1.3三角函数的诱导公式(2)ppt课件
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1.3三角函数的诱导公式(一)2课件人教新课标
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题型二 化简求值问题
【例 2】 (1)计算：cosπ7＋cos27π＋cos37π＋cos47π＋cos57π＋cos67π ＝________； 解析 原式＝cosπ7＋cos27π＋cos37π＋cos(π－37π)＋cos(π－27π) ＋cos(π－π7)＝cosπ7＋cos27π＋cos37π－cos37π－cos27π－cosπ7＝ 0． 答案 0
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【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角 α 是任意角．( ) (2)sin(α－π)＝sin α.( ) (3)cos43π＝－12.( ) 提示 (1)×，正、余弦函数的诱导公式中，α 为任意角，但 是正切函数的诱导公式中，α 的取值必须使公式中角的正切 值有意义． (2)×，sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α． (3)√，cos43π＝cos(π＋π3)＝－cosπ3＝－12．
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(2)化简：cosπs＋inαπ＋coαsc3oπs－－ααta－nππ＋α．
解
原式＝－c－ossαin·α－－cocsoαs·αtan
α＝csoins
α sin α ·cos
αα＝1．
规律方法 三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的情势． ②根据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转 化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
公 sin(－α)＝__－__s_i_n_α___，cos(－α)＝___c_o_s_α____， 式 tan(－α)＝－tan α
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
3
3
3
32
例7：已知cos(π - α) = - 1，求sin(3π + α)的值。
4
2
解： ∵ cos(π - α) = - 1
4
∴ ∵
-cosα = - 1 4
sin( 3π + α)
即cosα
= -cosα
=
1 4
2
∴ sin( 3π + α) = - 1
2
4
课堂小结
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 我们可以用下面一段话来概括公式一～
y
(x, y)
p3 160
200 O
p1 (x, y)
sin 380
sin 20
y
a
2 0
P(x, y)
sin 200
y
a
20A (1,0) sin(20 ) y a
p2 (x, y)
sin160
y
a
利用诱导公式把任意角的三角函数转 化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数
线段为半径作一个圆。
已知任意角α的终边与
这个圆相交于点p(x,y）， 由于角 180°+α 的终边就
是角α的终边的反向延长线，
角180°+α的终边与单位圆 的交于点p'(-x,-y)，又因
p(x,y） -1
1
π
o
1
x
-1 p'(-x,-y）
单位圆的半径 r=1，由正弦
函数和余弦函数的定义得到：
sin y, cos x, tan y ;
设 0°≤α≤90°，对于任意一个 0°到360°的 角β，以下四种情形中有且仅有一种成立。
1.3 三角函数的诱导公式(二)课件(人教A版必修四)
【互动探究】本题1若改为cos21°+cos22°+cos23°+…+
cos288°+cos289°+cos290°，又如何求解呢？
【解题指南】利用sin2α+cos2α=1进行计算.
【解析】cos21°+cos289°=cos21°+sin21°=1, cos22°+cos288°=cos22°+sin22°=1, 即cos2x°+cos2(90°－x°)=cos2x°+sin2x°=1(1≤x≤44, x∈N), 所以原式=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+… +(cos244°+cos246°)+cos290°+cos245°
2
式不变名,而后一套公式必须变名.
【变式训练】化简
tan 3－ 3 3 sin － sin( －) sin( )cos 2 2 2
sin 2－ cos(－
7 ) 2 .
【解析】tan(3π－α)=－tan α，sin(π－α)=sin α，
(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°-α及
-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.
(4)善于发现类似 －与 间的互余关系， －与 2
3 6 3 3
间的互补关系，利用角的变换结合诱导公式做题.
【变式训练】(2013²广东高考)已知 sin( 5 ) 1 ， 那么
1.3 三角函数的诱导公式(二)
诱导公式五、六
1.公式的表达形式
cos
sin
1.3三角函数的诱导公式-课件(人教A版必修4)
堂互动探究
cos 60°)sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
菜单
第24页，共51页。
新课标 ·数学 必修4
学教法分析
思想方法
1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化
为正角的三角函数，若化了以后的正角大于 360°，再利用诱
学方案设计
导公式一，化为 0°到 360°间的角的三角函数．若这时角是
●教学建议
思想方法
1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，
学方案设计因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线 y＝x、
原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路．利
当堂双基
用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐
前自主导学
标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)
菜单
新课标 ·数学 必修4
思想方法
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当堂双基 课时作
学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
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当堂双基 课时作
90°到 180°间的角，再利用 180°－α 的诱导公式化为 0°～90°当堂双基
前自主导学间的角的三角函数；若这时角是 180°～270°间的角，则用 180° ＋α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数；若这时角是
270°～360°间的角，则利用 360°－α 的诱导公式化为 0°～90°
学教法分析
cos 60°)sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
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学教法分析
思想方法
1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化
为正角的三角函数，若化了以后的正角大于 360°，再利用诱
学方案设计
导公式一，化为 0°到 360°间的角的三角函数．若这时角是
●教学建议
思想方法
1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，
学方案设计因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线 y＝x、
原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路．利
当堂双基
用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐
前自主导学
标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)
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当堂双基 课时作
90°到 180°间的角，再利用 180°－α 的诱导公式化为 0°～90°当堂双基
前自主导学间的角的三角函数；若这时角是 180°～270°间的角，则用 180° ＋α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数；若这时角是
270°～360°间的角，则利用 360°－α 的诱导公式化为 0°～90°
学教法分析
1.3三角函数诱导公式(第2课时)精品PPT课件
Sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cosα 2、负角诱导公式
Sin(-α)=- sin α
cos(-α)=cos α 3、四象限诱导公式
Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα
5、三象限诱导公式 Sin(π+α)=sin α cos(π+α)= - cosα
sin
.
y
P(x,y)
P(y,x)
α
2
O
x
y=x
2
2
由公式四和公式五得
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
的正弦 (余2弦)函数值,分别 等于α的余弦(正弦) 函数值,前面加上一 个把α看成锐角时 原函数值的符号.
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式（2）
函数名不变，符号看象限
化简：
cos sin
180 180
sin cos
360 180
．
思考：终边与角α的终边关于直线y=x对称 的角与α有什么关系?它们的三角函数之间 有什么关系? 公式五
sin
2
cos ,
cos
2
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
1.3《三角函数的诱导公式》课件
因 为s in 公 式4 s in 2 2
cos
公 式5 s in
2
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2
诱导公式（六）
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
α k 2π(k Z), α, α π 的三角函数值，等于α 的 同名函数值，前面加上 一 个把α看成锐角时原函 数 值的符号。
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan( 2k ) tan 。
2 2 3 3 cos( ) sin cos( ) sin 2 2 共同点：遇到 / 2 a 时候
函数名改变,函数名前面的+、-符号与前面的括号 里面角在第几象限来确定。
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇偶指的是
k
2 符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)
-1
• 如上图我观察到的东东是如下：
• 第一：ɑ和πɑ的角的终边关于y轴对称
• 第二：所以这两个角的终边与单位圆的焦点 p＇ 和p两个点关于y轴对称
• 第三：这个两个点的横坐标互为相反数，纵坐标 相同
三角函数的诱导公式PPT教学课件
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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讲授新课
思考下列问题一：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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讲授新课
思考下列问题二：
对于任意角 ，sin与 sin( )
2
的关系如何呢？
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讲授新课
3. 诱导公式 (五)
sin(
)
cos
2
cos(
)
sin
2
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讲授新课
4. 诱导公式(五)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作
增大压强,平衡向气态物 质系数减小的方向移动
催化剂 浓度
正催化剂加快反应 速率
反应物浓度越大,反 应速率越大
催化剂对平衡无影响
增大反应物浓度,平 衡正向移动
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【交流·研讨】 书P65
合成氨反应是一个可逆反应: N2(g)+3H2(g)
已知298K时: △H= -92.2KJ·mol-1 △S = -198.2J·K-1·mol-1
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复习回顾
诱导公式(四)
sin(－)=sin cos( －)=－cos tan (－)=－tan
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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思考下列问题一：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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思考下列问题二：
对于任意角 ，sin与 sin( )
2
的关系如何呢？
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3. 诱导公式 (五)
sin(
)
cos
2
cos(
)
sin
2
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4. 诱导公式(五)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作
增大压强,平衡向气态物 质系数减小的方向移动
催化剂 浓度
正催化剂加快反应 速率
反应物浓度越大,反 应速率越大
催化剂对平衡无影响
增大反应物浓度,平 衡正向移动
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合成氨反应是一个可逆反应: N2(g)+3H2(g)
已知298K时: △H= -92.2KJ·mol-1 △S = -198.2J·K-1·mol-1
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复习回顾
诱导公式(四)
sin(－)=sin cos( －)=－cos tan (－)=－tan
1.3三角函数的诱导公式2课件人教新课标
11
2
sin
9
2
.
原式=
sin
cos
sin
cos
5
2
=
cos sin
sin2 cos
cos
sin
2
=
sin 4 sin
2
tan
cos
sin
sin
sin
2
cos
填表:
α
4
5
5
7
8
11
3
4
3
4
3
4
sinα
3
2
3
2
2
2
cosα
1 2
2 2
1 2
2 3 2
填在题中横线上
1 cos 13 __co_s_94__;
9
2sin 1 __s_i_n_1_;
3
sin
5
sin
_____5_;
4 cos 70 6 c_o_s_7_0_1_6.
利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面或一
α P(y,x)
2
O
x
y=x
2
2
由公式四同公式五得
公式六
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
公式五 公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin.
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
的正弦
2
(余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号.
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0 巩固练习:
1 已知sin(/4+)=1/2,则sin(3/4-)的 值是 1/2 。
2 cos(-8/3)+cos(+13/3)= 0 .
2020/4/16
.
14
.
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
.
2
公式三：
sin( ) sin cos(a) cos tan( ) tan
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
α+2kπ( k∈Z),-α,π±α的三角函数于α的
同名三角函数值,前面加上一个把α看成一角时,
原函数所在象限的符号
2020/4/16
.
s
i
n
(π 2
α
)
c
o
s
α
,
c o s (π 2
α
)
sinα
.
π/2±α的三角函数值等于α的余函数 (正弦函数与余弦函数互为余函数)值,前面 加上把α看成是锐角时原函数所在象限的 符号.
2020/4/16
.
8
1.5
P1 1
0.5
O -1 M1
-0.5
-1
-1.5
P T
M1 A
利用单位圆和三 角函数的定义也 可以得到公式(六)
2020/4/16
.
5
3.已 知 sin(3πθ ) lg 1 , 3 10
求
cos(πθ )
cosθcos πθ
1
cos(θ 2π )
的值.
cosθ cos πθ cos(θ 2π )
18
2020/4/16
.
6
下面我们来研究α与π/2－α的三角函数
值之间的关系
设α是锐角,它的终边
1.5
与单位圆的交点为
-tanα
2020/4/16
.
11
课堂小结: 1、诱导公式：(公式一到六)
口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：
k （kZ）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上
一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上
一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
3
巩固练习: 化归:负化正,大化小.
1.求下列三角函数的值
(1)sin(-12000)
(2)cos(47/6)π
(3)cos(π/5)+cos(2π/5)+cos(3π/5)+cos(4π/5)
(4)sin(12000)·cos(12900)+cos(-
10200)·sin(-10500)+tan9450
2020/4/16
.
9
例题选讲
例1、求证：（1）sin(32πα)cosα; (2)cos(32πα)sinα.
π/2±α,3π/2±α的三角函数值等于α的 余函数(正弦函数与余弦函数互为余函数)值, 前面加上把α看成是锐角时原函数所在象限 的符号.
2020/4/16
.
10
例2.化简
scionsπ 2π α α sicnos3π πα αcsoisnπ 2π α α csoisn19122π πα α.
三角函数的诱导公式(2)
2020/4/16
.
1
复习提问:
公式一：
sin(α+k·360°) = sinα cos(α+k·360°) = cosα tan(α+k·360°) = tanα
公式二：
2020/4/16
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
2020/4/16
.
12
2、求任意角的三角函数值的步骤：
任意角的三角函数 相应正角的三角函数
思想: 化归
2k(kZ)
0 : 2 角的三角函数
、2
方法:负变正,大变小.
、3
2
2
锐角的三角函数
查表
三角函数值
2020/4/16
.
13
例3:已知cos (750+)=1/3, 求cos(1050-)+cos(2850-)
P1
1
0.5
O
-1
P T
M1 A
P(x,y),则π/2－α的终
边与单位圆的交点为
P1(y,x),由三角函数的 定义知:
-0.5
Sin(π/2－α)=x
-1
2020/4/16
Cos(π/2－α)=y
.
7
由此可得到公式五:
s i n (π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
)
cosα
,
c o s (π 2
α
)
sinα
.
由公式二与五可得公式六:
(1 ) 3 2 2020/4/16
3 (2 )
2.
(3)0
(4)1/2
4
2。 化 简 ： cos(180o)sin(360o) sin(180o)cos(180o)
解 :原式 si1 n 8 c ( 0 o )c ssi o 1 ns 8 ( 0 )
cossin sin(cos)
1
1 已知sin(/4+)=1/2,则sin(3/4-)的 值是 1/2 。
2 cos(-8/3)+cos(+13/3)= 0 .
2020/4/16
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2
公式三：
sin( ) sin cos(a) cos tan( ) tan
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
α+2kπ( k∈Z),-α,π±α的三角函数于α的
同名三角函数值,前面加上一个把α看成一角时,
原函数所在象限的符号
2020/4/16
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s
i
n
(π 2
α
)
c
o
s
α
,
c o s (π 2
α
)
sinα
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π/2±α的三角函数值等于α的余函数 (正弦函数与余弦函数互为余函数)值,前面 加上把α看成是锐角时原函数所在象限的 符号.
2020/4/16
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1.5
P1 1
0.5
O -1 M1
-0.5
-1
-1.5
P T
M1 A
利用单位圆和三 角函数的定义也 可以得到公式(六)
2020/4/16
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5
3.已 知 sin(3πθ ) lg 1 , 3 10
求
cos(πθ )
cosθcos πθ
1
cos(θ 2π )
的值.
cosθ cos πθ cos(θ 2π )
18
2020/4/16
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6
下面我们来研究α与π/2－α的三角函数
值之间的关系
设α是锐角,它的终边
1.5
与单位圆的交点为
-tanα
2020/4/16
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课堂小结: 1、诱导公式：(公式一到六)
口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：
k （kZ）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上
一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上
一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
3
巩固练习: 化归:负化正,大化小.
1.求下列三角函数的值
(1)sin(-12000)
(2)cos(47/6)π
(3)cos(π/5)+cos(2π/5)+cos(3π/5)+cos(4π/5)
(4)sin(12000)·cos(12900)+cos(-
10200)·sin(-10500)+tan9450
2020/4/16
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例题选讲
例1、求证：（1）sin(32πα)cosα; (2)cos(32πα)sinα.
π/2±α,3π/2±α的三角函数值等于α的 余函数(正弦函数与余弦函数互为余函数)值, 前面加上把α看成是锐角时原函数所在象限 的符号.
2020/4/16
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例2.化简
scionsπ 2π α α sicnos3π πα αcsoisnπ 2π α α csoisn19122π πα α.
三角函数的诱导公式(2)
2020/4/16
.
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复习提问:
公式一：
sin(α+k·360°) = sinα cos(α+k·360°) = cosα tan(α+k·360°) = tanα
公式二：
2020/4/16
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
2020/4/16
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2、求任意角的三角函数值的步骤：
任意角的三角函数 相应正角的三角函数
思想: 化归
2k(kZ)
0 : 2 角的三角函数
、2
方法:负变正,大变小.
、3
2
2
锐角的三角函数
查表
三角函数值
2020/4/16
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例3:已知cos (750+)=1/3, 求cos(1050-)+cos(2850-)
P1
1
0.5
O
-1
P T
M1 A
P(x,y),则π/2－α的终
边与单位圆的交点为
P1(y,x),由三角函数的 定义知:
-0.5
Sin(π/2－α)=x
-1
2020/4/16
Cos(π/2－α)=y
.
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由此可得到公式五:
s i n (π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
)
cosα
,
c o s (π 2
α
)
sinα
.
由公式二与五可得公式六:
(1 ) 3 2 2020/4/16
3 (2 )
2.
(3)0
(4)1/2
4
2。 化 简 ： cos(180o)sin(360o) sin(180o)cos(180o)
解 :原式 si1 n 8 c ( 0 o )c ssi o 1 ns 8 ( 0 )
cossin sin(cos)
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