第六章 排队论模型

上述事例中的各种问题虽互不相同，但却都 有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或 机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾 客”,而把提供服务的人或机构称为“服务台”或 “服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样 的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、 若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
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③随机服务 (RAND) 。即当服务台空闲 时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去 接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是 一例。 ④优先权服务 (PR)。如老人、儿童先进 车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要 处理计算机立即中断其他数据的处理等，均 属于此种服务规则。
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(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种 服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无 限长下去。具体说来，大致有三种：
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3、服务台
服务台可以从以下3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有 单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台 有：①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式,以及多队列多 服务台并串联混合式等等。 如之前的分类模型图所示。
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排队论历史：
起源于1909年在丹麦哥本哈根电子公司工作的电话工程 师A. K. Erlang(A.K.爱尔朗)对电话通话拥挤问题的研究工作， 其开创性论文---概率论和电话通讯理论则标志此理论的诞生。 表明了排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的， 并到现在也还是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通 讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、各类生产服务、库存 管理等等各领域中均得到广泛的应用。 排队论具体事例：
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排队模型及类型
根据顾客到达和服务台数，排队过程可用下列模型表示：
模型1 单服务台排队模型
模型2
单队列多服务台并联的排队模型
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Hale Waihona Puke 型3多队列多服务台的并联排队模型
模型4
单队多个服务台的串联排队模型
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模型5
多队列多服务台混联网络模型
纵观上述排队模型，实际上都可由下面模型加以统一描述：
称该统一模型为随机聚散服务系统。由于顾客到来的时刻和服务台提 供服务的时间长短都是随机的，因此任一排队系统都是一个随机聚散 7 服务系统。 “聚”表示顾客的到达,“散”表示顾客的离去。
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排队系统的描述符号与模型分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规 则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类，可 给出很多排队模型(见前面分析与图示)。为了方便对 众多模型的描述,D．G．肯道尔（D．G．Kendall）提 出了一种目前在排队论中被广泛采用的“Kendall记 号”，完整的表达方式通常用到6个符号并取如下固定 格式：X/Y/Z/A/B/C 各符号的意义如下：
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(2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务 的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。 如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成 批服务。 (3) 服务时间的分布。一般来说，在多数情 况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变 量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K 阶爱尔朗分布、一般分布(所有顾客的服务时 间都是独立同分布的)等等。
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求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差 分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由 于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也 很难使用。因此常常使用它的极限(如果存在的话)：
lim
t
p n (t ) p n
称为稳态解，或称统计平衡状态解。 稳态的物理意义图， pn 系统的稳态一般很快都 能达到，但实际中达不 到稳态的现象也存在。 要注意的是求稳态概率Pn 并不一定求t→∞的极限, 只需求Pn’(t)=0 。
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排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究 排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系 统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现 有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。 排队问题的一般步骤： 1、确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分 布和服务时间分布(可实测)。 2、研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3、研究系统状态的概率。系统状态是指系统中 顾客数,用n表示。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻 系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。
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与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。 在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。 除了上述几个基本数量指标外，还会用到其他一些重要的 指标，如在损失制或系统容量有限的情况下，由于顾客被拒绝， 而使服务系统受到损失的顾客损失率及服务强度等，也都是十 分重要的数量指标。 计算上述指标的基础是表达系统状态(系统中的顾客数n)的 概率[与顾客到达(输入过程)间隔时间分布与服务时间分布有 关]。顾客数n的可能取值是： (1)队长没有限制时，n=0，1，2，… (2)队长有限制、最大数为N时，n=0，1，2，…，N (3)损失制且服务台个数为c时，n=0，1，2，…，c 系统处于这些状态的概率一般是随时间t变化的，所以 在时刻t、系统状态为n的瞬态概率可用Pn(t)表示，稳态概 率用Pn表示。
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② 等待时间有限。即顾客在系统中的 等待时间不超过某一给定的长度 T，当等待 时间超过T时，顾客自动离去，不再回来。 如易损坏的电子元器件的库存问题， 超过一定存储时间被自动认为失效。 又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后 不愿再等而自动离去另找饭店用餐。
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③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有 限。 例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射 炮射击有效区域的时间为 t 时，若在这个时间 内未被击落，也就不可能再被击落了。 不难注意到，损失制和等待制可看成是混 合制的特殊情形，如记c为系统中服务台的个 数，则当K=c 时，混合制即成为损失制；当 K=∞时，混合制即成为等待制。
过渡状态
稳定状态
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t
排队系统状态变化示意图
4、根据排队系统对应的理论模型求用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长(Ls):系统中的顾客数(包括被服务和正在排队的顾 客)。 平均队列长(Lq):系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lg +正被服 务的顾客数c (2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间(含等待 时间和被服务时间)。 平均等待时间(Wq):一个顾客在系统中排队等待的时间。 (3)平均忙期(Tb)：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再 次为空闲这段时间平均长度。(忙期和一个忙期中平均完成服务 顾客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度)
X---表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M——表示到达过程为泊松过程或(负指数分布Markov)； D——表示定长输入(确定型分布Deterministic)； EK——表示k阶爱尔朗分布； GI —— 一般相互独立的随机分布(General Independent) G——表示一般的随机分布。
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2、排队规则
这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺 序。可以分为损失制、等待制、混合制3大类。 (1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时， 所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自 动离开系统永不再来。 典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不 愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔 号，这种服务规则即为损失制。
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例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS， 则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)； 服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统 等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先 到先服务规则。 某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的 前3个、4个、5个符号。如不特别说明则均理解为系 统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先服务， 单个服务的等待制系统。
① 队长有限。当排队等待服务顾客人数超过
规定数量时，后来顾客就自动离去，另求服务，即
系统的等待空间是有限的。例如最多只能容纳 N 个
顾客在系统中，当新顾客到达时，若系统中的顾客 数 ( 又称为队长 ) 小于 N ，则可进入系统排队或接受 服务；否则，便离开系统，并不再回来。再如水库 的库容是有限的，旅馆的床位是有限的。
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前言
排队论简介：
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论(Random Service System Theory),是运筹学的一个主要分支，是一门研 究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种 排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计 和最优控制问题。主要包含以下三个方面的研究内容： (1)性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，如队长、 等待时间、忙期等要素满足的分布。有瞬态和稳态两种情况。 (2)最优化问题，包括最优设计下的静态最优和现有排队系 统的最优运营下的动态最优。 (3)排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合 何种模型，以便进一步根据排队理论进行分析研究。
面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队， 通常的做法是增加服务设施，但是增加的数量越多， 人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如 果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这 样对顾客会带来不良影响。 顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就 构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。 如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务 设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务 设施费用大小这对矛盾。这就是随机服务系统理论— —排队论所要研究解决的问题。
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Y---表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。 Z---表示服务台(员)个数：“1”则表示单个服务台，“s”。(s＞1)表示 多个服务台。 A---表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量； 如系统有K个等待位子，则 0<K<∞，当 K=0 时，说明系统不允许等 待，即为损失制。K=∞ 时为等待制系统，此时∞般省略不写。K为有限整 数时，表示为混合制系统。 B---表示顾客源限额。 分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。 C---表示服务规则，常用下列符号： FCFS：表示先到先服务的排队规则； LCFS：表示后到先服务的排队规则； PR：表示优先权服务的排队规则。