图论_5_树
离散数学-图论-树
二叉树
• 定义:二元有序树称为二叉树.
– 每个顶点最多有两个子顶点,一般称为左子顶 点和右子顶点. – 类似地,称每个顶点的左子树和右子树. – 每个顶点的出度都是0或2,称为二叉正则树.
二叉树的性质
• 定理:设有二叉树T, (1)第i层最多有2i个顶点; (2)若T高度为h,则T最多有2h11个顶点，最 少有h个顶点; (3)树叶个数出度为2的顶点个数1.
1 2
Huffman树与最优编码
• 若以符号为树叶,符号概率为树叶的权,利 用通过Huffman算法得到的二叉树对符号 编码,则可以保证i pili最小. • 例:对1,1,2,3,5,6,7,8构造Huffman树.
7 3 2 1 1 5 6
8
编码：设 A, B, C, D 的频率（即权值）分别为 17％, 25％, 38％, 20％， 试设计哈夫曼编码（最佳前缀码/最优编码）。
最优编码
• 构成消息的各符号的使用频率是不一样 的,显然常用符号编码短一些,罕用符号编 码长一点,可以使传输的二进制位数最少. • 最优编码问题:给定符号集{a1,a2,...,am}, ai 的出现概率是pi,编码长度为li,要使i pili最 小.
例：如果需传送的电文为 ‘A B A C C D A’，它只用到四种字符， 用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D 的编码分别为 00， 01，10，11，则上述电文便为 ‘00010010101100’（共 14 位）， 译码员按两位进行分组译码，便可恢复原来的电文。 数据的最小冗余编码问题 在编码过程通常要考虑两个问题 译码的惟一性问题
5 1 5 6 6
U 1
1 5 6 1 5 5 4 6 5 4 5 5
2
图论知到章节答案智慧树2023年长安大学
图论知到章节测试答案智慧树2023年最新长安大学绪论单元测试1.下列选项中正确的是（）.参考答案:图论的研究对象是图;图论中图是顶点集合上的一种二元关系;图的结构是图论的重要研究方向之一;图论中的图由若干给定的顶点及连接某些顶点对的边所构成2.著名的哥尼斯堡七桥问题最初由哪位数学家给出解答（）.参考答案:欧拉3.在任意6个人的聚会上，总有3个人互相认识，或者3个人互不认识.（）参考答案:对4.图论中著名的中国邮递员问题是由中国管梅谷教授提出的.（）参考答案:对5.图论与数学的其他分支形成的交叉研究方向有（）.参考答案:随机图论;代数图论;模糊图论;拓扑图论第一章测试1.四个顶点的非同构简单图有（）.参考答案:11个2.序列称为图序列，如果d是某一个简单图的度序列. 则下列不是图序列的是（）.参考答案:(7,6,5,4,3,2,2);(6,6,5,4,3,3,1)3.设图G有21条边，12个3度顶点，其余顶点的度均为2，则图G的顶点数为（）.参考答案:154.下列哪些矩阵是本题中所给图的邻接矩阵？（）参考答案:;5.本题中所给的两个图G与H不同构.（）参考答案:错第二章测试1.边数比顶点数少1的简单图一定是树.（）参考答案:错2.六个顶点的非同构的树有（）.参考答案:6个3.本题中所给图的非同构生成树的个数等于（）.参考答案:3个4.设G是五个顶点的标号完全图（即给G的每个顶点标号），则G的不同的生成树（注意“不同”是指标号不同，不是不同构）的个数等于（）.参考答案:1255.若G是单圈图（即G是仅含一个圈的连通图）, 则G的边数一定等于它的顶点数.（）参考答案:对第三章测试1.若图G的每条边是割边, 则G是森林.（）参考答案:对2.若H是连通图G的子图, 则H的连通度不超过G的连通度.（）参考答案:错3.若图G没有偶圈, 则G的每个块或是2个顶点的完全图或是奇圈.（）参考答案:对4.设G是有n个顶点m条边的k -边连通图, 则下列一定成立的是（）.参考答案:5.图G的连通度、边连通度和最小度分别为（）.参考答案:3, 4, 4第四章测试1.设M和N是简单图G的两个不同的完美匹配，则由M与N的对称差在G中的边导出子图的每个连通分支必为（）.参考答案:偶数个顶点的圈2.一棵树T可以有两个或者两个以上的完美匹配.（）参考答案:错3.2n个顶点的完全图中不同的完美匹配个数为（）.参考答案:(2n-1)!4.如果每个小伙子恰好认识k个姑娘，而每个姑娘也恰好认识k个小伙子(k >0)，则每个小伙子都能与自己认识的姑娘结婚.（）参考答案:对5.本题中所示图没有完美匹配.（）参考答案:错第五章测试1.本题中所示图能一笔画成（即笔不离纸，线不重复）.（）参考答案:错2.下列哪些是非空连通图G有Euler迹的充分条件（）？参考答案:G没有奇度顶点;G有2个奇度顶点3.如果非空连通图G恰有2个奇度顶点，则G的Euler迹一定是从其中一个奇度顶点出发，终止于另一个奇度顶点.（）参考答案:对4.本题中所示图是Hamilton图.（）参考答案:错5.完全二部图（m, n均大于0）是Hamilton图的充分必要条件是（）.参考答案:m = n第六章测试1.对于控制数为1的n个顶点的图，其控制集中顶点的度为n-1.（）参考答案:对2.下列命题中正确的是（）.参考答案:顶点子集F是图G的点覆盖集当且仅当V(G)\F是G的独立集;一个图的独立数和点覆盖数的和等于它的顶点数目3.下列哪个选项中的集合分别是该图的最大匹配、最小边覆盖集（）.参考答案:4.以下选项中正确的是（）.参考答案:Q是G的极大团的充分必要条件是Q是G的补图中的极大独立集;任意6个人的聚会上, 总有3人互相认识或互不认识5.若I是独立集, 则它是极大独立集的充分必要条件是I是极小控制集.（）参考答案:错第七章测试1.Petersen图的边色数等于（）.参考答案:42.3-正则Hamilton图的边色数为（）.参考答案:33.设H是图G的子图，则H的边色数不超过G的边色数.（）参考答案:对4.Petersen图的色数等于（）.参考答案:35.设G是n个顶点的圈，则G的色多项式 P(G,k) 等于（）.参考答案:第八章测试1.可平面图有可能存在子图是不可平面图.（）参考答案:错2.Petersen图是可平面图.（）参考答案:错3.若地图上每两个地区都相邻，则最多能有几个地区（）.参考答案:4个4.正八面体的顶点数、边数和面数分别为（）.参考答案:6,12,85.从Petersen图中需至少删除几条边才能得到一个可平面子图（）.参考答案:2条第九章测试1.设G是3个顶点的圈，则G的积和多项式为.（）参考答案:对2.完全二部图的谱为（）.参考答案:-3,0,0,0,0,33.五个顶点的完全图的谱为（）.参考答案:4,-1,-1,-1,-14.设G是n（n大于或等于3）个顶点的路，则G的边色数和彩虹连通数分别为（）.参考答案:2, n-15.本题中顶点赋权图的最小权点覆盖集的权等于（）.参考答案:10。
图论——树
森林
推论： 具有k个分支的森林有nk条边， 其中n是G的顶点数。
无向树的性质
定理2.2
证明
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
设T有x片树叶，由握手定理及定理2.1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例2.1
例2.1 画出6阶所有非同构的无向树。 解答 设Ti是6阶无向树。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 首先证明 G中无回路。 若G中存在长度大于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。
集合论与图论第十章 树
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
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思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
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定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
图论 第二章 树
u
v
G2
7/39
G1
对于有n个点的图G，由（3）的假设知删去G中某边可得 两个具有同样性质的子图G1与G2。设Gi 的点数与边数分别为 ni 与mi（i =1,2）。显然n1< n，n2 < n。由归纳假设有 n1= m1+1，n2= m2+1
相加得
n1+n2= m1+ m2+2 同时有 n1+n2= n， m1+ m2= m-1 代入（*）式得：n = m+1。 （*）
若不然，则G+uv存在另一个圈C’，且C’与C都是图G添加边 uv后产生的，即这两个不同圈都含有uv边。因而在原图中有
两条不同的连接u 与 v 的路，矛盾。
u C’
v G+uv
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（6）G 无圈，添加任一条边可得唯一的圈。
（1）G 是树
需证明G连通。 假设不连通，则存在两个 顶点u 与 v 之间不存在通路，因此增 加uv边不会在G+uv产生圈，矛盾！
凯莱生成树递推计数公式是他在1889年建立的。
24/39
(G )
(G) (G e) (G e)
证明 由于G的每一棵不包含e 的生成树也是 G-e 的生成 树。由此推知 ，τ(G-e) 就是G 的不包含 e 的生成树的棵 数。 类似, τ(G●e) 就是G 的包含 e 的生成树的棵数。从 而知结论成立。
(k 2)nk
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§2.2树的中心和形心
定义1 设 G = (V, E) 是一连通图， v∈V，令 e(v) = max {d(u,v) | u∈V } 则称 e(v)为顶点 v 的离心率；又令 r(G) = min {e(v) | v∈V } 称 r(G) 为图 G 的半径。 比较图的直径与离心率的定义可知，图G 的直径是 G 的最大离心率；e(v) = r(G) 的点 v ，称为 G 的一个 中心点， G 中全体中心点的集合称为G 的中心。
图论 第二章 树(tree)
定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是研究图及其性质的数学分支。
在图论中，树是一种特殊的无环连通图，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍图论中树以及树的性质的相关内容。
一、树的定义与基本性质树是一个连通且无环的无向图。
具体定义如下：1. 一个只有一个顶点的图是一个树。
2. 一个连通的图，如果删除任意一条边，则图不再连通，那么该图就是一个树。
树具有以下基本性质：1. 一棵树有且只有一个连通分量。
2. 在一棵树中，任意两个顶点之间存在唯一路径。
3. 一棵树的边数比顶点数少1。
树的性质使得其在各个领域有着广泛的应用。
下面将介绍树的一些重要性质。
二、树的性质1. 最小生成树最小生成树是指在一个带权图中，找到一个树，使得该树的边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
最小生成树在网络设计、电力传输等领域有着重要的应用。
2. 无向树与有向树的转化无向树可以通过给每条边赋予方向而转化为有向树，同样，有向树也可以通过移除边的方向而转化为无向树。
3. 树的直径树的直径是指树中任意两个顶点之间的最长路径。
求树的直径的算法可以通过两次BFS或DFS来实现。
树的直径问题在网络拓扑、动态规划等领域有重要应用。
4. 中心与半径树的中心定义为树中顶点到其他所有顶点的距离之和最小的顶点。
树的半径定义为树中顶点到离其最远的顶点的距离。
中心和半径是树中的重要概念，它们在设计网络、发现故障等方面有着重要应用。
5. 树的遍历树的遍历是指按照一定规则来访问树的所有顶点。
常用的树的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
树的遍历在路径搜索、关系分析等方面有广泛应用。
6. 散射树散射树是一种特殊的树结构，它是由无向图中一棵以散射点为根的最小生成树与散射关键路径组成。
散射树在光纤传输等领域有着广泛的应用。
以上是图论中树的一些性质的简要介绍，树作为图论中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
从最小生成树到树的遍历，树的性质在各个领域都有着广泛的应用。
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• 图——基本概念
– 图、路与连通、最短路、有向图、图的矩阵
• Euler图与Hamilton图 • 树
– 树、生成树、有向树
• 平面图 图的着色
– 平面图、对偶图、顶点着色、面着色
• 网络 匹配 独立集
树
• 树的概念 • 生成树 • 有向树
树
• 定义1 连通无回路的图称为树，树中度为 1的点称为树叶，度大于1的点称为分枝点 或内点，每个连通分支均为树的图称为森 林。
Kruskal算法
(1)选取G的一边e1，使w(e1)＝min{w(e)|e∈E}，令E1 ＝｛e1｝ (2)若已选出Ei＝｛e1，…，ei｝，那么，从E－Ei中 e 选取一边ei＋1，使 (Ⅰ)Ei∪｛ei＋1｝的导出子图中不含回路； (Ⅱ)w(ei＋1)＝min{w(e)|e∈E－Ei , Ei∪{e}的导 出子图无回路} (3)若ei＋1存在，令Ei＋1＝Ei∪｛ei＋1｝，i＋1→i，转 (2)，若ei＋1不存在，则停止。
• 定理２ 任意一棵非平凡树 T 中，至少有 两片树叶。
• • •
作业 证明 非平凡树中最长路的起点和终点 均为树叶。 证明 一棵树恰有２片树叶，则此树为 路。
生成树
• 定义1 若图G的生成子图T是树，则称T为 G的生成树。
• 定理1 G是连通图当且仅当G有生成树。
• 权图G中带权最小的生成树称为最小生成树 • Kruskal算法 • 输入：简单连通图G ，权函数w 。 • 输出：最小生成树T
(a)
b1
b2
(b)
b3
• 定义４ 设u是有根树T的一个顶点，Vu是u 及其子孙构成的顶点集，Vu的导出子图称为 T的以u为根的子树。 • 定
1
2
3
4
(a)
(b)
• 定义６ 在有序树中，如果每个顶点v都满 足ｄ＋(v)≤m，则称该有序树为m叉树，如果 每个顶点v都满足ｄ＋(v)＝m，称该有序树为 正则m叉树。 • 一类重要的m叉树是二叉树和正则二叉树。 左儿子、右儿子，左子树、右子树。
c5
• 定理1 设T是一棵有根树，r是T的根，则r 到其余每个顶点恰有一条有向路。
• 有根树的画法 • 定义３ 儿子，父亲，兄弟，子孙，祖先； 从根到某一顶点的路长称为该顶点的路长 或层数，从根到树叶的最大层数，称为有 r 根树的高。
a
a1
a1 a2
v 11
v 22
…
…
…
图 3.2
…
b1
b2
b3
有向树
• 定义1 设D是一个有向图，如果在不考虑 弧的方向时D是一棵树(即D的底图是一棵树) 则称D为一棵有向树。 • 定义２ 若一棵有向树中恰有一个顶点的 入度为０，其余所有顶点的入度均为1，则 称该有向树为有根树(或树形图)，入度为０ 的顶点称为根。
a b1 b2
c1
(a)
c2
c3
(b)
c4
(a)
(b)
• 定理1 设图T是有n个顶点、ε条边的非平凡图， 则下列各条等价。 (1) T是树。 (2) T中无回路，且ε＝n－1。 (3) T连通，且ε＝n－1。 (4) T中无回路，且在T的任意两个不相邻点之间 添加一边恰得一条回路。 (5) T连通，删去任一边则不连通。 (6) T的任意两个不同顶点之间恰有一条路。
• 上面的算法能执行吗？ • 会终止吗？ • 每次执行结果一样不一样？
• 定理２ Kruskal算法得到的图T*是最小生 成树。 • 证明:
（1）T*是生成树。 （2） E(T*) ＝｛e1，…，en-1｝，若T*不是最小 生成树，设T1是最小生成树，则T*中必有边不 在T1中，设ek是第一条不在T1中的边……
• 定理２ 在正则m叉树中，分枝点数i与树 叶数l满足 (m－1)i＝l－1。
• 定理３ 设T是正则m叉树，I表示分枝点的 路长总和，L表示树叶的路长总和，i是分枝 点数，则 L＝(m－1)I＋mi。
• •
作业 对非平凡正则m叉数的分枝点数i施行归纳 法，以证明定理２。