第二章 控制系统的数学模型

Lo o
F = k ( x1 − x2 ) = k x = k ∫
t
−∞
(v1 − v2 ) dt = k ∫ v dt
−∞
t
2011 秋 许燕斌
自动控制理论A
1、典型元件或系统的动力学关系
阻尼要素(damper element)
Lo o
& & & F = f (v1 − v 2 ) = f v = f ( x1 − x 2 ) = f x
d s = dt
1 = s
∫
t
0
dt
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常用的拉普拉斯的变换
L[ζ (t )] = 1
1 L[1(t )] = s n! n L[ t ] = n +1 s
L[e
− at
Lo o
1 ]= s+a
2
L [sin ω t ] =
ω
2
s +ω
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自动控制理论A
应用拉普拉斯变换解微分方程 Example 2
d2y dy +4 + 3 y = 2 r (t ) 2 dt dt
Lo o
When the initial conditions are y (0) = 1 , & y (0) = 0 , and r ( t ) = 1 The Laplace transform, we obtain
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自动控制理论A
2、列写微分方程举例
Example 2:质量－弹簧－阻尼器系统
Lo o
k 理想弹簧元件的弹性系数 b 粘性摩擦的摩擦系数
d 2 y (t ) d y (t ) M +b + k y (t ) = r (t ) 2 dt dt
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物理系统的相似性
2
when
& r (t ) = 0 , y(0) = y0 , y (0) = 0
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应用拉普拉斯变换解微分方程
We can get
Lo o
( Ms + b ) y 0 p(s) Y (s) = = 2 Ms + bs + k q(s)
when
k / M = 2, b / M = 3, y0 = 1
s2 + 4s + 2 1/ 2 − 1/ 6 2 / 3 Y (s) = = + + 2 s ( s + 4 s + 3) s +1 s + 3 s 1 −t 1 −3t 2 y (t ) = e − e + So 2 6 3
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Lo o
2.3 传递函数（ transfer function ）
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1、典型元件或系统的动力学关系 （1）机械系统（mechanical system）
质量要素(mass element)
Lo o
dv (t ) d x (t ) F =m =m 2 dt dt
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2
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1、典型元件或系统的动力学关系
弹性要素(spring element)
Then Y(s) becomes s+3 2 1 Y (s) = = − ( s + 1)( s + 2 ) s + 1 s + 2 The inverse Laplace transform of Eq.(1)is
(1)
y (t ) = 2 e − t − e −2t
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Lo o
进一步揭示电气系统和机械系统微分方程之间的一致性
d 2 c(t ) dc(t ) LC + RC + c(t ) = r (t ) 2 dt dt d y (t ) d 2 y (t ) M +b + k y (t ) = r (t ) 2 dt dt 可以看出，上面两个方程是一致的。 电压和位移在方程中是等效的变量，因而常称为相似变量， 上述两个系统也就称为相似系统。
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自动控制理论A 数学模型的类型
时域 微分方程、差分方程和状态方程 复数域 传递函数，结构图 频域 频域特性
Lo o
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Lo o
2.1 控制系统的时域数学模型（time-domain model） 列写系统输入输出动态模型的一般步骤
1、明确系统的工作条件，确定系统的输入量和输出量 ； 明确系统的工作条件，
2、从系统的输入端开始，依次逐个列出系统各组成典型元 、从系统的输入端开始， 件的动力学方程 ，如有必要则应设定一些中间变量； 如有必要则应设定一些中间变量； 3、消去设定的中间变量，得出仅含有输入变量与输出变量 、消去设定的中间变量， 的微分方程， 的微分方程，并把含输出变量的项统统放在方程式的左 含输入项的放在右边。 边，含输入项的放在右边。
线性系统的传递函数定义 对非线性系统、时变系统而言，传 递函数概念不适用 零初始条件(zero initial condition)下 线性定常系统 输出变量的Laplace变换和输入变量的 Laplace变换之比
零初始条件 t<0时，输入量及其各阶导数为零 t<0时，输出量及其各阶导数为零
即 t 0 = 0 −情况下系统内部所有动态储能元件的储能为零
0 y
& m&& = F (t ) − ky − fy y
即
f
& m&& + fy + ky = F (t ) y
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Lo o
以下我们要引入一个新的概念传递函数， 在这之前请回顾下拉普拉斯变换的知识。
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拉普拉斯变换
Lo o
Laplace变换 变换 Laplace逆变换 逆变换
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt = L{ f (t )}
0
∞
f (t ) =
2 π j ∫σ − j∞
1
σ + j∞
F ( s ) e st ds
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自动控ace variable s can be considered to be differential operator so that,we have
i1
uc1 i2
C2
u c 2 = uc
&& & T1T2uc + (T1 + T2 + T3 )uc + uc = ur
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动态方程。
例 ：质量弹簧系统如下图，写出在外力 F 作用下，质量块位移 y 的 Lo o A
自动控制理论
k
F (t )
m
解：取坐标系如图， y 的坐标原点取 为 F (t ) = 0 时在重力作用下质量块的 静止位置， y 轴的正方向和 F (t ) 的参 考方向如图。有
拉普拉斯变换的重要定理
(1) 线性性质 linearity
Lo o
L[k1 f1 (t ) ± k2 f 2 (t )] = k1F1 ( s) ± k2 F2 ( s)
] = s k F (s) − [s k −1 f (0) + s k −2 f (0) + L + f (k −1) (0)]
⋅
(3) 热系统，液流系统，气流系统等
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2、列写微分方程举例
Example1 :RLC电路
R r(t) i(t) L C c(t)
Lo o
di (t ) r (t ) = Ri (t ) + L + c(t ) dt i (t ) = C dc(t ) dt
d 2 c(t ) dc(t ) LC + RC + c(t ) = r (t ) 2 dt dt
lim f (t ) = lim sF ( s )
(7) 终值定理 Final-Value Theorem
lim f (t ) = lim sF ( s )
t →∞ s →0
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应用拉普拉斯变换解微分方程
Lo o
对微分方程进行拉氏变换 求系统输出变量表达式 将输出变量表达式展开为部分分式 求各分式的拉氏反变换 整理出方程解
p1 , p 2 , L , p n
为传递函数分母多项式 N (s )
（即特征多项式 characteristic polynomial）的根， ）的根， 称为极点 极点（ 称为极点（pole）； ）；
b0 K= 传递系数（根轨迹增益） ：传递系数（根轨迹增益） a0
U i= R
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1、典型元件或系统的动力学关系
电容 Electrical Capacitance
C U
Lo o
i
dU i=C dt
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1、典型元件或系统的动力学关系
电导 Electrical Inductance
i L U
Lo o
di U =L dt
Lo o
(a0 s n + a1 s n−1 + L + an−1 s + an ) C ( s) = (b0 s m + b1 s m−1 + L + bm−1 s + bm ) R( s)