概率论模型
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
概率模型和非概率模型
概率模型和非概率模型在机器学习领域中扮演着重要的角色，它们分别基于概率理论和非概率理论来建立模型，用于解决各种复杂的问题。
概率模型是建立在概率论的基础上的数学模型，能够通过概率分布来描述随机变量之间的关系，常见的概率模型包括朴素贝叶斯、高斯混合模型等；而非概率模型则是利用非概率分布来建模，主要用于处理数据集之间的关系，例如决策树、支持向量机等。
本文将从概率模型和非概率模型的定义、应用、优缺点等方面进行深入探讨，希望能为读者对这两种模型有更深入的了解。
一、概率模型概率模型是一种建立在概率论基础上的数学模型，它主要用于描述随机变量之间的关系，并通过概率分布来推断数据之间的概率关系。
概率模型在机器学习领域中被广泛应用，尤其是在数据挖掘、自然语言处理、图像识别等领域。
常见的概率模型包括朴素贝叶斯、隐马尔可夫模型、高斯混合模型等。
1. 朴素贝叶斯朴素贝叶斯是一种基于贝叶斯定理和条件独立性假设的分类算法，它假设特征之间相互独立，通过计算每个特征的概率来推断数据类别。
朴素贝叶斯简单易实现，适用于处理大规模数据集，尤其在文本分类、垃圾邮件过滤等方面表现优异。
2. 隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型是一种用来处理序列数据的统计模型，它假设系统中存在隐藏的马尔可夫链，通过观测数据推断隐藏状态序列。
隐马尔可夫模型在语音识别、生物信息学等领域有着广泛的应用，能够很好地解决序列数据的建模和预测问题。
3. 高斯混合模型高斯混合模型是一种利用多个高斯分布混合来表示数据分布的生成模型，它可以拟合各种复杂的数据分布，并通过最大似然估计或EM算法来估计分布参数。
高斯混合模型在图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用，能够有效地处理高维数据和复杂数据分布。
概率模型的优点是能够较好地表达数据之间的概率关系，具有较强的泛化能力和鲁棒性；但其缺点是依赖于数据的概率分布假设，对数据的噪声和异常值敏感，且参数估计常常比较复杂。
二、非概率模型非概率模型是一种不基于概率分布的数学模型，它主要用于建立数据之间的关系，常用于分类、回归、聚类等问题。
概率论模型
概率论模型概率论模型是指根据概率论的原理建立的描述随机现象规律的数学模型，可以用来处理各种随机事件的概率、随机变量的统计规律、随机过程的演化等问题。
概率论模型在统计学、工程学、金融学、计算机科学等领域都有广泛的应用，因此学习概率论模型对于提高数学建模能力和解决实际问题非常重要。
一、概率论基础概率论是研究随机现象的规律的数学分支，其基本概念包括随机事件、概率、条件概率、贝叶斯公式等。
1. 随机事件随机事件是指在一定条件下可能发生或不发生的事情或现象，例如掷骰子、抽取扑克牌等都是随机事件。
在概率论中，我们通常用字母A、B、C等表示随机事件。
2. 概率概率是指随机事件发生的可能性大小，用一个数值来表示。
概率的取值范围在0到1之间，表示不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。
对于任意的随机事件A，其概率表示为P(A)。
条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如在已知一枚硬币抛出正面的情况下，再抛出正面的概率就是条件概率。
条件概率用P(A|B)表示，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是指在已知某些事件发生的条件下，推断其他事件发生概率的公式。
它是统计学中常用的一种逆推方法，可以用于分类、识别、推理等领域。
贝叶斯公式的形式如下：P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在观察到事件B的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
二、概率分布和随机变量随机变量是指以随机事件为取值的变量，例如掷骰子得到的点数就是一个随机变量。
概率分布是指随机变量取值的概率分布情况，常用的概率分布有均匀分布、正态分布、泊松分布、指数分布等。
1. 均匀分布均匀分布是指随机变量的取值在某个区间内等可能地分布，例如掷骰子得到1、2、3、4、5、6点的概率相同，就是一个均匀分布。
古典概率模型分析例题和知识点总结
古典概率模型分析例题和知识点总结在概率论的领域中，古典概率模型是一个重要的基础概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了有力的工具。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨古典概率模型，并对相关的知识点进行总结。
一、古典概率模型的定义和特点古典概率模型是指在一个试验中，所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的骰子，其结果有 1、2、3、4、5、6 六种，且每种结果出现的概率都是 1/6。
古典概率模型具有以下特点：1、有限性：试验的可能结果是有限的。
2、等可能性：每个结果出现的可能性相等。
二、古典概率的计算公式若一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题分析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：总的取法有 C(5, 2) ＝ 10 种（C 表示组合数）。
取出 2 个红球的取法有 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以取出 2 个球都是红球的概率为 3 ／ 10 。
例 2：一个盒子里有 5 个黑球和 3 个白球，从中任意取出 2 个球，求至少取出 1 个黑球的概率。
解：总的取法有 C(8, 2) ＝ 28 种。
取出的 2 个球都是白球的取法有 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以至少取出 1 个黑球的概率为 1 3 ／ 28 ＝ 25 ／ 28 。
例 3：在一次抽奖活动中，有 100 个号码，其中只有 10 个号码能中奖。
某人随机抽取一个号码，求他中奖的概率。
解：因为总共有 100 个号码，中奖号码有 10 个，所以中奖的概率为 10 ／ 100 ＝ 1 ／ 10 。
四、常见的古典概率模型1、摸球问题：如上述的从口袋或盒子中摸球的问题。
2、抽奖问题：像上述的抽奖活动。
3、掷骰子问题：计算掷骰子出现特定点数或特定点数组合的概率。
伯努利概率模型
伯努利概率模型摘要：1.伯努利概率模型简介2.伯努利分布的性质3.伯努利概率模型的应用4.我国在伯努利概率模型研究方面的贡献正文：伯努利概率模型，是以瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）的名字命名的概率模型，主要用于描述离散事件的不确定性。
它是一种非常重要的概率模型，广泛应用于各个领域，如概率论、统计学、计算机科学等。
1.伯努利概率模型简介伯努利概率模型是一个简单的概率模型，它假设随机变量只取两个离散值：成功（取值为1）和失败（取值为0）。
这意味着，在伯努利概率模型中，事件的结果只有两种可能，而且这两种结果是互斥的。
该模型假设每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为1-p，其中0<p<1。
通过调整参数p，我们可以描述不同情况下事件发生的概率。
2.伯努利分布的性质伯努利分布具有以下几个重要性质：- 期望值：伯努利分布的期望值E(X) = p- 方差：伯努利分布的方差D(X) = p(1-p)- 标准差：伯努利分布的标准差σ(X) = √(D(X)) = √(p(1-p))此外，伯努利分布还有一些特殊的概率质量函数（PMF），如：- P(X=1) = p- P(X=0) = 1-p3.伯努利概率模型的应用伯努利概率模型在许多领域都有广泛应用，以下是一些典型应用：- 描述二项分布：伯努利概率模型是二项分布的基础，当伯努利模型中成功的概率为p 时，进行n 次独立重复试验，成功次数的概率分布就是二项分布。
- 泊松过程：泊松过程是描述在一定时间内，事件发生次数的概率过程。
当泊松过程的参数λ恒定时，泊松过程的累积分布函数可以看作是伯努利概率模型在时间轴上的推广。
- 排队论：在排队论中，顾客到达的频率可以看作是伯努利概率模型中的成功概率p，服务窗口的数量可以看作是试验次数n。
通过伯努利概率模型，我们可以预测顾客在排队系统中等待的时间。
4.我国在伯努利概率模型研究方面的贡献我国学者在伯努利概率模型方面做出了许多贡献。
概率模型的建立与应用
概率模型的建立与应用概率模型是一种用于描述和分析事件发生可能性的数学模型。
它基于概率论的基本原理，通过建立随机变量之间的关系来描述不确定性。
概率模型广泛应用于各个领域，包括统计学、机器学习、风险评估等，对于分析和解决实际问题具有重要意义。
一、概率模型的建立概率模型的建立主要包括以下几个步骤：问题定义、随机变量选择、概率分布函数确定和模型验证。
首先，需要清晰地定义问题。
明确问题的背景、目标和参数，确定我们希望通过概率模型来解决的具体问题。
接下来，选择适当的随机变量。
随机变量是概率模型的基本元素，它表示问题中的不确定因素。
根据问题的特点和要求，选择合适的随机变量来描述问题的随机性。
确定概率分布函数是概率模型建立的关键一步。
概率分布函数描述了随机变量的取值和其对应的概率。
常见的概率分布函数包括正态分布、泊松分布、二项分布等，根据问题的具体情况选择适当的概率分布函数。
最后，需要验证模型的准确性和可靠性。
通过数据的收集和分析，比较实际观测值与模型预测值的差异，评估模型的拟合程度和表现能力。
如果模型的预测结果与实际情况一致，说明模型具有较好的描述和预测能力。
二、概率模型的应用概率模型在各个领域都有广泛的应用，下面以风险评估为例详细介绍概率模型的应用过程。
在风险评估中，我们希望通过概率模型来预测风险事件发生的可能性和影响程度，从而制定相应的风险管理策略。
首先，我们需要明确问题，比如某个行业的经营风险评估。
然后选择适当的随机变量，比如该行业的利润变动、市场需求变化等。
接下来，确定概率分布函数，比如利润变动可以假设服从正态分布，市场需求变化可以使用泊松分布进行建模。
然后，通过历史数据或专家经验收集相关数据，并进行参数估计。
利用这些数据，我们可以计算各个风险事件发生的概率，以及对应的损失程度。
最后，通过模型的应用，我们可以对未来风险进行预测和评估，并制定相应的风险管理策略。
比如，在预测到某个风险事件发生的概率较高时，可以采取相应的风险控制措施，降低损失的可能性。
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
概率论-古典概率模型
所以
P(e ) 1 ,i 1,2,,n
i
n
若事件 A 包含 k 个基本事件 ,即
A ei1 ei2 eik
则有
P(A) P ei1 P ei2 P eik
k n
A包含的基本事件数 S中的基本事件总数
例1 将一枚硬币抛掷三次.
i 设事件 A1 为 "恰有一次出现正面 " ,求 PA1 . ii 设事件 A2 为 "至少有一次出现正面 " ,求 PA2 .
因为抽取时这些球是完
10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
全平等的，我们没有理由认
为10个球中的某一个会比另
一个更容易取得 . 也就是说，
10个球中的任一个被取出的
机会是相等的，均为1/10.
85 1946 7 2 3 10
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球}
2
P(A)=?
P(A)=1/10
2
1 7
98345106
定义 1 若随机试验满足下述两个条件 (1) 它的样本空间只有有限多个样本点
(2) 每个样本点出现的可能性相同 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
记 B={摸到红球} , P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 动态
当我们要求“摸到红球”的概 率时，只要找出它在静态时相应的 比例.
Ca1 Ca1b
a
a b
（2）作不放回抽样
k个人各人取一只球，每种取法是一个基本事件.
由乘法原理知，k个人各人取一只球有
(a
b)(a
b
1)
(a
b
k
1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《概率论与数理统计》课程时间报告
题目：《非诚勿扰》女生的最优选择问题
学院：经济与管理学院
班级：会计二班
姓名：蔡静静，吴宇平，代学甜，蒋燕，陈阿慧学号：20151016208；20151016075；20151016196；20151016181；20151016183；
指导老师：夏宝飞
《非诚勿扰》女生的最优选择问题
一、研究背景（研究意义是什么）
①人们在生活中常常面临选择，而选择会带来不
同的结果，有些好，有些坏，这时候就需要人们
去估计不同选择的风险与概率，进而做出选择。
而在我们的周围就有一些事情的概率往往呈现
出一个定值，并且这个定值可以用概率论的知识
求出，从而达到方便人们作出更优选择的目的。
②介绍黄金比例以及它在生活中的体现。
黄金比
例是指达芬奇黄金比例，其比值为1：0．618。
0．618被公认为最具有审美意义的比例数字。
它
由古希腊数学家欧多克索斯在公元前4世纪研究
并建立起相关的比例理论。
不仅如此，和黄金比
例相同或相近的事物，往往能给人们带来美的享
受，这也让黄金比例成为美好的代名词，譬如本
次问题中女生找到最心仪男生的概率就为37%，
相当接近于黄金比例。
所以每当我们遇到机遇时，美好的事情发生的比例也极有可能是37%哦。
二、研究内容
1、理论基础（基本知识点）
古典概型、微积分、均匀分布、泊松分布
2、实际应用（建模及数据整理）
策略：总共面试n人，不选择其中
前k人，从第k+1人起，一旦有比前面更优秀的男生，则选择。
问：如何决定k,使选到最中意的男生的概率最大？对于某个固定点值k,能选到最中意男生的总概率为
k i−1=k
n
1
i−1
n
i=k+1
3、解决过程（模型求解）
最中意的男生，我们假如他是一号男生，我们假设一号出现在i的位置，则他出现的概率为1
，这个女生要选到最优秀的男生，则前i−n
1个中最优秀的男生
不能出现在K到i之间，因为出现在k到i 之间的话，这个男生就会被这个女生选走，因为他比前面的都优秀，所以女生就不会等到i这个时候了。
由此得出一个条件，前i−
1个中最优秀的男生只能出现在0到k之间，
本来这个男生的选择是0到i-1，现在我们限。
然后制他出现在0到k之间，则概率为k
i−1
求和，用x 来表示k n 的值，假设n 充分大，则上述公式可近似表示为积分形式:
P(k)=x 1t 1x dt =-x ln x d dx
−x ln x =−1−ln x =0 X=1e ，1e 大约等于37%，即k
n 约等于37%。
它就是大数学家欧拉曾研究过的神秘常数的倒数-----1／e
三、 结论
从本题来看，如果你预计求爱者有n 个人，你应该先拒绝掉前n ／e 个人，静候下一个比这些人都好的人。
假设你一共会遇到大概30个求爱者，就应该拒绝掉前30／e ≈30／
2.718≈11个求爱者，然后从第12个求爱者开始，一旦发现比前面11个求爱者都好的人，就果断接受他。
由于1／e 大约等于37%，因此这条爱情法则也叫37%法则。
四、 心得体会，建议
设女性最为灿烂的青春为18-28岁，在这段时间中将会遇到一生中几乎的追求
者（之前之后的忽略不计），且追求者均匀分布，则女性从18+10／e=21.7即22岁左右开始接受追求，才是明智之举。
这告诉我们，想谈恋爱找大四的。
你肯定不知道这也是个结论。
前面实际只考虑了N个男生表白的先后顺序是完全随机的，并没有考虑相邻两次之间的时间隔。
如果把时间因素也考虑进去的话，在一个相对较短的时间中，可以近似地假设为齐次泊松过程，这样不仅可以得出女生应该选择上面的第M个男生的结论，而且找到男生表白的最佳时间在t=T／e时刻。
例如如果取时间段为大学四年的话，则T／e=1.4715。
也就是说，在大学四年里，男生表白的最佳时刻在第三个学期的期末或寒假。
现在你知道你为什么没有女朋友了吧。
你选对时间了吗？
五、研究中存在的问题，今后改进的方向
37%法则有一个小问题：如果最佳人选本
来就在这37%的人之后，她就再也碰不
上更好的了。
但在游戏过程中，她并不
知道最佳人选已经被拒，因此她会一直痴痴地等待。
也就是说，女生们将会有37%的概率“失败退场”，或者以被迫选择最后一名求爱者的结局而告终。
六、小组分工（注明每人所做的工作）
吴宇平：主要负责研究背景，还有部分研内容的编写，结论，及心得体会，及研究中存在问题等都有涉及。
蔡静静：主要负责研究内容中实际应用以及解决过程的编写。
陈阿慧：主要负责讲台上的宣讲。
代学甜：主要负责小组分工的编写，以及文本内容的补充和参考资料的编写。
蒋燕：主要负责有关PPT的制作。
七、参考资料
对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：A1ÈA2È...ÈAn=A1ÇA2Ç...ÇAn
A1ÇA2Ç...ÇAn=A1ÈA2È...ÈAn
§1.4条件概率与乘法法则
条件概率公式：P(A/B)=P(AB)
P(B)（P(B)≠0）（P(A)≠0）P(B/A)= P(AB)
P(A)
∴P（AB）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）
有时须与P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）中的P（AB）联系解题。
全概率与逆概率公式：
全概率公式：
n
P(B)=
逆概率公式：åP(A)P(B/A)iii=1
P(Ai/B)=P(AiB)P(B) (i=1,2,...,n)对任意两个事件A与B，有
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：
A1ÈA2È...ÈAn=A1ÇA2Ç...ÇAn
A1ÇA2Ç...ÇAn=A1ÈA2È...ÈAn
§1.4条件概率与乘法法则
条件概率公式：P(A/B)=P(AB)
P(B)（P(B)≠0）（P(A)≠0）P(B/A)= P(AB)
P(A)
∴P（AB）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）
有时须与P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）中的P（AB）联系解题。
全概率与逆概率公式：
全概率公式：
n
P(B)=
逆概率公式：åP(A)P(B/A)iii=1
P(Ai/B)=P(AiB)P(B) (i=1,2,...,n) 1、求分布列??确定各种事件?记为写成一行? ?;
?计算各种事件概率?记为p写成第二行。
得到的表即为所求k
的分布列。