模型降阶中的Lyapunov方程求解方法
lyapunov方程的求解
lyapunov方程的求解
听说Lyapunov方程了吗？就是那个让一堆数学大师头疼的东西。
不过别担心，咱们就用大白话聊聊。
说简单点，Lyapunov方程就像是给系统稳定性拍了个“X光”，能看出系统内部的问题。
你想想看，要是你的自行车轮子不稳，骑
起来就得摇摇晃晃，对吧？这就是因为稳定性没搞好。
而Lyapunov
方程就是帮我们找到那个能让系统稳如泰山的“魔法公式”。
话说回来，求解Lyapunov方程可不是件轻松的事儿。
你得有点
数学功底，还得有点耐心和毅力。
有时候，解这个方程就像是解一
个复杂的拼图游戏，得把各个碎片拼在一起，才能看到完整的图画。
不过，好消息是，现在有了电脑和数学软件，求解Lyapunov方
程变得容易多了。
就像是你有了一个超级助手，帮你处理那些繁琐
的计算和推理。
这样一来，你就能更快地找到答案，也不用那么头
疼了。
所以啊，虽然Lyapunov方程听起来有点吓人，但只要咱们用对
方法，就能轻松搞定它。
就像是你面对一个看似复杂的问题，只要找到了解决方法，就能迎刃而解。
这就是数学的魅力所在！。
平衡格莱姆方法在电力系统线性模型降阶中的应用
平衡格莱姆方法在电力系统线性模型降阶中的应用张喆;赵洪山;李志为;兰晓明;时宁【期刊名称】《电工技术学报》【年(卷),期】2013(028)006【摘要】通过近似求解线性系统的可控格莱姆矩阵和可观格莱姆矩阵,结合平衡实现理论,详细研究了高阶电力系统动态线性模型的截断降阶和残差降阶.首先,利用交替方向隐方法(ADI)迭代求解李亚谱诺夫(Lyapunov)方程,得到系统可控格莱姆矩阵和可观格莱姆矩阵的Cholesky因子,计算平衡转换矩阵和平衡系统的Hankel奇异值；然后,分别使用截断和残差降阶方法得到系统的平衡降阶模型；最后,通过对4机系统和50机系统的降阶研究,获得不同阶数的电力系统降阶模型,并进行动态仿真,分析原系统及降阶系统的动态行为,结果表明上述降阶方法是可行有效的.【总页数】7页(P201-207)【作者】张喆;赵洪山;李志为;兰晓明;时宁【作者单位】华北电力大学电气与电子工程学院北京 102206;华北电力大学电气与电子工程学院北京 102206;郴州供电局郴州 423000;华北电力大学电气与电子工程学院北京 102206;华北电力大学电气与电子工程学院北京 102206【正文语种】中文【中图分类】TM744【相关文献】1.基于交叉格莱姆矩阵的最小信息损失模型降阶方法 [J], 付金宝;章辉;孙优贤2.平衡特征正交分解及其在机翼气弹模型降阶中的应用 [J], 汪凯;吴凡;姜长生3.平衡截断方法在气动伺服弹性系统rn模型降阶中的应用 [J], 熊纲;杨超4.平衡截断法在带式输送机系统模型降阶中的应用 [J], 岳宇鹏5.基于希尔伯特-施密特范数和交叉格莱姆的模型降阶方法 [J], 付金宝;仲崇亮;丁亚林因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Lyapunov矩阵方程式的解析解
Lyapunov矩阵方程式的解析解
赵群飞;张国伍
【期刊名称】《系统工程》
【年(卷),期】1991(9)4
【摘要】本文提出了一种Lyapunov矩阵方程的解析解法。
运用此法,通过简单的标量计算降低了矩阵运算处理的阶数,而且在方程唯一解存在的情况下,对已知矩阵不加任何条件限制,也不用施行任何矩阵变换运算,就可求得其解。
【总页数】5页(P28-32)
【关键词】Lyapunov矩阵方程;解析解
【作者】赵群飞;张国伍
【作者单位】北方交通大学应用分析系统研究所;北方交通大学
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.一类混合型Lyapunov矩阵方程的对称正定解 [J], 黄敬频
2.一类广义Lyapunov矩阵方程的正定解 [J], 李春梅;段雪峰;彭振赟;江祝灵
3.两类基于MATLAB的Lyapunov与Riccati线性矩阵不等式可行解的算法分析与验证 [J], 薛亚宏
4.求Lyapunov矩阵方程的双对称解的迭代算法 [J], 尚丽娜;张凯院
5.关于Lyapunov矩阵方程的公共解 [J], 周后卿
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lyapunov方程求数值解
lyapunov方程求数值解
Lyapunov方程是控制理论中的一个重要方程，用于求解线性系
统的稳定性。
Lyapunov方程的一般形式为AX + XA^T = -Q，其中A
是系统的状态矩阵，X是要求解的对称正定矩阵，Q是一个对称正定
矩阵。
Lyapunov方程的解决对于确定系统的稳定性和性能至关重要。
要求解Lyapunov方程的数值解，通常可以采用以下方法之一：
1. Schur分解法，这是一种常用的数值方法，它将状态矩阵A
分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
然后，可以将Lyapunov方程转化为一个更容易求解的形式，进而求解X的数值解。
2. 离散时间Lyapunov方程的数值解，对于离散时间系统，可
以利用迭代法或者数值线性代数方法来求解Lyapunov方程的数值解。
3. MATLAB等数学软件，许多数学软件包括MATLAB都提供了专
门用于求解Lyapunov方程的函数或工具箱，可以直接利用这些工具
来求解数值解。
无论采用哪种方法，都需要注意数值解的稳定性和精度，尤其
是在系统维度较大时。
此外，还需要对所得到的数值解进行验证，确保其满足Lyapunov方程的定义和性质。
总之，求解Lyapunov方程的数值解需要结合数值方法和专业工具，以确保得到准确可靠的结果。
计算lyapunov指数,利用wolf方法[技巧]
![计算lyapunov指数,利用wolf方法[技巧]](https://img.taocdn.com/s3/m/97e9f7380166f5335a8102d276a20029bd646319.png)
!系统表现为常微分方程组：（洛伦兹系统）!使用Wolf方法，注意IVF与fortran下面使用库函数的不同PROGRAM LE_DIFEQEN!INCLUDE 'link_fnl_shared.h'!USE numerical_libraries!使用fortran65用下面的一句话，用IVF使用上面的两句话USE IMSLIMPLICIT NONEINTEGER,PARAMETER::N=3 ! 原始微分方程个数INTEGER,PARAMETER::NN=12 !系统变量个数N+N*NEXTERNAL FCN !计算微分方程的子程序INTEGER I,J,K,L,NSTEP,IDO!NSTEP为计算次数REAL::TOL,STPSZE,T,TEND!T为系统的初始时间值，执行一次IVPRK后设为TEND（所要计算的系统时间值）!STPSZE为从T到TEND的时间步长!TOL为期望的误差范围REAL::Y(NN),ZNORM(N),GSC(N),LE(N),PARAM(50)!ZNORM中放向量的模!LE中放李雅普洛夫指数!非线性系统的初值Y(1)=10.0Y(2)=1.0Y(3)=0.0!线性系统的初值DO I=N+1,NNY(I)=0.0END DODO I=1,NY((N+1)*I)=1.0LE(I)=0.0END DO!参数设置参数设置参数设置参数设置IDO=1PARAM=0PARAM(4)=5000000param(10)=1.0T=0.0TOL=1E-2NSTEP=1000000STPSZE=0.01DO I=1,NSTEPTEND=STPSZE*REAL(I)CALL IVPRK(IDO,NN,FCN,T,TEND,TOL,PARAM,Y)!以下部分将N个向量正交单位化!V1=(Y(4),Y(7),Y(10))!V2=(Y(5),Y(8),Y(11))!V3=(Y(6),Y(9),Y(12))!.......! Normalize the first vectorZNORM(1)=0.0DO J=1,NZNORM(1)=ZNORM(1)+Y(N*J+1)**2END DOZNORM(1)=SQRT(ZNORM(1))DO J=1,NY(N*J+1)=Y(N*J+1)/ZNORM(1)END DO!Generate the new orthonormal set of vectorsDO J=2,N! Generate J-1 GSR coefficientsDO K=1,(J-1)GSC(K)=0.0DO L=1,NGSC(K)=GSC(K)+Y(N*L+J)*Y(N*L+K)END DOEND DO! Construct a new vectorDO K=1,NDO L=1,(J-1)Y(N*K+J)=Y(N*K+J)-GSC(L)*Y(N*K+L) END DOEND DO! Calculate the vector's normZNORM(J)=0.0DO K=1,NZNORM(J)=ZNORM(J)+Y(N*K+J)**2 END DOZNORM(J)=SQRT(ZNORM(J))! Normalize the new vectorDO K=1,NY(N*K+J)=Y(N*K+J)/ZNORM(J)END DOEND DODO K=1,NLE(K)=LE(K)+ALOG(ZNORM(K))/ALOG(2.0) !计算指数END DOEND DOCALL IVPRK(3,NN,FCN,T,TEND,TOL,PARAM,Y)DO K=1,NWRITE(*,'(f12.2)') LE(K)/TEND DOSTOPEND PROGRAM LE_DIFEQENSUBROUTINE FCN(N,T,Y,YPRIME)IMPLICIT NONEINTEGER N,IREAL T,Y(12),YPRIME(12)YPRIME(1)=16.0*(Y(2)-Y(1))YPRIME(2)=-Y(1)*Y(3)+45.92*Y(1)-Y(2)YPRIME(3)=Y(1)*Y(2)-4.0*Y(3)DO I=0,2YPRIME(4+I)=16.0*(Y(7+I)-Y(4+I))YPRIME(7+I)=(45.92-Y(3))*Y(4+I)-Y(7+I)-Y(1)*Y(10+I)YPRIME(10+I)=Y(2)*Y(4+I)+Y(1)*Y(7+I)-4.0*Y(10+I)END DORETURNEND SUBROUTINE。
李雅普诺夫方程求解
李雅普诺夫方程求解李雅普诺夫方程是一个非线性偏微分方程，具体形式如下：ut + uux + αuxx = 0其中，u(x,t)为未知函数，α为常数。
它的物理意义是描述一维非粘性流体中的波动行为。
该方程的解析解一般较难求解，但是可以通过一些数值方法进行近似求解。
求解李雅普诺夫方程的一种经典方法是使用有限差分法。
该方法将连续的一维空间离散化成N个点，同时将时间轴也进行离散化，得到一个网格结构。
在这个网格上，我们可以用差分方程来逼近方程的求解。
具体来说，我们可以使用简单的方法，比如向前欧拉方法（即前向差分法）或者向后欧拉方法（即后向差分法），也可以使用更高阶的方法，比如Crank-Nicolson方法。
无论使用什么方法，都需要注意网格的选择。
如果网格太粗，求解结果的精度会降低；如果网格太细，计算时间会增加，同时出现数值不稳定的现象。
通常情况下，我们需要通过试探，确定合适的网格大小。
求解李雅普诺夫方程的另外一种方法是使用数值模拟法。
该方法可以对方程进行更加精细的求解，同时可以考虑更加复杂和现实的情形。
数值模拟法的基本思想是将流体划分成一个个微小的体积元，同时考虑它们之间的相互作用和力的作用。
在这个基础上，我们可以模拟出流体在某一时刻的状态，并利用时间迭代，得到流体在未来各个时刻的状态。
数值模拟法的缺点是计算速度较慢，同时也难以处理特定的边界条件。
但是，它适用于各种不同的物理问题，并且也可以处理更加复杂的流体现象。
总的来说，李雅普诺夫方程是一个非常重要的理论问题。
虽然它的解析解较为复杂，但是通过数值方法和物理模拟，我们可以有效地求解它，同时深入研究一维非粘性流体的波动行为。
lyapunov-schmidt方法
Lyapunov-Schmidt方法是一种用于非线性方程组的求解的数值方法。
它是由俄罗斯数学家Aleksandr Lyapunov和德国数学家Ernst Schmidt分别在19世纪和20世纪提出的。
这种方法在处理非线性问题时非常有效，并且在应用数学和工程领域得到了广泛的应用。
Lyapunov-Schmidt方法的核心思想是将原始的非线性方程组转化成一系列线性方程组，从而简化求解过程。
这种方法的优势在于可以通过有限步骤来逼近非线性方程组的解，从而大大提高了求解效率。
下面我们将详细介绍Lyapunov-Schmidt方法的原理和应用。
1. Lyapunov-Schmidt方法的原理Lyapunov-Schmidt方法的原理是通过引入一组正交归一的特征函数，将原始的非线性方程组转化为一系列正交归一的线性方程组。
这样一来，原始的非线性方程组就被分解成了一系列互相独立的线性方程组，从而使得求解过程变得更加简单和高效。
2. Lyapunov-Schmidt方法的应用Lyapunov-Schmidt方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
比如在物理学中，通过Lyapunov-Schmidt方法可以求解复杂的非线性波动方程，从而对物质的运动和变形进行研究。
在工程领域，Lyapunov-Schmidt方法可以用于求解具有非线性特性的结构力学问题，如弹性体的变形和弹性波的传播等。
3. 使用案例我们以一个简单的非线性方程组为例来说明Lyapunov-Schmidt方法的求解过程。
假设我们有一个非线性方程组：f(x, y) = 0g(x, y) = 0我们希望求解这个方程组的解。
我们可以通过Lyapunov-Schmidt方法将原始的非线性方程组转化为一系列正交归一的线性方程组：Φ1(x, y) = 0λ1(Φ1x + Φ1y) = 0Φ2(x, y) = 0λ2(Φ2x + Φ2y) = 0...我们可以通过求解这一系列线性方程组来逼近原始的非线性方程组的解。
Lyapunov方程求解(附件)
广西大学实验报告纸学院：电气工程学院 专业：自动化 成绩： 组员：陈平忠（1302120238） 黄智榜（1302120237） 班级：实验地点：808实验室 2015年12月 18日 实验内容：Lyapunov 方程求解【实验目的】1、掌握求解Lyapunov 方程的一种方法，了解并使用MATLAB 中相应函数。
【实验设备与软件】1、硬件：PC 机一台；软件：MATLAB/Simulink 。
【实验原理】1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov 方程判据线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程：Q PA P A T -=+该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。
线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程：Q P PG G T -=-该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。
2、在MATLAB 控制工具箱中，函数lyap 和dlyap 用来求解lyapunov 方程。
P =lyap （T A ,Q )可解连续时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和A 为具有相同维数的方阵（A 是系统矩阵）。
如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。
P =dlyap （T G ，Q ）可解离散时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和G 为具有相同维数的方阵(G 是系统矩阵)。
如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。
3、连续情况下的最小相位系统：系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。
【实验内容、方法、过程与分析】 题目1实验内容：输入连续状态空间模型()∑=D C,B,A,:[]0,1100,0001,0100001000014283==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=D C B A（1）选取正定矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001Q ,求稳定性判别矩阵P ，判定系统是否稳定。
-Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
6.2 Lyapunov第二方法
AT (P1 P2 ) (P1 P2 )A 0
因此，
eAT t [AT (P1 P2 ) (P1 P2 )A]eAt 0
d dt
[eAT t
(P1
P2
)eAt
]
0
eATt (P1 P2 )eAt C t
t0 P1 P2 C
又
limt eATt (P1 P2 )eAt 0
m12
0
2a22 m22 1
A1
上述方程组的系数矩阵A1的行列式为
det( A1 )
4(a11
a 22
)(a11a22
aa 12
21
)
4(a11
a 22
)
det(A)
若detA10，方程组就有唯一解，其解为
P
2
det(A)
a221
a222
(a12a22
a 21a11 )
det(A1) (a12a22 a21a11) det(A) a121 a222
层层相套、随 C 0 而向原点退缩。又由 V 半负
定知V(x)的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而 不会增加，这表明系统关于原点（零解）是稳定的。
x2 x1
x2 x1
定理5( Lyapunov渐近稳定性定理) 如果对微分方程组(6.20)可以找到一个函数V ( x),满足
（1）V ( x) 0
v(x ) xT Px
对其沿方程的解微分，有
V xT (AT P P A)x xTQx 0
由定理7-21*知零解渐近稳定。
必要性：若dV/dt=Ax渐近稳定，要证明对任意给定
的对称正定阵Q，有唯一的正定对称阵P存在，使得 (?)成立。为此，考虑矩阵微分方程
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Ｏ ｒ ｅ Ｉ ｅ ｃ ｎｎｅ ｔ ｄ ｒ ｎｔ ｒ ｏ ｃ Ｍ ａ ｒ ｍ ｏ ｌｎｇ ｃｏ ｄｅｉ Ａ ｌ ｏｒｔ ｇ ｉｈｍ ）。 ［］
算 法 降低 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ方 程 求 解 的 计 算 复 杂 性 ， 种 这
方法 既能综 合 上述 方 法 的优 点 ， 兼 顾 了 速度 且 保 又 持 了系统 特性 ．
处 理该 问题 ． 平 衡截 断 法 的关 键 步 骤是 求 解 两 个 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ
量 的维度 相匹 配． 系统 的控 制 矩 阵 和 观察 矩 阵分 此
别 是 下 面两个 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ方 程 的解 Ｐ和 Ｑ
｜ Ｐ Ｐ Ａ ＢＢ 一 ０
方程 ， 以此得 到系 统 的控 制 和 观察 矩 阵 ＿ ． 而 ， ４然 ］ 直 接 求解 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ方 程所 需 的计 算 量 将 是难 以承 受 的． 这种 直接 求解 法 最 初 在 控 制领 域 也 仅 仅 用 来 处
文献标识码 ： Ａ
中 图分 类 号 ： ３ ． ； ７ ． Ｏ ２ １ １ ＴＰ ２ １ １
方 程 的低秩 近似 解 ， 使用 Ｐ Ｉ Ｒ ＭＡ（ ａ ｓ ｅＲｅ ｕ ｅ— Ｐ ｓｉ ｄ ｃｄ ｖ
０ 引 言
在 对一 个 复杂 的 线 性 系 统进 行 仿 真 的时 候 ， 为 了减少 计算 时 间和 存 储 量 的需 求 ， 常会 对 原 系 统 通 进 行 降阶处 理 ， 以期 望 得 到 一 个 低 阶 近似 模 型 来 仿
厂 Ａ Ｂ ］ ． 厂Ｔ ， ＡＴ Ｔ ］ Ｂ
Ｄ Ｊ
究 者在 此算 法 中 引入 迭 代 思 想 产 生 了 ＡＤ 算 法 Ｉ 和 Ｌ ｗ— ａ ｋ Ｌ ｏ Ｒ ｎ （ Ｒ）Ｓ ｔ ｍｉ ｈ算 法ｌ ］ 尽 管 这 些 算 法 ６ ．
在 Ｌ ａｕｏ ｙ ｐ ｎ ｖ方 程 的求 解 上 取 得 了 显 著 的进 步 ， 但
文 章 编 号 ： ６ １８ ３ （ ０ ８ ０ — ３ ５ ０ １ ７－８ ６２ ０ ）３０ ３—３
模型降阶 中的 Ｌ ａ ｕ ｏ 方程求解方法 ｙｐ ｎ ｖ
黄 晓笛 ，王 高 峰 ，金 晓 晴
（ 汉 大学 计算 机 学院 ，湖 北 武汉 ４ ０ ７ ） 武 ３ ０ ２
摘 要 ： 出 了一 种 综合 使 用 Ｐ Ｉ 提 Ｒ ＭＡ（ ａｓ ｅＲ ｄ ｃｄＯ ｄｒ ｎｅｃｎ ｅｔ ｃ ｍｏｅｎ ｌｏｉ ｍ） Ｌ ｗ－ ａｋ Ｐ ｓｉ ｅｕｅ ｒｅ Ｉｔ ｏｎｃ Ｍａｒ ｄｌ ｇＡｇ ｒｈ 和 ｏ Ｒ ｎ ｖ ｒ ｏ ｉ ｔ Ｓｉ ｍ ｔ 法 来 处理 模 型 降 阶 问题 ， 算法 能够 很 好 的 求 解 Ｌ ａｕ ｏ 方 程 的 低 秩 近似 解． 用 本 算 法 处 理 模 型 降 阶 中 ｈ算 该 ｙｐｎ ｖ 使 的平 衡截 断法 产 生 的 Ｌ ａｕｏ 方 程 时 ， 以平 衡 误 差 与 精 度 ， 得平 衡 截 断 法 在 大规 模 系统 中得 以运 用 ． ｙｐ ｎ ｖ 可 使 关 键 词 ： 型 降 阶 ；平 衡 截 断 法 ； 制 系统 理论 模 控
是 在 降阶处 理过 程 中往往 无法 保证 系统 的无 源性 和
其 中 Ｘ是 Ｎ 维 状态 向量 ， Ｕ是 维输 入 向量 ， Ｙ是 ｑ 维 输 出 向量 ． Ｂ， Ａ， ｃ和 Ｄ ４个 实 矩 阵 的大 小 与各 向
全 局误 差 ． 而控 制理论 中 的平 衡截 断法 ， 能较好 的 却
真． 这样 仿 真 时所 需 的计算 量 和存 储量将 极 大减 少．
但 在减 少计 算量 和存 储量 的同时也 希望 降 阶后 的系 统 能 够保 持原 系统 的频 率特性 ， 且误 差尽 可 能小 ． 并
此 外 在模 型降 阶 的时 候 保 持 系 统 的稳 定 性 、 源 性 无
１ 平 衡 截 断 法
理 中小 规模 系统 ， 法运 用于 复杂 系统 ． 无 因此后续 研
ｌ， ＡＱ＋Ｑ Ａ＋ｃ 一 ０ ＇ ｃ
Ｐ和 Ｑ 的小特 征值 的特 征 向量分别 包 含难 以控 制和
难 以 观察 的系 统状态 ．
如果 Ｐ ＝Ｑ， 是对 角矩 阵 ， 且 由于特 征值 相 同 ， 那 么难 以观察 的状态 同样 也 是难 以控 制 的． 于 一 般 对 情况 ， 就是 要找 到一 个非 奇异 变换 矩 阵 Ｔ， 使得 变 换 后 的等价 系统 的控制 观察 矩 阵相 同且为 对 角阵
已知 一个 线性 系统 ：
也 非 常重要 ． 常见 的一 类 模 型 降 阶 方 法 是采 用 矩 匹
配 的 思想 来 处 理 降 阶 问题 ， ＡｗＥ １ Ｋｒｌｖ子 如 ｌ和 ｙｏ
｛ Ａ＋ｕ ｆ ｘ ０ ｚ — Ｂ
—
空 间迭 代法 ｌ ］这 类 方 法 的优 点 是 计 算 速 度 快 ， ２． 但
维普资讯
第 ５ ４卷 第 ３期
２０ ０ ８年 ６月
武汉 大 学 学 报 （ 学 版 ） 理
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