浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限的教学
INTELLIGENCE
浅谈两个重要极限的教学
辽源职业技术学院 吉林师范大学辽源分院
lim
闫运和 罗洪艳
x sin x 1⎞ ⎛ 1+ ⎟ = e = 1 lim ⎜ x⎠ 摘 要： 两个重要极限 x →0 x 、 x →∞ ⎝ 在高等数学中所占的地位虽然 并不显赫，但从教学法的角度来讲，它和其他各节具有同等重要的地位。我们采取如下的 教学过程：１、细心观察，认清基本型 2、利用换元，得到扩展型 3、补充此极限的适用类 型 4、 适当检查学生的掌握情况， 实践证明效果很好， 达到了既传授知识， 又培养能力的目的。 关键词 : 两个重要极限 教学过程 传授知识 培养能力
sin [
x
1 ⎞ ⎛ 2− x⎞ ⎛ lim ⎜ ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ x →∞ 3 − x ⎝ ⎠ x→∞ ⎝ x − 3 ⎠
x
1 ⎞ ⎛ = lim ⎜1 + ⎟ x →∞ ⎝ x−3⎠
x −3
1 ⎞ ⎛ ⋅ lim ⎜ 1 + ⎟ = e ⋅1 = e x →∞ ⎝ x−3⎠
3
, 以后直接将其扩展为
；
x →0 x →0 ② x →0 x x x x →0 显然，①解是对此极限的正确理解，②解虽然也正确， 但并没有掌握此重要极限的实质，说明其思想还局限在基本 型上。对这样的解法我们要立即予以纠正，指出问题所在， sin [ ] 使其真正掌握 [ ] 这一公式。
lim cos x = 2
⎟ 二．极限 x →∞ ⎜ x⎠ ⎝ 此极限的教学方法也按上极限的模式进行，即 g( x) ∞ 1、认清基本型 lim (1 + f ( x) ) ，属 (1) g( x) lim 1 + f x ( )) ( 2、利用换元得到扩展型： ；其中 f ( x ) , g ( x ) 为倒数关系，且 f ( x ) 为某趋势下得无穷小量，也 ⎛ 1 ⎞ ⎜1 + [ ] ⎟ ⎟ 作一简化： lim ⎜ ；[] 的内容必须相同，函数的框架 ⎝ ⎠ 可叙述为：底是 1 与趋向于零的项之和，指数为此项的倒数。 g( x) ⎣ f ( x )⎤ ⎦ ， 3、确定适用类型。若所求的函数类型为： lim ⎡
两个重要极限的证明
两个重要极限的证明嘿，小伙伴们！咱们今天来聊聊两个超级重要的极限。
这两个极限在数学里可有着举足轻重的地位呢！第一个重要极限是：当 x 趋近于 0 时，lim(sin x / x) = 1 。
第二个重要极限是：当 x 趋近于无穷大时，lim(1 + 1/x)^x =e 。
第一个重要极限的证明咱们先来看第一个重要极限的证明哈。
我们知道，单位圆中，角 x 对应的弧长是 x ，而对应的弦长是2sin(x/2) 。
因为弧长大于弦长，所以 x > 2sin(x/2) ，即 sin(x/2) x/2 。
同时，根据三角形的面积关系，扇形的面积是 1/2 x ，三角形OAB 的面积是 1/2 tan x ，而扇形的面积大于三角形的面积，所以1/2 x > 1/2 tan x ，即 x tan x 。
所以 cos x sin x / x 1 ，当 x 趋近于 0 时，cos x 和 1的极限都是 1 ，根据夹逼准则，就可以证明 lim(sin x / x) = 1啦！第二个重要极限的证明看看第二个重要极限。
我们设 y = (1 + 1/x)^x ，对其取对数，得到 ln y = x ln(1 +1/x) 。
然后令 t = 1/x ，则 x = 1/t ，ln y = (1/t) ln(1 + t) 。
根据洛必达法则，对 (ln(1 + t))/t 求极限，当 t 趋近于 0 时，其极限为 1 。
所以当 x 趋近于无穷大时，ln y 的极限是 1 ，那么 y 的极限就是 e ，就证明了 lim(1 + 1/x)^x = e 。
怎么样，这两个重要极限的证明是不是很有趣呀！。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列或函数在无限接近某个值时的行为。
在解决极限问题时，有一些重要的技巧可以帮助我们更好地理解问题和找到解题的思路。
本文将浅谈两个重要的极限解题技巧。
首先是夹逼定理。
夹逼定理是一种用于确定极限存在和确定其值的方法。
当我们想要求解一个复杂的极限问题时，可以通过夹逼定理将其转化为一个更容易求解的问题。
夹逼定理的核心思想是通过将待求极限的函数夹在两个已知的函数之间，来确定极限的存在和值。
具体的操作步骤如下：1. 设待求极限的函数为f(x)，已知上下限函数分别为g(x)和h(x)，即有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
2. 如果已知当x趋向于某个值a时，g(x)和h(x)的极限存在且相等，即lim (x→a) g(x) = lim (x→a) h(x) = L。
那么我们可以得到lim (x→a) f(x) = L。
夹逼定理常用于解决一些无法直接计算的极限问题。
通过找出与待求极限函数相邻的两个已知函数，确定它们的极限存在且相等，从而确定待求极限的值。
当我们要求解极限lim (x→0) x·sin(1/x)时，可以利用夹逼定理将其转化为极限lim (x→0) –|x| ≤ x·sin(1/x) ≤ |x|，由于已知lim (x→0) –|x| = lim (x→0) |x| = 0，因此可以得到lim (x→0) x·sin(1/x) = 0。
第二个重要的极限解题技巧是分子有理化。
有时候，我们在计算一个极限时会遇到分母含有根式的情况，这时候通过分子有理化可以简化计算过程。
分子有理化的思想是通过一定的变换将包含根号的分子转化为一个有理式，从而方便计算极限。
具体的操作步骤如下：1. 先将分子的根式进行有理化。
有理化的方法包括乘以共轭式、利用等式、平方分解等。
2. 完成有理化后，可以将有理化后的分子和原始的分母进行合并，得到一个简化的表达式。
两个重要极限
lim (1 1 )4x (1 1 )3
x 2x
2x
lim[(1 1 )2x ]2 lim (1 1 )3
x
2x
x 2x
e2 1
e2
例8 求 lim ( x 2)2x
x x 1
解：lim ( x 2 )2x x x 1
lim (1 1 )2x lim (1 1 )2( x1)2
x
(1
1 1
) x
1. e
x
一般地 lim1 k x ek x x
例7
求
lim x
x x
1 1
x
解一
原式
lim (1
x
e2
x
2
) 1
x1 2
2
(1
2) x1
解二
(1 1 )x
原式
lim
x
(1
x 1 )x
x
e e 1
e2
练习:
(1) lim (1 3)x
x
x
(3)
x0
x0
2、lim (1 2 )x
x
x
lim (1
2)x
lim{[(1
2
)]
x 2
}
2
e2
x
x
x
x
练习
sin 1 x [ A] 1、lim 2
x0 x
sin 1. lim
1 2
x
sin lim(
1 2
x
1)
1
x0
x
x0
1x 2
2
2
[B] 2、lim sin 7x x0 sin 3x
2.lim sin 7x lim (sin 7x )( 3x )( 7) 7 x0 sin 3x x0 7x sin 3x 3 3
浅谈两类极限的教学方法
（ ）神 ” １ １“ ： ；
（ ）形”括号 中 １ ２“ ： 后面的部分与括号的指数互为倒数。
ｌ（ …［ ） ＝ ｉ， ｌ （ 一］ｅ ｍ一 ｉ 一 ） ｍ 一 １
ｌ １３ ｉ － ｍ（ ｌ ３ 、 一 ｅ３ ｉ ｆ 一 １＝ － ｍ ’ １ ｘ ） Ｉ一 一 一 （ ） １
： ｉ 丁２ ｅ ２ ｔｎ ｌ － ｓ ｃ ｘ＂ ｘ ｍ ａ
ｒ叶” ＯＸ
ｈｘ上 一
ｅ
ｒ叫）
在讲解“ 两个重要极限公式” 中的第二个公式
卜
日
ｆ 『
用）
： 一
ｊ ｘ — ＣＯ Ｓ ｘ
ｌ — ． ｎ ｌ ——一 １ ｉ ｌ １ ｔｘ ｍ ＿ ｉ ａ 一 ｉ ｔｘ ｍ ｍａ ｒ ｌ
参 考 文 献
（ 上接 第 １５页 ） ０
０５ 齿面内凹 ２
ｍｍ 左：
囊
：Hale Waihona Puke ｉ 图 ７齿 的径 向变 形
［ ］ 国民． 国齿轮渗碳淬 火技 术的评述 ［ｊ 属热处理，０ ８ １陈 对我 Ｉｌ 金 ２０．
３ ２ —３ ３ １， ５ ３
模拟的后处理变形云图如图 ７ 最大的变形区域在齿面 中部 ， ， 向内 凹， 大约为 Ｏ ５ ｍ左右 ， 以磨 削的过程 中在上下两侧去除 的材料最 ．ｒ ２ａ 所 多。加工余量一定大于热处理变形 ， 图 ４中马氏体 的分布范围和厚度 从 看， 在齿面处磨削掉变形 的厚度不构成对强度和耐磨性的严重破坏 ， 后
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧在数学中，极限是数列或函数随着自变量趋近某个值而趋近的极限值。
求解极限问题在中学数学和大学数学中都有重要地位。
在实际应用中，极限也扮演着重要的角色。
在解题过程中，有些极限问题相对简单，有些则较为复杂，需要运用一些技巧求解。
本文将重点讨论两个重要极限解题技巧。
一、夹逼准则夹逼准则是求解极限的常用技巧之一。
夹逼准则的基本思想是将一个难以直接求解的极限沿着与它接近的两个易于处理的极限间侧面逼近。
夹逼准则主要有以下三个方面的应用：1.对于数列的夹逼准则若存在两个数列 $a_n$ 和 $b_n$ 以及一个数 $c$，满足对于所有 $n> N$ 都有 $a_n \leq c \leq b_n$，并且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = L$，则 $\lim\limits_{n \to \infty} c = L$。
这个参数有一个非常直接的解释：如果 $a_n$ 和 $b_n$ 这两个数列非常逼近某个恒定值 $L$，而 $c$ 又一直被夹在两者之间，那么 $c$ 最终也会逼近到 $L$。
例如：求证：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2+n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^ 2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}=0$。
例如：求证：$\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\dfrac{1}{x}=0$。
解：由于 $-1\leq \sin\dfrac{1}{x}\leq1$，所以 $-x^2\leqx^2\sin\dfrac{1}{x}\leq x^2$，当 $x\to0$ 时，$-x^2$ 和 $x^2$ 的极限都是 $0$，因此根据夹逼准则可知，当 $x\to0$ 时，$x^2\sin\dfrac{1}{x}$ 的极限也为 $0$，即$\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\dfrac{1}{x}=0$。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是高等数学中的一个重要概念，它是指一个函数在一个点上趋近于某一值的过程。
在实际的解题中，常常会遇到需要求解极限的问题，因此，掌握一些极限的解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将浅谈两个重要的极限解题技巧，供广大同学参考学习。
一、夹逼准则夹逼准则也称为挤压定理，它是解决极限问题的一种经典方法。
夹逼准则的思路是通过比较原函数与其他两个已知的函数之间的关系，来推导出原函数的极限。
通常情况下，夹逼准则适用于以下两种情况：1. 原函数与其他两个函数都趋近于同一个值，且中间的那个函数能够通过比较确定原函数的上限或下限。
2. 原函数在某个区间内“夹在”两个已知函数之间，且这两个函数具有相同的极限。
例如，假设我们需要求解函数$f(x)=\frac{x^3+3x^2-1}{x^2+2}$在$x=2$处的极限。
我们可以通过夹逼准则来求解该极限。
具体步骤如下：首先找到两个函数$g(x)$和$h(x)$，它们满足$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，且$g(x)$和$h(x)$在$x=2$处的极限相等，即$\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}h(x)$。
其次，我们需要确定$g(x)$和$h(x)$的表达式。
由于当$x$趋近于2时，分母$x^2+2$的值变得非常接近于4，因此我们可以令$g(x)=3x-1$和$h(x)=\frac{x^3+3x^2+5x+1}{x^2+2}$。
这样，在$x=2$处，$g(x)=5$，$h(x)=5$，且$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$。
最后，我们需要证明$\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}h(x)$。
对于函数$g(x)$，我们可以使用极限的定义来证明：$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 2}g(x) &=\lim_{x\to 2}(3x-1)\\ &=5 \end{aligned} $$对于函数$h(x)$，我们可以将其进行分解，得到：因此，根据夹逼准则，可以得到：$$ \lim_{x\to 2}\frac{x^3+3x^2-1}{x^2+2}=5 $$二、洛必达法则洛必达法则是解决极限问题的另一种有效方法，它是通过求函数在某一点处的导数来确定函数的极限。
浅谈两个重要极限解题技巧
在学习时，要充分掌握两个极限的类型以及所满足的条 件，借助典例题来总结其中的规律，掌握其中的思想方 法，但同时也要做到循序渐进，灵活多变，而不是对公式 的死记硬背。这对学生的学习提出更高的要求，只有逐步 领会其中的主旨内涵，才能进一步提高学习效率。
【参考文献】 [1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版
若
lim
x→_
f
(x)
=
sin f
f (x) (x)
=1，
注：（1）极限形式：幂指函数 f (x)g(x) （2）极限类型：1∞ 型
2.2 推广
若
lim
x→_
f (x) = ∞ ，则 xl→im_1+
f
1 (x)
f
(
x)
=e
即： lim1+ 1 ∆ = e (∆ → ∞)
∆
2.3 变形与推广
社，2007. [2]司国星，闫丽娜.浅谈高等数学中两个重要极限公式的教学
策略[J].高教视野，2018(1). [3 ]张 必 胜 .关于 两 个 重要 极 限 的 教 学[J].高 师 理 科 学
刊，2017(4). [4]孙 芳菲.浅谈两个重要 极 限 的应用型教学[J].山西农
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浅谈两个重要极限解题技巧
数学中的极限是指函数在某一点趋于无限接近于某个值的情况，它是许多数学问题的
基础。
在解题过程中，有两个重要极限解题技巧，它们分别是夹逼定理和洛必达法则。
1. 夹逼定理
夹逼定理，也称为夹挤准则，通常用于解决极限存在性和唯一性问题。
该定理的原理是：如果存在两个函数在某一点附近夹住一个待求极限函数，那么这个待求极限函数的极
限也必须在相同的范围内。
夹逼定理的具体应用方式是：
（1）先找到一个上界函数和较小的下界函数；
（2）证明当自变量趋于无穷或趋近于某个特定值时，这两个函数都趋于相同的极值；
（3）再用这两个函数夹住待求函数，证明它的极限也必须在两个函数的极值之间。
以下是一个夹逼定理的求解例子：
先考虑如下无穷级数：
$${\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$$
通过比级数原型，我们已经得知该级数是收敛的。
现在我们使用夹逼定理证明该级数
的和为2：
而级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}$是等比数列，它的总和是 2. 因此，$$0\leq{\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\leq{\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{
n-1}}=2$$
2. 洛必达法则
洛必达法则是解决函数极限问题中的常用方法之一，通常用于解决不定式的极限问题。
该方法的原理是：如果一个函数的极限值不易确定，但它可以表示成两个导数之比的形式，那么这两个导数的极限必须存在，且该比的极限值等于两个导数的比值的极限值。
具体应
用方式如下：
（1）求出函数的导数；
（2）将导数表达式分别表示成分子分母两个函数的形式；
（4）如果分母函数的极限为0或发散，则寻找一种不同的解决方法；
（5）利用极限值相等的洛必达法则，得出函数极限。
我们知道，当$x\to1$时，$x-1$趋于0。
因此，将式子重写为：
$$\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$$
抵消$x-1$后，我们得到：
使用洛必达法则代替极限，我们必须求出分子和分母的导数：
当$x\to1$时，$2x$趋近于2，因此该极限等于2。
证毕。
总结
夹逼定理和洛必达法则是数学中最常用的极限解题技巧之一。
通过这两种方法，我们可以确定准确的极限值，解决一系列相关问题。
在考试和学术工作中，这两种技巧是不可或缺的，我们必须熟练掌握它们以优雅地解决数学难题。