孙炳达 自动控制原理第7章

25
例 将图所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的
传递函数。
26
）。
例 用描述函数法分析图所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。
若存在自振，求出自振振幅和自振频率
M h
27
解 因为 M h ，所以当 x c 0 时，N1(A) 环节输出为
M h N2 (A) 环节输出也为 M h
第七章 非线性系统分析
第一节 控制系统中的典型非线性特性 第二节 描述函数法 第三节 用描述函数法分析非线性系统 第四节 改善非线性系统性能的方法
1
第一节 控制系统中的典型非线性特性 一、非线性系统组成：
非线性环节+线性环节
二、典型非线性特性(4种)
1、饱和
2、死区
3、回环
4、继电
2
三、特点： 稳定性与结构、初始条件有关
2、对线性部分进行串联校正，使两特性曲线不产生相交点。 例题P173
3．对线性部分进行并联校正，使两特性曲线不产生相交点。 例题P174
二、改变非线性特性
1、改变非线性元件的参数 例如，在例7.1中，当线性部分参数不变(k=15)时，改变非线性部分的参
数a或b，可以使负倒描述函数曲线往左移，从而使两特性曲线不相交，即使原 有自持振荡的系统变为稳定。
N(A)
A A
6 2
试用描述函数法确定： （1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，
线性部分的Ｋ值范围；
12
解 （1）计算负倒描述函数
1 ( A 2) N ( A) A 6
1 1 , N (0) 3
1 1 N ()
（2）画出负倒描述函数曲线 1 N(A) 和 G( j) 曲线
sin
21
a A
cos
1
.
4k
A
1 2
arcsin
a A
1 2
sin
1
1 sin2 1
a A
1
sin2
1
4k
A
1 2
arcsin
a A
1a 2A
1
(a )2 A
a A
1
(a )2 A
2k
A
arcsin
a A
a A
1
(a )2 A
y1
A12
B
2 1
B1
1 0
N(A)
jarctg A1
21
2、对非线性元件采用并联校正 例如，一个饱和非线性元件并入
一合适的死区非线性元件后，变成 了线性比例元件。
见图示说明：
22
本章小结及要点
描述函数法知识点 1.描述函数法：线性系统频率法在非线性系统分析中推广。 2.描述函数定义
N ( A) Y1 e j1 A
3.描述函数法的适用条件：
1）系统可化为一个非线性和一个线性环节串联。 2）.非线性具有对称性的奇函数。 3）非线性输出中基波为主。 4）线性环节低通性能好。
由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波 特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较 高。
解释例7-1 16
例 具有滞环继电特性的非线性控制系统如图
其中
M 1, h 1
（1）当 T 0.5 •分析系统的稳定性，若存在自振，确定自振参数； 。
（2） 讨论 T 对自振的影响
2）若G( jω)轨迹包围–1∕N(A），则非线性系统不稳定。 3）若G( jω)与–1∕N（A）相交，交点为: N ( A) 1
G( j)
则在交点处，系统处于临界稳定：
可能产生周期持续震荡（自振）。这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的
振幅和频率可以分别用交点处–1∕N（A）轨迹上的A 值，G(jω)曲线上对应的ω值来表征
A
A
A
A
A2 1 j 4
18
其负倒描述函 1 N(A) 曲线所示。
G( j) 曲线位于第三象限，两曲线必然有交点，且该点为自
振点。
G(s) 5(Ts 1) s2
G( j) 5 j 5T 2
G( j) 1
N ( A)
根据虚部相等，有
j 5T j
4
20T
19
自振角频率随 T 增大而增大， 当 T 0.5 时 3.18
Y1
A12 B12
1
arctan
A1 B1
此时，非线性环节可以用一个等效的线性元件来代替，该元件的输入信号
和输出信号分别为
x(t) Asin t Ae j1
y(t) Y1 sin(t 1) Y1e j1 则输入、输出的复数比，即为描述函数，常用 N (表A)示。
N ( A) Y1 e j1 A5
~b(t) A~ sin ~t
10
乀
图a)，频率特性不包围负倒特性，稳定；幅值越来越小。 图b)，频率特性包围负倒特性，不稳定；幅值越来越大 图c)，两特性相交，可能产生自振；正弦波
注意:只有P点才能产生稳定的自振,Q点不能产生稳定的自振. 11
例 已知非线性系统的结构图如图所示
图中非线性环节的描述函数为
可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。
13
求使 Im[G( j)] 0 的 值：
令 G( j) 902arctg 180
得 arctg 45,
1
求
G( j) 1
K
2
2 1 1
K 2
1 3 1
K1
2 3
K3 2
可得出K.值与系统特性之间的关系：
.
14
例 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为
二．求典型非线性的描述函数 （1）饱和特性的描述函数
当输入为正弦信号时
x(t) A sin t、
其输出信号的数学表达式
kA sin wt
y(t)
B
kA sin wt
0 wt 1 1 wt 1 1 wt
由于y(t)为单值对称函数，故有 A1 0,A0 0
B1
1
2 y(t)sin wtd(wt)
An
1
2 0
y(t) cosntdt
Bn
1
2 0
y(t ) sin
ntdt
假设输出为对称奇函数，则 ；
A0 0
假设系统的线性部分具有低通滤波特性，高次谐波可忽略。 4
则非线性环节输出可认为
y(t) y1(t) A1 cos t B1 sin t
Y1 sin(t 1)
Y1e j1
四、分析方法
1、描述函数法：近似性，高阶系统也很方便，较多应用。
2、相平面法较精确，因高阶作图太复杂，较少应用。 （实际限于二阶非线性系统），
注意：
非线性常微分方程没有相同的求解方法，求解三阶以上系统方程困难； 不能用叠加原理； 本质非线性，即不能用小偏差方法进行线性化。 研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，而重要关心其时域响应的 性质，如：稳定性、自持振荡。
17
解 具有滞环继电特性的描述函数为
N ( A) 4M
A
1 ( h )2 A
j
4hM
A2
,
Ah
代入 M 1, h 1 有
N ( A) 4 1 ( 1 )2 j 4
A
A
A2
1
A( 1 ( 1 )2 j 1 )
A
A
N ( A) 4( 1 ( 1 )2 j 1 )( 1 ( 1 )2 j 1 ) 4
(1)
G(s) 1 s(0.1s 1)
(2) G(s) 2 s(s 1)
(3) G(s) 2(1.5s 1) s(s 1)(0.1s 1)
试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？
15
解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准 确程度越高。
分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线
3
第二节 描述函数法
一、描述函数的定义
非线性元件的输入为正弦波时，其输出为非正弦波。将其输出的非正弦波的
一次谐波（基波)即正弦波与输入正弦波的复数比，定义为非线环节的描述函数。
分析： 设输入为：
则输出：
x(t) Asint
y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt) n1
式中
G( jw) 1 N ( A)
判断非线性系统稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线: –1∕N(A）
由此可认为:由线性部分的频率特性与描述函数负倒特性之间相
对位置可以判断非线性系统的Fra bibliotek定性及自激振荡。
9
2、判稳方法及判据内容
在复平面上，画出线性特性 G( jω)开环幅相特性和负倒描述函数
。
–1∕N(A）曲线 1）若G( jω)轨迹不包围–1∕N（A）曲线,则此非线性系统稳定。
G( jω)
若 –1∕N（A）曲线随掁幅A增加的方向从不稳定区移动到稳定区,则穿越点
即交点对应的是一个稳定的自振点。
自振计算:也可以依 N(A)G(jw ) 1. 等号两边分解为实部和虚部,
再令两边实部虚部分别相等,求解出自振频率和幅值。
24
本章重点
用描述函数法分析非线性控制系统的稳定性、分析自振、 计算自振参数。
根据实部相等，有
5 A2 1
( 20T )2
4
根据实部相等，有
5 A2 1
( 20T )2
4
解出非线性输入端振幅为
2
A
1
400T 4
当 T 0.5..时， A 1.18 自振振幅随 T 增大而减小。
20
第四节 改善非线性系统性能的方法