专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案十年高考数学(理科)真题题型分类汇编

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高考历年真题分类解析之第九章直线和圆(理)

第九章直线和圆考点1 直线与方程1．（2018北京，7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为( )A．1 B．2C．3 D．41.C ， P为单位圆上一点，而直线过点A （2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.2.(2014·四川，14)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.2.5 [易求定点A(0，0)，B(1，3).当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.]3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b 的值是________.3.－3 [由曲线y＝ax2＋bx过点P(2，－5)可得－5＝4a＋b2(1).又y′＝2ax－bx2，所以在点P处的切线斜率4a－b4＝－72(2).由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.]考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系1．（2018全国Ⅲ，6）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )A．， B．， C．， D．， 1.A 直线分别与轴，轴交于，两点，,则，点P在圆（）上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离.故点P到直线的距离的范围为.则,故选A.2．（2018江苏，12）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．2.3 设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以3.(2016·全国Ⅱ,4)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1,则a＝( )A.－43B.－34C.3D.23.A [由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d＝|1×a＋4－1|1＋a2＝1,解之得a＝－43.]4.(2015·广东,5)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )A.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝04.D [设所求切线方程为2x＋y＋c＝0,依题有|0＋0＋c|22＋12＝5,解得c＝±5,所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0,故选D.]5.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M、N 两点,则|MN|＝( )A.2 6B.8C.4 6D.105.C [由已知,得AB→＝(3,-1),BC→＝(-3,-9),则AB→·BC→＝3×(-3)＋(-1)×(-9)＝0,所以AB→⊥BC→,即AB⊥BC,故过三点A、B、C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2＋(y+2)2＝25,令x＝0得(y＋2)2＝24,解得y1＝－2－26,y2＝－2＋26,所以|MN|＝|y1－y2|＝46,选C.]6.(2015·重庆,8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴,过点A(－4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|＝( )A.2B.4 2C.6D.2106.C [圆C的标准方程为(x-2)2＋(y-1)2＝4,圆心为C(2,1),半径为r＝2,因此2＋a×1-1＝0,a＝-1,即A(-4,-1),|AB|＝|AC|2－r2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6,选C.]7.(2015·山东,9)一条光线从点(－2,－3)射出,经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－347.D [圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(-3,2),半径r＝1.(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k存在,∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x-2),即kx-y-2k－3＝0.∵反射光线与已知圆相切,∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43.]8.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C.(6－25)π D.54π 8.A [由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ,要使圆C 的面积最小,只需圆C 的半径或直径最小.又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离,此时2r ＝45,得r ＝25,圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝45π.]9.（2017•江苏,13）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．9. [-5，1] 根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，=（﹣12﹣x 0 ， ﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20，化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5，1]．10.(2016·全国Ⅲ,16)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ,B 两点,过A ,B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,若|AB |＝23,则|CD |＝________.10.4 [设AB 的中点为M ,由题意知,圆的半径R ＝23,AB ＝23,所以OM ＝3,解得m ＝－33,由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3,3),B (0,23),则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3),BD 的直线方程为y －23＝－3x ,令y ＝0,解得C (－2,0),D (2,0),所以|CD |＝4.]11.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,－2)三点,(4,0),(0,－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2),令y ＝0,解得x ＝32,圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0,半径为52.故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]12.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________. 12.(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2,－1),由题意,得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]13.(2014·陕西,12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称,则圆C 的标准方程为____________.13.x 2＋(y －1)2＝1 [因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称点的坐标为(0,1),即圆心C 为(0,1),又半径为1,∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.]14.(2014·湖北,12)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧,则a 2＋b 2＝____________. 14.2 [由题意得,直线l 1截圆所得的劣弧长为π2,则圆心到直线l 1的距离为22,即|a |2＝22⇒a 2＝1,同理可得b 2＝1,则a 2＋b 2＝2.]15.(2014·重庆,13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a ＝________.15.4±15 [依题意,圆C 的半径是2,圆心C (1,a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3,于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3,即a 2－8a ＋1＝0,解得a ＝4±15.]16.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy 中,直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 16.2555 [因为圆心(2,－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35,所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555.]17.(2014·新课标全国Ⅱ,16)设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是________.17.[－1,1] [由题意可知M 在直线y ＝1上运动,设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1).当x 0＝0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求；当x 0≠0时,过M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN ＝45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP ＝45°时,有x 0＝±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[－1,1].]18．（2018全国Ⅱ，19）设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．18.（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得，或，因此所求圆的方程为或．19.（2017•新课标Ⅲ,20）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．19.方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1， y1），B（x2，y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，由•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则y1y2=﹣4，则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，则M（，﹣），半径为r=丨MP丨= = ，∴圆M 的方程（x ﹣ ）2+（y+ ）2=．当直线斜率k=1时，直线l 的方程为y=x ﹣2，同理求得M （3，1），则半径为r=丨MP 丨= ，∴圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=10，综上可知：直线l 的方程为y=﹣2x+4，圆M 的方程（x ﹣ ）2+（y+ ）2=或直线l 的方程为y=x ﹣2，圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=10．20.(2016·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x ＝6上,求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点,且BC ＝OA ,求直线l 的方程； (3)设点T (t ,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA →＋TP →＝TQ →,求实数t 的取值范围.20.解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25,圆心M (6,7),半径r ＝5,由题意,设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0).且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1,∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2,∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ,即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意,圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25,解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3)由TA →＋TP →＝TQ →,则四边形AQPT 为平行四边形,又∵P 、Q 为圆M 上的两点,∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10,即（t －2）2＋42≤10, 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221,2＋221].21.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ,B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ,使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围；若不存在,说明理由.21.解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.∴圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎨⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0,则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ,B 两点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝6k 2＋1. ⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94,53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0.令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34.又∵轨迹C (即圆弧)的端点⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±253与点(4,0)决定的直线斜率为±257. ∴当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时,k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－34，34.。

历届高考数学真题汇编专题9_直线和圆_理(2000-2006)

【2006（高|考）试题】一、选择题 (共17题 )1． (安徽卷 )如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最|大值为A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0 , -1)时 ,t 最|大 ,应选B .2． (安徽卷 )直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点 ,那么a 的取值范围是A ．(0,21)-B ．(21,21)-+C ．(21,21)--+D ．(0,21)+ 解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ,且0a > ,选A .4． (广东卷 )在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下 ,当35x ≤≤时 ,目标函数32z x y =+的最|大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y sx x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '-- ,(1 )当43<≤s 时可行域是四边形OABC ,此时 ,87≤≤z (2 )当54≤≤s 时可行域xyx y s+=24y x =O是△OA C '此时 ,8max =z ,应选D.5． (湖北卷 )平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成 .假设在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最|小值 ,那么m =A ．－2B ．－1C ．1D ．46． (湖南卷 )假设圆2244100x y x y +---=上至|少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为22,那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππ D.[0,]2π 7． (湖南卷 )圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最|大距离与最|小距离的差是A ．36 B. 18 C. 26 D. 25 解析：圆0104422=---+y x y x 的圆心为(2 ,2) ,半径为32 ,圆心到直线014=-+y x 的2522 ,圆上的点到直线的最|大距离与最|小距离的差是2R =62 ,选C.8． (江苏卷 )圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是 (A )x －y ＝0 (B )x ＋y ＝0 (C )x ＝0 (D )y ＝0 解析：直线ax +by =022(1)(3)1x y -+=与相切 ,|3|12a b -= ,由排除法 , 选C,此题也可数形结合 ,画出他们的图象自然会选C,用图象法解最|省事 .9． (全国卷I )从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线 ,那么两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35 C ．32D ．0 解析：圆222210x x y y -+-+=的圆心为M(1 ,1) ,半径为1 ,从外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线 ,那么点P 到圆心M 的距离等于5 ,每条切线与PM 的夹角的正切值等于21,所以两切线夹角的正切值为1242tan 1314θ⋅==- ,该角的余弦值等于35 ,选B. 11． (山东卷 )x 和y 是正整数 ,且满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤÷.72,2,10x y x y x 那么x －2x ÷3y 的最|小值是(A)24 (B)14 (C)13 解：画出可域：如下图易得B 点坐标为 (6 ,4 )且当直线z ＝2x ＋3y 过点B 时z 取最|大值 ,此时z ＝24 ,点C 的坐标为 ( , ) ,过点C 时取得最|小值 , 但x ,y 都是整数 ,最|接近的整数解为 (4 ,2 ) , 故所求的最|小值为14 ,选B12．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,那么a 的值为( ) A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4解析：设直线过点(0 ,a ) ,其斜率为1 , 且与圆x 2 +y 2=2相切 ,设直线方程为y x a =+ ,圆心(0 ,0)道直线的距离等于半径2 ,∴22= ,∴ a 的值±2 ,选B ． 13． (四川卷 )某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为1a 、1b 千克 ,生产乙xy2x ＋3y ＝0x ＋y ＝102x ＝7x －y ＝2BAOC产品每千克需用原料A 和原料B 分别为2a 、2b 千克 .甲、乙产品每千克可获利润分别为1d 、2d 元 .月初一次性购进本月用原料A 、B 各1c 、2c 千克 .要方案本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额到达最|大 .在这个问题中 ,设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克 ,月利润总额为z 元 ,那么 ,用于求使总利润12z d x d y =+最|大的数学模型中 ,约束条件为(A )12112200a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ (B )11122200a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ (C )12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ (D )12112200a x a y c b x b y c x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩14． (天津卷 )设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ,那么目标函数y x z +=2的最|小值为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：设变量x 、y 满足约束条件2,36y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩在坐标系中画出可行域△ABC ,A(2 ,0) ,B(1 ,1) ,C(3 ,3) ,那么目标函数2z x y =+的最|小值为3 ,选B.15． (浙江卷 )在平面直角坐标系中 ,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是(A)24 (B)4 (C) 22 (D)2 【考点分析】此题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积解析：由题知可行域为ABC ∆ , 42204=⨯-=∆ABC S ,应选择B .CB AOyx()4,2A ()0,2B()2,0C 2=x16．(重庆卷)过坐标原点且与x 2 +y 2 +4x +2y +25=0相切的直线的方程为 (A )y = -3x 或y =31x (B) y = -3x 或y = -31x (C )y = -3x 或y = -31x (B) y =3x 或y =31x 17．(重庆卷)以点 (2 ,－1 )为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为(A )22(2)(1)3x y -++= (B )22(2)(1)3x y ++-= (C )22(2)(1)9x y -++= (D )22(2)(1)3x y ++-= 解：r 2234＋＝3 ,应选C二、填空题 (共18题 )18． (北京卷 )点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,点O 为坐标原点 ,那么||PO 的最|小值等于_______,最|大值等于____________.解：画出可行域 ,如下图：易得A (2 ,2 ) ,OA ＝22B (1 ,3 ) ,OB 102故|OP|的最|10最|219． (福建卷 )实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩那么2x y +的最|大值是＿＿＿＿ .解析：实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩在坐标系中画出可行域 ,三个顶点分别是A(0 ,1) ,B(1 ,0) ,C(2 ,1) ,∴ 2x y +的最|大值是4.20． (湖北卷 )直线5120x y a -+=与圆2220x x y -+=相切 ,那么a 的值xyA BOC 11C BA Oyx为 .解：圆的方程可化为22(1)1x y -+= ,所以圆心坐标为 (1 ,0 ) ,半径为1 ,由可得|5|1|5|1313a a +=⇒+= ,所以a 的值为－18或8 . 21． (湖北卷 )假设直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点 ,那么k 的取值范围是 .解：由直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交 ,故圆心到直线的距离小于圆的半径 ,即2|232|1k k -++<1 ,解得k ∈(0 ,34) 24． (江西卷 )圆M ： (x ＋cos θ )2＋ (y －sin θ )2＝1 ,直线l ：y ＝kx ,下面四个命题：（A ）对任意实数k 与θ ,直线l 和圆M 相切；（B ）对任意实数k 与θ ,直线l 和圆M 有公共点；（C ）对任意实数θ ,必存在实数k ,使得直线l 与和圆M 相切(D )对任意实数k ,必存在实数θ ,使得直线l 与和圆M 相切其中真命题的代号是______________ (写出所有真命题的代号 )解：选 (B ) (D )圆心坐标为 (－cos θ ,sin θ ) ,d ＝yxOCBA222|k cos sin |1k |sin |1k 1k |sin |1θθθϕθϕ≤－－＋（＋）＝＋＋＝（＋）25． (全国卷I )设2z y x =- ,式中变量x y 、满足以下条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-1232312y y x y x ,那么z 的最|大值为_____________ .26． (全国II )过点 (1 , 2 )的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧 ,当劣弧所对的圆心角最|小时 ,直线l 的斜率k ＝．解析(数形结合)由图形可知点A 2)在圆22(2)4x y -+=的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最|小,只能是直线l OA ⊥,所以1222l OA k k =-==- 27．(上海卷)圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ,那么点P 到直线x －y －1＝0的距离是．解：由得圆心为：(2,0)P ,由点到直线距离公式得：2211d +； 28．(上海卷)两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=假设12//l l ,那么a =____. 解：两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=假设12//l l ,233a -=- ,那么a =2. 29．(上海卷)实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ,那么2y x -的最|大值是_________.解析：实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ,在坐标系中画出可行域 ,得三个交点为A(3 ,0)、B(5 ,0)、C(1 ,2) ,那么2y x -的最|大值是0.CBAOyx30． (四川卷 )设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩ ,那么2z x y =-的最|小值为 ;31． (天津卷 )设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点 ,且弦AB 的长为23 ,那么a =____________．解析：设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点 ,且弦AB 的长为23 ,那么圆心(1 ,2)到直线的距离等于1 ,2|23|11a a -+=+ ,a =0．32． (天津卷 )假设半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线3(0)3y x x =≥相切 ,那么这个圆的方程为．33．(重庆卷)变量x ,y 满足约束条件1≤x +y ≤4, -2≤x -y ≤2.假设目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最|大值 ,那么a 的取值范围为___________.解析：变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域 ,如图为四边形ABCD ,其中A(3 ,1) ,1,1AD AB k k ==- ,目标函数z ax y =+ (其中0a > )中的z 表示斜率为－a 的直线系中的截距的大小 ,假设仅在点()3,1处取得最|大值 ,那么斜率应小于1AB k =- ,即1a -<- ,所以a 的取值范围为(1 , +∞) .D CBA-2-143214321O y x34．(重庆卷)变量x ,y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩ .假设目标函数z ax y =+ (其中0a > )仅在点(3,0)处取得最|大值 ,那么a 的取值范围为 .解：画出可行域如下图 ,其中B (3 ,0 ) ,C (1 ,1 ) ,D (0 ,1 ) ,假设目标函数z ax y =+取得最|大值 ,必在B ,C ,D 三点处取得 ,故有3a >a ＋1且3a >1 ,解得a >1235． (上海春 )圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 假设圆C 与直线l 没有公共点 ,那么r 的取值范围是 .解：由题意知 ,圆心( -5,0) 到直线 l:3x +y +5 =0 的距离 d 必须小于圆的半径 r ．因为,所以．从而应填．【2005（高|考）试题】一、选择题1． (江西卷 )在△OAB 中 ,O 为坐标原点 ,]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ,那么当△OAB 的面积达最|大值时 ,=θ( D )A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 2． (江西卷 ) "a =b 〞是 "直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切〞的 (A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. (重庆卷)圆(x 2)2y 25关于原点(0,0)对称的圆的方程为(A )(A) (x 2)2y 25；(B) x 2(y 2)25；(C) (x 2)2(y2)25；(D) x 2(y 2)25 .4 (浙江)点(1 ,－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( D ) (A)21 (B) 32 (C) 22(D)322 xyx ＋2y －3＝0x ＋3y －3＝0y －1＝0DBCO5．(浙江)设集合A ＝{(x ,y )|x ,y ,1－x －y 是三角形的三边长} ,那么A 所表示的平面区域(不含边界的阴影局部)是( A )5. (天津卷 )将直线2x －y ＋λ＝0 ,沿x 轴向左平移1个单位 ,所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y =0相切 ,那么实数λ的值为A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或116. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上 ,不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为 (C) (A )2(B )23 (C )223 (D )27. (全国卷Ⅰ)设直线l 过点)0,2(- ,且与圆122=+y x 相切 ,那么l 的斜率是 (D ) (A )1±(B )21±(C )33±(D )3±8. (全国卷I)直线l 过点），（02- ,当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时 ,其斜率k的取值范围是 (B )(A )），（2222-(B )），（22-(C )），（4242-(D )），（8181-9. (全国卷III)过点A( -2 ,m)和B(m ,4)的直线与直线2x +y -1 =0平行 ,那么m 的值为 (B )(A )0 (B ) -8 (C )2 (D )1010 (北京卷 )从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27 =0作两条切线 ,那么该圆夹在两条切线间的劣弧长为(B )(A )π (B )2π (C )4π (D )6π11 (辽宁卷 )假设直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切 ,那么c 的值为 ( A )A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－812. (湖南卷 )设直线的方程是0=+By Ax ,从1 ,2 ,3 ,4 ,5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值 ,那么所得不同直线的条数是(C )A ．20B ．19C ．18D ．16 13. (湖南卷 )点P (x ,y )在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动 ,那么z＝x －y 的取值范围是 ( C )A ．[－2 ,－1]B ．[－2 ,1]C ．[－1 ,2]D ．[1 ,2]14. (北京卷 ) "m =21〞是 "直线(m +2)x +3my +1 =0与直线(m －2)x +(m +2)y －3 =0相互垂直〞的(B )(A )充分必要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件解答题1. (江苏卷 ) 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2 =4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点 ) ,使得2PM PN =试建立适当的坐标系 ,并求动点 P 的轨迹方程.2.(广东卷)在平面直角坐标系中 ,矩形ＡＢＣＤ的长为２ ,宽为１ ,ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上 ,Ａ点与坐标原点重合 (如图５所示 )．将矩形折叠 ,使Ａ点落在线段ＤＣ上．(Ⅰ )假设折痕所在直线的斜率为ｋ ,试写出折痕所在直线的方程； (Ⅱ )求折痕的长的最|大值．(II )(1)当0≠k 时 ,折痕的长为2;(1) 当0≠k 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(),21,0(22kk P k N +-+23222224)1()21()21(k k k k k PN y +=+-++==432222/168)1(42)1(3k kk k k k y ⋅+-⋅⋅+=令0/=y 解得22-=k ∴21627max <=PN 所以折痕的长度的最|大值2【2004（高|考）试题】O(A)BCDXY1. (北京 )假设直线mx ny +-=30与圆x y 223+=没有公共点 ,那么m ,n 满足的关系式为0322<+<m n ；以 (m ,n )为点P 的坐标 ,过点P 的一条直线与椭圆的公共点有2个【2003（高|考）试题】一、选择题1. (2003北京春文12 ,理10 )直线ax +by +c =0 (abc ≠0 )与圆x 2+y 2=1相切 ,那么三条边长分别为|a | ,|b | ,|c |的三角形 ( )A.是锐角三角形B.是直角三角形2. (2003北京春理 ,12 )在直角坐标系xOy 中 ,△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0 ,y =0 ,2x +3y =30 ,那么△AOB 内部和边上整点 (即横、纵坐标均为整数的点 )的总数是 ( )A.95B.913. (2002京皖春文 ,8 )到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ( ) A.x －y =0B.x +y =0C.|x |－y =0D.|x |－|y | =04. (2002京皖春理 ,8 )圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0 (θ∈R,θ≠2π＋k π ,k∈Z )的位置关系是 ( )A.相交B.相切C.相离5. (2002全国文 )假设直线 (1 +a )x +y +1 =0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切 ,那么a 的值为 ( )A.1 ,－1B.2 ,－2D.－16. (2002全国理 )圆 (x －1 )2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是 ( ) A.21B.23D.37. (2002北京 ,2 )在平面直角坐标系中 ,两点A (co s 80°,sin80° ),B (co s 20° ,sin20° ) ,那么|AB |的值是 ( )A.21B.22 C.23 8. (2002北京文 ,6 )假设直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第|一象限 ,那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A.)3,6[ππB.)2,6(ππ C.)2,3(ππD.]2,6[ππ 9. (2002北京理 ,6 )给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25 ,②4922y x +＝1 ,③x 2＋42y ＝1 ,④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5 =0仅有一个交点的曲线是 ( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10. (2001全国文 ,2 )过点A (1 ,－1 )、B (－1 ,1 )且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( )A. (x －3 )2＋ (y ＋1 )2＝4 B. (x ＋3 )2＋ (y －1 )2＝4 C. (x －1 )2＋ (y －1 )2＝4D. (x ＋1 )2＋ (y ＋1 )2＝411. (2001上海春 ,14 )假设直线x =1的倾斜角为α ,那么α ( )4π2π12. (2001天津理 ,6 )设A 、B 是x 轴上的两点 ,点P 的横坐标为2且|PA | =|PB | ,假设直线PA 的方程为x －y +1 =0 ,那么直线PB 的方程是 ( )A.x +yx －y －1 =0y －xx +y －7 =013. (2001京皖春 ,6 )设动点P 在直线x =1上 ,O 为坐标原点．以OP 为直角边 ,点O为直角顶点作等腰Rt △OP Q ,那么动点Q 的轨迹是 ( )A.圆B.两条平行直线14. (2000京皖春 ,4 )以下方程的曲线关于x =y 对称的是 ( ) A.x 2－x ＋y 2＝1 B.x 2y ＋xy 2＝1 C.x －y =1D.x 2－y 2＝115. (2000京皖春 ,6 )直线 (23- )x +y =3和直线x + (32- )y =2的位置关系是 ( )A.相交不垂直B.垂直16. (2000全国 ,10 )过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切 ,假设切点在第三象限 ,那么该直线的方程是 ( )A.y =3xB.y =－3xC.y =33xD.y =－33x 17. (2000全国文 ,8 )两条直线l 1：y =x ,l 2：ax －y =0 ,其中a 为实数 ,当这两条直线的夹角在 (0 ,12π)内变动时 ,a 的取值范围是 ( ) A. (0 ,1 )B. (3,33) C. (33,1 )∪ (1 ,3 ) D. (1 ,3 )18. (1999全国文 ,6 )曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于 ( )x =2y =－x 轴对称C.点 (－2 ,2 )中|心对称D.点 (－2 ,0 )中|心对称19. (1999上海 ,13 )直线y =33x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆 (x －2 )2+y 2=3的位置关系是 ( ) A.直线过圆心B.直线与圆相交 ,但不过圆心20. (1999全国 ,9 )直线3x +y －23 =0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为( )A.6π B.4πC ．3πD.2π 21. (1998全国 ,4 )两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ,A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是 ( )A.A 1A 2＋B 1B 2＝0B.A 1A 2－B 1B 2＝0C.12121-=B B A AD.2121A A B B =1 22. (1998上海 )设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长 ,那么直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是 ( )A.平行B.重合C.垂直23. (1998全国文 ,3 )直线x =a (a >0 )和圆 (x －1 )2+y 2=4相切 ,那么a 的值是 ( ) A.5B.4C.324. (1997全国 ,2 )如果直线ax +2y +2 =0与直线3x －y －2 =0平行 ,那么系数a 等于 ( )A.－3B.－6C.－23D.32 25. (1997全国文 ,9 )如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分 ,且不通过第四象限 ,那么直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.［0 ,2］B.［0 ,1］C.［0 ,21］D.［0 ,21 ) 26. (1995上海 ,8 )以下四个命题中的真命题是 ( )P 0 (x 0 ,y 0 )的直线都可以用方程y －y 0 =k (x －x 0 )表示P 1 (x 1 ,y 1 )、P 2 (x 2 ,y 2 )的直线都可以用方程 (y －y 1 )· (x 2－x 1 ) = (x －x 1 ) (y 2－y 1 )表示1=+bya x 表示 A (0 ,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示27. (1995全国文 ,8 )圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是 ( )28. (1995全国 ,5 )图7 -1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3 ,那么 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2图7 -1C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 229. (1994全国文 ,3 )点 (0 ,5 )到直线y =2x 的距离是 ( ) A.25B.5 C.23D.25 二、填空题30. (2003上海春 ,2 )直线y =1与直线y =3x +3的夹角为_____.31. (2003上海春 ,7 )假设经过两点A (－1 ,0 )、B (0 ,2 )的直线l 与圆 (x －1 )2+ (y －a )2=1相切 ,那么a =_____.32. (2002北京文 ,16 )圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最|小值为．33. (2002北京理 ,16 )P 是直线3x +4y +8 =0上的动点 ,PA ,PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线 ,A 、B 是切点 ,C 是圆心 ,那么四边形PACB 面积的最|小值为．34. (2002上海文 ,6 )圆x 2＋ (y －1 )2＝1的圆外一点P (－2 ,0 ) ,过点P 作圆的切线 ,那么两条切线夹角的正切值是．35. (2002上海理 ,6 )圆 (x ＋1 )2＋y 2＝1和圆外一点P (0 ,2 ) ,过点P 作圆的切线 ,那么两条切线夹角的正切值是．36. (2002上海春 ,8 )设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1 (x ,y )＝0和F 2 (x ,y )＝0 ,那么点P (a ,b ) C 1∩C 2的一个充分条件为．37. (2001上海 ,11 )两个圆：x 2＋y 2＝1①与x 2＋ (y －3 )2＝1② ,那么由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广 ,即要求得到一个更一般的命题 ,而命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：38. (2001上海春 ,6 )圆心在直线y =x 上且与x 轴相切于点 (1 ,0 )的圆的方程为 .39. (2000上海春 ,11 )集合A ＝｛ (x ,y )|x 2＋y 2＝4｝ ,B ＝｛ (x ,y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝ ,其中r ＞0 ,假设A ∩B 中有且仅有一个元素 ,那么r 的值是_____.40. (1997上海 )设圆x 2+y 2－4x －5 =0的弦AB 的中点为P (3 ,1 ) ,那么直线AB 的方程是 .41. (1994上海 )以点C (－2 ,3 )为圆心且与y 轴相切的圆的方程是 . 三、解答题42. (2003京春文 ,20 )设A (－c ,0 ) ,B (c ,0 ) (c >0 )为两定点 ,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0 ) ,求P 点的轨迹.43. (2003京春理 ,22 )动圆过定点P (1 ,0 ) ,且与定直线l ：x =－1相切 ,点C 在l上.(Ⅰ )求动圆圆心的轨迹M 的方程； (Ⅱ )设过点P ,且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.(i )问：△ABC 能否为正三角形 ?假设能 ,求点C 的坐标；假设不能 ,说明理由； (ii )当△ABC 为钝角三角形时 ,求这种点C 的纵坐标的取值范围.44. (2002全国文 ,21 )点P 到两个定点M (－1 ,0 )、N (1 ,0 )距离的比为2 ,点N到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．45. (1997全国文 ,25 )圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55,求该圆的方程. 46. (1997全国理 ,25 )设圆满足： (1 )截y 轴所得弦长为2；(2 )被x 轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为3∶1．在满足条件 (1 )、 (2 )的所有圆中 ,求圆心到直线l ：x －2y =0的距离最|小的圆的方程.47. (1997全国文 ,24 )过原点O 的一条直线与函数y =lo g 8x 的图象交于A 、B 两点 ,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝lo g 2x 的图象交于C 、D 两点.(1 )证明点C 、D 和原点O 在同一条直线上. (2 )当BC 平行于x 轴时 ,求点A 的坐标.48. (1994上海 ,25 )在直角坐标系中 ,设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0 ,0 ) ,P (1 ,t ) ,Q (1－2t ,2 +t ) ,R (－2t ,2 ) ,其中t ∈ (0 ,＋∞ ).(1 )求矩形OPQR 在第|一象限局部的面积S (t ). (2 )确定函数S (t )的单调区间 ,并加以证明.49. (1994全国文 ,24 )直角坐标平面上点Q (2 ,0 )和圆C ：x 2+y 2=1 ,动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ (λ>0 ).求动点M 的轨迹方程 ,说明它表示什么曲线.●答案解析2.答案：B解析一：由y =10－32x (0≤x ≤15 ,x ∈N )转化为求满足不等式y ≤10－32x (0≤x ≤15 ,x ∈N )所有整数yx =0 ,y 有11个整数 ,x =1 ,y 有10个 ,x =2或x =3时 ,y 分别有9个 ,x =4时 ,y 有8个 ,x =5或6时 ,y 分别有7个 ,类推：x =13时y 有2个 ,x =14或15时 ,y 分别有1个 ,共91个整点.应选B.解析二：将x =0 ,y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7 -2所示.对角线上共有6个整点 ,矩形中 (包括边界 )共有16×△AOB 内部和边上的整点共有26176+ =91 (个 ) 评述：此题较好地考查了考生的数学素质 ,尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑 ,通过不等式解等知识探索解题途径.5.答案：D解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式： (x －1 )2＋y 2＝1∴其圆心为 (1 ,0 ) ,半径为1 ,假设直线 (1＋a )x ＋y ＋1＝0与该圆相切 ,那么圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－16.答案：A图7 -2解析：先解得圆心的坐标 (1 ,0 ) ,再依据点到直线距离的公式求得A 答案．7.答案：D解析：如图7 -3所示 ,∠AOB ＝60° ,又|OA |＝|OB |＝1 ∴|AB |＝1 8.答案：B方法一：求出交点坐标 ,再由交点在第|一象限求得倾斜角的范围⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y k x y x kx y 3232632)32(306323 ∵交点在第|一象限 ,∴⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k∴k ∈ (33 ,＋∞ )∴倾斜角范围为 (2,6ππ )10.答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标 (1 ,－1 )代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ,b ) ,半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2 =0上,∴b =2－a .由|CA | =|CB | ,得 (a －1 )2+ (b +1 )2= (a +1 )2+ (b －1 )2,解得a =1 ,b =1 因此所求圆的方程为 (x －1 )2+ (y －1 )2=4评述：此题考查圆的方程的概念 ,解法一在解选择题中有广泛的应用 ,应引起重视.图7 -311.答案：C解析：直线x =1垂直于x 轴 ,其倾斜角为90°. 12.答案：A解析：由得点A (－1 ,0 )、P (2 ,3 )、B (5 ,0 ) ,可得直线PB 的方程是x +y －5 =0. 评述：此题考查直线方程的概念及直线的几何特征.14.答案：B解析：∵点 (x ,y )关于x =y 对称的点为(y ,x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称．15.答案：B 解析：直线 (23- )x +y =3的斜率k 1＝32- ,直线x + (32- )y =2的斜率k 2＝23+ ,∴k 1·k 2＝)23)(32(+-＝－1．16.答案：C解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式 (x +2 )2＋y 2＝1 ,圆心C (－2 ,0 )．设过原点的直线方程为y =kx ,即kx －y =0.由1|2|2+-k k ＝1 ,解得k =±33,∵切点在第三象限 , ∴k ＞0 ,所求直线方程为y =33x ．解析二：设T 为切点 ,因为圆心C (－2 ,0 ) ,因此CT =1 ,OC =2 ,图7 -5△OCT 为Rt △.如图7 -5 ,∴∠CO T =30° ,∴直线OT 的方程为y =33x . 评述：此题考查直线与圆的位置关系 ,解法二利用数与形的完美结合 ,可迅速、准确得到结果.17.答案：C解析：直线l 1的倾斜角为4π ,依题意l 2的倾斜角的取值范围为 (4π－12π ,4π )∪(4π ,4π +12π )即: (6π ,4π)∪ (4π ,3π ),从而l 2的斜率k 2的取值范围为: (33 ,1 )∪ (1,3 ).评述：此题考查直线的斜率和倾斜角 ,两直线的夹角的概念 ,以及分析问题、解决问题的能力.20.答案：C解析：如图7 -7所示 ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+432322y x y x消y 得：x 2－3x +2 =0 ∴x 1 =2 ,x 2 =1 ∴A (2 ,0 ) ,B (1 ,3 )∴|AB | =22)30()12(-+- =2又|OB |＝|OA | =2图7 -7∴△AOB 是等边三角形 ,∴∠AOB =3π,应选C. AB 的倾斜角为120°.那么等腰△OAB 的底角为60°.因此∠AOB =60°.更加表达出平面几何的意义.21.答案：A解法一：当两直线的斜率都存在时 ,－11B A · (22B A- )＝－1 ,A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在 ,一直线的斜率为0时 ,⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0001221B A B A 或 ,同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0 ,应选A. 解法二：取特例验证排除.如直线x +y =0与x －y =0垂直 ,A 1A 2＝1 ,B 1B 2＝－1 ,可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直 ,A 1A 2＝0 ,B 1B 2＝0 ,可排除C ,应选A.评述：此题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等根本知识点 ,重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.24.答案：B解析一：假设两直线平行 ,那么22123-≠-=a , 解得a ＝－6 ,应选B.解析二：利用代入法检验 ,也可判断B 正确.评述：此题重点考查两条直线平行的条件 ,考查计算能力. 25.答案：A解析：圆的标准方程为： (x －1 )2+ (y －2 )2l 将圆平分 ,也就是直线l 过圆心C (1 ,2 ) ,从图7 -8看到：当直线过圆心与x 轴平图7 -8行时 ,或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限 ,并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l 过圆心与x 轴平行时 ,k =0 , 当直线l 过圆心与原点时 ,k =2. ∴当k ∈［0 ,2］时 ,满足题意.评述：此题考查圆的方程 ,直线的斜率以及逻辑推理能力 ,数形结合的思想方法. 26.答案：B解析：A 中过点P 0 (x 0 ,y 0 )与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0 =k (x －x 0 )表示 ,因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b (b ≠0 )或x =a (a ≠0 )不能用方程bya x + =1表示；D 中过A (0 ,b )的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：此题考查直线方程的知识 ,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.29.答案：B解析：直线方程可化为2x －y =0 ,d =55|5|=-. 评述：此题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等根本知识点 ,考查运算能力.30.答案：60° 解析：因为直线y =3x+3的倾斜角为60° ,而y =1与x 轴平行 ,所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.评述：考查直线方程的根本知识及几何知识 ,考查数形结合的数学思想. 31.答案：a =4±5解析：因过A (－1 ,0 )、B (0 ,2 )的直线方程为：2x －yC (1 ,a ) ,半径r =1.又圆和直线相切 ,因此 ,有：d =5|22|+-a =1 ,解得a =4±5. 评述：此题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案：2解析：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3∴动点Q 到直线距离的最|小值为d －r ＝3－1＝234.答案：34解法一：圆的圆心为 (0 ,1 )设切线的方程为y ＝k (x ＋2 ).如图7 -10. ∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为1|12|2+-k k ＝1∴解得k ＝34或k ＝0 , ∴两切线交角的正切值为34．解法二：设两切线的交角为α图7 -10∵tan212=α,∴tan α＝3441112tan 12tan22=-=-αα． 35.答案：34解析：圆的圆心为 (－1 ,0 ) ,如图7 -11. 当斜率存在时 ,设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为1|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝43 , 即tan α＝43 当斜率不存在时 ,直线x ＝0是圆的切线又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为34 38.答案： (x －1 )2 + (y －1 )2=1解析一：设所求圆心为 (a ,b ) ,半径为r . 由 ,得a =b ,r =|b | =|a |.图7 -11∴所求方程为 (x －a )2 + (y －a )2 =a 2又知点 (1 ,0 )在所求圆上 ,∴有 (1－a )2+a 2=a 2,∴a =b =r =1. 故所求圆的方程为： (x －1 )2+ (y －1 )2 =1. 解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°.又圆与x 轴切于 (1 ,0 ) ,因此圆心横坐标为1 ,纵坐标为1 ,r =1.评述：此题考查圆的方程等根底知识 ,要注意利用几何图形的性质 ,迅速得到结果. 39.答案：3或7解析：当两圆外切时 ,r =3 ,两圆内切时r =7 ,所以r 的值是3或7．评述：此题考查集合的知识和两圆的位置关系 ,要特别注意集合代表元素的意义.41.答案： (x +2 )2 + (y －3 )2=4解析：因为圆心为 (－2 ,3 ) ,且圆与y 轴相切 ,所以圆的半径为2.故所求圆的方程为 (x +2 )2+ (y －3 )2=4.42.解：设动点P 的坐标为P (x ,y )由||||PB PA =a (a >0 ) ,得2222)()(yc x y c x +-++ =a ,化简 ,得： (1－a 2)x 2+2c (1 +a 2)x +c 2(1－a 2) + (1－a 2)y 2=0.当a ≠1时 ,得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2 +y 2 =0.整理 , 得： (x －1122-+a a c )2 +y 2 = (122-a ac )2当a =1时 ,化简得x =0.所以当a ≠1时 ,P 点的轨迹是以 (1122-+a a c ,0 )为圆心 ,|122-a ac |为半径的圆；当a =1时 ,P 点的轨迹为y 轴.评述：此题考查直线、圆、曲线和方程等根本知识 ,考查运用解析几何的方法解决问题的能力.假设存在点C (－1 ,y ) ,使△ABC 为正三角形 ,那么|BC | =|AB |且|AC | =|AB | ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131(,)316()32()13(222222y y 由①－②得42+ (y +23 )2 = (34 )2 + (y －332 )2, 解得y =－9314. ① ②但y =－9314不符合① , 所以由① ,②组成的方程组无解.因此 ,直线l 上不存在点C ,使得△ABC 是正三角形.(ii )解法一：设C (－1 ,y )使△ABC 成钝角三角形 ,由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 得y =23 ,该不等式无解 ,所以∠ACB 不可能为钝角.因此 ,当△ABC 为钝角三角形时 ,点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为 (x －35 )2 + (y +332 )2 = (38)2.圆心 (332,35- )到直线l ：x =－1的距离为38 , 所以 ,以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G (－1 ,－332 ). 当直线l 上的C 点与G 重合时 ,∠ACB 为直角 ,当C 与G 点不重合 ,且A 、B 、C 三点不共线时 ,∠ACB 为锐角 ,即△ABC 中 ,∠ACB 不可能是钝角.因此 ,要使△ABC 为钝角三角形 ,只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y . 评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识 ,充分表达了 "注重学科知识的内在联系〞.题目的设计新颖脱俗 ,能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比拟深刻地考查了解析法的原理和应用 ,以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高 ,有较好的区分度.44.解：设点P 的坐标为 (x ,y ) ,由题设有2||||=PN PM ,即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1 =0． ①因为点N 到PM 的距离为1 ,|M Ｎ|＝2 ,所以∠PMN ＝30° ,直线PM 的斜率为±33 , 直线PM 的方程为y =±33 (x ＋1 )．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0．解得x ＝2＋3 ,x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为 (2＋3 ,1＋3 )或 (2－3 ,－1＋3 )； (2＋3 ,－1－3 )或 (2－3 ,1－3 )．直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．46.解：设所求圆的圆心为P (a ,b ) ,半径为r ,那么P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |.由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90° ,圆P 截x 轴所得弦长为2r ,故 r 2＝2b 2 ,又圆P 截y 轴所得弦长为2 ,所以有r 2＝a 2＋1 ,从而有2b 2－a 2＝1又点P (a ,b )到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a , 所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2 (a 2＋b 2 )＝2b 2－a 2＝1当且仅当a =b 时上式等号成立 ,此时5d 2＝1 ,从而d 取得最|小值 , 由此有⎩⎨⎧=-=1222a b b a 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由于r 2＝2b 2 ,知r ＝2 , 于是所求圆的方程为 (x －1 )2＋ (y －1 )2＝2或 (x ＋1 )2＋ (y ＋1 )2＝2评述：此题考查了圆的方程 ,函数与方程 ,求最|小值问题 ,进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比拟新颖脱俗 ,灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化 ,推演 ,即符合逻辑、说理充分、陈述严谨.47. (1 )证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1 ,x 2 ,由题设知x 1＞1 ,x 2＞1 ,点A (x 1 ,lo g 8x 1 ) ,B (x 2 ,lo g 8x 2 ).48.解： (1 )当1－2t ＞0即0＜t ＜21时 ,如图7 -13 ,点Q 在第|一象限时 ,此时S (t )为四边形OPQK 的面积 ,直线QR 的方程为y －2 =t (x +2t ).令x =0 ,得y =2t 2＋2 ,点K 的坐标为 (P ,2t 2＋2 ).t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-= )1(232t t t -+-= 图7 -13当－2t +1≤0 ,即t ≥21时 ,如图7 -14 ,点Q 在y 轴上或第二象限 ,S (t )为△OP Ｌ的面积 ,直线PQ 的方程为y －t =－t1(x －1 ) ,令x =0得y =t +t 1,点L 的坐标为 (0 ,t +t 1 ) ,S △OPL ＝1)1(21⋅+t t )1(21tt += 所以S (t )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21)1(21210 )1(232t t t t t t t 49.解：如图7 -15 ,设直线MN 切圆于N ,那么动点M 组成的集合是：P ={M ||MN | =λ|MQ |} , (λ>0为常数 )因为圆的半径|ON | =1 ,所以|MN |2 =|MO |2－|ON |2 =|MO |2－1.设点M 的坐标为 (x ,y ) ,那么2222)2(1y x y x +-=-+λ 整理得 (λ2－1 ) (x 2 +y 2 )－4λ2x + (1 +4λ2 ) =0图7 -14图7 -15当λ =1时 ,方程化为x =45 ,它表示一条直线 ,该直线与x 轴垂直 ,交x 轴于点 (45 ,0 )；当λ≠1时 ,方程化为 (x －1222-λλ )2 +y 2 =)1(3122-+λλ它表示圆心在 (1222-λλ ,0 ) ,半径为|1|3122-+λλ的圆.。

全国卷十年(2007-2016)高考数学分类汇编—直线和圆

1 2
2
+ a 。所以
②
xx
1
2
+ a( x1 + x2) + a = 0
由①②可得 a=-1,满标准十年（2007-2016）数学试卷分类汇编—直线和圆
2016 年 10 月 8 日
16．［2008 年高考全国新课标文数第 20 题］（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）直线 l 的方程可化为 y =
2 2
（Ⅱ）是否存在常数 k ，使得向量 OA + OB 与 PQ 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
��
��
2
新课程标准十年（2007-2016）数学试卷分类汇编—直线和圆
2016 年 10 月 8 日
参考答案
题号答案
1 A
2
3
4
5 B
6 C
7
[ −1,1]
3
新课程标准十年（2007-2016）数学试卷分类汇编—直线和圆
2016 年 10 月 8 日
14．［2013 年高考全国新课标Ⅱ卷文数第 20 题］
15．［2011 年高考全国新课标文数第 20 题］解：（Ⅰ）曲线 y = x 2 − 6 x + 1 与坐标轴的交点为（0,1）（3 ± 2 2 ,0）故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有解得 t=1, 则圆的半径为
1 ． 2
． 9分
圆 C 的圆心为 C (4， − 2) ，半径 r = 2 ．圆心 C 到直线 l 的距离 d =
2 1+ k 2
由k ≤
1 4 r 2π ，得 d ≥ > 1 ，即 d > ．从而，若 l 与圆 C 相交，则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于．所 2 2 3 5 1 的两段弧． 12 分 2

专题九解析几何第二十五讲直线与圆十年高考数学(理科)真题题型分类汇编

专题九分析几何第二十五讲直线与圆2019年ì1.（2019 北京理 3）已知直线l 的参数方程为 x=1+3t （t 为参数），则点（1，0） í?y=2+4t到直线l的距离是（A ）1（B ）2（C ）4（D ）65 5 552.（2019 江苏10）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y x 4(x0)上的一个动点，x则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 .3（2019江苏18）如图，一个湖的界限是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点P 、Q ，并修筑两段直线型道路 PB 、QA ．规划要求：线段 PB 、QA 上的全部点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知．．．．点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下， P 和Q 中可否有一个点选在D 处？并说明原因；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为 d （单位：百米） .求当d 最小时，P 、Q两点间的距离．4．（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x y 3 0与圆C 相切于点A(2,1)，则m=_____，r=______.2010-2018年2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线x y20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是A ．[2,6]．．[2,32]D．[22,32] B[4,8]Cx12t,2．(2018天津)已知圆x2y22x 0的圆心为C，直线2(t为参数)与该圆y32t2订交于A，B两点，则△ABC的面积为．3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos ,sin)到直线x my20的距离，当，m变化时，d的最大值为A．1B．2C．3D．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C：x2y21(ab0)的左、右极点分别为A1，A2，a2b2且以线段A1A2为直径的圆与直线bx ay2ab 0相切，则C的离心率为6B．321A．3C．D．3335．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB1，AD 2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD，则的最大值为A．3B．22C．5D．26．（2015山东）一条光芒从点(2,3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光芒所在直线的斜率为53B．325443A．或或C．或D．或352345347．（2015广东）平行于直线2x y10且与圆x2y25相切的直线的方程是A．2xy50或2xy50B．2xy50或2xy50 C．2xy50或2xy50D．2xy50或2xy508．（2015新课标2）过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,7)的圆交于y轴于M、N两点，则MN=A．26B．8C．46D．109．（2015重庆）已知直线l：x ay10(a R)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝A．2B．42C．6D．21010．（2014新课标2）设点M(x,1)，若在圆O:x 22=1上存在点N，使得OMN°y45，则x的取值范围是A．1,1B．11C．2,2D．2，2 2，22 211．（2014福建）已知直线l过圆x2y24的圆心，且与直线x y10垂直，则3l的方程是A．xy20B．xy20C．xy30D．xy3012．（2014北京）已知圆C:x32y421和两点A m,0，B m,0m0，若圆C上存在点P，使得APB 90，则m的最大值为A．7B．6C．5D．413．（2014湖南）若圆C1:x2y21与圆C2:x2y26x8y m0外切，则m A．21B．19C．9D．11（ 3,1）2 y 2 1有公共点，则直线l 的倾斜角的 14．（2014安徽）过点P 的直线l 与圆x取值范围是A ．（， ]B ．（，]C ．，]D ．，] 0 6 0 [0 [03 3 615．（2014浙江）已知圆x 2y 2 2x 2y a0 截直线x y 2 0所得弦的长度为 4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 16．（2014四川）设m R ，过定点A 的动直线xmy 0 和过定点B 的动直线mx y m 30 交于点P(x,y)，则|PA| |PB|的取值范围是A ． [ 5,2 5] ．[ 10,25] C ．[ 10,4 5] D ． [25,4 5]B 17 2014 江西）在平面直角坐标系中， A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以 AB 为直径．（的圆C 与直线2x y 40相切，则圆C 面积的最小值为A ． 4B ． 3C ． (625) 5 5 4D ．418．（2013山东）过点(3，1)作圆 x 2 y 21的两条切线，切点分别为 A ，B ，则直线1 AB 的方程为A ．2x y 3 0B ．C ．4x y 3 0D ．2x y 304x y 3019．（2013重庆）已知圆C 1:x 2y3 2C 2:x2 29，M,N2 1，圆 3 y4 分别是圆C 1,C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN 的最小值为A ．524 B． 171 C ．622 D ．1720．（2013安徽）直线x2y 5 50被圆x 2y 2 2x4y0截得的弦长为 A ．1 B ．2 C ．4D ．4621．（2013新课标2）已知点A 1,0 ；B1,0 ；C 0,1 ，直线y axb(a0) 将△ABC切割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是A ．(0,1)B ．12 , 1 C ．1 2 , 1 D ．1,1 2 2 2 33 222．（2013陕西）已知点M(a,b)在圆O:x 2y 2 1外,则直线ax by 1与圆O 的地点关系是A ．相切B ．订交C ．相离D ．不确立23．（2013天津）已知过点P(2，2)的直线与圆(x2 2相切，且与直线axy10 1) y5 垂直，则a A ． 1 B ．1C ．2D ．12224．（2013广东）垂直于直线y x1且与圆x 2y 21相切于第一象限的直线方程是A ．xy 20B ．xy10C ．xy10D ．xy20 25．（2013新课标 2）设抛物线C:y 24x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF| 3|BF|，则 l 的方程为A ．yx 1或yx1B ．C ．y3(x 1)或y3(x1)D ．y 3(x1)或y 3(x1)3 3 y2(x1)或y2(x1)2 226．（2012浙江）设aR ，则“a 1”是“直线l 1：ax2y10与直线l 2：x(a1)y4 0平行”的 A ．充足不用要条件 B ．必需不充足条件 C ．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件27．（2012天津）设m，nR ，若直线(m1)x+(n1)y 2=0与圆(x1)2+(y 1)2=1相切，则m+n 的取值范围是 A ．[13,1+ 3]B ．(,13] [1+ 3,+ )C ．[22 2,2+2 2]D ．(,2 2 2] [2+2 2,+ )28．（2012湖北）过点P(1,1)的直线，将圆形地区(x,y)|x2y2, 4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A．xy 2 0B．y1 0C．xy 0D．x3y 4029．（2012天津）在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24订交于A,B两点，则弦AB的长等于A．33B．23C．D．30．（2011北京）已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y=x的图像上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为A．4B．3C．2D．131．（2011江西）若曲线C1：x2y22x 0与曲线C2：y(y mxm)0有四个不一样的交点，则实数m的取值范围是33A．(，3333 C．[，33)B．(3(0，3，0))33]D．(，3)(3，+) 3332．（2010福建）以抛物线y24x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2x=0D．x2+y22x=033．（2010广东）若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左边，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是A．(x5)2y25B ．C．(x5)2y25D．(x5)2y25(x 5)2 y25二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y 2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若ABCD 0，则点A 的横坐标为．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(，，点P在圆O：x2y250 12,0)B(0,6)上，若PA PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是．36．（2015湖北）如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方），且AB2．（Ⅰ）圆C的标准方程为；．．（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O:x2y21订交于M,N两点，以下三个结论：NA MA NB MA2NB MA22．①；②NA MB ；③MBNB MB NA此中正确结论的序号是.（写出全部正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系 xOy中，直线x 2y 3 0被圆(x 2)2 (y 1)24截得的弦长为．382014重庆）已知直线ax y20与圆心为C的圆x12y a24订交于A，B（．两点，且ABC为等边三角形，则实数a_________．39．（2014湖北）直线l1：y x a和l2：y xb将单位圆C:x2y21分红长度相等的四段弧，则a2b2________．40．（2014山东）圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)对于直线yx对称，则圆C的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线xy a0与圆心为C的圆x2y22x4y40订交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为_________．43．（2014湖北）已知圆O:x2y21和点A(2,0)，若定点B(b,0)(b2)和常数知足：对圆O上随意一点M，都有|MB||MA|，则（Ⅰ）b；（Ⅱ）.44．（2013浙江）直线y2x 3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于__________.45．（2013湖北）已知圆O ：x2y25，直线l：xcos ysin1(0π)．设圆O上2到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k.46．（2012北京）直线y x被圆x2(y2)24截得的弦长为.472011浙江）若直线x2y50与直线2x my60相互垂直，则实数m=__．．（48．(2011辽宁)已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__．49．(2010新课标)圆心在原点上与直线x y20相切的圆的方程为．50．(2010新课标)过点A(4,1)的圆C与直线x y 0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为．三、解答题51(2016年全国I)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重．合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EA EB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时建立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的界限为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两头O和A到该圆上随意一点的距离均许多于80m．经丈量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan BCO4．3（I）求新桥BC的长；II）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，直线l：y 2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上.ylAxO（I）若圆心C也在直线yx 1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（II）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．54(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y．轴上截得线段长为23．（I）求圆心P的轨迹方程；（II）若P点到直线y x的距离为2，求圆P的方程．255．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线xy a 0交于A，B两点，且OAOB,求a的值．56．（2010北京）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(2,0)，( 2,0)，离心率是6，3专题九解析几何第二十五讲直线与圆十年高考数学(理科)真题题型分类汇编直线y t椭圆C交与不一样的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P．I）求椭圆C的方程；II）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q(x,y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．。

高考数学10年真题专题解析—直线与圆

抛物线方程及其几何性质，抛物线的定点问题文21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题2020卷1理11直线与圆直线与圆位置关系，圆与圆的位置关系，圆的几何性质文6直线与圆直线与圆的位置关系，圆的弦的最值问题卷2理5文8直线与圆直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，点到直线距离公式卷3理10直线与圆直线与圆相切，直线与曲线相切，导数的几何意义文8直线与圆点到动直线距离公式的最值问题考点86直线方程与圆的方程1．(2020全国Ⅲ文6)在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．【解析】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB为半径的圆．故选：A ．2．(2020全国Ⅲ文8)点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为()A ．1B．C．D ．2【答案】B【解析】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =3．(2015北京文)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=．4．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为__________．【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=．5．【2017·天津文】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠==-⋅，解得m =，由于圆C 与y轴得正半轴相切，则m =所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=．6．【2016·浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．【答案】(2,4)--；5．【解析】由题意22a a =+，12a =-或，1a =-时方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215((1)24x y +++=-不表示圆．7．【2016·天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)9.x y -+=【解析】设(,0)(0)C a a >2,3a r =⇒==，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=8．(2011辽宁文)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．【答案】22(2)10x y -+=【解析】以题意设圆C 的方程为222()x a y r -+=，把所给的两点坐标代入方程得2222(5)1(1)9a r a r⎧-+=⎨-+=⎩，解得2210a r =⎧⎨=⎩，所以圆C ：22(2)10x y -+=．考点87两直线的位置关系9．【2016·上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________．【答案】255【解析】利用两平行线间距离公式得25d 5===10．(2011浙江文)若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =．【答案】1【解析】当0m =时，两直线不垂直，故0m ≠．因为直线250x y -+=与直线260x my +-=的斜率分别为12和2m -，由12(12m⨯-=-，故1m =．考点88点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系11．(2020·新课标Ⅰ文)已知圆2260x y x +-=，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2==．12．(2020·新课标Ⅱ文理5)若过点()2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为()A ．55B ．552C ．553D ．554【答案】B【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离．【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，∴圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线230x y --=的距离均为255d ==，∴圆心到直线230x y --=．故选B ．13．(2020全国Ⅰ理11】已知⊙22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为()A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，∴直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，∴12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．∴以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程，故选D ．14．(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】设圆心(),C x y ，则1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A ．15．(2019北京文8)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为(A)4β+4cosβ(B)4β+4sinβ(C)2β+2cosβ(D)2β+2sinβ【答案】B【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-．此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+．故选B ．16．【2018·全国Ⅲ文】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．232D ．2232⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则22AB =．点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为(2，0)，则圆心到直线的距离1202222d ++==故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎣，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△．故答案为A ．17．【2018高考全国2理2】已知集合(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z ，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．试题解析：2223,3x y x +≤∴≤ ，又,1,0,1x x ∈∴=-Z ．当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，选A ．【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．18．【2018高考全国3理6】直线20x y ++=分别与x 轴y 交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是()A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =点P 在圆()2222x y -+=上，∴圆心为()2,0，则圆心到直线距离1d ==，故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△，故选A ．19．【2018高考北京理7】在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离．当,m θ变化时，d 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +．试题解析：22cos sin 1P θθ+=∴ ,为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C ．【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．20．(2017新课标Ⅲ理)在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 25所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =- ，(0,1)AB =- ，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，|2|21514+，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．21．【2016·山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是2M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是()(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【答案】B【解析】由2220x y ay +-=(0a >)得()222x y a a +-=(0a >)，所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是22222222()211=a +-，解得2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以()()2201212MN =-+-=，123r r +=，121r r -=，因为1212r r MN r r -<<+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．22．【2016·北京文数】圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为()A ．1B ．2C D ．2【答案】C【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C ．23．【2016·新课标2文数】圆x 2+y 2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=()(A)−43(B)−34(D)2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A ．24．(2015安徽文)直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12【答案】D【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离|7|15b -=，所以2b =或12b =．25．(2015新课标2文)已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34【答案】B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC 23(1,3，故ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为213=．26．(2015山东理)一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230k x y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．27．(2015广东理)平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B．20x y +=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D．20x y -+=或20x y --=【答案】A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c=，所以c =，故所求直线的方程为250x y ++=或250x y +-=．28．(2015新课标2理)过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==29．(2015重庆理)已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．30．(2014新课标2文理)设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦，【答案】A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M 的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin 32OMN '∠=<，则45OMN '∠< ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =C ，故选A ．31．(2014福建文)已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．32．(2014北京文)已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．33．(2014湖南文)若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．34．(2014安徽文)过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．35．(2014浙江文)已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离2211d ==+，所以2422r a =+=-，故4a =-．36．(2014四川文)设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．[5,25]B ．[10,25]C ．[10,45]D ．[25,45]【答案】B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠102sin()4PAB π=∠+ [10,25]∈．故选B ．37．(2014江西文)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(625)π-D ．54π【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y +-=的距离，此时425r =25r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==．38．(2014福建理)已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．39．(2014北京理)已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．40．(2014湖南理)若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．41．(2014安徽理)过点P ）（13--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．30π，（C ．60[π，D ．]30[π，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．42．(2014浙江理)已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d ==所以2422r a =+=-，故4a =-．43．(2014四川理)设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠4PAB π=∠+∈．故选B ．44．(2014江西理)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==．45．(2013山东文)过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为()A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2．46．(2013重庆文)已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4-B 1-C ．6-D ．【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444-=，故选A ．47．(2013安徽文)直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=．48．(2013新课标2文)已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】(1)当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，(2)当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b=-，∵0a >，∴12b <(3)当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭，21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=，即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+，∵0a >，∴22410b b -+<，解得221122b -<<+．综上：21122b -<<，故选B ．49．(2013陕西文)已知点M(a ，b)在圆221:O x y +=外，则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a ，b)在圆.112222>+⇒=+b a y x 外111)00(.22<+==+ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交，故选B ．50．(2013天津文)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ．51．(2013广东文)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =．52．(2013新课标2文)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．3(1)3y x =-或3(1)3y x =--C．1)y x =-或1)y x =-D ．2(1)2y x =-或2(1)2y x =--【答案】C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =，则1(3,(,33A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．若1y =-，则123(3,(,)33A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x =-或1)y x =-，选C ．53．(2013山东理)过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-．54．(2013重庆理)已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4-B 1-C ．6-D ．【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444-=，故选A ．55．(2013安徽理)直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=．56．(2013新课标2理)已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】(1)当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，(2)当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b=-，∵0a >，∴12b <．(3)当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭，21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=，即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+，∵0a >，∴22410b b -+<，解得221122b -<<+综上：21122b -<<，故选B ．57．(2013陕西理)已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a ，b)在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离2211d a b=<+=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．58．(2013天津理)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ．59．(2013广东理)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y ++=【答案】A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =．60．(2013新课标2理)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．3(1)3y x =-或3(1)3y x =--C．1)y x =-或1)y x =-D．(1)2y x =-或(1)2y x =--【答案】C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =，则123(3,(,33A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．若1y =-，则1(3,(,)33A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l的方程是1)y x =-或1)y x =-，选C ．61．(2012浙江文)设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件是(1)2a a +=，解得，1a =或2a =-，所以是充分不必要条件．62．(2012天津文)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞∞C ．[2-D ．(,2)-∞-∞ 【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2)t ∈-∞-∞ ．63．(2012湖北文)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y + 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k =，故所求直线的斜率为–1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y ．故选A ．64．(2012天津文)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于()()A()B ()C ()D 1【答案】B 【解析】圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==，弦AB 的长AB ==．65．(2012浙江理)设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件是(1)2a a +=，解得，1a =或2a =-，所以是充分不必要条件．66．(2012天津理)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞∞C ．[2-D ．(,2)-∞-∞ 【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2)t ∈-∞-∞ ．67．(2012湖北理)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y + 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k =，故所求直线的斜率为-1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y ．故选A ．68．(2012天津理)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．1【答案】B 【解析】圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==弦AB 的长AB ==．69．(2011北京文)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y x =的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y +-=，||AB =由于ABC ∆的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122⨯=，即h =，2=2|2|2t t +-=，解得有4个实根，故这样的点C 有4个．70．(2011江西文)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3-，3文)B ．(3-，0) (0，3)C ．[33-，33]D ．(-∞，33-) (33，+∞)【答案】B 【解析】221:(1)1C x y -+=，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x =+，显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l 的距离1d r =<=，解得33(,)33m ∈-，又当0m =时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．71．(2011北京理)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y =x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y +-=，||AB =由于ABC ∆的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122⨯=，即h =，2=2|2|2t t+-=，解得有4个实根，故这样的点C有4个．72．(2011江西理)若曲线1C：2220x y x+-=与曲线2C：()0y y mx m--=有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A．(33-，33)B．(33-，0) (0，33)C．[33-，33]D．(-∞，33-) (33，+∞)【答案】B【解析】221:(1)1C x y-+=，2C表示两条直线即x轴和直线l：(1)y m x=+，显然x轴与1C有两个交点，由题意l与2C相交，所以1C的圆心到l的距离1d r=<=，解得(,33m∈-，又当0m=时，直线l与x轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B．73．【2020年高考天津卷12】已知直线80x-+=和圆222(0)x y r r+=>相交于,A B两点．若||6AB=，则r的值为_________．【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x+=的距离4d==，由l=6=，解得=5r．74．【2020年高考浙江卷15】设直线:(0)l y kx b k=+>，圆221:1C x y+=，222:(4)1C x y-+=，若直线l 与1C，2C都相切，则k=；b=．【答案】33；233-【解析】由题意可知直线l是圆1C和圆2C的公切线，∵0k>，为如图所示的切线，由对称性可知直线l必过点()2,0，即20k b+=①1==，②由①②解得：33k =，233b =-，故答案为：33；233-．75．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系xOy 中，已知,0)2P ，A B 、是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则PAB ∆面积的最大值是________．【答案】【解析】如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，则：∵PA PB =，6CA CB R ===，∴PC AB ⊥，EF 为垂径．要使面积PAB S ∆最大，则P D 、位于C 两侧，并设CD x =，计算可知1PC =，故1PD x =+，2AB BD ==，故1(12PAB AB PD S x ∆=⋅=+，令6cos x θ=，(1(16cos )6sin 6sin 18sin 2PABS x θθθθ∆=+=+⋅=+，02q π<≤，记函数()6sin 18sin 2f θθθ=+，则2()6cos 36cos26(12cos cos 6)f θθθθθ'=+=+-，令2()6(12cos cos 6)0f θθθ'=+-=，解得2cos 3θ=(3cos 04θ=-<舍去)显然，当20cos 3θ≤<时，()0f θ'<，()f θ单调递减；当2cos 13θ<<时，()0f θ'>，()f θ单调递增；结合cos θ在(0,2π递减，故2cos 3θ=时()f θ最大，此时5sin 3θ==，故max 552()636333f θ=⨯+⨯⨯=，即PAB ∆面积的最大值是．(注：实际上可设BCD θ∠=，利用直角BCD ∆可更快速计算得出该面积表达式)76．【2019·浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===77．【2018·全国I 文】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为．78．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-= ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D ．所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅= 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =79．【2018高考上海12】已知实数1212x x y y ,,,满足：22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=，则∣∣∣∣的最大值为．+【解析】试题分析：由已知可得点()()1122,,,A x y B x y 在单位圆221x y +=上．又由121212x x y y +=，容易想到向量的数量积，从而得AOB ∠的大小．而容易想到点()11,A x y 到直线10x y +-=的距离，因此问题转化为圆上两点()()1122,,,A x y B x y 到直线10x y +-=距离和的最大值问题，再三角换元，进而应用三角函数来求最大值．试题解析：由已知可得两点()()1122,,,A x y B x y 在单位圆221x y +=上．121211,cos ,223OA OB x x y y AOB AOB OA OB ⋅π+=∴∠==∴∠=⋅．设()cos ,sin ,cos ,sin 33A B θθθθ⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则+=．已知点()()1122,,,A x y B x y 在直线10x y +-=sin 1cos sin 1331313sin 1cos sin sin cos 1222233cos sin 2222262cos 4θθθθθθθθθθθθθππ⎛⎫⎛⎫=+-++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+-+-++-⎫⎛=++--⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭=62sin 412θθ⎤-+-⎥⎦5π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当且仅当122θ5π3π+=即12θ13π=++．80．(2017江苏理)在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是．【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，如图由250x y -+≤可知，P 在 MN 上，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --，所以P 点横坐标的取值范围为[-．81．【2016·四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．【答案】②③【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x ，则其伴随点为(sin ,cos )P x x '-，仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与曲线(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y --=++与2222(,)0y xf x y x y-=++，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线2222(,)0y x f x y x y --=++与2222(,)0y xf x y x y-=++关于y 轴对称，所以③正确；对于④，取直线y kx b =+上一点P(x ，y)，则其伴随点2222(,)y xx y x y-++，消参后轨迹是圆，故④错误．所以真命题为②③．82．[2016·新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________．【答案】4【解析】由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以||AB ==．又直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．83．【2016·新课标1文数】设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若 =23，则圆C 的面积为．【答案】4π【解析】圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||AB =圆心C 到直线2y x a =+，所以得222()22a +=+，则22,a =所以圆的面积为2π(2)4πa +=．84．(2015重庆文)若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．【答案】250x y +-=【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=．85．(2015湖南文)若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=(O为坐标原点)，则r =_____．【答案】2【解析】如图直线3450x y -+=与圆2220x y r r +=（＞）交于,A B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ∠=，则圆心(0,0)到直线3450x y -+=的距离为2r 2r=，∴2r =．86．(2015湖北文)如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方)，且||2AB =．(1)圆C 的标准方程为．(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为．【答案】(Ⅰ)22(1)(2x y -+-=；(Ⅱ)1-【解析】(Ⅰ)设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =．又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r ==，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+-=．(Ⅱ)令0x =得：1)B ．设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -+=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =．即圆C 在点B处的切线方程为1)y x =+，于是令0y =可得1x =，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1-，故应填22(1)(2x y -+-=和1-．87．(2015湖北理)如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方)，且2AB =．(Ⅰ)圆C 的标准．．方程为；(Ⅱ)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=；②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是．(写出所有正确结论的序号)【答案】(Ⅰ)22(1)(2x y -+-=；(Ⅱ)①②③【解析】(Ⅰ)由题意，设(1,)C r (r 为圆C 的半径)，因为||2AB =，所以r ==，所以圆心C ，故圆C的标准方程为22(1)(2x y -+=．(Ⅱ)由220(1)(2x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为B 在A的上方，所以1)A -，1)B +．不妨令直线MN 的方程为0x =，(0,1)M -(0,1)N ，所以||MA =，||2MB =+，||2NA =-||NB =，所以||1||NA NB ==，||1||MA MB ==，所以||||||||NA MA NB MB =，所以。

理科数学高考真题分类汇编第二十五讲直线与圆答案

专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==11222ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=），∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin 32OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：1122b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

2010～2019十年高考理科数学分类汇编专题9解析几何第二十五讲直线与圆答案

专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分 2019年1.解析由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为4320x y -+=．则点（1，0）到直线l 的距离是d ==2. 解析解法一：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-，解得000)x x =>．所以曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=．解法二：由题意可设点P 的坐标为4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >，则点P 到直线0x y +=的距离222242x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯=…，当且仅当x =所以点P 到直线0x y +=的距离的最小值为4. 3.解析解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM==，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 4.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-．所以圆心为（0，-2），则半径r ==．解法二：由r ==，得2m =-，所以r ==2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==11222ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin 32OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：1122b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

分类汇编【理科数学】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编直线与圆(精解精析)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编直线与圆（精解精析）一、选择题1．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( )A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 ( )ABCD【答案】B解析：由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==；圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y --=．故选：B ．【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题． 3．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 ( )A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣【答案】A解法一：由直线20x y ++=易知()2,0A -，()0,2B -，故AB ==圆()2222x y -+=的圆心()2,0到直线20x y ++==r =所以点P 到直线20x y ++=的距离d 的取值范围为⎡⎣即所以[]112,622ABP S AB d =⨯⨯=⨯=∈△，故选A ．解法二：设(),P x y ，则点P 到直线AB 的距离d =令2t x y =++，则2y x t =-+代入圆的方程整理得：2222460x tx t t -+-+=利用方程有解条件，则有026t ∆≥⇒≤≤AB =[]12,62PAB PAB S AB d S ∆∆=⋅∴∈ 注：此处也可利用线性规划寻求t 的范围解法三：利用三角换元设()2P θθ，则d ==[]142sin 2,624PABS πθ∆⎛⎫∴=⨯=++∈ ⎪⎝⎭ 解法四：利用面积公式的坐标形式设(),P x y 则()()2,,,2PA x y PB x y =---=---()()()()12222PAB S x y y x x y ∆=-------=++ 下同解法二注：①当然也可把P 点设为三角形式，并且更加简单！②利用面积的向量表达形式,在实际运算中还是要转化为坐标形式才利于操作。

高考理科数学2010—2018真题分类专题九解析几何第二十五讲直线与圆(带答案)

专题九解析几何第二十五讲直线与圆一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,32⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为．3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．⎡⎣ D ．⎡⎢⎣⎦11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（ B ．]30π，（ C ．]60[π， D ．]30[π， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D20．（2013安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．113⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1224．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．(1)3y x =-或1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．130．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(B ．(0)(0C ．[D ．(-∞，- ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y xC ．22+y =0x x -D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为．38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________. 45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__． 48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__． 49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为． 50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为．三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ．（I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上.（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a-+=交于A ，B 两点，且,OAOB ⊥求a 的值．56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==，所以||AB ==，所以1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d1=+，∴当0m=时，d取得最大值3，故选C．4．A【解析】以线段12A A为直径的圆是222x y a+=，直线20bx ay ab-+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a==，整理为223a b=，即()22222323a a c a c=-⇒=，即2223ca=，cea==，故选A．5．A【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A，(0,0)B，(2,1)D，(,)Px y所以圆的方程为224(2)5x y-+=，所以(,1)AP x y=-，(0,1)AB=-，(2,0)AD=，由AP AB ADλμ=+，得21xyμλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy-+，设12xz y=-+，即102xy z-+-=，点(,)P x y在圆上，所以圆心到直线102xy z-+-=的距离小于半径，≤，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r =1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b=-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >,∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b <<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,)33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案

专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离〃丿+ f VI, V2所以点P 到直线的距离根据直线的方程可知A, 3两点的坐标分别为 A(—2,0), 5(0,-2),所以\AB\=2y/2,所以 AABP 的而积 S = ^\AB\d l =>/2d }.因为％ €[、伍,"],所以Se[2,6],即AABP 而积的取值范围是[2,6].故选A. |【解析】直线的普通方程为x + y —2 = 0,圆的标准方程为(x-l)2 + /=1,•••当〃? = 0时，〃取得最大值3,故选C.A 【解析】以线段力堆为直径的圆是，+：/=/,直线bx _ay + 2ah = 0与圆相切, 所以圆心到直线的距藹d= , 2dh= s 整理为/ = 3/r, yja 2+b 22. 2.| 亠］(・〃 -- 门 Q — --------- 4- ° I ,+i3.r 2 9 即 a 2 = 3(cr —c ，) => 2a 2= 3c 2，即=—, \ ) cr 3e = ^ = 4' 故选 A ， 5. A 【解析】如图建立直角坐标系,则A(OJ), B(0,0), Z)(2 J), P{x. y),由等面积法可得圆的半径为4所以圆的方程为(兀-2尸+尸=_,所以丽=(兀y — l),而=(0,-1),而= (2,0),— — — x = 2ux 由 AP = AAB + /.tAD ，得"，所以 A + // = — — y + 1, y — 1 = —2 2x X 设 z = __y + l ，即一 — y + l — z = 0,2・ 2 ”X点Pgy)在圆上，所以圆心到直线一— y + l-z = 0的距离小于半径, 2即兄+ “的最大值为3,选A.6. D 【解析】(-2,-3)关于y 轴对称点的坐标为(2,-3)，设反射光线所在直线为氏+51=耐，解得―扌或弓7. A 【解析】设所求直线的方程为2x + y + c = 0 (cHl),则 J 一=$ 所以 V22 +12c = ±y/5,故所求直线的方程为2x+ y + 5 = 0或2x+ y-5 = 0.所以12-zl 解得1W Z W3,所以z 的最大值为3.y + 3 = k(x-2),即b-y-2—3=0,则〃=1一3« — 2 — 2—31 -------- , ” ---------- =1,8.C【解析】设过A,B,C三点的圆的方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = O,D + 3E+F + 10 = 0贝#4D + 2E+F + 20 = 0,解得D = _2,E = 4,F = —20,D —7E +F + 50 = 0所求圆的方程为疋+),2_2尤 + 4)，_20 = 0,令x = 0, W/+4y-20 = 0,设M(O,yJ, /V(0, y2),则y} + y2 = -4, y} - y2 = -20 ,所以I MW 1=1 y,-y21= /比 + >，2)2一4)'』2 =皿9.C【解析】圆C标准方程为Cv-2)2+(y-l)2=4,圆心为C(2,l),半径为r = 2,因此2+dxl_l = 0,。

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．所以圆心为（0，-2）错误！未找到引用源。

，则半径r ==未找到引用源。

．解法二：由r ==，得2m =-，所以r ==2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=），∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin 32OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：1122b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a, b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。