高中数学讲义微专题18 利用导数解函数的最值

微专题18 函数的最值

一、基础知识：

1、函数的最大值与最小值：

（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ?∈，使得对x D ?∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值

（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ?∈，使得对x D ?∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点

（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到。()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22

x k k Z π

π=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系

右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，

2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x

（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数

()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．

4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点

5、利用导数求函数的最值步骤:

一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；

（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础

7、在比较的过程中也可简化步骤：

（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域

（2）由最值可构造恒成立的不等式：

例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的

0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-

二、典型例题：

例1：求函数()x

f x xe -=的最值

思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'

1x f

x x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <

()f x ∴的单调区间为：

()()max 1

1f x f e

∴==

，无最小值 小炼有话说：函数()x f x xe -=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。 例2：已知函数()322f x x ax =++,2x =是()f x 的一个极值点，求： （1）实数a 的值

（2）判断()f x 在区间(]1,4-上是否存在最大值和最小值 解：（1）

()'232f x x ax =+ 2x =是()f x 的一个极值点

()'21240f a ∴=+= 3a ∴=-

（2）思路，由第（1）问可得()3

2

32f x x x =-+，进而求出单调区间得到最值

解：()()'

23632f

x x x x x =-=- ,令()'0f x >,解得：10x -<<或24x <<

()f x ∴的单调区间为：

计算()()()()12,02,22,418f f f f -=-==-=

()()max 418f x f ∴== ()()min 22f x f ==

小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管1x =-不在所给区间中，但也需要代入到()f x 中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果()()12f f -<，则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。

例3：已知函数()3

2

6f x ax ax b =-+,是否存在实数,a b ，使得()f x 在[]1,2上取得最大值

4，最小值29?-若存在，求出,a b 的值，若不存在，请说明理由

思路：利用()'f x 求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出,a b

解：()()'231234f x ax ax ax x =-=-， （1）当0a >时，

[]1,2x ∈ 40,0x x ∴-<> ()'0f x ∴<

()f x 在[]1,2单调递减 ()()()()max min 154

319

31629f x f b a a b f x f b a ==-=?=??∴??

?===-=-??? （2）当0a <时，

[]1,2x ∈ 40,0x x ∴-<> ()'0f x ∴>

()f x 在[]1,2单调递增 ()()()()max min

31643441529f x f b a a b f x f b a ==-=?=-??∴???

=-==-=-??? 319a b =?∴?

=?或3

44

a b =-??=-? 小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1） 例4：求函数()322912f x x x x =-+([]1,3x ∈-)的最值

思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较 解：()()

2

2912f x x x x =-+

229120x x -+>恒成立

()()[]()[)

22

2912,0,32912,1,0x x x x f x x x x x ?-+∈?

∴=?--+∈-??

当[]0,3x ∈时，()()()'

22291249612f

x x x x x x x =-++-=--

可得：()f x 在()()0,1,2,3单调递增，在()1,2单调递减

()()()()00,15,39,24f f f f ∴====

∴[]0,3x ∈时,()()min max 0,9f x f x ==

当[)1,0x ∈-时，()()()()'

22291249612f

x x x x x x x =--++-=---

()f x ∴在[)1,0-单调递减，()()max 123f x f ∴=-=- 当0x →时，()0f x →

∴可得函数()f x 的最值为()()max 123f x f =-=-，()()min 00f x f ==

思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。 解：令()322912g x x x x =-+ ()()()'612g x x x ∴=--,[]1,3x ∈- 令()'0g x >，解得:11x -<<或23x <<

()g x ∴的单调区间为：

()()()()123,15,24,39g g g g ∴-=-=== ()g x ∴的值域为[]23,9- ()()f x g x =

()f x ∴的值域为[]0,23 ()max 23f x =-，()min 0f x =

小炼有话说：（1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较

（2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0的点不好确定），也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。

例5：已知函数()x e f x x

=的定义域为()0,+∞，求()f x 在[](),10m m m +>上的最值

思路：()x e f x x =的单调区间可通过导数来确定，()()'

2

1x

x e f x x

-=,1x =是()f x 的极值点，而极值点是否在[],1m m +会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论

解：()

()'

2

1x x e f

x x

-=

，令()'

0f

x >解得1x >

()f x ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增 1x =为()f x 的极小值点

（1）当1m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增

()()()()1

min

max ,11

m m e e f x f m f x f m m m +∴===+=+

（2）当01m <<时，11m +> ()f x ∴在(),1m 单调递减，在()1,1m +单调递增

()()min 1f x f e ∴== ()()(){}max max ,1f x f m f m =+

()()1

,11

m m e e f m f m m m +=+=+

下面比较()(),1f m f m +的大小

若()()11111

m m e e e

f m f m m m m m +<+?

m em m e ?+

- 1

1

m e ∴>

-时，()()1max 11m e f x f m m +=+=+ 当1

1m e =-时，()()()()1max 11m e e f x f m f m e e m -=+===- 当1

01

m e <<-时，()()max m e f x f m m ==

综上所述：1m ≥时，()()()()1

min

max ,11

m m e e f x f m f x f m m m +===+=+

1

11

m e <<-时，()()min 1f x f e ==，()()1max 11m e f x f m m +=+=

+ 11

m e =

-时，()()()()1

max 11e f x f m f m e e -=+==- 1

01

m e <<

-时，()()max m e f x f m m == 例6：已知函数()ln ()m

f x x m R x

=-

∈在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ___________． 思路一： 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()m f x x x '=+．当()0f x '=时，210m

x x

+=，

当0m ≥时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以min ()(1)4f x f m ==-=，4m =-，矛盾舍去；当0m <时，若(0,)x m ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，若(,)x m ∈-+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，

所以()ln()1f m m -=-+为极小值，也是最小值；①当1m -<，即10m -<<

时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以min ()(1)4f x f m ==-=，所以4m =-（矛盾）；②当

m e ->，即m e <-时，()f x 在[1,]e 上单调递减，min ()()14m

f x f e e

==-

=，所以3m e =-．③当1m e -≤-≤，即1e m -≤≤时，()f x 在[1,]e 上的最小值为

()ln()14f m m -=-+=，此时2m e e =-<-（矛盾）

．综上3m e =-． 思路二：()'

221m x m

f

x x x x

+=

+=，令导数()'0f x x m =?=-，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设,1,x m x x e ===分别为函数的最小值点,求出m 后再

检验即可。 答案：3e -

小炼有话说：（1）思路一为传统解法，即考虑函数是否有极值点，以及结合函数单调性分析最小值点的位置，但由于函数()f x 含有参数，导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论，过程较为复杂

（2）思路二的想法源于最值点的出处，即最值点只会在边界点与极值点处产生，而本题中

()f x 的边界点与可能的极值点个数较少，故采取先算再验的手段，方法比较简便。

例7：已知函数()ln f x x x ax =-+在()0,e 上是增函数，函数()22

x

a g x e a =-+.当

[]0,ln 3x ∈时，函数()g x 的最大值M 与最小值m 的差为

3

2

，则a =________. 思路：()g x 含有绝对值，故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值，先利用()f x 的条件确定a 的取值范围，()'

1ln f

x a x =--，由()f x 在()0,e 上是增函数可得对任意的

()0,x e ∈，()'1ln 0f x a x =--≥恒成立 ()max 1ln a x ∴≥+，而1ln 1ln 2x e +<+=，2a ∴≥，

()22

x

a g x e a =-+，绝对值的分界点为0ln x

e a x a -=?=，由2a ≥及定义域[]0,ln 3

需对ln a 是否在区间中进行分类讨论

（1）当3a ≥时，则x

e a < ()2

2

x

a g x a e ∴=-+，可判断出()g x 为减函数

()()2max

012a g x g a ∴==+- ()()2

min ln 332

a g x g a ==+-

()()max min 5

22

g x g x ∴==≠

，故舍去 （2）当23a ≤<时，()22

,0ln 2,ln ln 32

x x a a e x a g x a e a a x ?+-≤≤??=??-+<≤??

[]0,ln x a ∴∈时，()2

02

x

x a e a g x a e ->?=+-单调递减，

()()()()22

min

max ln ,0122

a a g x g a g x g a ∴====+-

当[]ln ,ln 3x a ∈时

()22x

a g x e a =-+单增，()()()()22

min max ln ,ln 3322

a a g x g a g x g a ∴==

==-++。2a ≥，所以223122a a a a -++<+-。所以()22

01,22a a M g a N ==+-=

，从而有3

12

M N a -=-=

，解得52a =。

答案：

5

2

例8：若函数()2

1log 2a f x x ax ??

=-+ ??

?

有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()

()0,11,2

C. (

D. )

+∞

思路：观察到真数部分为开口向上的抛物线，所以若()f x 取到最小值，则底数1a >且 真数

()212t x x ax =-+

取到最小值，而真数部分恒大于零，所以只需()2

12

t x x ax =-+有大于零的最小值即可。()2

22

112242

a a t x x ax x ??=-+=--+ ???，从而()2min 1042a t x =-+>，

解得a <1a >

，所以(a ∈

答案：C

例9：已知()3

3f x x x m =-+在区间[]0,2上任取三个不同的数,,a b c ,均存在以

()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是 .

思路：考虑三角形成立的条件：两条较短的边的和大于第三边，由于,,a b c 任取，

()()(),,f a f b f c 也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形，满足两个条件：① ()()(),,f a f b f c 均大于零，即()min 0f x >，② 极端情形短边均取最小值，和大于第三边

即可。()'233f x x =- 令()'0f x >结合定义域解得：12x <<，故()f x 在()0,1单调减，在()1,2单调增。()()min 12f x f m ==-，()()max 22f x f m ==+，

()222620

m m m m ->+?∴?>?->? 答案：6m >

例10：若函数()3

3f x x x =-在()

2,6a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是( )

A

．()

B

．)

??

C ．[)2,1-

D ．()2,1-

思路：()'

233f

x x =-，令()'01f x x >?>或1x <-，所以()f x 在()(),1,1,-∞-+∞单

调递增，在()1,1-单调递减，1x ∴=为函数的极小值点。因为函数()f x 在()

2,6a a -上有最小值，则函数()f x 的极小值点必在区间()

2,6a a - 内，且左端点的函数值不小于()1f ，

()(

)2

1

1612

a a a a f a f a

[)2,1a ∴∈- 答案：C