第六章(3) 逆Z变换
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反Z变换
A = Re s[ X (z) ] P 4 0 表2 - 1 k z=zk z 1 d r−k r x(z) Ck = r−k [(z − zi ) (r − k)! dz z z=z , k=1,2⋯r i
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
信号与系统 §6.3 逆z变换
z (z a)3
2z (z a)3
▲
■
第9页
例：已知象函数 F(z) z3 z 2 ，z>1 的原函数。
(z 1)3
解: F(z) z 2 z K11 K12 K13
z (z 1)3 (z 1)3 (z 1)2 z 1
K11 (z 1)3
F(z) z
z1 2
K12
d dz
( z
，|z| > ，|z| <
可见，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z 的幂级数。其系数就是相应的序列值。
例：已知象函数
z2
z2
F(z)
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
1) 3
F(z) z
z 1
3
K13
1 2
d2 d z2
(z
1) 3
F(z) z
z 1
1
F(z) 2z 3z z (z 1)3 (z 1)2 z 1
f(k)=[k(k-1)+3k+1](k)
▲
■
第 10 页
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k) 若z< , f(k)= –2K1kcos(k+)(– k – 1)
▲
■
第8页
(3) F(z)有重极点
F(z)展开式中含
(z
z a)r
项(r>1)，则逆变换为
若z> ,对应原序列为 k(k 1).....(k r 2) ak r1 (k)
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
逆z变换.
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
信号与系统 6.3 逆Z变换
第 7 页
思路：将F(z)展开为上式的形式，其系数即为f(k)
板书简单例题
第
二、部分分式展开法
B( z ) bm z m bm 1 z m 1 b1 z b0 F (z) A( z ) z n a n1 z n 1 a1 z a0
3 页
将 F ( z ) 展开为部分分式，然后再乘以Z；其方法与第五章中
§6.3 逆Z变换
一、幂级数展开法 二、部分分式展开法
西安邮电学院电子与信息工程系
一、幂级数展开法
F (z)
k
第 2 页
f (k )z k
2 1 2
f (2)z f (1)z f (0) f (1)z f (2)z
Z的幂级数 Z-1的幂级数
F(s)展开方法相同。
A(z)为F(z)的分母多项式，A(z)=0的n个根zi 为F(z)的极点。 根据极点的类型，F ( z ) 的展开有几种情况：
z
z
1）单极点 2）共轭单极点
3）重极点
第
1）F（z）有单极点
若F(z)的极点都是互不相同的实根，则： n Kn Ki F (z) K1 K2 z z z1 z z2 z z n i 1 z z i
(若A( z )实系数，则K 2 K 1 ) 将F(z)的极点和系数写成指数形式，则：
K 1 K e j K 2 K e j z1, 2 c jd e j K e j z K e j z Fa ( z ) j z e z e j 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k ) 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k 1)
逆z变换的三种常用方法
逆z变换的三种常用方法
1. 部分分式分解法：将给定的z变换函数分解成多个分式的和的形式，然后使用逆z变换公式求出每个分式的逆z变换，最终将它们相加得到最终的逆z变换。
2. 矩阵求逆法：将z变换函数表示成一个矩阵表示的形式，然后使用矩阵求逆的技巧求出逆矩阵，最终将原矩阵与逆矩阵相乘得到最终逆z变换。
3. 利用时间域特性法：根据逆z变换的时间域特性，可以将z变换函数表示成卷积和的形式，然后使用卷积和的知识求出逆z变换。
这种方法比较简单，适用于某些特定的情况。
lesson6 Z变换的逆变换
X z 的收敛域内的一条环绕原点的积分围线。
3.留数定理法
xn X z z n 1dz 可用留数定 对于有理Z变换，围线积分 2 j C 理来计算。设在有限的Z平面上， ak , k 1,2,, N 是 X z z n1 1
在围线 C 内部的极点集， bk , k 1,2,, M 是 X z z n1 在围线 C 外部的极点集。根据柯西留数定理，有
X z A1 A2 1 2 z 1 1 0.5 z 1
2.部分分式展开法
(Partial Fraction Expansion)
例2.16 解(续)：其中
A1 X z 1 2 z
1
z 2
1 4 1 1 0.5 z z2 3 1 1 1 1 2 z z0.5 3
当 n 0 时，因为 X z z n1 在 C 外无极点，且 X z z n1 的分 母与分子多项式阶数之差为 2 n 1 1 n 2因为n为负值 ， 所以有 xn 0, n 0
最后得
1 a n 1 x n u n 1 a
1.幂级数法
解(续)：
1 4 z 1 7 z 2 1 2 z 1 z 2 4 z 1 z 2 4 z 1 8 z 2 4 z 3 7 z 2 4 z 3 7 z 2 14 z 3 7 z 4 10 z 3 7 z 4
A2 X z 1 0.5 z
1
z 0.5
即
1 4 1 X z 1 3 1 2 z 1 0.5 z 1
4 n 1 n 2 0.5 , x n 3 3 0, n0
第6章 Z变换
第6章 Z变换
主要内容
定义和收敛域 有理z变换 逆z变换 z变换的性质 有限长序列卷积的计算 传输函数
概述
z变换是离散时间傅立叶变换的推广形式 对于很多序列，其离散时间傅立叶变换不存 在，但其z变换存在 对于实值序列，其z变换是复数变量z的实有 理函数 z变换是数字滤波器设计和分析的重要工具 在z域中，LTI离散时间系统的表示由其传输 函数给出
逆z变换
使用查表法计算逆z变换 使用部分分式展开法求逆变换 P253 例6.14
有用性质的证明
共轭性质 时间反转性质 线性性质 P258 例6.22
有限长序列卷积计算
线性卷积 圆周卷积
线性卷积
两序列x[n],h[n]的线性卷积和y[n] 的z变换 Y(z)可以由x[n]和h[n]的z变换相乘获得 例6.30 6.31
LTI离散时间系统传输函数的表示
FIR数字滤波器 有限维LTI IIR离散时间系统
FIR数字滤波器
冲激响应h[n]定义在区间N1≤n≤N2上，在区间 外有h[n]=0，传输函数为：
H ( z) =
n= N1
h[n]z − n ∑
N2
对于因果FIR滤波器，0≤N1≤N2，所以所有极 点均在z平面的原点处 H(z)的收敛域是除了z=0的整个z平面 P267 例6.33
用极点表示的稳定性条件
基于冲激序列h[n]给出BIBO稳定性：
n = −∞
∑ h[n] < ∞
+∞
问题：对于无限冲激响应系统，稳定性条件很 难检测 解决：用传输函数H(z)的极点位置来表示稳定 条件。 P272 例6.36 例6.37
用极点表示的稳定性条件
通过傅立叶变换H(ejω)的存在性来验证其冲激 响应是否绝对可和：
主要内容
定义和收敛域 有理z变换 逆z变换 z变换的性质 有限长序列卷积的计算 传输函数
概述
z变换是离散时间傅立叶变换的推广形式 对于很多序列，其离散时间傅立叶变换不存 在，但其z变换存在 对于实值序列，其z变换是复数变量z的实有 理函数 z变换是数字滤波器设计和分析的重要工具 在z域中，LTI离散时间系统的表示由其传输 函数给出
逆z变换
使用查表法计算逆z变换 使用部分分式展开法求逆变换 P253 例6.14
有用性质的证明
共轭性质 时间反转性质 线性性质 P258 例6.22
有限长序列卷积计算
线性卷积 圆周卷积
线性卷积
两序列x[n],h[n]的线性卷积和y[n] 的z变换 Y(z)可以由x[n]和h[n]的z变换相乘获得 例6.30 6.31
LTI离散时间系统传输函数的表示
FIR数字滤波器 有限维LTI IIR离散时间系统
FIR数字滤波器
冲激响应h[n]定义在区间N1≤n≤N2上，在区间 外有h[n]=0，传输函数为：
H ( z) =
n= N1
h[n]z − n ∑
N2
对于因果FIR滤波器，0≤N1≤N2，所以所有极 点均在z平面的原点处 H(z)的收敛域是除了z=0的整个z平面 P267 例6.33
用极点表示的稳定性条件
基于冲激序列h[n]给出BIBO稳定性：
n = −∞
∑ h[n] < ∞
+∞
问题：对于无限冲激响应系统，稳定性条件很 难检测 解决：用传输函数H(z)的极点位置来表示稳定 条件。 P272 例6.36 例6.37
用极点表示的稳定性条件
通过傅立叶变换H(ejω)的存在性来验证其冲激 响应是否绝对可和：
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k1z k2z 1 F(z) = z +z z-z1 z z2
-1
F(z) k1 k2 = + z z-z1 z z2 k1z k2z F(z) = + z-z1 z z2
展开为部分分式, 将F(z) / z 展开为部分分式,其方法与第五章中 展开方法相同. F(s)展开方法相同.
F(z) 的分母多项式为 A(z), A(z) = 0有n个根 z1 , z2 ,, zn ,
f (k) = f2 (k) + f1(k) = f (k)ε (k 1) + f (k)ε (k)
式中因果序列为 式中反因果序列为
f1(k) = f (k)ε (k) f2 (k) = f (k)ε (k 1)
相应地, 相应地,其z变换也分为两部分
F(z) = F2 (z) + F1(z), α < z < β
一,幂级数展开法 6.3例6.3-1 已知象函数
z2 z2 F(z) = = 2 (z + 1)(z 2) z z 2
其收敛域如下,分别求其相应的原序列f(k) 其收敛域如下,分别求其相应的原序列f(k)
(1) z > 2 (2) z < 1 (3)1 < z < 2
解(1)由于 F(z)的收敛域为 z > 2 为因果序列. 故 f (k)为因果序列. 的幂级数如下: 用长除法将 F(z)展开为 z1 的幂级数如下:
为因果序列. (1)收敛域 z > 2 故 f (k) 为因果序列.得
1 2 k k f (k) = [ (1) + (2) ]ε (k) 3 3
为反因果序列. (2)收敛域 z < 1 故 f (k) 为反因果序列.得
1 2 k k f (k) = [ (1) (2) ]ε (k 1) 3 3
(3)收敛域1 < z < 2
求得各项系数
于是得
5 j63.4° 5 j63.4° e e z z z F(z) = 1.5 + 4 + 4 jπ jπ 2 z +1 z 2e z + 2e 2
根据已知的变换对, 根据已知的变换对,如 δ (k) 1
z a ε (k) , z a
k
z >a
z a ε (k 1) , z a
k
z <a
就可以求得展开式的原函数. 就可以求得展开式的原函数.
例6.3-3 6.3-
已知象函数
z2 F(z) = (z + 1)(z 2)
2 1 1 其收敛域分别为( 其收敛域分别为(1)z > (2) z <(3)< z < 2
B(z) bmzm + bm1zm1 ++ b1z + b0 F(z) = = n A(z) z + am1zn1 ++ a1z + a0 m≤ n
F(z) B(z) B(z) = = ,m < n +1 n n1 z zA(z) z(z + am1z ++ a1z + a0 )
k1 k2 F(z) = + z-z1 z z2
3 2
解 由上式可见其象函数的极点为1/2,1,2,3. 由上式可见其象函数的极点为1/2, 1/2 将 F(z) / z 展开为部分分式为
K3 F(z) K1 K2 K4 = + + + 1 z 1 z 2 z 3 z z 2
按求各项系数公式可得: 按求各项系数公式可得: 1 = 1, K2 = 2, K3 = 1, K4 = 1, K
其中 F1(z) = Z[ f (k)ε (k)] = ∑ f (k)zk
k=0
∞
z >α
F2 (z) = Z[ f (k)ε (k 1)] =
k=∞
f (k)zk ∑
1
z <β
根据给定的F(z)及收敛域,不难求得F (z)和 (z),并 根据给定的F(z)及收敛域,不难求得F1(z)和F2(z),并 F(z)及收敛域 分别求得它们所对应的原序列f (k)和 (k). 分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k).根据线性 性质,将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k) F(z)所对应的原序列f(k). 性质,将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k). 本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换. 本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换.
为双边序列. (3) F(z)的收敛域为 1 < z < 2故 f (k) 为双边序列. 展开为部分分式, 将 F(z) 展开为部分分式,有:
1 2 z z z2 F(z) = = 3 + 3 , 1< z < 2 (z + 1)(z 2) z + 1 z 2
因果序列象函数
反因果序列象函数
1 z 3 = 1 1 z1 + 1 z2 1 z3 + F1(z) = z +1 3 3 3 3 2 z 3 = 1 z3 1 z2 1 z F2 (z) = z 2 12 6 3
k
F (2) (z)有共轭单极点
z1,2 = c ± jd , 则可将 F(z) 展开为 如果F(z) 有一对共轭单极点 z F(z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z) = + = + + z z z z z1 z z2 z
Fb (z) F(z) 式中 是 中除共轭极点所形成分式外 z z Fa (z) K1 K2 的其余部分, 的其余部分,而 = + z z c jd z c + jd
1 1 1 1 1 1 1 f (k) = {, , , , , , , , } 12 6 3 3 3 3 3 ↑ k =0
6.3例6.3-2 某因果序列的象函数 F(z) = e , 求其原函数 f (k) . 解 指数函数 e x可展开为幂级数
∞ 1 2 1 k xk ex = 1+ x + x ++ x += ∑ , 2! k! k=0 k!
各系数为
(z zi ) F(z) Ki = (z zi ) F(z) z=z = i z z=zi z
n
Ki z 上式等号两端乘以z 上式等号两端乘以z,得 F(z) = K0 + ∑ i =0 z zi
根据给定的收敛域,将上式划分为两部分: 根据给定的收敛域,将上式划分为两部分:即
F1(z)( z > α )和F2 (z)( z < β )
z2 F(z) = 2 z z 2
即
z2 5 5 3 4 1 3 1 2 F(z) = 2 = + z z + z z + 0 z 16 8 4 2 z z 2
∵F(z) = ∑ f (k)zk = f ( 1)z + f ( 2)z2 +
k=1
∞
相比较可得原序列
5 3 1 1 f (k) = {, , , , ,0} 16 8 4 2 ↑ k = 1
2 k 1 f (k) = (2) ε (k 1) + (1)k ε (k) 3 3
2
1
例6.3-4 求下面象函数的逆z变换. 6.3- 求下面象函数的逆z变换.
9 1 z(z 4z + z + ) 2 2 , 1< z < 2 F(z) = 1 (z )(z 1)(z 2)(z 3) 2
复习
Z变换的性质 变换的性质
§6.3
逆z变换
求逆z变换, 的问题. 求逆z变换,即由象函数 F(z)求原序列 f (k) 的问题. 求逆z变换的方法有:幂级数展开法; 求逆z变换的方法有:幂级数展开法; **部分分式法 部分分式法; **部分分式法; 反演积分法(留数法). 反演积分法(留数法). 本节重点讨论最常用的部分分式法. 本节重点讨论最常用的部分分式法. 一般而言,双边序列可分为因果序列与反因果序列. 一般而言,双边序列可分为因果序列与反因果序列.
可以证明, 是实数系数多项式, 可以证明,如 A(z) 是实数系数多项式,则 K1 = K2 写为指数形式, 将 F(z) 的极点 z1, z2 写为指数形式,即令
*
z1,2 = c ± jd = αe
± jβ
z1,2 = c ± jd = αe
± jβ
令
K1 = K1 e jθ
K2 = K1 e jθ
, F(z)可展开为 z * 2 F(z) z +6 K0 K1 K2 K2 = = + + + 2 z z(z + 1)(z + 4) z z + 1 z j2 z + j2
F(z) K0 = z = 1.5 z z=0 F(z) K1 = (z + 1) = 1 z z=1
F(z) 1 + j2 5 j63.4° K2 = (z j2) e = = 4 4 z z= j 2
的极点. 它们称为 F(z)的极点.
F (1) (z)有单极点 F (2) (z)有共轭单极点 F (3) (z)有重极点
F (1) (z)有单极点
都互不相同,且不等0 如 F(z) 的极点z1 , z2 ,, zn , 都互不相同,且不等0 则 F(z) / z 可展开为
n F(z) K0 K1 Kn Ki = + ++ =∑ z z z z1 z zn i =0 z zi
分别求其原函数. 分别求其原函数. 由象函数可见, 解 由象函数可见,其极点为z1 = 1, 其展开式为
z2 = 2
.
F(z) z2 z K1 K2 = = = + z z(z + 1)(z 2) (z + 1)(z 2) (z + 1) (z 2)
-1
F(z) k1 k2 = + z z-z1 z z2 k1z k2z F(z) = + z-z1 z z2
展开为部分分式, 将F(z) / z 展开为部分分式,其方法与第五章中 展开方法相同. F(s)展开方法相同.
F(z) 的分母多项式为 A(z), A(z) = 0有n个根 z1 , z2 ,, zn ,
f (k) = f2 (k) + f1(k) = f (k)ε (k 1) + f (k)ε (k)
式中因果序列为 式中反因果序列为
f1(k) = f (k)ε (k) f2 (k) = f (k)ε (k 1)
相应地, 相应地,其z变换也分为两部分
F(z) = F2 (z) + F1(z), α < z < β
一,幂级数展开法 6.3例6.3-1 已知象函数
z2 z2 F(z) = = 2 (z + 1)(z 2) z z 2
其收敛域如下,分别求其相应的原序列f(k) 其收敛域如下,分别求其相应的原序列f(k)
(1) z > 2 (2) z < 1 (3)1 < z < 2
解(1)由于 F(z)的收敛域为 z > 2 为因果序列. 故 f (k)为因果序列. 的幂级数如下: 用长除法将 F(z)展开为 z1 的幂级数如下:
为因果序列. (1)收敛域 z > 2 故 f (k) 为因果序列.得
1 2 k k f (k) = [ (1) + (2) ]ε (k) 3 3
为反因果序列. (2)收敛域 z < 1 故 f (k) 为反因果序列.得
1 2 k k f (k) = [ (1) (2) ]ε (k 1) 3 3
(3)收敛域1 < z < 2
求得各项系数
于是得
5 j63.4° 5 j63.4° e e z z z F(z) = 1.5 + 4 + 4 jπ jπ 2 z +1 z 2e z + 2e 2
根据已知的变换对, 根据已知的变换对,如 δ (k) 1
z a ε (k) , z a
k
z >a
z a ε (k 1) , z a
k
z <a
就可以求得展开式的原函数. 就可以求得展开式的原函数.
例6.3-3 6.3-
已知象函数
z2 F(z) = (z + 1)(z 2)
2 1 1 其收敛域分别为( 其收敛域分别为(1)z > (2) z <(3)< z < 2
B(z) bmzm + bm1zm1 ++ b1z + b0 F(z) = = n A(z) z + am1zn1 ++ a1z + a0 m≤ n
F(z) B(z) B(z) = = ,m < n +1 n n1 z zA(z) z(z + am1z ++ a1z + a0 )
k1 k2 F(z) = + z-z1 z z2
3 2
解 由上式可见其象函数的极点为1/2,1,2,3. 由上式可见其象函数的极点为1/2, 1/2 将 F(z) / z 展开为部分分式为
K3 F(z) K1 K2 K4 = + + + 1 z 1 z 2 z 3 z z 2
按求各项系数公式可得: 按求各项系数公式可得: 1 = 1, K2 = 2, K3 = 1, K4 = 1, K
其中 F1(z) = Z[ f (k)ε (k)] = ∑ f (k)zk
k=0
∞
z >α
F2 (z) = Z[ f (k)ε (k 1)] =
k=∞
f (k)zk ∑
1
z <β
根据给定的F(z)及收敛域,不难求得F (z)和 (z),并 根据给定的F(z)及收敛域,不难求得F1(z)和F2(z),并 F(z)及收敛域 分别求得它们所对应的原序列f (k)和 (k). 分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k).根据线性 性质,将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k) F(z)所对应的原序列f(k). 性质,将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k). 本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换. 本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换.
为双边序列. (3) F(z)的收敛域为 1 < z < 2故 f (k) 为双边序列. 展开为部分分式, 将 F(z) 展开为部分分式,有:
1 2 z z z2 F(z) = = 3 + 3 , 1< z < 2 (z + 1)(z 2) z + 1 z 2
因果序列象函数
反因果序列象函数
1 z 3 = 1 1 z1 + 1 z2 1 z3 + F1(z) = z +1 3 3 3 3 2 z 3 = 1 z3 1 z2 1 z F2 (z) = z 2 12 6 3
k
F (2) (z)有共轭单极点
z1,2 = c ± jd , 则可将 F(z) 展开为 如果F(z) 有一对共轭单极点 z F(z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z) = + = + + z z z z z1 z z2 z
Fb (z) F(z) 式中 是 中除共轭极点所形成分式外 z z Fa (z) K1 K2 的其余部分, 的其余部分,而 = + z z c jd z c + jd
1 1 1 1 1 1 1 f (k) = {, , , , , , , , } 12 6 3 3 3 3 3 ↑ k =0
6.3例6.3-2 某因果序列的象函数 F(z) = e , 求其原函数 f (k) . 解 指数函数 e x可展开为幂级数
∞ 1 2 1 k xk ex = 1+ x + x ++ x += ∑ , 2! k! k=0 k!
各系数为
(z zi ) F(z) Ki = (z zi ) F(z) z=z = i z z=zi z
n
Ki z 上式等号两端乘以z 上式等号两端乘以z,得 F(z) = K0 + ∑ i =0 z zi
根据给定的收敛域,将上式划分为两部分: 根据给定的收敛域,将上式划分为两部分:即
F1(z)( z > α )和F2 (z)( z < β )
z2 F(z) = 2 z z 2
即
z2 5 5 3 4 1 3 1 2 F(z) = 2 = + z z + z z + 0 z 16 8 4 2 z z 2
∵F(z) = ∑ f (k)zk = f ( 1)z + f ( 2)z2 +
k=1
∞
相比较可得原序列
5 3 1 1 f (k) = {, , , , ,0} 16 8 4 2 ↑ k = 1
2 k 1 f (k) = (2) ε (k 1) + (1)k ε (k) 3 3
2
1
例6.3-4 求下面象函数的逆z变换. 6.3- 求下面象函数的逆z变换.
9 1 z(z 4z + z + ) 2 2 , 1< z < 2 F(z) = 1 (z )(z 1)(z 2)(z 3) 2
复习
Z变换的性质 变换的性质
§6.3
逆z变换
求逆z变换, 的问题. 求逆z变换,即由象函数 F(z)求原序列 f (k) 的问题. 求逆z变换的方法有:幂级数展开法; 求逆z变换的方法有:幂级数展开法; **部分分式法 部分分式法; **部分分式法; 反演积分法(留数法). 反演积分法(留数法). 本节重点讨论最常用的部分分式法. 本节重点讨论最常用的部分分式法. 一般而言,双边序列可分为因果序列与反因果序列. 一般而言,双边序列可分为因果序列与反因果序列.
可以证明, 是实数系数多项式, 可以证明,如 A(z) 是实数系数多项式,则 K1 = K2 写为指数形式, 将 F(z) 的极点 z1, z2 写为指数形式,即令
*
z1,2 = c ± jd = αe
± jβ
z1,2 = c ± jd = αe
± jβ
令
K1 = K1 e jθ
K2 = K1 e jθ
, F(z)可展开为 z * 2 F(z) z +6 K0 K1 K2 K2 = = + + + 2 z z(z + 1)(z + 4) z z + 1 z j2 z + j2
F(z) K0 = z = 1.5 z z=0 F(z) K1 = (z + 1) = 1 z z=1
F(z) 1 + j2 5 j63.4° K2 = (z j2) e = = 4 4 z z= j 2
的极点. 它们称为 F(z)的极点.
F (1) (z)有单极点 F (2) (z)有共轭单极点 F (3) (z)有重极点
F (1) (z)有单极点
都互不相同,且不等0 如 F(z) 的极点z1 , z2 ,, zn , 都互不相同,且不等0 则 F(z) / z 可展开为
n F(z) K0 K1 Kn Ki = + ++ =∑ z z z z1 z zn i =0 z zi
分别求其原函数. 分别求其原函数. 由象函数可见, 解 由象函数可见,其极点为z1 = 1, 其展开式为
z2 = 2
.
F(z) z2 z K1 K2 = = = + z z(z + 1)(z 2) (z + 1)(z 2) (z + 1) (z 2)