长沙市雅礼中学2015届高三4月(第八次)月考数学理试题及答案

雅礼中学2015届高三月考试卷(八)数学 (理科)( 时量：120分钟，满分：150分，2015年4月)一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，请把答案均填入答卷的表格里）1．已知复数z满足(12)z i i⋅-=，则复数对应的点在复平面对应的点位于( B )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若集合1{|01},{|lg}xM x x N x yx-=≤≤==，则RM C N = ( B )A．{0} B．{0,1} C．{|01}x x≤≤ D．{|0x x<或1}x> 3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克) 12512012210513011411695120134则样本数据落在[114.5,124.5]内的概率为 ( C ) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.54．一个用流程图表示的算法如图所示，则其运行后输出的结果为 ( A )A．1320 B．11880C．132 D．以上都不对5．12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有 ( A ) A．3项 B．4项 C．2项 D．6项6．如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是 ( D )A．48 B．C．16 D．正视图俯视图侧视图3 36 242(第4题图)7．在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a = 则268log ()b b 的值为 ( B )A ．2B ．4C ．8D ．18．已知函数53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，那么(2)f = ( A )A ．26-B ．18-C ．10-D ． 109．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是 ( D )A ．(0,)6π B ．(,)64ππ C ．(,)43ππ D ． (,)32ππ【解析】22||,22b p b AF p c c a a ===∴=，又c b >2tan 2b c a b θ∴==>，故选D 10．若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种运算：1122(,)a b a b a b ⊗=，已知1(2,)2m = ，(,0)3n π=，且点(,)P x y ，在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且OQ m OP n =⊗+(其中O 为坐标原点)，则函数()y f x =的最大值A 和最小正周期T 分别为 ( D )A ．2,A T π==B ．2,4A T π==C ．1,2A T π==D ．1,42A T π==【解析】由条件1(2,sin )32OQ x x π=+，所以1(2)sin 32f x x π+= ，从而求得11()sin(),,4.2262x f x A T ππ=-∴==二 填空题（本大题应答5小题，每小题5分，共25分，请把答案填入答卷中的横线上）（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，全做按前两题记分）11．如图AB 是圆O 的直径，延长AB 至D ，使,BD OB DC =切圆O 于C ，则:AC AD =BCDAO【答案】12．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为【答案】13．若关于x 的不等式|2||2|6x x a -+-<的解集不空，则a 的取值范围是 【答案】(2,4).-（二）必做题（14－16题）14．函数22()sin cos()336x x f x π=+-图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 【答案】32π15．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(811)(610)0f y x f x y -++-+≤，则当 3y ≥时，函数22(,)F x y x y =+的最小值与最大值的和为 【答案】62 【解析】易知()f x 是奇函数，又'()1cos 0,()f x x f x =+≥∴为增函数 所以2222(811)(610),811610f y x f x y y x x y -+≤-+-∴-+≤-+-即22(4)(3)4x y -+-≤，又3y ≥，则(,)x y 对应可行域是以(4,3)为圆心，2为半径的上半圆面，易求得min max (,)13,(,)49F x y F x y ==，其和为6216．记,min{,},b a b a ⎧=⎨⎩a b a b ≥< ，当正数x 、y 变化时， 22min{,}yt x x y =+ 也在变化，则t 的最大值为【解析】: 若x ≤22y x y +,则t =x ,t 2=x 2≤x ·22y x y+≤xy xy 2=21.故t≤22,当且仅当x =y =22时取“＝”；若22y x y +≤x , 则t =22y x y +,t 2=(22y x y +)2≤22y x xy +≤21.故t ≤22，当且仅当x =y =22时取“＝”.综上可知,当x =y =22时,t 取最大值为22. 三 解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17．(本小题满分12分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望 解析:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(Ⅰ)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++()()()()()()()()()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++2212112113323323⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11113392727=++= 6分 (Ⅱ)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯=()()()2211211222112122323329P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2211222113329P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上知,ξ有分布列从而,1233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次) 12分18．(本小题满分12分) 如图,边长为2的正方形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点,将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起,使A 、C 两点重合于点A ',连接EF ,A B '. (Ⅰ)求证:A D EF '⊥;(Ⅱ)求二面角A EF D '--的余弦值.【解析】(Ⅰ)在正方形ABCD 中,有AD AE ⊥,CD CF ⊥ 则A D A E ''⊥,A D A F ''⊥ 又A EA F A '''=∴A D '⊥平面A EF '而EF ⊂平面A EF ',∴A D EF '⊥ 5分(Ⅱ)方法一: ∵正方形ABCD 的边长为2,点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点,∴1BE BF A E A F ''====,∴EF =∴222A E A F EF ''+=,∴A E A F ''⊥ 由(Ⅰ)得A D '⊥平面A EF ', ∴分别以A E ',A F ',A D '为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系A xyz '-, 则(0,0,0)A ',(1,0,0)E ,(0,1,0)F ,(0,0,2)D∴(1,0,2)DE =-,(0,1,2)DF =-,设平面DEF 的一个法向量为1(,,)n x y z =,则由112020n DE x z n DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,可取1(2,2,1)n =又平面A EF '的一个法向量可取2(0,0,1)n = ∴1212121cos ,3||||4n n n n n n ⋅<>===∴二面角A EF D '--的余弦值为1312分方法二: 连接BD 交EF 于点G ,连接A G '∵在正方形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点, ∴BE BF =,DE DF =, ∴点G 为EF 的中点, 且BD EF ⊥∵正方形ABCD 的边长为2,∴1A E A F ''==,∴A G EF '⊥ ∴A GD '∠为二面角AEF D '--的平面角 由(Ⅰ)可得A D A G ''⊥, ∴△A DG '为直角三角形 ∵正方形ABCD 的边长为2,∴BD =EF =,∴BG =,DG ==, 又2A D '=∴A G '===∴1cos 3A G A GD DG ''∠=== ∴二面角A EF D '--的余弦值为1319．(本小题满分12分)已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大G值． 【解析】（Ⅰ）a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-.又23MCN ∠=π，1cos 2C =-， ∴222122a b c ab +-=-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---， 恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =.又4c >，∴7c =. 6分（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB==∠∠∠，∴22sin sin sin 33ACBC ===ππθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭.∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ+ ⎪⎝⎭12sin 2⎡⎤=θ+θ+⎢⎥⎣⎦2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭又0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<, ∴当32ππθ+=即6πθ=时， ()f θ取得最大值2． 12分20．(本小题满分13分) 某生产流水线由于改进了设备，预计改进后第一年年产量的增长率为160%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量是.a (Ⅰ) 写出改进设备后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n 年与第1n -年的产量之间的关系式(2,)n n N ≥∈；(Ⅱ) 由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的5%，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少？ 解：(Ⅰ) 设第n 年的产量为n a ，则123(1160%),(1160%)(180%),(1160%)(180%)(140%),a a a a a a =+=++=+++123111413117819,,.525125111(1160%)(1)(2,).252n n n n n a a a a a a a a a n n N ----∴===∴=+⨯=+⨯≥∈6分(Ⅱ) 依题意得，1411(1)(15%).52n n n a a --=+⨯-若以后每年的产量逐年减少，即1n n a a -<，也即411(1)(15%) 1.52n -+⨯-<所以 442111120191,2,5219519192,2,42,6,,55n n n n n n a a ---+⨯<∴>><∴-≥≥<即时故从第6年起，年产量比上一年减少 13分21．(本小题满分13分) 已知椭圆E 中心在原点，一个焦点为( ，离心率2e =(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)AB是长为52的椭圆E 动弦，O为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值与最小值【解析】(Ⅰ)设椭圆方程：22221x y a b += 由条件知2c c a ==，又222a b c =+，解得2228,6,2a c b ===所以椭圆方程为22182x y += ………4分 (Ⅱ)当直线AB 斜率存在时，设1122(,),(,),:A x y B x y AB y kx b =+代入椭圆方程2248x y +=得，222(41)84(2)0k x kbx b +++-=，212122284(2),.4141kb b x x x x k k -∴+=-=++由2222221212222516(1)||(1)[()4][2(41)]4(41)k AB k x x x x k b k +==++-==+-+， 得2222225(41)2(41).64(1)k b k k +=+-+又原点O 到AB，…………8分所以54AOBS ∆=，记2241,1k u k +=+ 则22262512862564()4().102425102425S u u u =--=--因为2224134[1,4)11k u k k +==-∈++所以[,2]32S ∈，当直线AB 斜率不存在时，S =∈，所以max 2S =，此时64,25u =即k =min S =，此时1u =，即0.k = ……­…13分 22．(本小题满分13分) 已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；(Ⅲ)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+都成立.解析：(Ⅰ)()'121,f x x x a=--+ 0x =时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴=故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意. 3分 （Ⅱ）由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+-- 由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-=令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++ 当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增;当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.…………6分依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+ …………8分(Ⅲ) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+令()'0f x =得,0x =或32x =-(舍去),∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当0x >时, ()'0f x <,()f x 单调递减. ()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. ()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立) 对任意正整数n ,取10x n =>得,2111ln 1,n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ 211ln n n n n ++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭故()23413412ln 2ln ln lnln 14923n n n n n++++++>++++=+. 13分 （方法二）数学归纳法证明：当1n =时，左边21121+==，右边ln(11)ln 2=+=，显然2ln 2>，不等式成立. 假设()*,1n k k N k ≥∈≥时，()23412ln 149k k k+++++>+成立，则1n k =+时，有()()()222341222ln 14911k k k k k k k ++++++++>++++.做差比较：()()()()222222111ln 2ln 1lnln 1111(1)11k k k k k k k k k k k ⎛⎫+++⎛⎫+-+-=-=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭++⎝⎭构建函数()()()2ln 1,0,1F x x x x x =+--∈，则()()2301x x F x x -+'=<+，11 ()()0,1F x ∴在单调递减，()()00F x F ∴<=. 取()*11,1x k k N k =≥∈+，()2111ln 10011(1)F k k k ⎛⎫⎛⎫+-+<= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 即()()()22ln 2ln 101k k k k ++-+-<+，亦即()()()22ln 1ln 21k k k k +++>++， 故1n k =+时，有()()()()222341222ln 1ln 24911k k k k k k k k ++++++++>++>+++，不等式成立. 综上可知，对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n +++++>+都成立.。