2021年高二上学期1月月考试题数学(理) 含答案

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江苏省常州市第一职业高级中学2021年高二数学理月考试题含解析

江苏省常州市第一职业高级中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “方程表示一个圆”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据条件得到方程表示圆则，反之也是正确的，从而得到答案.【详解】方程表示一个圆,则需要满足，反之，则满足方程是一个圆，故选择充要条件.故答案为：C.【点睛】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2. 已知A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，则C是A的( ）.A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B略3. 如果一个几何体的三视图如图所示(长度单位: cm), 则此几何体的表面积是（）A. B.C. D.参考答案：A4. 复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣2，2）参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解： ==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．5. 设，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.84 D．0.64参考答案：A6. 若多项式x5+x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+……+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a4=( )A.205B.210C.-205D.-210参考答案：A7. 已知椭圆的离心率为，则b等于（）.A.3B.C.D.参考答案：B8. 阅读下图左边的流程图，若输入，则输出的结果是（）A．2 B. 4 C．5 D. 6参考答案：A9. 已知，，且，则的最大值是（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为（）（1，）（1，﹣）C （，1）D（，﹣1）A解答：解：x=ρcosθ=2×cos=1，y=ρsinθ=2×sin=∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）．故选A．11. 若为实数，则“”是“或”的 ________条件.参考答案：充分而不必要条件略12. 若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．参考答案：a≥考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．解答：解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．13. 对于曲线∶=1，给出下面四个命题：（1）曲线不可能表示椭圆；（2）若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜＜；（3）若曲线表示双曲线，则＜1或＞4；（4）当1＜＜4时曲线表示椭圆，其中正确的是（）A .(2)(3) B. (1)(3) C. (2)(4) D.(3)(4)]参考答案：A14. 已知=2， =3， =4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= ．参考答案：41【考点】F3：类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n 个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2， =3， =4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．15. 已知，，则线段AB的中点坐标为________；_________.参考答案：( －1, －1, －1)，；16. 已知集合，，则集合．参考答案：略17. △ABC的三边长分别为3、4、5，P为面ABC外一点，它到△ABC三边的距离都等于2，则P到面ABC的距离是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考(文、理)数学试题(解析版)

2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考（文、理）数学试题一、单选题1．已知a ，b ∈R ，且a b >，则下列各式中一定成立的是（） A ．11a b <B ．33a b >C ．2ab b >D ．22a b >【答案】B【分析】利用特殊值判断A 、C 、D ，根据幂函数的性质判断B ；【详解】解：因为a ，b ∈R ，且a b >，对于A ：若1a =，1b，显然11a b>，故A 错误；对于B ：因为函数3y x =在定义域R 上单调递增，所以33a b >，故B 正确；对于C ：若0b =，则20ab b ==，故C 错误；对于D ：若1a =，1b ，则22a b =，故D 错误；故选：B2…，则）项． A ．6 B ．7C ．9D ．11【答案】D【分析】根据前几项写出数列的通项公式，由此可判断.【详解】，…，由此可归纳数列的通项为：n a，所以11n =，所以11项，故选：D.3．若数列{an }满足：a 1＝19，an ＋1＝an －3，则数列{an }的前n 项和数值最大时，n 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【分析】先判断数列{an }为等差数列，写出通项公式，若前k 项和数值最大，利用10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩，解出k .【详解】∵a 1＝19，an ＋1－an ＝－3，∴数列{an }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则an 是递减数列．设{an }的前k 项和数值最大，则有10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩ 即()2230,22310,k k -≥⎧⎨-+≤⎩∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7． ∴满足条件的n 的值为7．故选：B【点睛】求等差数列前n 项的最大（小）的方法：（1）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n 的值；（2）利用an 的符号①当a 1>0，d <0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn 的最大值，其n 的值由an ≥0且an+1≤0求得；②当a 1<0，d >0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn 的最小值，其n 的值由an ≤0且an+1≥0求得.4．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（） A．BC．D【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算出89,a a ，再根据等比中项的定义即可求出答案【详解】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==，所以9143a =.89989a a ⋅=，所以8a 和9a的等比中项为故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+），以及等比中项，属于基础题。

高二数学 1月月考试题卷(含答案)

所以．
由数形结合分析可得要使在上有解只需．．
考点：1定积分；2用导数求最值；3转化思想，数形结合思想．
【思路点睛】求角的范围应先求出该角的某一三角函数的范围，作为切线的倾斜角，应先求出角的正切值，而其正切值是切线的斜率，同时某点的切线的斜率又是该点处的导数，因此本题应先求出导函数，然后求出导函数的值域即切线斜率（）的范围，从而求出角的范围．
5.【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知，所以的取值范围是或．
1.【答案】B
【解析】
试题分析：原不等式变形为，所以不等式解集为
考点：分式不等式解法
2.【答案】C
【解析】
试题分析：①中时才成立；② 时不等式错误；③正确；
考点：不等式性质
3.【答案】A
4.【答案】D
【解析】
试题分析：设点P（x,y）,所以 ,所以 ,则， [0， )∪ ．故选D．
考点：利用导数求切线斜率范围，进而求切线的倾斜角范围．
考点：椭圆的标准方程．
6. 【答案】A
【解析】
试题分析：双曲线的渐近线为，点在的渐近线上得，又，，联立得，所以的方程为，故选A．
考点：1、双曲线的性质；2、渐近线方程．
7. 【答案】D
8.【答案】C
【解析】
试题分析：设在准线上的射影分别为，则，，，所以到轴距离为，故选C．
A． B． C． D．
第 II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（22）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
13.函数在定义域内的最小值是.
14．，则．

西安中学202届高三数学上学期第一次月考试题理含解析

10。设 ,且不等式恒成立，则实数的最小值等于( )
A。 0B。 4
C. －4D。－2
【答案】C
【解析】
分析】
分离参数,求齐次式的最大值。
【详解】由得，而 ( 时取等号)，
所以 ,因此要使恒成立，应有，即实数的最小值等于 .
故选： C。
【点睛】多参数不等式，先确定主元，次元唯一转化为函数问题，次元不唯一可以用基本不等式，也可以降元(分式的分子分母为齐次式是降元的主要特征)。
A。 98项B。 97项C。 96项D。 95项
【答案】B
【解析】
【分析】
由于能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故，然后由可求出的取值范围,从而可得结果
【详解】能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故 ,
由得，又，故此数列共有97项.
故选:B
【点睛】此题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用,考查计算能力,属于基础题
（1）求､的通项公式;
(2）数列中， ,且 ,求的通项公式.
【答案】（1） , ；(2）。
【解析】
【分析】
（1）由已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式列出方程组
求出公差和公比，从而可求出､的通项公式；
(2）先求出，而，所以，然后利用累加法可求出的通项公式
【详解】(1)设的公差为，的公比为，则依题意有
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其应用,旨在考查运算求解能力．
二､填空题：（本大题共4小题,每小题5分)
13. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________。

江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题理(含解析)

江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题理（含解析）一､选择题1.若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（） A. -4 B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2.下列说法正确的是（）A. 若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B. 命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D. “平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<” 【答案】C 【解析】【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3.命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（） A. 0a ≤ B. 1a ≤C. 2a ≤D. 3a ≤【答案】D 【解析】【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（）A. 2AB CA ⋅B. 2AC FG ⋅C. 2AD DC ⋅D.2EF DB ⋅【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足对B, 222cos022aAC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足对D, 222cos 22aEF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5.命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（） A. 4a >B. 0a ≥C. 04a ≤<D.04a <≤【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可. 【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <.又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（）B. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S︒=⨯=设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅=⇒=. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）C.3【答案】D 【解析】分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED⊥于P,因为,E F分别为棱1AA､1BB的中点,故11//EF A B,EF⊥平面11A ADD.故1EF A P⊥,又11A P ED⊥,1EF ED E⋂=.故11A P ED F⊥平面. 又11//EF A B所以点G到平面1D EF的距离为点1A到平面1D EF的距离1A P.又111111111212111152225112A E A DA P ED A E A D A PED⨯⋅⋅=⋅⇒===⎛⎫+⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F⊥再根据等面积法计算1A P,属于中档题.8.我们把由半椭圆22221(0)x yxa b+=≥与半椭圆22221(0)y xxb c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c=+，0a b c>>>).如图，设点0,F1,F2F是相应椭圆的焦点，1,A2A和1,B2B是“果圆”与,x y轴的交点，若012F F F△是等腰直角三角形，则ab的值为（）A.722 C.62D.54【答案】C【解析】【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F2F对应的坐标,再根据012F F F△是等腰直角三角形可得02OF OF=计算即可.【详解】根据题意有(),0F c,()2220,bF c-,又根据012F F F△是等腰直角三角形的性质可得02OF OF=,即()22222222322ab c c b a bb-=⇒=-⇒=.故6ab=故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，侧棱长为4，2AC BC==，90ACB︒∠=，点D是11A B 的中点，F是侧面11AA B B(含边界)上的动点.要使1AB⊥平面1C DF，则线段1C F的长的最大值为（）5 B. 213 D. 25【答案】A【解析】【分析】分析可得当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.【详解】由题,当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,此时因为1AB DF⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA∠=∠.故111tan tanFDB B AA∠=∠即1111111111FB A B A B DBFBDB AA AA⋅=⇒==2411BB=<满足题意 .此时1C F===故选：A【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10.椭圆22143x y+=上有n个不同的点123,,,,nP P P P⋅⋅⋅，椭圆右焦点F，数列{}nP F是公差大于12019的等差数列，则n的最大值为（）A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039 【答案】C【解析】【分析】根据题意分析最大最小的n P F的值,再利用等差数列的通项公式求解n的最大值即可. 【详解】根据题意有,当1P为椭圆的右顶点,n P为左顶点时n取得最大值.此时121PF==.23nP F==.又数列{}nP F是公差12019d>的等差数列,()2131112019n d dn=+-⇒=>-,所以140384039n n-<⇒<.故n的最大值为4038.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题.11.已知正四棱锥S ABCD-，E是线段AB上的点且13AE AB=，设SE与BC所成的角为1θ，二面角S AB C--的平面角为2θ，SE与平面ABCD所成的角为3θ，则（）A.123θθθ<< B.321θθθ<< C.132θθθ<< D.231θθθ<<【答案】B【解析】【分析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可.【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：2x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭,即1133ba -<<-⇒<<.故0,3e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 二､填空题13.正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.【答案】2 【解析】【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离221112CC AC ==+=.2【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14.给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x ya a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可.【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题. 又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥. 故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15.函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.【答案】(0,1] 【解析】【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16.已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．【答案】2【解析】【分析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F 分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y ,则()22,D x y , 由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --，可得2211221x y a b +=,2222221x y a b +=．相减可得：22221212220x x y y a b--+= AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+． E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，则OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,则椭圆Ω的离心率为2e ==,故答案为:2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三､解答题17.已知集合{}2|320A x x x=-+≤，集合{}2|2B y y x x a==--，集合{}2|20C x x ax=+-≤，命题:p A B⋂≠∅，命题:q A C⊆.（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p q∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a<-（2）31a-≤≤-【解析】【分析】(1)由题意A B=∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x=-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a==--=≥--（1）由命题p是假命题,可得A B=∅,即得12,3a a--><-.（2）p q∧为真命题,,p q∴都为真命题,即A B⋂≠∅,且A C⊆.∴有121204220aaa--≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a-≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18.如图，在几何体ABCDE中，//CD AE，90EAC︒∠=，平面EACD⊥平面ABC，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ；（2）求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】（1）证明见解析（2）30°. 【解析】【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可.【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则3,0)B ,(0,3,0)C ,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-,(0,23,2)BD =-,(1,3,1)BE =,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即3030z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题. 19.已知21:()4P f x ax ax =-+R ，:q x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B . （1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10,4⎡⎫=⎪⎢⎣⎭A ；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可；（2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）:p 真 f （x ）214ax ax =-+的定义域为R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1．综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意． ③①12m m ->，即1m <-，此时[]2,1B m m =-10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为[]2,1B m m =-的充分不必要条件 ∴ 11420m m ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 无解；综上所述：1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.长方形ABCD中，2=AB AD M 是DC 中点（图1）.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=,所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM ,所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-,平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, ()222525λλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --5. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.21.已知动点G(x,y)2222(1)(1)4x y x y ++-+= （1）求动点G 的轨迹C 的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 中点恰好为Q.求OAB ∆的面积；【答案】（1）22143x y +=；（2）1056【解析】【分析】（1）先由椭圆的定义得知轨迹C 为椭圆，并利用椭圆定义求出a ，从已知条件中得出c ，并求出b 值，结合椭圆焦点位置得出椭圆C 的标准方程；（2）由已知条件得知直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为()11y k x -=-，将直线L 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由Q 为AB 的中点求出k 的值，从而得出直线L 的方程，再利用弦长公式求出AB ，由点到直线的距离公式计算出原点O 到直线L 的距离，再利用三角形的面积公式可求出OAB ∆的面积．【详解】（1）由动点(),G x y4=可知，动点G 的轨迹是以()1,0-和()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=；（2）由于直线L 与曲线C 相交所得线段AB 中点恰好为()1,1Q 可知，直线L 的斜率一定存在，设直线L 的方程为()11y k x -=-，联立221431(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得2222(43)(88)(488)0k x k k x k k +--+--=，所以21222122884348843k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，又线段AB 中点的横坐标为1，∴212288243k kx x k -+==+，解得34k =-， 12122121x x x x +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，直线L 的方程为3470x y +-=，弦长21AB ==L 的距离为75d =，1725ABC S ∆∴==．【点睛】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题解决问题的能力等．22.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ；（1）求椭圆的标准方程（2）求圆E 半径的最大值【答案】（1）22198x y ；（2）max 89r =【解析】【分析】（1）根据椭圆上点与1F 的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩ ，所以2228b a c =-=.故椭圆的标准方程为22198x y +=；（2）由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ，由221198x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=，1212221664,8989m y y y y m m -+==++ 22221(2F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆为的周长）2121166F MN r S y y ∴==-重点中学试卷可修改欢迎下载- 21 - 即r ==令21t m =+，（1t ≥），则r ==当1,0t m ==即时，max 89r =. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.。

2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．数列1,12-,13,14-,15,……的一个通项公式n a =（）A ．(1)nn -B ．1n -C ．1(1)n n --D ．1n【答案】C【分析】根据分母的特征和每项的正负性特征,可以选出答案. 【详解】因为数列的正负交替,分母是正整数的次序,所以na =1(1)n n--. 故选C【点睛】本题考查了已知数列求数列的通项公式,本题也可采用根据四个选项中数列通项公式求出前几项,看是否符合已知的数列的前几项.2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab等于（）A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】C【分析】根据等差数列的性质，得到x b a =-，再根据()2b a x a =+-，即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ， ∴2a x x b +=+，解得x b a =-．又()()22223b a x a a x a b a b a =+-=-+=-+-=-．∴3b a =，∴13a b =．故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，属于基础题型. 3．已知{}n a 为等差数列，若34812a a a ++=，则9S =（） A ．24 B ．27 C ．36 D ．54【答案】C【解析】计算得到54a =，根据1995992a a S a +=⨯=得到答案. 【详解】3485465312a a a a a a a ++=++==，故54a =，199599362a a S a +=⨯==. 故选：C .【点睛】本题考查了根据等差数列性质求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos cos a B b A =，则ABC 为（） A ．等腰且直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形【答案】D【分析】由题意结合余弦定理化简得22a b =，即可得解.【详解】由cos cos a B b A =结合余弦定理可得22222222a c b b c a a b ac bc +-+-⋅=⋅，化简得22a b =，即a b =，所以ABC 为等腰三角形. 故选：D.5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6．在ABC 中，30a =，25b =，150A =，则ABC 的解的个数为（） A ．1 B ．2 C ．无解 D ．无法确定【答案】A【分析】利用正弦定理求出sin B 的值，再由小边对小角即可判断. 【详解】在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin a bA B=，所以sin 25sin1505sin 3012b A B a ⋅===，因为b a <，所以B A <，所以角B 是锐角，进而可得角C 和边c 都是唯一的，所以ABC 的解的个数为1，故选：A.7．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c+-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【详解】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．8．在锐角三角形ABC 中，已知2A C =，则ac 的范围是A ．()0,2B ．()2,2 C ．()2,3D ．()3,2【答案】C【分析】根据正弦定理得到2cos aC c =，计算64C ππ<<，得到答案. 【详解】sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===，又A B C π++=，2A C =，锐角三角形ABC ， ∴64C ππ<<，故23cos ,22C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故23ac <<. 故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC DB =，则sin C 的值为（）A 3B 3C 6D 6【答案】D【分析】根据题中条件，在ABD △中先由余弦定理求出cos A ，利用同角三角函数关系求出sin A ，利用正弦定理可求出sin BDC ∠，然后在BDC 中利用正弦定理求解sin C 【详解】解：设AB x =，则,,33AD x BD x BC x ===，在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅，所以 222sin 1cos -A A ，在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BDADB A=∠，则sin sin2AB xADB AxBD∠===，所以sin BDC∠=在BDC中，由正弦定理得，sin sinBD BCC BDC=∠，则sinsinxBD BDCCBC⋅∠===故选：D【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．设n S是等差数列{}n a的前n项和，若3613SS=，则612SS=（）A．310B．13C．18D．19【答案】A【分析】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，根据题意可将69,S S都用3S表示，可求得结果.【详解】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，∵3613SS=，即633S S=，()6333S S S S--=，∴9633S S S-=，12934S S S-=，∴936S S=，31210S S=，∴63123331010S SS S==.故选：A.11．若数列{}n a满足119a=，()*13Nn na a n+=-∈，则数列{}n a的前n项和最大时，n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为119a=，13n na a+-=-，所以数列{}n a是以19为首项，3-为公差的等差数列，所以()()1913223na n n=+-⨯-=-．要使{}n a的前n项和最大，则需1nnaa+≥⎧⎨≤⎩，即2230223(1)0nn-≥⎧⎨-+≤⎩，所以192233n ≤≤，又*n ∈N ，所以7n =，故选：B12．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为（） A ．90︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒【答案】B【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cosθ=25644912582+-=⨯⨯，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B ．二、填空题13．ABC 中，60,2A a b =︒==，则c =______．【答案】3【分析】根据余弦定理，建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，由60,2A a b =︒==，得22224cos 60c c =+-⋅︒，即2742c c =+-，2230c c ∴--=，解得：1c =-（舍）或3c =. 故答案为：3.14．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos )c A A b =，b =c =，则ABC 的面积为______．【解析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式化sin sin()B A C =+，展开后可求得tan C ，即C 角，再由余弦定理求得a ，最后由三角形面积公式求得面积．【详解】由正弦定理得：sin (cos )sin C A A B -=，因为sin sin()B A C =+所以sin (cos )sin cos sin cos C A A A C C A -=+，因为sin 0A ≠，所以cos C C =，5tan 6C C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即21333a a =++，解得2a =，所以1sin 2S ab C ==【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，解题关键是用正弦定理化边为角，然后由三角函数公式变形求出角C ．15．在数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =_________.【答案】12.【分析】先设等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到{}n a 的通项，从而得出结果.【详解】设数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，因为732,1a a ==，则731114116=-=++d a a ，所以124=d ，所以311135(3)1132424-+=+-=+=++n n n n d a a ，因此2415=-+n a n ，解得1112=a .故答案为12【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型. 16．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，首项12015,a =-且20142012220142012S S -=,则2015S =______．【答案】2015-【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由20142012220142012S S -=可求得2d =，然后利用等差数列的求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由20142012220142012S S -=可得1120142013201220112014201222220142012a d a d⨯⨯++-= 解得2d =，又因为12015,a =- 所以()20151201520142015201520152015201420152S a d ⨯+=⨯-+⨯==- 故答案为：2015-三、解答题17．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc +-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c= 由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）1313sin 362222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为57+【解析】正余弦定理解三角形.19．为如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3c =，1b =，3BAC π∠=，M 为线段BC 上一点.（1）若3sin 7AMB ∠=，求AM 的长；（2）若BM AM =，求AMC 的面积. 【答案】（121；（233【分析】（1）利用余弦定理求得BC 、cos B ，从而求得sin B ，利用正弦定理求得AM . （2）求得三角形ABM 的高，通过求ABM 的面积来求得AMC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，因为3c =，1b =，3BAC π∠=，由余弦定理2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠= 所以22257cos 2AB BC AC B AB BC +-==⋅，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221sin 1cos 14B B =-=，在ABM 中，由正弦定理sin sin AM ABB AMB=∠33217=，所以212AM =.（2）取AB 的中点H ，因为MB MA =，所以MH AB ⊥，因为21sin 14B =、57cos 14B =，所以3tan 5B =，所以13333tan tan 22510HM HB B AB B =⋅=⋅=⨯=， 193220ABMSAB HM =⋅=，所以AMCABCABMSSS=-=19333sin 22010AB AC BAC ⋅⋅∠-=.20．已知{n a }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且55S =，63=-S ．求数列{n a }的通项n a 及n S .【答案】2317310,22n n a n S n n =-+=-+．【分析】先用基本元的思想将已知条件转化为1,a d 的形式，解方程组求得1,a d ，由此求得数列的通项公式及前n 项和.【详解】由55S =，有63S =-有1151056153a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得173a d =⎧⎨=-⎩ ，()()713310n a n n =+--=-+，∴ ()27310317222n n S n n n +-+==-+．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.属于基础题. 21．已知数列{}n a 满足()1144,42n n a a n a -==-≥，令12n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）()21n n a n+=.【分析】（1）由题设1422n n a a --=-，得到12n a -=12+112n a --，进而得到112n n b b --=，由此可知数列{}n b 为等差数列. （2）由（1）求得122n n a =-，两边同时取倒数，进而求得求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）因为()1442n n a n a -=-≥，可得12(2)422(1)n n n n a a n a a +--=-=≥，所以111122(2)22n n n n a a a a +==+---，即1111222n n a a +-=--，又因为12n n b a =-，即()1112n n b b n +-=≥，又由14a =，可得111122b a ==-，所以数列{}n b 构成首项为12，公差为12的等差数列. （2）由（1）可得数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭构成首项为12，公差为12的等差数列，所以1111(1)2222n n n a a =+-⨯=--，所以()2221n n n na +==+，即数列{}n a 的通项公式()21n n a n +=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，注意数列n 的取值，解题时要注意等差数列的性质的应用和判断，着重考查推理与运算能力.22．已知{}n a 是一个等差数列，且251,5a a ==-．(1)求{}n a 的通项公式n a ;(2)求{}n a 的前n 项和n S 的最大值．【答案】(1)25n a n =-+(2)4【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出方程组即可求解；（2）利用等差数列的前n 项和公式可得关于n 的二次函数，利用配方法即可求解.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由已知条件得11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得132a d =⎧⎨=-⎩， ∴1(1)25n a a n d n =+-=-+．（2）221(1)4(2)42n n n S na d n n n -=+=-+=--+， ∴当2n =时， n S 取得最大值4．。

广东省东莞市光明中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题

.
同理可得，
所以
因为四面体的所有棱长都等于1，
所以，
所以
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17.已知向量，， .求：
（1）；
13.求经过点且斜率为的直线方程是_______．
根据直线的点斜式方程，准确运算，即可求解.
根据直线的点斜式方程，可得，即，
所以所求直线的方程为 .
故答案为： .
14.已知是空间两个向量，若，则 ________．
将将两边平方，求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得结果.
将化为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为 .
22.
如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（Ⅰ）；（Ⅱ）．
（Ⅰ）以为原点，分别以所在的直线分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面和的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，且为平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
（Ⅰ）由题意，以为原点，分别以所在的直线分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

2021-2022学年河南省新乡市高二年级上册学期第一次月考数学试题【含答案】

2021-2022学年河南省新乡市高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知a >b ，则下列不等式成立的是（）A ．B ．ac >bcC ．D ．22a b -≥22ac bc >22a b>【答案】D【分析】举出反例可判断A 、C ，由不等式的基本性质可判断B ，由指数函数的单调性可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，当，时，，故A 错误；0a =1b =-2210a b -=-<对于B ，当时，，故B 错误；0c ≤ac bc ≤对于C ，当时，，故C 错误；0c =22ac bc =对于D ，由函数在上单调递增可得，故D 正确.2xy =R 22a b>故选：D.【点睛】本题考查了不等式性质的应用及不等关系的判断，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题.2．在中，，，，则ABC ∆30A =︒105C =︒8b ==aA ．4B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题可先通过三角形内角和为180度解出角的度数，再通过解三角形的正弦定理得出答B 案．【详解】因为，30A =︒105C =︒，所以18045B A C =︒--=︒．根据解三角形正弦定理可得，解得D ．8sin 30sin 45a =︒︒a =【点睛】解三角形的正弦定理：sin sin a bA B =．3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．8【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的n 4524a a +=648S =1a d 方程组，通过解方程组求数列的公差.{}n a 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 则，，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=611656615482S a d a d ⨯=+=+=联立，解得.11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =故选：C.4．数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为{}n a 262n a n =-n n A ．12B ．12或13C ．13D ．14【答案】B【分析】本题可以先通过数列的通项得出数列是等差数列并知道数列的首项，然后得{}n a {}n a {}n a 出数列的前项和，然后得出其的最大值．{}n a n 【详解】因为，262n a n =-所以数列是一个首项为、公差为的数列．124a =，{}n a 242-所以数列的前项和为{}n a n 224262252n nS n n n +-=⨯=-，由数列的前项和为是一个开口向下的二次函数，且对称轴为{}n a n n S 252n =可知的值为12或13，故选B ．n 【点睛】二次函数在对称轴位置取最值，不过要注意是否能取到对称轴所在的那个点．5．在中，若，，则为（）ABC 2a =b =30A =B A ．B ．或C ．D ．或6060 1203030 150【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解【详解】由得，解得，sin sin a bA B=212=sin B =所以或.60B =120故选：B6．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．D ．【答案】C【分析】由三角形内角和求出，由三角形的性质求出边BC ，根据面积公式求出三角形面积.C ∠【详解】由三角形内角和：，故三角形为等腰三角形，所以，30C ∠=6AB BC ==由三角形面积公式：.166sin 2S B =⨯⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.7．求和：()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯⨯+ A ．B ．C ．D ．1nn +1n n-12n n ++1n n+【答案】A【分析】本题中的可以化为，可以化为，可以化为，再112⨯1112-123⨯1123- ()11n n ⨯+111n n -+将其依次求和，得出结果．【详解】1111212=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯ ，()11111n n n n =-⨯++所以()111111111111111223341122334111n n n n n n n ++++=-+-+-++-=-=⨯⨯⨯⨯++++ ，故选A ．【点睛】裂项相消法：()1111n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪⨯++⎝⎭．8．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于{}n a 13a =14a 22a 3a {}n a A ．1B ．-1C ．-2D ．2【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的关系，列出方程组,进而求解.【详解】设的公比为，因为成等差数列，所以，即{}n a ()0q q ≠1234,2,a a a 2114a a q +14a q =，解得2440q q -+= 2.q =【点睛】属于基础题,考察数列基本量的题目，难点在于运算，本题尤其要注意如何求出公比和首项.9．在中，，则ABC ∆cos cos 2b C c B b +=b a =A B ．C ．D ．122【答案】B【分析】本题可以将转化为、转化为，通过化简得出，最cos C 2222a b c ab +-cos B 2222a c b ac +-2a b =后得出结果．【详解】cos cos 2b C c B b +=，，222222222a b c a c b b c bab ac +-+-⨯+⨯=22222a b a b a==，，即故选B ．1 22b b a b ，==【点睛】解三角形的余弦公式：．222cos 2a b c C ab +-=10．若△ABC 中，，则此三角形的形状是（）2sin()sin()sin A B A B C +-=A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两sin C sin()sin A B C -=角和与差的正弦函数公式化简.【详解】中，，ABC ∆ sin()sin A B C +=已知等式变形得：，即，∴2sin sin()sin C A B C -=sin()sin sin()A B C A B -==+整理得：，即，sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+2cos sin 0A B =或（不合题意，舍去），cos 0A ∴=sin 0B =0A π<< ，90A ∴=︒故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．11．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则1291a a －，，，－12391b b b －，，，，－221()b a a －＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98【答案】B【详解】试题分析：先由等差数列和等比数列的性质，得，()21198413a a d ----===-；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得；所以()()22199b =-⨯-=23b =-.故选B.2218()3=83b a a -⨯-－＝【解析】等差数列的性质；等比数列的性质.12．已知数列满足{}n a 110,n a a +==2017a =A ．0B．C D【答案】A【分析】本题可先由推出的值，再由推出的值，再由推出的值，以此类推后可以发1a 2a 2a 3a 3a 4a现数列是一个循环数列，然后得出结果．{}n a【详解】120a a ===，，23a a ===340a a === 由上述可知，数列是每三项一次循环的数列，{}n a 则有故选A ．201710a a ==，【点睛】如果一个数列中的项数每隔几项就会重复，那么则说明这个数列是循环数列．二、填空题13．不等式的解集为_____________________．2450x x -++<【答案】【详解】试题分析：变形为，所以解集为2450x x -++<()()2450150x x x x -->∴+->【解析】一元二次不等式解法14．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________．{}n a n 2n S n n =+{}n a n a =【答案】2n【分析】利用求得.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 【详解】当时，，1n =112a S ==当时，，2n ≥()221112n n n a S S n n n n n-⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦当时上式也符合，所以.1n =2n a n =故答案为：2n15．设等差数列的前项和为则________.{}n a 1020,100,400,n S S S ==30S =【答案】900【分析】本题可以通过等差数列的前项和计算得出结果．n 【详解】因为数列是等差数列，{}n a 所以成等差数列，1020103020S S S S S --、、所以()201010302030302600300900S S S S S S S -=+-=-=，，．【点睛】如果数列是等差数列，则有{}n a 232n n nn nS S S S S --、、．16．已知的三边长构成公差为2ABC 长为________.【答案】15【分析】本题可先根据三边长构成公差为2的等差数列可将三边设为，再通过最大22n n n -+、、以及对应边，再通过三角形的余弦公式得出的值，最后120︒n 求出周长．【详解】设三边长分别为22n n n -+、、，A 所以角等于或A 60︒120︒，因为角是最大角，A 所以角等于, 角对应边为A 120︒A 2n +，根据三角形的余弦公式得，()()()22222cos12022n n n n n-+-+︒=-解得三角形周长为5n =，2215n n n -+++=．【点睛】最大的角对应的边也是最长的．三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，.2sin a b A =（1）求B 的大小．（2）若，求b .a =5c =【答案】（1）；（2）π6B =b 【解析】（1）由正弦定理，可得，进而可求出和角；sin 2sin sin A B A =sin B B （2）利用余弦定理，可得，即可求出.2222cos b a c ac B =+-b 【详解】（1）由，得，2sin a b A =sin 2sin sin A B A =因为，所以，sin 0A ≠1sin 2B =又因为B 为锐角，所以．π6B =（2）由余弦定理，可得，解2222cos 27252552457b a c ac B =+-=+-⨯=-=得b =【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18．(1)为等差数列的前项和，,，求.n S {}n a n 26S S =1a =5a(2)在等比数列中，若求首项和公比.{}n a 422324,6,a a a a -=+=1a q 【答案】（1）；（2）首项,公比51a =-115a =5q =【分析】（1）本题可通过解得的值，再得出的值．26S S =45a a +5a （2）本题可通过得出，在利用等比数列性质与化简得4223246a a a a -=+=、3430a a +=236a a +=出结果．【详解】（1）由题意可得：根据等差数列的性质可得：()6234564545201,1S S a a a a a a a a -=+++=+==∴=-，（2）在等比数列中,，,可得,{}n a 4224a a -=236a a +=3430a a +=而,可得.又知,.()3423a a q a a +=+5q =()22316a a a q q +=+=115a =首项,公比．115a =5q =【点睛】等比数列有11n n mn m a a q a q --==．19．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．ABC A B C a b c 2sin a B =(1)求角的大小；A (2)若，求的取值范围．6a =b c +【答案】(1)π3(2)(⎤⎦【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出答案；（2）通过已知结合锐角三角形内角范围求出的范围，然后结合正弦定理表示、，再由和差角B b c 公式与辅助角公式进行化简，利用正弦函数性质即可求解.【详解】（1），2sin a B =，2sin sin A B B ∴=，sin 0B ≠sin A ∴=为锐角的内角，A ABC.π3A ∴=（2），sin sin sin b c a B C A ====，b c B C ∴+=+，23B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1sin 2B B B ⎫=++⎪⎪⎭，6cos B B =+，12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由题意与小问1可得：，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62B ∴<<，ππ2π363∴<+<B，πsin 16⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭B.(b c ⎤∴+∈⎦20．已知等差数列满足：，．的前n 项和为．{}n a 37a=5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令（）,求数列的前项和．211n n b a =-n N +∈{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．21,(2)nn a n S n n =+=+4(1)nn +【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n a d 3577,26a a a =+=1127{21026a d a d +=+=解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可1,a d n a n S 111()41n b n n =-+试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，{}n a d 37a =5726a a +=1127{21026a d a d +=+=解得，所以，.13,2a d ==32(1)21n a n n =+-=+2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由（1）知，，21n a n =+所以，22111111(1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++所以，11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 即数列的前项和.{}n b n 4(1)n nT n =+【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和n 21．已知分别是的三个内角所对的边．,,a b c ABC ∆,,A B C (1)若的面积，求的值；ABC∆260ABC S c A ︒∆===,a b (2)若，且，试判断的形状．=cos a c B sin b c A =ABC ∆【答案】（1）；（2）等腰直角三角形．1a b ==【详解】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b 边，得，再由由余弦定理得：1sin 2ABC S bc A ∆==12sin 602b ∴⋅︒=1b =，所以（2）判断三角形形状，利用边的222222cos 12212cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=a =关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以cos a c B =2222222a c b a c a b c ac +-=⋅⇒+=，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.90C ∠=︒Rt ABC ∆sin a A c =ab c ac =⋅=ABC ∆解：（1）， 2分1sin 2ABC S bc A ∆= ，得 3分12sin 602b ∴⋅︒=1b =由余弦定理得：， 5分222222cos 12212cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=所以分a =222a cb +-在中，，所以 11分Rt ABC ∆sin a A c =a b c a c =⋅=所以是等腰直角三角形； 12分ABC ∆【解析】正余弦定理22．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若bn ＝，且数列{bn}的前项和为Sn ＝360，求的值.2log n a n n 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) n ＝20232n n a -=【详解】试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式得到关于首项、公比的方程组，求解方程组，结合通项公式有；232n n a -=(2)结合(1)的结论可得bn ＝则{bn }是首项为－1，公差为2的等差数列，结合等差223,n log a n =-数列前n 项和公式得到关于n 的方程，结合解方程可得n ＝20.*n ∈N 试题解析：(Ⅰ)设等比数列{an }的公比为q ，则214512128a a q a a q ==⎧⎨==⎩解之得， ∴即；1124a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩111142n n n a a q --==⨯232n n a -=(Ⅱ) bn ＝2322223,n n log a log n -==-∵bn ＋1－bn ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，又，11b =-∴{bn }是首项为－1，公差为2的等差数列，∴Sn ＝＝360，()1232n n -+-即 n 2－2n －360＝0，∴n ＝20或n ＝－18（舍去），因此，所求n ＝20.。

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2021年高二上学期1月月考试题数学（理）含答案
一、选择题（10×5＝50分）
1.若i为虚数单位，，且则( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2．给出以下四个命题：
①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．
其中真命题是 ( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
3．某单位有名成员，其中男性人，女性人，现需要从中选出名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是（）A．B．C．D．
4. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）
B．A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
5. 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为( )
A．56 B．52
C．48 D．40
6. 已知，，猜想的表达式为( )
A. B.
C. D.
7．已知平行六面体中，，，则的长为（）
A. B. C. 10 D.
8．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )
A． B． 2 C． D．
9.等比数列中，，，函数，则( ）
A. B. C. D.
10．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）
A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C
二、填空题（5×5＝25分）
11．已知向量，，若成1200的角，则k= ．
12. 若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是。

13. 过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线有条。

14. 7名同学中安排6人在周六到两个社区参加社会实践活动. 若每个社区不得少于2人，则
不同的安排方案共有种（用数字作答）。

15. 将边长为1m的正三角形薄片沿一条平形于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，
则的最小值是.。

三、解答题（本大题共有6道小题，75分）
16.（本小题满分12分）若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？
17.（本小题满分12分）从名男同学中选出人，名女同学中选出人，并将选出的人排成一排．
（1）共有多少种不同的排法？（用数字作答）
（2）若选出的名男同学不相邻，共有多少种不同的排法（用数字作答）
18.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面是矩形，已知，是线段上一点，.
( 1 )求证；
（2）求与平面所成角的正弦值大小．. P
Q
A
D
B C
第18题图
19．（本小题满分13分）线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所
围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．
．
．
20.（本小题满分13分）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数求证：当时.
21．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
( ) 成立有
0 ≤ x g
理科数学试卷
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共50分）
DCBDC BDCCD
二、填空题：（每小题5分，共25分）
11、； 12、[1,2)； 13、2； 14、350； 15、
三、解答题：（本大题共75分）
16、（本小题满分12分）
解：解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.
17、（本小题满分12分）解：（1）
（2），
18、（本小题满分12分）
（1）略 (2)解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
，，，，.
设,则，
设平面的一个法向量为
()0022010,1,12001x AQ n y z y n x AB n z =⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪∴⇒⇒=-⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎩
设与平面所成角为,则与平面所成角的正弦值为
19、（本小题满分13分）．解依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以(1)
又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0．
于是代入（1）式得：，；
令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且
20、（本小题满分13分）
【解析】（I）当p =1时，，其定义域为.
所以. ，由得，
所以的单调增区间为；单调减区间为
（II）由函数
22
()()(21)ln(1)
g x xf x p x x x x p x
=+--=+-, 得
由（I）知，当p =1时，，即不等式成立.
所以当时，
()ln12(1)12(12)0 g x x px x px p x
'=++≤-++=+≤
，
即g(x)在上单调递减，从而满足题意.
21、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）解：由，得 .
依题意△是等腰直角三角形，从而，故.
所以椭圆的方程是
（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得 .
所以，.
若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.
设，则有 .
将，代入上式，整理得，
所以 .
将，代入上式，整理得 .
由于上式对任意实数都成立，所以 .
综上，存在定点，使平分_37893 9405 鐅20649 50A9 傩G22797 590D 复26007 6597 斗}20480 5000 倀K31365 7A85 窅37000 9088 邈FUQ。