2021年高二上第一次月考数学试题 含答案
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考(文、理)数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考（文、理）数学试题一、单选题1．已知a ，b ∈R ，且a b >，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11a b <B ．33a b >C ．2ab b >D ．22a b >【答案】B【分析】利用特殊值判断A 、C 、D ，根据幂函数的性质判断B ； 【详解】解：因为a ，b ∈R ，且a b >， 对于A ：若1a =，1b，显然11a b>，故A 错误； 对于B ：因为函数3y x =在定义域R 上单调递增，所以33a b >，故B 正确； 对于C ：若0b =，则20ab b ==，故C 错误； 对于D ：若1a =，1b ，则22a b =，故D 错误；故选：B2…，则 ）项． A ．6 B ．7C ．9D ．11【答案】D【分析】根据前几项写出数列的通项公式，由此可判断.【详解】，…，由此可归纳数列的通项为：n a，所以11n =，所以11项， 故选：D.3．若数列{an }满足：a 1＝19，an ＋1＝an －3，则数列{an }的前n 项和数值最大时，n 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【分析】先判断数列{an }为等差数列，写出通项公式，若前k 项和数值最大，利用10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩，解出k .【详解】∵a 1＝19，an ＋1－an ＝－3，∴数列{an }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则an 是递减数列．设{an }的前k 项和数值最大，则有10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩ 即()2230,22310,k k -≥⎧⎨-+≤⎩∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7． ∴满足条件的n 的值为7． 故选：B【点睛】求等差数列前n 项的最大（小）的方法： （1）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n 的值； （2）利用an 的符号①当a 1>0，d <0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn 的最大值，其n 的值由an ≥0且an+1≤0求得；②当a 1<0，d >0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn 的最小值，其n 的值由an ≤0且an+1≥0求得.4．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A．BC．D【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算出89,a a ，再根据等比中项的定义即可求出答案 【详解】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==，所以9143a =.89989a a ⋅=，所以8a 和9a的等比中项为故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+），以及等比中项，属于基础题。
2021-2022学年重庆市清华中学高二(上)第一次月考数学试卷(10月份) (解析版)
2021-2022学年重庆市清华中学高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．13．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．64．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．610．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝．14．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°【分析】因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，所以先找出直线的斜率，根据特殊角的三角函数值得到倾斜角的度数．解：设直线的倾斜角为α，0＜α＜180°，由直线的斜率为得到：tanα＝，所以α＝60°故选：A．2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．1【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：向量，，且，∴＝x﹣1＝0，解得x＝1．故选：D．3．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．6【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．解：点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为＝，故选：B．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+【分析】利用空间向量加法法则求解．解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，＝，＝，＝，＝，所以＝（+）＝﹣+（+）＝﹣++＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣++＝﹣+．故选：A．5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【分析】记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，根据sinθ＝|cos＜，＞|，求解即可．解：在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），＝（1，2，2），记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，直线AB与平面BCD所成的角的正弦值sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．则直线AB与平面α所成角θ为45°．故选：B．6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．【分析】经x轴反射的两条光线的斜率互为相反数，再求出入射光线与x轴的交点，然后由点斜式即可写出反射光线所在直线的方程．解：由题意知，反射光线所在直线的斜率为﹣，在直线中，令y＝0，则x＝，所以入射光线所在直线与x轴的交点坐标为（，0），所以反射光线所在直线的方程是y﹣0＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+4．故选：B．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]【分析】由题意画出图形，建立适当的空间直角坐标系，求出•的表达式，再由配方法求解．解：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．则A（1，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，1），则0≤x≤1，0≤y≤1．∴，，∴＝．由二次函数的性质可得：当x＝y＝时，•取最小值为；当x＝0或x＝1，且y＝0或y＝1时，•取得最大值为1．∴•的取值范围是[，1]．故选：A．8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或【分析】根据题意先求出l2的直线方程，再对直线进行平移即可．解：直线l1：x﹣y﹣1＝0的斜率k＝1，倾斜角为45°，将直线l1逆时针旋转75°，可得直线的倾斜角为45°+75°＝120°，所以旋转后直线的斜率k1＝tan120°＝﹣，因为旋转后的直线与直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，所以﹣×＝﹣1，所以a＝，所以l2：x﹣y﹣2﹣0，因为||＝＝2，所以将直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（x+2）﹣（y+2）﹣2＝0或（x﹣2）﹣（y﹣2）﹣2＝0，即x﹣y﹣6＝0或x﹣y+2＝0；故选：D．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．6【分析】对a是否等于0分情况讨论，利用两直线平行的斜率关系即可求出a的值．解：①当a＝0时，直线l1：x＝，直线l2：x＝﹣2，此时两直线平行，符合题意．②当a≠0时，直线l1：y＝，直线l2：y＝，若l1与l2平行，则＝，解得：a＝﹣，综上所述，a＝0或﹣，故选：AC．10．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为【分析】由题意求出直线的斜率和倾斜角，求直线和坐标轴的交点坐标，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：对于直线l：x＝my+1，令y＝0，求得x＝1，可得它恒过定点（1，0），故A正确；当m＝0时，它的斜率不存在，故B错误；m＝时，直线l的斜率为＝，故它的倾斜角为30°，故C错误；m＝2时，直线l即x﹣2y﹣1＝0，它与坐标轴的交点为（1，0）、（0，﹣），故该直线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×＝，故D正确，故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为【分析】直接在平行六面体中，利用向量的线性运算，向量的模，向量的夹角，向量的数量积，线面垂直和线线垂直之间的转换判断A、B、C、D的结论．解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以：，故：＝+2＝36+36+36+3×2×6×6×cos60°＝216；整理得：，故A错误；对于B：由于底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，由于，所以AC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1，故B正确；对于C：由于，△AA1D为等边三角形，所以和的夹角为120°，故向量与的夹角是120°，故C错误；对于D：，，利用：，解得：，，由于，所以，故D正确．故选：AC．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，通过求解，转化判断A的正误；通过证明OD1⊥平面MAC，判断B的正误；利用空间向量法求出异面直线的距离，从而判断C的正误，通过A，O，C三点共线，结合向量的模的关系，判断D的正误．解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，设O（x，2﹣x，0），0⩽x⩽2，D1（0，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），所以．又DB1⊥平面A1BC1，所以平面A1BC1的法向量为．因为，所以OD1⊥DB1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确；对于B，当O为AC的中点时，O（1，1，0），M（2，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0），所以，所以，，所以OD1⊥AC，OD1⊥AM，因为AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面MAC，所以OD1⊥平面MAC，所以∠D1OM的大小可以为90°，故B正确；对于C，，设，所以，即，令a＝1，则b＝1，c＝1，所以，又，所以异面直线D1O与A1C1的距离，故C不正确，对于D，A，O，C三点共线，，，，所以，故D正确．故选：ABD．三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝3．【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，，，⇒1×（﹣10）＝﹣5（x﹣1）⇒x＝3故答案为314．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P∉面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．【分析】设＝x+y，根据空间向量的坐标运算，可得关于x和y的方程组，解之即可．解：由题意知，＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（0，1，1），设＝x+y，则（0，1，1）＝（﹣x﹣y，x，y），即，该方程无解，所以点P∉面ABC．故答案为：∉．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．【分析】以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，求出两直线的方向向量，利用向量法求异面直线所成的角的余弦值．解：以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，则A1（0，0，0），B（4，0，4），A（0，0，4），E（0，4，），则＝（4，0，4），＝（0，4，﹣），cos＜，＞＝＝﹣，所以异面直线A1B与AE所成角的余弦值为，故答案为：．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2+2．【分析】求出直线l1：x+my﹣1＝0过定点A的坐标和直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0过定点B的坐标，l1与l2交于点P，根据两条直线的斜率不难发现有则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．利用基本不等式的性质可得|PA|+|PB|的最大值，即可得到所求周长的最大值．解：直线l1：x+my﹣1＝0过定点A（1，0），直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0即m（x﹣2）＝y﹣，可得过定点B（2，），由于1•m+m•（﹣1）＝0，则l1与l2始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|≤＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，上式取得等号，则△PAB周长的最大值为2+2．故答案为：2+2．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．【分析】（1）直线l经过原点时，利用点斜式可得方程；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得a．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m ＝0，利用平行线之间的距离公式即可得出．解：（1）直线l经过原点时，可得方程为：y＝2x；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得：a＝1+2＝3，此时直线l的方程为：x+y﹣3＝0．综上可得直线l的方程为：y＝2x；或x+y﹣3＝0．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m＝0，则＝2，解得m＝1，或﹣7．∴要求的直线l1的方程为：x+y+1＝0，或x+y﹣7＝0．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．【分析】（1）取BB1的中点G，连接FG，C1G，先证明四边形C1D1FG为平行四边形，从而得到D1F∥C1G，由中位线定理以及平行公理可得，D1F∥BE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BDE的法向量，又直线D1F到平面BDE的距离，即为点D1到平面BDE的距离，由点到平面距离的向量公式求解即可．解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，C1G，因为A1B1∥C1D1，且A1B1＝C1D1，又A1B1∥FG，且A1B1＝FG，所以FG∥C1D1，且FG＝C1D1，故四边形C1D1FG为平行四边形，则D1F∥C1G，在矩形BCC1B1中，因为E，G分别为CC1，BB1的中点，所以BE∥C1G，所以D1F∥BE，又D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，故D1F∥平面BDE；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），所以，，设平面BDE的法向量为，则，即，令y＝﹣1，则x＝z＝1，故，由（1）可知，D1F∥平面BDE，所以直线D1F到平面BDE的距离即为点D1到平面BDE的距离，又点D1到平面BDE的距离为＝，所以直线D1F到平面BDE的距离为．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．【分析】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与2x+y＝0联立，求得圆心即可；（2）根据圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求得圆心C关于直线x﹣y+1＝0的对称点即可．解：（1）已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），则线段AB的垂直平分线方程为：y+1＝x﹣2，即x﹣y﹣3＝0，又圆心在直线2x+y＝0上，联立，解得，所以其圆心为C（1，﹣2），R＝|AC|＝2，所以圆C的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝4；（2）设圆D的圆心为D（x，y），因为圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，所以，解得，所以圆D的标准方程是（x+3）2+（y﹣2）2＝4．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入解得m．直线AC的方程与CM的方程联立即可得出C点的坐标．（2）设B（a，b），利用中点坐标公式可得M坐标，代入CM可得方程5×﹣2×﹣10＝0，把B坐标代入BE方程，联立即可得出．解：（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入可得：4×5﹣3×4+m＝0，解得m＝﹣8，∴直线AC的方程为4x﹣3y﹣8＝0，联立，解得C（2，0）．（2）设B（a，b），则5×﹣2×﹣10＝0，又3a+4b﹣7＝0，联立解得：a＝b＝1，∴B（1，1）．∴直线BC的方程为：y﹣0＝（x﹣2），化为：x+y﹣2＝0．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）只要证明PO垂直于平面ABCD中两相交直线AC和CD即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程求解．【解答】（1）证明：因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，又因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又因为PO⊥CD，AC∩CD＝C，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，由（1）知OC、OD、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B（0，﹣，0），C（1，0，0），D（0，，0），设P（0，0，t），t＞0，＝（0，，t），＝（﹣1，，0），因为异面直线PB与CD所成的角为60°，所以＝，解得t ＝，所以P（0，0，），PC＝＝，设，λ∈[0，1]，则M（λ，0，﹣），＝（λ，0，﹣），＝（﹣1，0，），设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），，令z＝1，＝（，，1），直线OM与平面PCD所成角的正弦值为＝，要使直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于，只要＝，解得，所以CM＝PC﹣PM＝PC﹣λPC＝（1﹣λ）PC＝＝．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．【分析】（1）选①，过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC ⊥CF，因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，设BH＝x，用坐标表示向量可求得x的值，选②，三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，设BH＝x，表示体积可求得x的值；（2）设，表示出两平面的法向量，利用向量法求出两平面所成角的余弦值的绝对值，可求得余弦值的最大值，解：选①，（1）过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥CF，以C为原点，CF，CB，CM分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（0，0，0），A′（，，），D'（，，），设H（x，2，0），所以＝（x，2，0），＝（，，），＝（，，），因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，所以（x，2，0）＝λ（，，）+μ（，，），则（x，2，0）＝（λ，λ，λ）+（μ，μ，μ）＝（λ+μ，λ+μ，λ+μ），解得x＝，当HB＝时，四点A'，D'，C，H共面，选②，点A'到面BCFE的距离为，设BH＝x，则S△EHF＝×（2﹣x）×2＝2﹣x；因为三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，所以×（2﹣x）×＝×S△CEF××，所以2﹣x＝，解得x＝，（2）由（1）知A′（，，），D'（，，），H（，2，0），E （2，2，0），F（1，0，0）设＝（﹣，﹣，λ），所以点P（﹣+，﹣+，λ+），所以＝（﹣，﹣2，0），＝（﹣+﹣，﹣+﹣2，λ+），设平面HPF的一个法向量为＝（x，y，z），，令x＝6，则y＝﹣1，z＝，所以平面HPF的一个法向量为＝（6，﹣1，），因CM⊥平面BCFE，所以平面BCFE的一个法向量为＝（0，0，1）所以cosθ＝＝＝，所以当λ＝0时，cosθ的值最大，且cosθ＝，故答案为：．。
高二数学上学期第一次月考试题特长班 试题(共3页)
中学2021-2021学年高二数学(shùxué)上学期第一次月考试题〔特长班〕一、选择题〔每一小题4分，一共10小题，总计40分，将正确选项填入答题栏〕1.在等差数列{a n}中，那么〔〕A．4 B．6 C．10 D．82.在中，,，那么〔〕A．3 B． C． D．∆中,，那么A的值是〔〕3.在ABCA. B. C. D.4.在等差数列中，，那么公差等于〔〕A.-2B.C.5.数列2，4，8，16，32，…的通项公式等于〔〕A． B． C．D．6.设是等差数列{}n a的前n项和，，那么〔〕A.13B. 35满足，且，那么的值是〔〕A． B． C． D．8.是等比数列，，那么公比=1A． B． C．2 D．2S为等差数列的前项和，假设，，那么〔〕9.记nA． B. C. D.∆一定是中，，那么ABCA. 等腰三角形B.直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形二、填空题〔每一小(yī xiǎo)题4分，一共4小题，总计16分.将正确答案填入答题栏〕11．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，那么角B＝．12. 数列{}n a满足：，，那么．13. 在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，那么B＝ .14. 等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=5，S10=20，S15= .[三、解答题〔一共4小题，总计44分〕15．(此题10分)〔1〕在等差数列{}n a中，，求n a.〔2〕在等比数列{}n a中，，求.∆的内角所对的边长分别为..16.〔此题10分〕ABC∆的面积S..〔1〕求b的值；〔2〕求ABC17.〔此题12分〕记为等差数列的前项和，，．〔1〕求{}n a的通项公式；〔2〕求n S，并求n S的最小值．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.18、〔此题12分〕ABC(1)假设(jiǎshè)B为锐角且a＝2b sin A，求角B；(2)假设内容总结。
江苏省南京市某高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
2021-2022学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．1．抛物线24y x =的准线方程为____________． 【答案】1x =-【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为2p x =-2．双曲线29x －24y ＝1的渐近线方程是 ．【答案】 230x y ±=．【解析】由29x －24y ＝0得230x y ±=．3．若()xf x e x =-，则=)0('f ____________． 【答案】0【解析】由于'()()'()'11x x xf x e x e e =-=-=-，所以=)0('f 1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 【答案】－e【解析】由于y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′x ＝e ＝1e.又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e ＝－1，所以a ＝－e.5．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 【答案】(x －2)2＋(y ＋3)2＝5【解析】由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.6.已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则2z x y =+的最小值 ．【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙＡＢｘ目标函数：y x z +=2，则 z x y +-=2当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z 有最小值32min =+=y x Z .7．已知p ：0322≤-+x x ，q ：a x ≥．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__________．【答案】3-【解析】由0322≤-+x x 知13≤≤-x ，当3-≤a 时p 是q 的充分不必要条件，所以实数a 的最大值为3-．8．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为_________．【答案】215【解析】由题102=a ，由于点P 到左焦点的距离为4，所以点P 到右焦点的距离为6．设点P 到右准线的距离为d ，则有546==e d，即215=d ． 9.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上一点，则M 到直线l ：3420x y +-=的距离的最大值为 ．【答案】8【解析】圆心到直线距离为2555d ==，最大距离为538d r +=+=.10.若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．11.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.【答案】[]0,8【解析】作出可行域如图:22x y +表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y ≤+≤.12．如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF ∆是正三角形， 则椭圆的离心率为 ．【答案】33【解析】设m AF =1，则m AF 22=，a m 23=，即m a 23=，又c m F F 2321==，即mc 23=，所以33==a c e ．13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为 ． 【答案】6【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q . 若PQ ＝λAP ，则实数λ的取值范围为 ．【答案】0<λ<1【解析】 解法1 λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQAP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k (x ＋2)得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[](2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)＝0，所以x A ＝－2, x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2(2k 2＋1)2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.同理AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝AQ AP －1＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1.由于k 2>0，所以0<λ<1. 解法2 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x ＋2)消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k2k 2＋1，由解法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4kk 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由于k 2>0，所以0<λ<1。
高二数学上学期第一次月考试题文 6(共9页)
内蒙古实验中学2021-2021学年(xuénián)高二数学上学期第一次月考试题文第I卷〔选择题，一共60分〕一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 不等式的解集是( )A．{x|或者x＞3} B．{x|1x 或者} C．{x|1x＜3} D．{x|1≤x≤3}2.假设，，那么以下结论：①，②③④，其中正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．43．等差数列{a n}满足：a6＝10，a12＝34，那么数列{a n}的公差为( )A．8 B．6 C．4 D．24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设a＝，b＝，c＝2，那么A＝( )A.π6B.π4C.π3D.π25.在等比数列{a n}中，假设a2a5a8＝-27，那么a3a7＝( )A．-9 B.6 C．-12 D．96. 在△ABC中，b＝20，c＝，C＝60°，那么此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定7.. 等差数列{a n }、的前n 项和分别为S n 、，假设，那么( )A ．B ．C ．D ．8.在锐角三角形ABC 中，以下不等式一定(y īd ìng)成立的是( ) A.B.C.D.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，那么a 2 001＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．810假设不等式x 2＋ax －5>0在区间[1,2]上有解，那么a 的取值范围是( ) A.B.C ．D.11．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，那么a n ＝( )A ．B ．C ．D ．12. 假设两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2+3m 有解，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．(－4,1) D ．(－∞，-4)∪(1，＋∞)第II 卷(非选择题 一共90分〕二、填空题:本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13. 数列{a n }的前n 项和S n ＝，那么{a n }的通项公式a n ＝________.14. 假设x ，y 满足约束条件那么的最大值为________.15．等比数列的前n 项和为S n ，假如S 10S 5＝4，那么S 20的值是________．16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C 、，那么(n à me)＝__________.三、解答题:本大题一一共６小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17. 〔此题满分是10分〕解不等式： 〔1〕〔2〕18. 〔此题满分是12分〕等差数列的前三项依次为a,3,5a ，前n 项和为S n ，且S k ＝121. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .19.〔本小题满分是12分〕 函数.(1)求函数的最大值 (2)在中，角所对的边是，假设A 为锐角，且满足，，ABC 的面积为 3，求边长a .20. 〔此题满分是12分〕x ＞0，y ＞0，且x ＋4y －2xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．21. 〔此题满分是12分〕△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝，sin B ＝cos C .(1)求tan C的值；(2)假设a＝22，求△ABC的面积．22.〔本小题满分是12分〕数列(shùliè){a n}，且a n+1＝3a n－2(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式(2)设，求数列的前n项和为S n高二文科月考数学参考答案1. 不等式103xx -≤-的解集是( )A A ．{x |1x ≤或者(hu òzh ě)x ＞3} B ．{x |1x ≤或者3x ≥} C ．{x |1≤x ＜3} D ．{x |1≤x ≤3} 2.假设a ，b R +∈，那么以下结论：①22ba b a ab +≤+，②2a b+≤③2a b +≥ 〔 〕 C A ．1B ．2C ．3D ．43．等差数列{a n }满足：a 6＝10，a 12＝34，那么数列{a n }的公差为( ) C A ．8 B ．6 C ．4 D ．24．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设a1，b，c ＝2，那么A ＝( )BA.π6 B.π4 C.π3 D.π25.在等比数列{a n }中，假设a 2a 5a 8＝-27，那么a 3a 7＝( )D A ．-9 B.6 C ．-12 D ．96. 在△ABC 中，b ＝20，c＝C ＝60°，那么此三角形的解的情况是( )A A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 7.. 等差数列{a n }、{}n b 的前n 项和分别为S n 、n T ，假设325n n s nT n =+，那么88a b =( )CA ．87 B ．4837 C ．97 D ．12138.在锐角三角形ABC 中，以下不等式一定成立的是( )DA. sin sin A B >B. cos cos A B >C. sin cos A B <D. sin cos A B > 9．在数列(sh ùli è){a n }中，a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，那么a 2 001＝( )BA ．2B ．4C ．6D ．810假设不等式x 2＋ax －5>0在区间[1,2]上有解，那么a 的取值范围是( ) B A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(),4-∞ D. ()4,+∞ 11．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，那么a n ＝( ) AA ．()12n n +B ．222n n -+C ．()12n n -D ．12n +12. 假设两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2+3m 有解，那么实数m 的取值范围是( )DA ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，-4)∪(1，＋∞)13. 数列{a n }的前n 项和S n ＝21n n --，那么{a n }的通项公式a n ＝________.14. 假设x ，y 满足约束条件40200x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤，≥，≥，那么2z x y =+的最大值为15．等比数列的前n 项和为S n ，52s =假如S 10S 5＝4，那么S 20的值是________．80 16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C 、)5cos cos a c B b C -=，那么sin B ＝__________.17.解不等式：〔1〕2260x x --≥ 〔2〕2116x x --+<〔1〕 〔2〕18.等差数列(d ěn ɡ ch ā sh ù li è)的前三项依次为a,3,5a ，前n 项和为S n ，且S k ＝121. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，那么a 1＝a ，a 2＝3，a 3＝5a ，由有a ＋5a ＝6，得a 1＝a ＝1，公差d ＝2 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝k ＋k (k －1)22＝.由S k ＝121=k 2，解得k ＝11，故a ＝1，k ＝11. (2)由(1)得S n ＝那么b n ＝S n n＝n ，故b n ＋1－b n ＝＝1，即数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以T n ＝＝.19. 函数()()2cos 3cos sin 3f x xx x =+-.(1)求函数)(x f 的最大值(2)在ABC ∆中，角C B 、、A 所对的边是c b a 、、，假设A 为锐角，且满足0)(=A f ，sin 4sin B C =，ABC ∆的面积为 3，求边长a .〔1〕2 〔2〕20. .〔本小题满分是12分〕x ＞0，y ＞0，且x ＋4y －2xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由x ＋4y －2xy ＝0，得又x ＞0，y ＞0，那么2＝≥2 ＝，得xy ≥4，当且仅当x ＝4，y ＝1时，等号成立(ch éngl ì)．所以xy 的最小值为4. (2)由(1)知412x y+= 那么x ＋y ＝〔41x y+〕·(x ＋y )＝≥当且仅当x ＝4且y ＝1时等号成立，∴x ＋y 的最小值为.21．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝223，sin B ＝53cos C . (1)求tan C 的值；(2)假设a ＝22，求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝223，∴sin A ＝1－cos 2A ＝， ∴53cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝13cos C ＋223sin C .整理得tan C ＝ 2.(2)由(1)知sin C ＝，cos C ＝，由a sin A ＝csin C知，c ＝.∵sin B ＝53cos C ＝，∴的面积S ＝12ac sin B ＝12×22×43×539＝22．数列{a n }，14a =且a n+1＝3a n －2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式(2)设3log (1)n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n〔1〕 〔2〕内容总结。
2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．数列1,12-,13,14-,15,……的一个通项公式n a =（ ）A ．(1)nn -B ．1n -C ．1(1)n n --D ．1n【答案】C【分析】根据分母的特征和每项的正负性特征,可以选出答案. 【详解】因为数列的正负交替,分母是正整数的次序,所以na =1(1)n n--. 故选C【点睛】本题考查了已知数列求数列的通项公式,本题也可采用根据四个选项中数列通项公式求出前几项,看是否符合已知的数列的前几项.2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab等于（ ）A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】C【分析】根据等差数列的性质，得到x b a =-，再根据()2b a x a =+-，即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ， ∴2a x x b +=+，解得x b a =-．又()()22223b a x a a x a b a b a =+-=-+=-+-=-．∴3b a =，∴13a b =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，属于基础题型. 3．已知{}n a 为等差数列，若34812a a a ++=，则9S =（ ） A ．24 B ．27 C ．36 D ．54【答案】C【解析】计算得到54a =，根据1995992a a S a +=⨯=得到答案. 【详解】3485465312a a a a a a a ++=++==，故54a =，199599362a a S a +=⨯==. 故选：C .【点睛】本题考查了根据等差数列性质求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos cos a B b A =，则ABC 为（ ） A ．等腰且直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形【答案】D【分析】由题意结合余弦定理化简得22a b =，即可得解.【详解】由cos cos a B b A =结合余弦定理可得22222222a c b b c a a b ac bc +-+-⋅=⋅， 化简得22a b =，即a b =，所以ABC 为等腰三角形. 故选：D.5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6．在ABC 中，30a =，25b =，150A =，则ABC 的解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．无解 D ．无法确定【答案】A【分析】利用正弦定理求出sin B 的值，再由小边对小角即可判断. 【详解】在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin a bA B=， 所以sin 25sin1505sin 3012b A B a ⋅===， 因为b a <，所以B A <，所以角B 是锐角，进而可得角C 和边c 都是唯一的， 所以ABC 的解的个数为1， 故选：A.7．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c+-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【详解】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．8．在锐角三角形ABC 中，已知2A C =，则ac 的范围是A ．()0,2B ．()2,2 C ．()2,3D ．()3,2【答案】C【分析】根据正弦定理得到2cos aC c =，计算64C ππ<<，得到答案. 【详解】sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===，又A B C π++=，2A C =，锐角三角形ABC ， ∴64C ππ<<，故23cos ,22C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故23ac <<. 故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC DB =，则sin C 的值为（ ）A 3B 3C 6D 6【答案】D【分析】根据题中条件，在ABD △中先由余弦定理求出cos A ，利用同角三角函数关系求出sin A ，利用正弦定理可求出sin BDC ∠，然后在BDC 中利用正弦定理求解sin C 【详解】解：设AB x =，则,,33AD x BD x BC x ===， 在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅， 所以 222sin 1cos -A A ， 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BDADB A=∠，则sin sin2AB xADB AxBD∠===，所以sin BDC∠=在BDC中，由正弦定理得，sin sinBD BCC BDC=∠，则sinsinxBD BDCCBC⋅∠===故选：D【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．设n S是等差数列{}n a的前n项和，若3613SS=，则612SS=（）A．310B．13C．18D．19【答案】A【分析】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，根据题意可将69,S S都用3S表示，可求得结果.【详解】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，∵3613SS=，即633S S=，()6333S S S S--=，∴9633S S S-=，12934S S S-=，∴936S S=，31210S S=，∴63123331010S SS S==.故选：A.11．若数列{}n a满足119a=，()*13Nn na a n+=-∈，则数列{}n a的前n项和最大时，n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为119a=，13n na a+-=-，所以数列{}n a是以19为首项，3-为公差的等差数列，所以()()1913223na n n=+-⨯-=-．要使{}n a的前n项和最大，则需1nnaa+≥⎧⎨≤⎩，即2230223(1)0nn-≥⎧⎨-+≤⎩，所以192233n ≤≤，又*n ∈N ，所以7n =， 故选：B12．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ） A ．90︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒【答案】B【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ， 有余弦定理可得，cosθ=25644912582+-=⨯⨯，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B ．二、填空题13．ABC 中，60,2A a b =︒==，则c =______． 【答案】3【分析】根据余弦定理，建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，由60,2A a b =︒==，得22224cos 60c c =+-⋅︒，即2742c c =+-，2230c c ∴--=，解得：1c =-（舍）或3c =. 故答案为：3.14．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos )c A A b =，b =c =，则ABC 的面积为______．【解析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式化sin sin()B A C =+，展开后可求得tan C ，即C 角，再由余弦定理求得a ，最后由三角形面积公式求得面积．【详解】由正弦定理得：sin (cos )sin C A A B -=，因为sin sin()B A C =+所以sin (cos )sin cos sin cos C A A A C C A -=+，因为sin 0A ≠，所以cos C C =，5tan 6C C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即21333a a =++，解得2a =，所以1sin 2S ab C ==【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，解题关键是用正弦定理化边为角，然后由三角函数公式变形求出角C ．15．在数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =_________.【答案】12.【分析】先设等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到{}n a 的通项，从而得出结果.【详解】设数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，因为732,1a a ==，则731114116=-=++d a a ，所以124=d ， 所以311135(3)1132424-+=+-=+=++n n n n d a a ， 因此2415=-+n a n ，解得1112=a .故答案为12【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型. 16．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，首项12015,a =-且20142012220142012S S -=,则2015S =______． 【答案】2015-【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由20142012220142012S S -=可求得2d =，然后利用等差数列的求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由20142012220142012S S -=可得1120142013201220112014201222220142012a d a d⨯⨯++-= 解得2d =， 又因为12015,a =- 所以()20151201520142015201520152015201420152S a d ⨯+=⨯-+⨯==- 故答案为：2015-三、解答题17．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc +-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c= 由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）1313sin 362222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为57+【解析】正余弦定理解三角形.19．为如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3c =，1b =，3BAC π∠=，M 为线段BC 上一点.（1）若3sin 7AMB ∠=，求AM 的长； （2）若BM AM =，求AMC 的面积. 【答案】（121；（233【分析】（1）利用余弦定理求得BC 、cos B ，从而求得sin B ，利用正弦定理求得AM . （2）求得三角形ABM 的高，通过求ABM 的面积来求得AMC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，因为3c =，1b =，3BAC π∠=，由余弦定理2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠= 所以22257cos 2AB BC AC B AB BC +-==⋅， 因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221sin 1cos 14B B =-=， 在ABM 中，由正弦定理sin sin AM ABB AMB=∠33217=，所以212AM =.（2）取AB 的中点H ，因为MB MA =，所以MH AB ⊥， 因为21sin 14B =、57cos 14B =，所以3tan 5B =，所以13333tan tan 22510HM HB B AB B =⋅=⋅=⨯=， 193220ABMSAB HM =⋅=， 所以AMCABCABMSSS=-=19333sin 22010AB AC BAC ⋅⋅∠-=.20．已知{n a }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且55S =，63=-S ．求数列{n a }的通项n a 及n S .【答案】2317310,22n n a n S n n =-+=-+．【分析】先用基本元的思想将已知条件转化为1,a d 的形式，解方程组求得1,a d ，由此求得数列的通项公式及前n 项和.【详解】由55S =，有63S =-有1151056153a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得173a d =⎧⎨=-⎩ ，()()713310n a n n =+--=-+，∴ ()27310317222n n S n n n +-+==-+．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.属于基础题. 21．已知数列{}n a 满足()1144,42n n a a n a -==-≥，令12n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）()21n n a n+=.【分析】（1）由题设1422n n a a --=-，得到12n a -=12+112n a --，进而得到112n n b b --=，由此可知数列{}n b 为等差数列. （2）由（1）求得122n n a =-，两边同时取倒数，进而求得求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）因为()1442n n a n a -=-≥，可得12(2)422(1)n n n n a a n a a +--=-=≥， 所以111122(2)22n n n n a a a a +==+---，即1111222n n a a +-=--， 又因为12n n b a =-，即()1112n n b b n +-=≥， 又由14a =，可得111122b a ==-， 所以数列{}n b 构成首项为12，公差为12的等差数列. （2）由（1）可得数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭构成首项为12，公差为12的等差数列， 所以1111(1)2222n n n a a =+-⨯=--，所以()2221n n n na +==+， 即数列{}n a 的通项公式()21n n a n +=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，注意数列n 的取值，解题时要注意等差数列的性质的应用和判断，着重考查推理与运算能力.22．已知{}n a 是一个等差数列，且251,5a a ==-．(1)求{}n a 的通项公式n a ;(2)求{}n a 的前n 项和n S 的最大值．【答案】(1)25n a n =-+(2)4【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出方程组即可求解；（2）利用等差数列的前n 项和公式可得关于n 的二次函数，利用配方法即可求解.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由已知条件得11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得132a d =⎧⎨=-⎩， ∴1(1)25n a a n d n =+-=-+．（2）221(1)4(2)42n n n S na d n n n -=+=-+=--+， ∴当2n =时， n S 取得最大值4．。
高二数学上学期第一次月考试题 68(共10页)
正定县第一(d ìy ī)中学2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1、圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 ( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝12、假设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，那么等于〔 〕A ．11B ．5C ． 9D ．3、抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124、点B (4,－2)与圆 x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝15、假设抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的间隔 为10，那么M 到y 轴的间隔 是( )A ．10B ．9C ．5D ．6、圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，那么动点P 的轨迹是( ) A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．半椭圆7、双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公一共焦点．那么C 的方程为 ( ) A ．B ．C ．D ．8、点是椭圆(tuǒyuán)上的点，设点，的坐标分别为，直线，的斜率之积是( )A ．B ．C ．D ．9、方程表示双曲线，那么的取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ．10、假设直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，那么P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝1的关 系为 ( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．以上都有可能11、抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x 2相交于M ，N 两点，假设MN 中点的横坐标为3，那么此抛物线的方程为( ) A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝-3yD ．x 2＝3y12、椭圆C ：x 24＋y 22＝1的一个顶点为A (2，0)，直线y ＝kx －k 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，当△AMN 的面积为103时，那么k 的值是 ( ) A ．B ．C ．D ．第II 卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13、椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为 F 1(－4，0)，那么m= .14、的顶点坐标分别是，那么AOB ∆外接圆的方程为 .15、如图是抛物线形拱桥(gǒngqiáo)，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水上升1米后，水面宽米．16、如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，以A，B为焦点，且过D，E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，那么e1+e2的值是____________．三、解答题：一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17、〔本小题满分是10分〕直线y＝ax＋4及圆C：.(1)假设直线y＝ax＋4与圆C相切，求a的值；(2)假设直线y＝ax＋4与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．18、〔本小题满分是12分〕双曲线x2－y2＝6，左、右焦点分别为F1，F2.(1)求双曲线的离心率、渐近线方程、右焦点F2到渐近线的间隔；(2)假设点M(3，m)在双曲线上，求证：．19、〔本小题满分是12分〕椭圆的两个(liǎnɡ ɡè)焦点坐标分别是(2,0) ，(2,0)，并且经过点.(1)求它的HY 方程； (2)直线l ：，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的间隔 最小？最小间隔 是多少？20、〔本小题满分是12分〕抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点.(1)求抛物线C 的HY 方程； (2)设抛物线C 的焦点为,过F 且斜率为的直线l 与C 交于A ,B 两点，．求直线l 的方程.21、〔本小题满分是12分〕在平面直角坐标系中，点、，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线上.(1)假设圆心C 也在直线上，求圆C 的HY 方程；(2)假设圆C 上存在点，使.〔i 〕求点M 的轨迹方程；〔ii 〕求圆心C 的横坐标的取值范围．22、〔本小题满分是12分〕椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1，0).(1)求椭圆E 的HY 方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，假设OM⊥ON，求直线(zhíxiàn)l的方程.高二数学第一次月考试题答案一、选择题1、解：因为(yīn wèi)圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，那么该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，应选B ． 2、解：由双曲线定义得，即，解得，应选C ．3、解：由抛物线的HY 方程为x 2＝12y ，可知p 2＝18，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.应选C .4、解：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，那么x 20＋y 20＝4，连线的中点坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．应选D ．5、解：由题意可知焦点F 的坐标为(1，0)，那么准线方程为x ＝-1，设M (x M ，y M )，那么x M ＋1＝10，所以x M ＝9，即M 到y 轴的间隔 是9. 应选B .6、解：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，所以 |PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |＝4，由椭圆定义知P 的轨迹是椭圆．故 选C .7、解：因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，那么b a ＝52．①又因为椭圆x 212＋y23＝1与双曲线有公一共焦点，易知c ＝3，那么a 2＋b 2＝c 2＝9．②由① ② 解得a ＝2，b ＝5，那么双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，应选A ．8、解：由题支可知AM BM k k 为定值，故可取上顶点，应选B.9、解：，得，应选A .10、解：|a ×0＋b ×0－1|a 2＋b2<1，所以(suǒyǐ)a 2＋b 2>1，所以P (a ，b )在圆外．应选A ． 11、解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x -2消去y 得x 2-2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线的方程为x 2＝3y .应选D .〔或者用点差法也可〕12、解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －1〕，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0．设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝〔1＋k 2〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2]＝2〔1＋k 2〕〔4＋6k 2〕1＋2k2， 又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的间隔 d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1应选A ．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分． 13、解：由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3．14、解：由题意可知点是圆的一条直径的两个端点，故圆心坐标为，半径，所以AOB ∆外接圆的HY 方程为.〔或者AOB ∆外接圆的一般方程为〕都对. (注意方法的多样化)15、解：建立直角坐标系，使拱桥的顶点的坐标为，设抛物线的方程为，l 与抛物线的交点为A 、B ， 根据题意知，那么有，所以，所以(suǒyǐ)抛物线的解析式为，水位上升1米，那么，此时有或者所以此时水面宽为米．故填22.16、解：不妨设BD ＝AE ＝1，那么AD ＝BE ＝3，AB 2a ，双曲线实轴长为2a ′，焦距为2c ，那么2c ＝2，2a ＝1＋3，2a ′＝3-1，所以e 1+e 2 ＝2 3.故填23. 三、解答题17、解：(1)圆心C (1，2)，半径r ＝2，………………………………………...2分由题意得|a -2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或者a ＝43 ；…………………………….5分(2)因为圆心到直线ax -y ＋4＝0的间隔 为|a ＋2|a 2＋1，……………………….7分所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝-34……………………………..10分 〔注意方法的多样化〕18、解：(1)由x 2－y 2＝6得，可知a ＝b ＝6，c ＝23，所以，，………………………...2分渐近线方程为…………………………………………….4分右焦点F 2(23，0)，到直线的间隔 为………..6分(2)证明：由(1)可知，a ＝b ＝6，所以c ＝23， 所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，所MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，…………………..9分因为(yīn wèi)点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0， 所以MF 1→·MF 2→＝0………………………………………………12分 (或者利用证明)19、解：〔1〕因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的HY 方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).由椭圆的定义知……3分所以.又因为，所以.因此，所求椭圆的HY 方程为；…………………………….6分〔注：用待定系数法也可〕〔2〕设直线m 平行于直线l ，那么直线m 的方程可以写成.由得………………………………….9分令判别式，得.解得或者.当14c 时，直线m 与椭圆的交点到直线l 的间隔 最近，此时直线m 的方程为.直线m 与直线l 间的间隔，所以，最小间隔 是……12分20、解：〔1〕因为抛物线C 关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，所以，可设它的HY 方程为.因为点M 在抛物线上，所以，即.因此，所求抛物线C 的HY 方程是…………………………….4分〔2〕由题意得，l 的方程为．………………….5分设，由，得．，故．...........................8分所以(suǒyǐ)．. (10)分由题设知，解得〔舍去〕，．因此直线l的方程为．…………………………………………..12分21、解：〔1〕由题意设点，…………………………………… 2分又点C也在直线上，所以，解得所以圆C的HY方程为；…………………………….4分〔注：圆心也可以通过求两条直线的交点得到〕〔2〕〔i〕设，由||2||，MA MO得化简得：所以点M的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；…………………8分〔ii〕点M的轨迹可记为圆，又因为点M在圆C上，所以圆C与圆D的关系为相交或者相切， (10)分所以，其中，所以，解得…………………………………………12分22、解：(1)由题意(tí yì)可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的HY 方程为x 22＋y 2＝1………………………………..4分(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意………5分②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 〔x －1〕，消去y 整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，显然Δ＞0，所以x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2〔k 2－1〕1＋2k 2.................................................7分所以y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2................................................9分因为OM ⊥ON ，所以＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)…………………………………………12分内容总结（1）.7分所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋2|,\r(a2＋1)))) eq \s\up12(2) ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2))) eq \s\up12(2) ＝4，解得a＝eq \f(3,4)。
高二数学上学期第一次月考试题 60(共10页)
第七中学2021-2021学年高二数学(sh ùxu é)上学期第一次月考试题一、选择题(本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分．前10题为单项选择，11-13三题为多项选择)〔一〕单项选择题(本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的) 1．数列，，，，……的一个通项公式为〔 〕A ．B ．C ．D ．2．数列满足，，那么〔 〕A ．B ．12C ．D ．3．设等差数列{}n a 的前项和为，假设，，那么〔 〕A ．B ．C ．D ．4．中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题：有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，那么此人第二天走的路程为〔 〕 A ．96里B ．189里C ．192里D ．288里 {}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，假设，，那么〔 〕 A ．B ．C ．D ．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设，，那么当n S 最大时，〔 〕 A ．B ．C ．D ．{}n a 满足，，，那么数列的前10项和为〔 〕 A ．B ．C ．D ．8. 函数(hánshù)f〔x〕=，M=f〔1n〕+f〔〕+…+f〔〕+f〔〕〔n∈N*，且n为奇数〕，那么M为〔〕A．2n﹣1 B．n﹣12C．2n+2 D．2n+129.设等差数列{}n a的前n项和为n S，，．记，其中表示不超过的最大整数，如，，那么数列{}n b的前项和为〔〕A． B． C．D．10．数列{}n a满足且，那么2019a 〔〕A．B． C．D．〔二〕多项选择题(本大题一一共3小题，每一小题4分，一共12分．在每一小题给出的四个选项里面，有至少两项符合要求，全部选对得4分，局部选对得2分，错选得0分)11．不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0的解集为〔x1，x2〕，且x2﹣x1=15，那么a=〔〕．A． B． C． D．12.假如函数满足：对于任意的等比数列{}n a，仍是等比数列，那么称函数()f x为“保等比数列函数〞．在以下函数中，是“保等比数列函数〞的有〔〕A．B． C． D．13．a＞b＞0，c＜0，那么以下结论中正确的选项是〔〕A. B. C. D.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分． 17题每空2分)14．{}n a是等比数列，且，与的等差中项为18，那么___________．15．数列{a n}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·a n＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，那么数列{a n}的通项公式a n=____________.16．数列(shùliè){}n a的通项公式为，假设{}n a是递减数列，那么的取值范围为________.17.正数a，b满足ab=a+2b．①那么ab的最小值为_________，②那么2a+b的最小值为________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共82分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤) 18．(本小题满分是12分)数列{}n a满足，．（1）求证数列是等差数列；〔2〕求数列{}n a的通项公式；〔3〕试判断是否为数列{}n a中的项，并说明理由．19．(本小题满分是14分)建筑公司用万元购得一块空地，方案在该地块上建造一栋至少层、每层平方米的楼房.初步估计得知，假如将楼房建为层，那么每平方米的平均建筑费用为(单位:元).〔1〕求楼房每平方米的平均综合费用的解析式；〔2〕为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？20．(本小题满分是14分)数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n+1．〔1〕求数列(shùliè){a n}的通项公式a n及S n；〔2〕求数列{na n+12n}的前n项和．21．(本小题满分是14分)等差数列{a n}满足a2+a3=7，其前9项和为54．设数列{b n}的前n项和为S n，满足b1=1，〔n∈N*〕．〔1〕求数列{a n}，{b n}的通项公式；〔2〕令，数列{c n}的前n项和为T n，假设对任意n∈N*，都有T n≥a恒成立，务实数a的取值范围．22.(本小题满分是14分)数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n-na n=n,n∈N*,且a2=3〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕设，数列{b n}的前n项和为T n,求使成立的最小正整数n的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高二上第一次月考数学试题含答案
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、 ( )
A. B. C. D.
2、圆心角为，半径为的扇形的面积为( )
A. B. C. D.
3、已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4、函数的最小正周期是
A. B. C. D.
5、为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度
6、已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）
A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）
7、已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）
A．﹣1 B．0 C． 1 D．2
8、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（） A．﹣B．C． 1 D．
9、等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
1
=2，S
3
=12，则a
6
等于（）
A． 8 B．10 C．12 D．14
10、已知数列{a
n }是公比为实数的等比数列，且a
1
=1，a
5
=9，则a
3
等于（）
A． 2 B． 3 C． 4 D．5
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．
11、已知，则
12、已知α是第四象限的角，若cosα=，则tan2α=
13、等比数列{a
n }的前n项和为S
n
，已知S
1
，2S
2
，3S
3
成等差数列，则{a
n
}的公
比为
14、设函数,若成等差数列（公差不为零），则
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15、（本小题满分13分）
已知函数，求
（1）的最小正周期和最大值；
（2）的单调区间；
16、（本小题满分13分）
已知，求
（1）的值；
（2）的最大值以及取得最大值时的值.
17、（本小题满分13分）
在中，
（1）求的值；
（2）设的面积为，求的长.
18、（本小题满分13分）
已知数列，满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19、（本小题满分14分）
已知等差数列的公差为，等比数列的公比为 .（1）求数列与的通项公式
（2）若，求数列的前项和
20、（本小题满分14分）
已知数列的前项和
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）讨论（2）中的最值.
参考答案
1-5 ABCDA 6-10 ABDCB 11、12、13、14、2
15、
16、
17、解：（Ⅰ）由，得，
由，得．
所以．（Ⅱ）由得，
由（Ⅰ）知，
故AB×AC=65，
又，
故，．
所以．
18、（1）（2）分组求和
19、（1）（2）
20、（1）（2）
（3）最小值，无最大值35042 88E2 裢20115 4E93 亓6
Mmw25919 653F 政29768 7448 瑈r22262 56F6 囶y 29322 728A 犊。