湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合的综合应用导学案新人教A版选修2-3讲解
2020学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2.2组合的综合应用课件新人教A版选修2_3
题型二 与几何有关的组合问题
例2 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再
无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同 的三角形？
【自主解答】 解法一 以从共线的 4 个点中取点 的多少作为分类的标准．
第 1 类：共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点， 共有 C24C18＝48 个不同的三角形；
解析 若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四 位数的个数为 C25C23A44；若取的 4 个数字包括 0，则可以 组成的四位数的个数为 C25C13C13A33.综上，一共可以组成 的没有重复数字的四位数的个数为 C25C23A44＋C25C13C13A33 ＝720＋540＝1 260.
答案 1 260
(2)含有 0 的：这时 0 只能排在除首位(万位)以外的四 个位置中的一个，有 A14种排法；再从 2，4，6，8 中任取 一个，有 C14种取法；从 5 个奇数数字中任取 3 个，有 C35种 取法，再把取出的 4 个数全排列有 A44种方法，故有 A14C14C35 A44种排法．(4 分) 第二步：对每一类进行分步计算
◎变式训练
1．某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8 名学生组成“假期下乡送科学小组”．
(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的 选法？
(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的 选法？
(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的 选法？
解析 (1)至少有 3 名女生的选法可分为如下四类： 有 3 名女生：C36·C510种选法；有 4 名女生：C46·C410种 选法；有 5 名女生：C56·C310种选法；有 6 名女生：C66·C210 种选法．所以至少有 3 名女生共有 C36·C510＋C46·C410＋ C56·C310＋C66·C210＝8 955 种选法．
湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.3排列的综合应用练案新人教A版选修2_
1.2.1.3 排列的综合应用考试要求1. 理解排列的意义；2. 掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．基础训练一、选择题1.字母a,b,c,d,e,f排成一列，其中a和b相邻且a在b的前面，共有排列方法种数为（A ）A. 120B.240C.360D.7202. 5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（A）A. 52A A种 B. 52746A A种 C. A5A2种 D. A7A6种5455563.若直线Ax By0的系数A,B可以从0,2,3,4,5,6中取不同的值，这些方程表示不同直线的条数为（B ）A. 15B.18C.32D.364.（2012·全国卷）将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ A ）A. 12种B.18种C.24种D.36种解析：先排第1列，有A3种，再排第2列，有2种方法，故共有33212A种排列方法. 35.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（D ）A.234B.363C.350D.346二、填空题6.某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20 . 解析：先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有A2种.5207. 8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有5760 排法.1解析：按照前排甲、乙，后排丙，其余 5人的顺序考虑，共有42 41 555760A A A种.8.（★★★）用 1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇 偶性不同，且 1，2相邻，这样的六位数的个数是 40 .解析：可分三步来完成这件事： 第一步，先将 3，5进行排列，有2A 种排法.2 第二步，再将 4，6插空排列，有 22A 种排法.2第三步，将 1，2放入 3，5，4，6形成的空中，有 A 1种排法.5故共有2 2 1A A A种排法. 222 540三、解答题9.某次文艺晚会上共演出 8个节目，其中 2个歌曲， 3个舞蹈，3个曲艺节目，求分别满足下 列条件的节目编排方法有多少种？（1）一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台； （2）2个歌曲节目互不相邻；（3）2个歌曲节目相邻且 3个舞蹈节目不相邻. 解析：（1）2 66 730240 4 5 2 2880A 2 A 61440 种排法.（2） A 6 A 2种排法.（3） A 4 A 3 A 2种排法.10（★★★）. 用 1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数 a 1a 2a 3a 4a 5 ，满足 a 1a 2 ，aa ，23aa ， aa 的五位数有多少个？3445解 析： a 2 只能是 3，4，5.（1）若 a 23，则 a 45，a，54 a 与a 是 1或 2，这时共有13A个符合条件的五位数.（2）若 a24 ，则 a，452 22a a a 可以是 1,2,3中的一个.1, 2 , 3A个符合条件的五位数.（3）若 a25，则 a或 ，此时分别与（1）（2）情况 4 3 4共有3 36相同，故共有 2(A 2A 3)16个.23练后反思2。
湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.3排列的综合应用导学案新人教A版选修2
1.2.1.3 排列的综合应用【学习目标】1.熟练掌握排列数公式；2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.重点：正确地解决几种常见的有限制条件的排列问题.难点：综合运用分类法、捆绑法、插空法、特殊元素法、特殊位置法等解决实际问题.【问题导学】复习：请列举出一些带有限制条件的排列问题，并思考相应的解决方法.【合作探究】探究任务一：解决排列问题的几种基本方法问题1：某小组6个人排队照相留念．(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？解析：（1）捆绑法，共有52A5A2240种.（2）法一：对于每一种符合条件的站法，对调甲、乙两人的位置（其余人不动），就得到一种不符合条件的站法（乙在甲的右边）；反之，对于每一个不符合条件的站法，对调甲、乙两人的位置（其余人不动），也得到一种符合条件的站法（甲在乙的右边），并且，对调前后也都是这6个人的全排列之一.因此，符合条件的站法共有A 种. 663602法二：从6个位置中选出2个位置让甲、乙站，且甲在乙的右边，有A262种站法，其余4个人站余下的4个位置，有A4种站法，由分步乘法计数原理知共有4A262A4种站法.4360（3）插空法：先排3名女生，再插入3名男生.共有33A A种.34144（4）法一：分两类.第1类，甲在排尾时，有A5种站法；第2类，甲不在排尾时，有A1A1A454441种站法；由分类加法计数原理知共有55414144504A A A A种站法.法二（间接法）：6625544504A A A种站法.（5）从6人中选2人站前排，有A2种站法，其余4人站后排，有A4种站法，故共有24A A64720 64种站法.问题2：从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？解析：法一（元素分析法）：优先考虑运动员甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A4种参赛方案；5第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，然后安排其他3棒，有2A3种参赛方案.5由分类加法计数原理知共有43A A种参赛方案.525240法二（位置分析法）：优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可从除甲外的5人中选2人，有A25种方法，其余两棒从剩下的4人中选，有A2种方法.4由分步乘法计数原理知共有A2A2种参赛方案.54240法三（排除法）：不考虑甲的约束，6人占4个位置，有A4种安排方法，剔除甲跑第一棒和6第四棒的参赛方案有2A3种，所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A4A3种.625240 5探究任务二：部分元素顺序一定的排列问题问题3：将A，B，C，D，E这五个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻），则这样的排列有多少种？解析：5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序一定，这种问题有以下两种常见的解法.法一（整体法）：5个元素无约束条件的全排列有A5种，由于字母A，B，C的排列顺序为5“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上面的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排法有A55A33240种.法二（插空法）：若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，这时形成4个空当，分两类将字母D，E插入.2第 1类，若字母 D ，E 相邻，则有 A 1 A 2 种排法；4 2第 2类，若字母 D ，E 不相邻，则有 A 2 种排法.4所以有41 224220A AA种不同的排法.同理，若字母 A ，B ，C 的排列顺序为“C ，B ，A”，也有 20种不同的排法，因此满足条件的排 法共有 2020 40种.【深化提高】将数字 1，2，3，4，5，6拼成一列，记第 i 个数为 a (i1，2，，6) ，若ia，1 1a ， 3 3a 55 ，aaa ，则不同的排列方法有多少种？135解析：分两步：第 1步，先排 a 1,a ,a ， a =2，有 2种； a =3有 2种； a =4有 1种，35111共有 5种；第 2步，再排a 2 ,a ,a ，共有 3 6A 3 种，故不同的排列方法种数为 5×6=30.46【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差●当堂检测A 组（你一定行）：1.用 1，2，3组成没有重复数字的整数，可以组成整数的个数为 （ B ） A.27个B. 15个C. 12个D. 6个 2.某台小型晚会由 6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能 排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ B ） A.36种B.42种C. 48种D. 54种B 组（你坚信你能行）：3.若 2n 个学生排成一排的排法数为 x ,这 2n 个学生排成前后两排，每排各 n 个学生的排法数 为 y ，则 x ， y 的关系为（ C ）A. x yB. x yC. x yD. x2y4.在由数字0，1，2，3，4，5所组成没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有3192 个.C组（我对你很有吸引力哟）：5. 8张椅子排成一排，有4个人就座，每人1个座位，恰有3个连续空位的坐法共有多少种？解析：把4个人先排，有A4,且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位当成两4个不同的元素去排5个缝隙位置，有245480A,所以共有A4A2种.5【小结与反思】4。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(第2课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.2 组合第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断以下问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列那么需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成以下两个练习： 练习1：求证：C m n ＝n m C m －1n －1.(本式也可变形为：mC m n ＝nC m －1n －1)练习2：计算：①C 310和C 710；②C 37－C 26与C 36；③C 411＋C 511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120 ②20,20 ③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示．2．组合数的公式：C m n＝A mn A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C mn ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m∈N ，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充． 活动成果：1．性质：(1)C mn ＝C n －mn ；(2)C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .2．证明：(1)∵C n －mn ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！，又C mn ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －mn .(2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C mn ＋1，∴C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质 1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (2)求证：C nm ＋2＝C nm ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C nm ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C nm ＋1＋C n －1m ＋1＝C nm ＋2＝左边． [巩固练习]求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝n2n －1.证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C nn ，其中C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n 个同学，选出假设干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，那么选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n －1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．[变练演编]求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n(n ＋1)2n －2.证明：由于i 2C in ＝C 1i C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．假设组长和副组长是同一个人，那么有n2n －1种选法；假设组长和副组长不是同一个人，那么有n(n－1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n －2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少〞“至多〞的问题，通常用分类法或间接法求解． [巩固练习]1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C 34，C 24×C 16，C 14×C 26种方法，所以，一共有C 34＋C 24×C 16＋C 14×C 26＝100种方法． 解法二：(间接法)C 310－C 36＝100.2．按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选； (3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选； (5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C 33C 29＝36；(2)C 03C 59＝126；(3)C 11C 49＝126；(4)C 13C 49＝378； (5)方法一：(直接法)C 03C 59＋C 13C 49＋C 23C 39＝756， 方法二：(间接法)C 512－C 33C 29＝756；(6)方法一：(直接法)C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666， 方法二：(间接法)C 512－C 03C 59＝666. [变练演编]有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少X 不同的？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C 45C 44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝60种； 第三类：2名英、法语皆通的均选，有A 22C 35C 34＋C 25C 44＋C 45C 24＝120种． 根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的． [达标检测]1．计算：(1)C 399＋C 299；(2)2C 38－C 39＋C 28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求X 、王两人中至多有一个人参加，那么有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，那么甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种． 答案：课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题． 2．方法收获：化归的思想方法． 3．思维收获：化归的思想方法．补充练习[基础练习]1．求证：(1)C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn －1＋C m －1n －1；(2)C m ＋1n ＋C m －1n ＋2C mn ＝C m ＋1n ＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，那么一共有多少种不同的取法？38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．[拓展练习]现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，那么有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，那么每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，那么使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1〞所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有C m－1n＋m－1组．简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，那么方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1n＋m－1.。
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相 等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个 不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具 体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫 一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交 换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5， 当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合的综合应用练案 新人教A版选修2-
湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合的综合应用练案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合的综合应用练案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2.2组合的综合应用明确排列与组合的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；能运用所学的排列组合知识，正确地解决的实际问题.一、选择题1．下列问题中是组合问题的个数是 （ )①从全班50人中选出5名组成班委会；②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1,2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1,2，3，…，9中任取出两个数求差或商． A ．1 B ．2 C ．3D ．42．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有( ） (A ）3254C C 种 （ B)3254C C 55A 种 （C)3254A A 种 （D ） 3254A A 55A 种3．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落,电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有( ） （A ）5种 (B ）6种 （C)63种 (D ）64种4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有 ( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种5．设凸n (n ≥3）棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f （n ）,则f （n ＋1）－f （n ）＝（ )A ．n －1B ．nC ．n ＋1D ．n ＋26．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ )A ．85B ．56C ．49D ．28二、填空题7．10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有________种． 8．若C 错误!〉6，则m 的取值范围是__________．9．从2,3,5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________。
松滋高中数学第一章计数原理1.2排列与组合超全的排列组合解法导学案
超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略----优限法例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略----捆绑法例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
湖北省松滋市高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组
1.2.1.1排列的概念及简单排列问题【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导；3. 能运用所学的排列知识，正确地解决一些简单的实际问题重点：排列、排列数的概念难点: 排列数公式的推导【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P14—P18内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1. 分类加法计数原理： .2. 分步乘法计数原理：3. 从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的方法？解析：4.上面的问题3中，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？5.排列的概念元素：问题中被取出的对象 .排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列.6.相同排列的条件元素相同，顺序相同.7.排列数的概念m ）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 从 n 个不同元素中取出 m （n个不同元素中取出m 元素的排列数，用符号 mn A 表示.8. 排列数公式从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L . 9. 全排列从n 个不同元素中 全部 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A (1)(2)21!n n n n --⋅=L .【合作探究】问题1：如何判断一个具体的问题是不是排列问题？下列问题哪些是排列问题？说明理由.(1) 某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一名，共有多少种可能的选举结果.(2) 从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？(3) 20位同学互相握一次手，问共握手多少次？(4) 有12个车站，共需准备多少种车票？(5) 从集合{}19,M x x x N =≤≤∈中任取相异的两个元素作为a ,b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b+=？ 解析：（1）（2）（4）选取元素后还要进行排列，是排列问题.问题2：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？问题3：写出下列问题的所有排列：（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？（2）由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？问题4：填写下表：问题5：（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则n = 17 ，m = 14 ．（2）乘积(55)(56)(68)(69)n n n n ----L 用排列数符号表示1569m A - （n N ∈）.(3)计算5499651010A A A A +-（ 答：320）（4）解方程18934x x A A -=（ 答：6x =）【深化提高】有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？解析：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用课件新人教A版选修2
法二(插空法) 将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A26种排法．故排法共有 A55×A26＝3 600(种)．
1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第 2 课时 排列的综合应用
[学习目标] 1.进一步理解排列的概念(重点)． 2. 掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运 用排列的相关知识解一些简单的排列应用题(重点、难 点)．
1．解简单的排列应用题的基本思路
2．解排列问题的基本方法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的 要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为 考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又 称位置分析法)．
解析：先对 8 个人全排列，有 A88种情形，其中甲、
乙的顺序有两种情形，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占 一半，则甲、乙顺序一定的情形有12A88种，所以男生甲和
12A88 1 女生乙顺序固定的概率为 P＝ A88 ＝2.
答案：12
1．注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止 重复与遗漏．
2．对有限制条件的位置或元素应先排列，并适当选 择直接法或间接法．
3．同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有 时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．
4．要通过解答排列应用题，深化对分步计数原理和 分类计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步” 的意识，并在具体操作中确保两点：一是分类要使得各 类的并集等于全集，任意两类的交集为空集，这样才能 不重不漏；二是分步要使得各步具有连续性、独立性， 也要保证“不重不漏”．在分类与分步的过程中，要善于 画树状图．
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第2课时组合的综合应用高效演练新人教A版选修2-3
2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 第2课时组合的综合应用高效演练新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 第2课时组合的综合应用高效演练新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 第2课时组合的综合应用高效演练新人教A版选修2-3的全部内容。
第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ）A．72种B．84种C．120种D．168种解析：需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C错误!＝120（种）．故选C.答案:C2．6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站第二道也不能站第一道,乙必须站在第五道或第六道，则不同的排法种数共有( ）A．144 B．96 C．72 D．48解析:先为乙选一道C错误!，再为甲选一道C错误!，余下4个人有A错误!，则共有C错误!C错误! A44＝144。
答案：A3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种,在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种,则不同的试种方法有( ）A．24种 B．18种 C．12种 D．96种解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C错误!种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A错误!种方法，所以所求方法有C错误!A错误!＝18(种)．答案：B4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种 B．20种 C．36种 D．52种解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C错误!种放法，第二类,2号盒子里放3个球，有C错误!种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C24＋C错误!＝10(种)．答案：A5．一副扑克牌去掉两张王后还有52张，将牌发给4个人，每人13张，则某人获得的13张牌中花色齐全的情况数为（)A．(C错误!）4C错误!B．C错误!－4C错误!－6C错误!－4C．C13，52－C错误!C错误!＋C错误!C错误!－C错误!C错误!D．C错误!－C错误!C错误!＋C错误!C错误!解析：从52张牌中任意取出13张牌的全部取法为C错误!,缺少某一中花色的取法为C错误!,缺少两种花色的取法为C错误!，缺少三种花色的取法为C错误!，则四种花色齐全的取法为C错误!－C错误!C错误!＋C错误!C错误!－C错误!C错误!。
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1.2.2组合的综合应用
【学习目标】
明确排列与组合的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；能运用所学的排列组合知识，正确地解决实际问题.
【重点难点】
重点：能正确认识组合与排列的联系与区别.
难点：理解组合的意义，正确地解决实际问题..
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P 26内容并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1.下列问题中是组合问题的个数是（ 2 ）
( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长，副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
2. 求值：173213n n n n C C -++. 解 由⎩
⎪⎨⎪⎧ 2n ≥17－n ≥013＋n ≥3n ≥0，解得173≤n ≤132. 又n ∈N *，∴n ＝6，故原式＝C 1112＋C 1819＝C 112＋C 119＝31
3.要从12人中选出5人去参加一项活动，
下列要求，有多少种不同选法？
(1)A ，B ，C,3人都参加；
(2)A ，B ，C,3人都不参加；
(3)A ，B ，C,3人中只有一个参加．
解 (1)只需再从A ，B ，C 之外的9人中选择2人，
所以有方法C 2
9＝36(种)．
(2)由于A ，B ，C 三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法C 59＝126(种)．
(3)可分两步：先从A ，B ，C 三人中选出一人，有C 13种选法；再从其余的9人中选择4人，
有C 49种选法．
所以共有选法C 13C 49＝378(种)．
4.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛．
(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
解 (1)从男生中选2人，从女生中选2人，
共有C 25C 24＝60(种)选法；
(2)男生中的甲与女生中的乙必须在内，只需从除2人外的其余7人中再选2人，有C 27＝21(种)选法；
(3)从反面考虑，只要9人中选4人，减去不含男生甲和女生乙的情况，有C 49－C 47＝91(种)选法；
(4)从反面考虑，只要所有情况减去全是男生和全是女生的情况，有C 49－C 44－C 45＝120(种)选法．
【合作探究】
问题1：四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？
解：（1）根据分步计数原理：一共有 种方法；
问题2：四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？
解：（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素，有
种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以， 一共有 ＝144种方法
问题3：（3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯．
故 所求方法总数为
种方法 44256
=24C 34
A 24C 34A 3
620C =
【深化提高】
5.(1) 以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，直径AB上另有4个点，
共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？
(2) 在角A的一边上有五个点(不含A)，另一边上有四个点(不含A)，由这十个点(含A)可构成多少个三角形？
解(1)分类讨论：A、B只含有一个点时，
共有2(C36＋C26C14)＝160(个)；
既含A又含B时，共有C26＝15(个)；
既不含A也不含B时，共有C410－1－C34C16＝185(个)．
所以共有160＋15＋185＝360(个)．
(2)含A点时，可构成C15C14＝20(个)三角形；
不含A点时，可构成C25C14＋C15C24＝70(个)三角形．
故共有20＋70＝90(个)三角形．
【学习评价】
●自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
●当堂检测（3选2填或2选2填1解答）
A组（你一定行）：
1. 某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( D ) ( ) A．C310种 B．A310种
C．A27·A13种 D．C27·C13种
2. 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( C ) ( ) A．300 B．216
C．180 D．162
B组（你坚信你能行）：
3. 8个人坐一排，现要调换其中3人的位置，其余5人不动，则不同的调换方式有112种．
4. 要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有91种不同的选法.
C组（我对你很有吸引力哟）：
5. 赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？
解分三类，第一类2人只划左舷的人全不选，有C35C35＝100(种)；
第二类2人只划左舷的人中只选1人，
有C12C25C36＝400(种)；
第三类2人只划左舷的人全选，有C22C15C37＝175(种)．
所以共有C35C35＋C12C25C36＋C22C15C37＝675(种)．
【学习小结与反思】。