第四章 理想流体动力学和平面势流

第二节 伯努利方程
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 u u u dx u u u dy u u u x y z x y z x y z dz x 2 y 2 z 2
x, y C d uy dx ux dy 0
dx dy 得平面流线方程：u u x y
第三节 恒定平面势流
（2）不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线 的流函数之差dψ 等于这两条流线间所通过的单位 宽度流量dq。
dq un dn u ndn
u x cos n, x u y cos n, y dn
或 2 0
称为流函数的拉普拉斯方程形式 适用条件：不可压缩流体的平面有势流动。
第三节 恒定平面势流
（2）极坐标
d ur rd u dr
1 r u r ur
2.流函数的物理意义 （1）流函数等值线 x, y C 就是流线。
q 亦即网格内流量q=常数，又 u n u n
，所以各网格内
1
意义： 已知一点流速 其他各点流速
u2

2
n1
第三节 恒定平面势流
2 2 p p u u p 压强场： 1 2 z2 z1 2 1 g g 2g
已知一点压强 其他各点压强
2.质量力：ρ dxdydz 由牛顿第二运动定律 F ma ，x方向有：
dx p PM pM A p dydz 2 x dx p PN pN A p dydz 2 x
第一节 理想流体的运动微分方程—欧拉运 动微分方程
du y duz 1 p p p dux f dx f dy f dz dx dy dz dx dy dz x x y z dt y z dt dt
<Ⅰ> <Ⅱ> <Ⅲ>
一、在势流条件下的积分 1.恒定流 2.均匀不可压缩流体，即 =const f x f y 0, f z g 3.质量力只有重力，
du y du x du z dx dy dz <Ⅲ> dt dt dt
u y u y u y ux ux ux ux uy uz uy uz dy dx u x y z y z x x u z u z u z ux uy uz dz y z x
dj ur dr u rd
r 1 j u r ur
第三节 恒定平面势流
三、流函数 1.流函数的形式 （1）直角坐标 ux u y 连续性微分方程： x y
u y ux 0 x y
y uy x ux
dux p dx p dx p dydz p dydz f x dxdydz dxdydz x 2 x 2 dt
u y ux uz 1 p dux ux fx ux uy uz x dt t x y z
ux u y u y uz ux uz 4.有势流动,满足式： , , y x z y z x
第二节 伯努利方程 <Ⅰ> f x dx f y dy f z dz gdz
p 1 p p p dx dy dz d <Ⅱ> x y z
p u2 z C g 2g
注意：积分常数C，在非粘性、不可压恒定流中， 沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相 同。
第二节 伯努利方程
三、皮托管
pc u 2 H g 2 g
pc Hp g
u2 h 2g
u 2gh
第三节 恒定平面势流
一、基本方程组 对于不可压缩恒定二元势流，有以下条件： 1.平面无旋，即 z 0
第三节 恒定平面势流
d uy dx ux dy 0 ，为流线斜率 等流线簇：(x,y)=C，
uy dy dx const ux
dy dy 1 dx j const dx const
为流线斜率。
，得证。
（2）流网中每一网格的边长之比（s/n）等于j 和的增值之比（j/），若取j=，则流网 网格为正方形网格。
必要条件 uy dx ux dy 存在全微分dψ，
d u y dx ux dy dx dy x y
第三节 恒定平面势流
式中：ψ—不可压缩流体平面流动的流函数。 u x u y 对平面势流，有 y x ，则
2 2 2 0 2 x y
u y u y u y 1 p du y u y fy ux uy uz y dt t x y z uz uz uz 1 p duz uz fz ux uy uz z dt t x y z
第二节 伯努利方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
第二节 伯努利方程
物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中， 理想流体各点的总比能相等，即在整个 势流场中，伯努利常数C均相等。
物理意义 z
p g
几何意义 位置水头 压强水头
单位重流体的位能 （比位能） 单位重流体的压能 （比压能）
u2 u2 u2 u2 dx dy dz d x 2 y 2 z 2 2
u2 p 由以上得： gdz d d 2 p u2 理想势流伯努利方程： z g 2 g C
u x u y 0 2.恒定流，即 t t
3.不可压缩流体，即 =const。
第三节 恒定平面势流
欧拉运动微分方程可简化为：
u x u x 1 p fx ux uy x x y u u 1 p fy ux y u y y y x y
第二节 伯努利方程
u2 2g
单位重流体的动能 （比动能） 单位重流体总势能 （比势能） 单位重流体总能量
流速水头 测压管水头
p z g p u2 z g 2g
（总比能）
总水头
第二节 伯努利方程
（二）沿流线的积分 1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有 <Ⅰ> -gdz 1 <Ⅱ> dp
dx dy dz ux , u y , uz 2.恒定流中流线与迹线重合： dt dt dt 2 1 u 2 2 <Ⅲ> ux dux u y du y uz duz d ux2 u y uz d 2 2



第二节 伯努利方程
沿流线（或元流）的能量方程：
不可压缩流体的连续性微分方程为：
ux u y 0 x y
第三节 恒定平面势流
二、流速势函数（势函数） u x 存在条件：不可压缩无旋流，即 z 0 或 y 必要条件 ux dx uy dy 存在全微分dj 1、直角坐标 j ux x j j ux dx u y dy dj dx dy j
x y
uy y
u y x
Байду номын сангаас

式中：j—无旋运动的流速势函数，简称势函数。
第三节 恒定平面势流
代入连续性微分方程
2j 2j 2 0 2 x y
ux u y 0 x y
2 j 0 或
，有：
即势函数的拉普拉斯方程形式。 适用条件：不可压缩流体的有势流动。 2、极坐标 j
第三节 恒定平面势流
证明：取相邻两线间的差值 为Δ C，流线间隔为Δ n，等 势线间隔为Δ s，
us
us
q C A n n
j j C s s s
s n
第三节 恒定平面势流
*2.流网的绘制 3.流网的应用 流速场：因流网中，任两相邻流线之间ψ相同，
ux dy uy dx d
第三节 恒定平面势流
四、流网 流网：恒定平面势流中，流线簇与等势线簇构成的 正交网格。 1.流网的性质 （1）等势线与等流函数线处处正交 等势线簇：j(x,y)=C，dj uy dx ux dy 0
ux dy 为等势线斜率。 dx j const uy
第四章 理想流体动力学和 平面势流
第一节 理想流体的运动微分方程—欧拉运 动微分方程 理想流体的动水压强特性与静水压强特 性相同： 动压强的方向总是沿着作用面的内法线 方向； 理想流体中任一点的动压强大小与其作 用面的方位无关，即


px py pz p
第一节 理想流体的运动微分方程—欧拉运 动微分方程 1.表面力 τ =0