北京市朝阳区2017届高三上学期期末数学试卷理科含解析

2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|4．若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．126．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．47．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．11．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为．12．在△ABC中，已知，则∠C=．13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M 是从集合到集合的一个函数，①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合封闭的（填“是”或“否”）；若函数f（x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN 的面积．19．设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）20．设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i（1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a i+a j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a i+a j=a k，则称数列A m是“好数列”．（Ⅰ）当m=6，n=100时，（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列A m是“好数列”，且m是偶数，证明：．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∁U A={x|x≥0}，则（∁U A）∩B={x|0≤x＜2}，故选：B2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．y=cosx是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．C.是偶函数，当x≥0时=（）x在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．D．y=|sinx|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．故选：D4．若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数单调性之间的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x在R 上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．5．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个故选C．6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，把数据代入锥体的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，∴几何体的体积V==．故选B．7．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据条件建立坐标系，利用基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：将三角形放入坐标系中，则C（0，4），B（3，0），∵=λ+μ（λ＞0，μ＞0），∴λ+μ=1，则1=λ+μ≥2，即λμ≤，当且仅当λ=μ=时取等号，此时=λ+μ=+=（3，0）+（0，4）=（，2）则||==，故选：C8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】设这两项成绩均合格的人数为x，根据集合关系建立方程进行求解即可．【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于3．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线（a＞0）的渐近线和3x+2y=0相比较，得到b的值．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，∴=，解得b=3，故答案为：310．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10=110．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．11．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为30．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．【解答】解：第一次，i=1，满足条件，i＜6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件i＜6，程序终止，输出S=30，故答案为：3012．在△ABC中，已知，则∠C=105°．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得角A，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到C．【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．判断的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0）．故答案为：．[﹣，0）．14．若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M 是从集合到集合的一个函数，①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合是封闭的（填“是”或“否”）；若函数f （x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=f（x）=x，x∈Q．【考点】进行简单的合情推理．【分析】设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，利用新定义证明即可，设当f （x）=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，根据新定义验证即可．【解答】解：设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，∴x+y=m+n+a+b=（m+a）+（n+b），m+a，n+b∈Q，即f（x+y）=f（x）+f（y），∴xy=（m+n）（a+b）=3ma+（mb+an）+bn=（mb+an）+（bn+3ma），mb，an，bn，3ma∈Q，∴f（xy）=f（x）•f（y），∴上述定义下，集合是封闭的，当f（x）=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，∴f（m+n）=m+n=f（m）+f（n），f（mn）=mn=f（m）•f（n），故答案为：是，f（x）=x，x∈Q三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式T=求周期；（Ⅱ）根据正弦函数的最值结合定义域求函数y=2sin（2x+）最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）作出茎叶图．（II）利用平均数、方差的计算公式即可得出．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．可得，k=0，1，2，3．【解答】解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：，，（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]=35.5，（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41．因为=，，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得8以上（含85分）的频率为，乙获得8以上（含85分）的频率为．因为f2＞f1，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．∴，k=0，1，2，3．所以变量ξ的分布列为：ξ0123P．（或．）17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连结BD，设AC∩BD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．（Ⅱ）（i）以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面CDE所成角的大小．（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），求出P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ），从而．由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．（另解）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），求出平面DEF的一个法向量，由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD，设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，所以AF∥OG，OG=AF．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．…解：（Ⅱ）（i）由已知，AF∥BE，AB⊥BE，所以AF⊥AB．因为二面角D﹣AB﹣E为直二面角，所以平面ABCD⊥平面ABEF．所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD，AF⊥AB．四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD．所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）．因为AB=BE=2AF=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2），F （0，0，1），所以．设平面CDE的一个法向量为n=（x，y，z），由得即取x=1，得n=（1，0，1）．设直线AC与平面CDE所成角为θ，则，因为0≤θ≤90°，所以θ=30°．即直线AC与平面CDE所成角的大小为30°．…（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），则，因为，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．因为B（0，2，0），所以．又，所以，解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．（另解）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），则，因为，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．因为B（0，2，0），所以．设平面DEF的一个法向量为=（x0，y0，z0），则，由，得取x0=1，得=（1，﹣1，2）．由，即（2﹣2λ，2λ﹣2，2λ）=μ（1，﹣1，2），可得解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．…18．已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN 的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点设P（x0，y0），从而可得直线PA与PB的斜率乘积为（Ⅱ）设方程为y=kx+m，由两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB及（Ⅰ）得直线OM，ON的斜率乘积为﹣，可得到m、k的关系，再用弦长公式及距离公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面积即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：设P（x0，y0），则．所以直线PA与PB的斜率乘积为．…（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．①当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，由得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=36k2m2﹣4（3k2+2）（3m2﹣6）＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…19．设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可；（Ⅲ）设h（x）=（x﹣1）e x﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定义域为（1，+∞），只需证明h（x）≥0即可，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（1，+∞），．当a=1时，f'（2）=4a+2=6，f（2）=4a+3=7．所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）．即y=6x﹣5．…（Ⅱ）函数g（x）的定义域为R，由已知得g'（x）=x（e x+2a）．①当a=0时，函数g（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，因为e x+2a＞0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=﹣1，g（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x﹣1取，显然x0＜0且g（x0）＞0所以g（0）g（1）＜0，g（x0）g（0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由g'（x）=x（e x+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．ⅰ）当，则ln（﹣2a）＞0．当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，ln（﹣2a））ln（﹣2a）（ln（﹣2a），+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）↗﹣1↘↗注意到g（0）=﹣1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．ⅱ）当，则ln（﹣2a）=0，g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．若，则ln（﹣2a）≤0．当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：x（﹣∞，ln（﹣2a））ln（﹣2a）（ln（﹣2a），0）0（0，+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）↗↘﹣1↗注意到当x＜0，a＜0时，g（x）=（x﹣1）e x+ax 2＜0，g（0）=﹣1，所以函数g （x）至多有一个零点，不符合题意．综上，a的取值范围是（0，+∞）．…（Ⅲ）证明：g（x）﹣f（x）=（x﹣1）e x﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1．设h（x）=（x﹣1）e x﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定义域为（1，+∞），则证明h（x）≥0即可．因为，取，则，且h'（2）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（1，+∞）上单增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（1，2），且．当1＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）≤g（x）．…20．设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i（1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a i+a j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a i+a j=a k，则称数列A m是“好数列”．（Ⅰ）当m=6，n=100时，（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列A m是“好数列”，且m是偶数，证明：．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）由“好数列”定义能求出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是一个“好数列”．（ⅱ）由数列必含89，100两项，若剩下两项从90，91，…，99中任取，有种；若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，有10种．由此分类讨论，能求出a，b，c，d共有多少种不同的取值．（Ⅱ）一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．设a1＜a2＜…＜a m．把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n+1即可．例用反证法，能证明．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ）∵m=6，n=100，数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，∴x=89，y=100，或x=100，y=89，数列：11，78，90，x，97，y也是一个“好数列”．…（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89，100两项，若剩下两项从90，91，…，99中任取，则都符合条件，有种；若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，则另一项必对应90，91，…，99中的一个，有10种；若取68≤a≤77，则79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好数列”必超过6项，不符合；若取a=67，则11+a=78∈A6，另一项可从90，91，…，99中任取一个，有10种；若取56＜a＜67，则67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好数列”必超过6项，不符合；若取a=56，则b=67，符合条件，若取a＜56，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a，b，c，d共有66种不同的取值．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．又“好数列”a1，a2，…，a m各项互不相同，所以，不妨设a1＜a2＜…＜a m．把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n+1即可．用反证法，假设存在，使a j+a m+1﹣j≤n，＜a1+a m﹣j+1＜a2+a m﹣j+1＜…＜a j+a m﹣j+1≤n，因为数列单调递增，所以a m﹣j+1又因为“好数列”，故存在1≤k≤m，使得a i+a m+1﹣j=a k（1≤i≤j），显然a k＞a m+1﹣j，故k＞m+1﹣j，所以a k只有j﹣1个不同取值，而a i+a m+1﹣j有j个不同取值，矛盾．所以，每一对和数都不小于n+1，故，即．…2017年2月15日。