(-＝23.2.（2020湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足~(218,140)X N，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【解析】（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875++++=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率211121 3413414837C C C C C CPC+==.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.0251800.11900.22000.32100.262200.092300.025⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200.4=“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足()~218,140X N，则()218E X=. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.1.（2019云南省高考模拟）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球*()n n N ∈个，现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机的摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是158． （1）求n 的值；（2）从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望()E ξ．【解析】（1）由题意有158231211=++n n C C C ，即03522=--n n ，解得3=n ； （2）ξ取值为3,4,5,6.则1112262(3)15C C P C ξ===，11213222664(4)15C C C P C C ξ==+=， 1123262(5)5C C P C ξ===，23261(6)5C P C ξ===， ξ的分布列为：ξ 34 5 6P215 415 25 15故242114()34561515553E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 2.（2020福建省厦门外国语学校高三上学期12月月考）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70以上 使用人数312 17 6 4 2 0 未使用人数 0314363（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在BF 使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[50,60)的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中， 年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =． （2）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236115C C P X C ===,()214236325C C P X C ===,()304236135C C P X C ===. 所以X 的分布列为X1 2 3P1553 15所以X 的数学期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. （3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=.3.（2020广东省惠州市高三第三次调研）为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一（1）班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.班级一)1(一)2( 一)3( 一)4( 一)5( 一)6( 一)7( 一(8) 一(9) 一(10)⋯市级2233443342⋯比赛获奖人数 市级以上比赛获奖人数22 1 0 23 3 2 1 2⋯【解析】（1）记事件i A {=从6名学生抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，i 0=，1，2，3}； 则2A 与3A 互斥，故所求概率为()()()()2323P 2P A A P A P A =+=+至少人感兴趣 213033333366C C C C C C ⋅⋅=+101202==； （2）由题意知，随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3；()22342255C C 9P ξ0C C 50⋅===⋅，()11221234342255C C C C C 12P ξ1C C 25⋅⋅+⋅===⋅，()22111243242255C C C C C 3P ξ2C C 10⋅+⋅⋅===⋅ ()21242255C C 1P ξ3C C 25⋅===⋅. 则ξ的分布列为：ξ0 1 2 3p950 1225 310 125数学期望为()9241526E ξ0123505050505=⨯+⨯+⨯+⨯=. 4.（2019·河北高考模拟）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为23，面试两科每科优秀的概率均为34. （1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【解析】（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关.所以=P 3223221335[()+()]=3334412C ⨯⨯⨯. （2）易得ξ的可能取值为3 ,5 ，所以(=3)=1P ξ-3223221207[()+()]=1-=3332727C ⨯， 或(=3)=P ξ31231127()+()=33327C ⨯ ，所以20(=5)=1-(=3)=27P P ξξ，或(=5)=P ξ322322120()+()=33327C ⨯ ，ξ的分布列为：ξ3 5P727 2027所以720121()=3+5=272727E ξ⨯⨯. 5.（2019江西省新八校联考）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数10304020（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ． 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg ） 16182224从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ，所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===， （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==， 因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案． （3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===， 所以X 的分布列如下：X0 1 2 3P1612 310 130所以11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.6.（2020山西省晋城市高三第一次模拟）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份2014 20152016 2017 2018 销量（万台） 810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主 6 24 女性车主 2 总计30（1）求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ，并判断y 与x 是否线性相关； （2）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X,求X 的数学期望与方差.参考公式：12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.63525≈，若0.9r >，则可判断y 与x 线性相关. 附表：20()P K k ≥0．10 0.05 0.025 0.010 0.001k2.7063.841 5.024 6.635 10.828【解析】（1）依题意，2014201520162017201820165x ++++==，810132524165y ++++==，故51()()(2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，521()411410ii x x =-=+++=∑，521()643698164254i i y y =-=++++=∑，则51552211()()47470.940.9102542635()()iii iii i x x y y r x x y y ===--===≈>⨯--∑∑∑故y 与x 线性相关.（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 18 6 24 女性车主 2 4 6 总计2010302230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. （3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42105=， 则2(50,)5X B :， 所以2()50205E X =⨯=，22()50(1)1255D X =⨯⨯-=. 7.（2020云南省昆明市第一中学高三一轮检测）某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x 100≤<x2010≤<x2030x <≤票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13． （1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=， 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则()11114343P A =⨯+⨯ 111233+⨯=，所以甲、乙两人付费相同的概率是13.（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.()11164312P X ==⨯=，()11943P X ==⨯ 111436+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 11113433⨯+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 1134⨯=，()11118236P X ==⨯=.因此X 的分布列如下：X6912 1518P11216131416所以X 的数学期望()1169126E X =⨯+⨯ 11121534+⨯+⨯ 1511864+⨯=. 8.（2020东北三省三校联合模拟）“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在[]50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.（1）求出图中a 的值,并求样本中,答卷成绩在[)80,90上的人数;（2）以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ,求X 的分布列和期望.【解析】（1）依题意,()2 376 2101,a a a a a ⨯++++=故0.005a =， 故成绩在[)80,90上的频率为600.3,a = 答卷成绩在[)80,90上的人数为2000.360; ⨯=（2）由样本的频率分布直方图知成绩在80分以上(含80分)的频率为2805a =， 依题意,24,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()04042381055625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()22423442321623962,35562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4442316455625P X C α⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为X0 1 2 34P816252166252166259662516625所以X 的数学期望为()28455E X =⨯=.。
高考数学总复习考点知识专项强化练习16---概率与统计
高考数学总复习考点知识专项强化练习概率与统计1.（2020 茂名一模）2020年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在区间(－2π，2π)上随机取一个数x ，则使得tan x 33]的概率为( )A. 13B.2π C. 12D.233．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是( )A. 13B.12 C. 23D.344.在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 5.如果一个n 位十进制数n a a a a 321的数位上的数字满足“小大小大 小大”的顺序，即满足： 654321a a a a a a <><><，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数abcde ，这个数为“波浪数”的概率是（ ）A.152 B. 154 C. 52 D.158 6.设随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为 （ ）A ．5B ．3C ．35D ．377.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中之多命中一次的概率为1625，则该队员的每次罚球命中率为 A.12 B.35 C.34 D.458．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于3S的概率是________． 9．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，且B ＝A ，定义A 与B 的距离d (A ，B )＝41||i i a i =-∑，则d (A ，B )＝2的概率为______．10．在某市2013年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市前________名左右．11.从3男2女这5位舞蹈选手中，随机(等可能)抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是．12. （2020 郑州一模）若不等式x2+y2≤2所表示的区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为．13. （2020 汕头模拟）某区工商局、消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20，30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（Ⅱ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．14．公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于今年4月1日起正式施行.酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当2080Q≤<时，为酒后驾车；当80Q≥时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）.依据上述材料回答下列问题：(1）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；(2）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率. (酒后驾车的人用大写字母如A，B，C，D表示，醉酒驾车的人用小写字母如a,b,c,d表示）15．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间是:[)[)[)0,10,10,20,20,30,[)30,40,[)40,50,[]50,60.将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1）求图中x的值;(2）从“体育迷”中随机抽取2人，该2人中日均收看该类体育节目时间在区间[]50,60E X.内的人数记为X，求X的数学期望()16．某校高一年段理科有8个班，在一次数学考试中成绩情况分析如下：(1）求145分以上成绩y对班级序号x的回归直线方程。
高三数学练习题：概率与统计
高三数学练习题：概率与统计
问题1：
某班有40名学生，其中有30名学生参加了一个数学竞赛。
现在我们从这些学生中随机抽取一名学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位参加了数学竞赛的学生；
b) 抽中一位未参加数学竞赛的学生。
问题2：
某班有50名学生，其中30人喜欢数学，20人喜欢英语，15人同时喜欢数学和英语。
现在我们从这些学生中随机选择一位学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位喜欢数学的学生；
b) 抽中一位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位同时喜欢数学和英语的学生。
问题3：
某地区的天气预报表明，星期一下雨的概率是0.3，星期二下雨的概率是0.4。
而星期一和星期二都下雨的概率是0.15。
现在，我们从这两个星期中随机选择一个天气预报，请计算以下概率：
a) 抽中星期一下雨；
b) 抽中星期二下雨；
c) 抽中星期一和星期二都下雨。
问题4：
某班有90名学生，其中40人喜欢数学，60人喜欢英语，20人同时喜欢数学和英语。
现在我们从这些学生中选择两个学生，请计算以下概率：
a) 抽中两位喜欢数学的学生；
b) 抽中两位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位喜欢数学的学生和一位喜欢英语的学生。
问题5：
某打印店收到100份订单，其中有20份订单有错误。
现在，我们从这些订单中随机抽取一份，请计算以下概率：
a) 抽中一份有错误的订单；
b) 抽中一份没有错误的订单。
高考数学《概率与统计》练习题及答案
概率与统计1．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]某地有两个国家AAAA级景区—甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的客流量，下列结论正确的是A．甲景区客流量的中位数为13000B．乙景区客流量的中位数为13000C．甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值小D．甲景区客流量的极差比乙景区客流量的极差大【答案】D【解析】2．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】结合两图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A ，互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确； 对于选项B ，互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%56%=22.176%⨯，超过总人数的20%，所以该选项正确；对于选项C ，互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%⨯=，比80前多，所以该选项正确；对于选项D ，互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%⨯=，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多，所以该选项不一定正确. 故选D.【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．[福建省永春第一中学2020届高三上学期期初考试数学（理）试题] 某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的户数估计约为 【参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=，(33)99.74%P μσξμσ-<<+=】 A ．17 B ．23 C ．34 D ．46【答案】B4．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题]已知某离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3则X 的数学期望()E X =A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】B5．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题]圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为A ．mm n + B ．nm n + C ．4m m n+D ．4n m n+【答案】C 【解析】 【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m n π⨯=⨯，则答案可求. 【详解】总人数为+m n ，写出的+m n 组数可以看作是+m n 个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆221x y +=内，则21π1411+mm n ⨯=⨯，即4π+m m n =. 故选C.本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目.6．[福建省永春第一中学2020届高三上学期期初考试数学（理）试题] 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：序号 1 2345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数学成绩 95 75 80 94 92 65 678498 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理成绩90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀。
新高考数学二轮总复习第三部分专题六.3统计与概率小题专项练课件
C 15 C 110
取法,所求概率为 2
C 15
=
50
105
=
10
.
21
4.(2021江西萍乡高三检测,8)算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为
木框,内贯直柱,俗称“档〞,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每
珠作数一.算珠梁上局部叫上珠,梁下局部叫下珠.例如:在十位档拨上一颗
=
4
4
P(B|A2)= ,P(B|A3)= ,而
11
11
1
3
,P(A3)= ;P(B|A1)=
5
10
=
5
,由此知选项
11
B 正确.
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
1
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=2
此知选项 AC 不正确.
1 5
×
2 11
1
2
×
5
11
1
+5
×
4
11
+
3
10
×
4
11
=
9
.由
22
考向四
相互独立事件及二项分布
10.(2021天津,13)甲、乙两球落入盒子的概率分别为
落入盒子互不影响,那么甲、乙两球都落入盒子的概率为
乙两球至少有一个落入盒子的概率为
答案
1
6
1 1
.假定两球是否
和
2 3
;甲、
.
2
3
解析 两球都落入
1
p1=2
1
2 2