第43炼 线性规划——作图与求解

第43炼 线性规划——作图与求解一、基础知识1、相关术语：（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。

例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。

例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。

考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数）① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a z y x b b=-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。

② 分式——与斜率相关（分式）：例如y b z x a-=-：可理解为z 是可行域中的点(),x y 与定点(),a b 连线的斜率。

③ 含平方和——与距离相关：例如()()22z x a y b =-+-：可理解为z 是可行域中的点(),x y 与定点(),a b 距离的平方。

（3）根据z 的意义寻找最优解，以及z 的范围（或最值）4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。

例如：若变量,x y 满足约束条件00321228x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则34z x y =+的最大值等于_____ 作出可行域如图所示，直线3212x y +=的斜率132k =-，直线28x y +=的斜率212k =-，目标函数的斜率34k =-，所以21k k k <<，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得到在()2,3A 取得最优解。

但在作图中如果没有考虑斜率间的联系，平移的直线比28x y +=还要平，则会发现最优解在()0,4B 处取得，以及若平移的直线比3212x y +=还要陡，则会发现最优解在()4,0C 处取得，都会造成错误。

所以在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”程度的不同。

（1）在斜率符号相同的情况下：k 越大，则直线越“陡”（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。

二、典型例题：例1：若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（ ）A. 52-B. 2-C. 32- D. 2 思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封闭的三角形区域，目标函数化为：2y x z =-，则z 的最小值即为动直线纵截距的最大值。

目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。

通过平移可发现在A 点处，纵截距最大。

且20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2z x y =-的最小值()min 152122z =⋅--=- 答案：A 例2：设变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函数122z y x =-+，通过平移可得最优解为()20:1,11x y A A y +-=⎧⇒⎨=⎩，所以min 3z = 答案：B例3：若变量,x y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）A.B. 7C. 9D. 10思路：目标函数22z x y =+可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察可得最远的点为()1,3A -，所以2max 10z OA ==答案：D 例4：设变量,x y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ） A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []1,2 D. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦思路：所求11y s x +=+可视为点(),x y 与定点()1,1--连线的斜率。

从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在()1,0处的斜率最小，即()()min 011112k --==--，在()0,1处的斜率最大，为()()max 11201k --==--，结合图像可得11y s x +=+的范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 答案：D 例5：若实数,x y 满足条件01001x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则3x y -的最大值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3思路：设3z x y =-，则可先计算出z 的范围，即可求出z 的最大值：1133y x z =-，则最优解为()()1,1,1,2A B -，所以[]5,4z ∈-，则max 5z = 答案：B例6：设O 为坐标原点，点M 的坐标为()2,1，若点(),N x y 满足不等式组43021201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则使OM ON ⋅ 取得最大值的点N 的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 无数个思路：设2z OM ON x y =⋅=+ ，作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与直线2120x y +-=重合，所以有无数多个点均能使OM ON ⋅ 取得最大值答案：D例7：（2015，福建）变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，作出图像，直线y mx =为绕原点旋转的直线，从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数2y x z =-，若z 最大则动直线的纵截距最小，可观察到A 为最优解。

22022:,2121x y m A A y mx m m -+=⎧⎛⎫⇒⎨ ⎪=--⎝⎭⎩，则有22222121m z m m =⋅-=--，解得：1m = 答案：C小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在变化中寻找区域的规律。

找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数例8：在约束条件21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩下，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（ ）A.( B.⎡⎣C. ⎡⎤⎣⎦D. ⎡⎣ 思路：先做出常系数直线，动直线20x y m -+=时注意到20m ≥，斜率为常数1，且发现围成的区域恒为一个三角形。

目标函数2y x z =+，通过图像可得最优解为2221011:,220x y m m A A x y m +-=⎧⎛⎫-+⇒⎨ ⎪-+=⎝⎭⎩，所以222max 113122222m m z m -+=-⋅+=-，则231422m -≤解得：m ⎡∈⎣ 答案：D例9：若变量,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-思路：如图作出可行域，目标函数为y ax z =-+，由于a 决定直线的方向，且约束条件中的直线斜率有正有负。

所以先考虑a 的符号：当00a a ->⇒<时，此时与y x =的斜率进行比较：若11a a -≥⇒≤-，则z 的最大值为0，不符题意；若0110a a <-<⇒-<<，则最优解为()1,1A ，代入解得3a =与初始范围矛盾，故舍去；当00a a -<⇒>时，直线与2x y +=斜率进行比较：若11a a -<-⇒>，则最优解为()2,0B ，代入解得2a =，符合题意若1a =，可得z 的最大值为2，不符题意，舍去若0101a a >->-⇒<<，则最优解为()1,1A ，代入解得3a =与初始范围矛盾，舍去 综上所述：2a =答案：B小炼有话说：（1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时，可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的分界点。

（2）本题也可分别假设可行域3个顶点为最优解，求出a 的值，再带入验证。