中考数学-反比例函数与一次函数的交点问题(含答案)
中考数学-反比例函数与一次函数的交点问题（含答案）一、单选题1.如图，点P（﹣2，3）在双曲线上，点E为该双曲线在第四象限图象上一动点，过E的直线与双曲线只有一个公共点，并与x轴和y轴分别交于A、B两点，则△AOB面积为（）A. 24B. 12C. 6D. 不确定2.如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. x＜﹣1或x＞1B. x＜﹣1或0＜x＜1C. ﹣1＜x＜0或0＜x＜1D. ﹣1＜x＜0或x＞13.若y1=bx和没有交点，则下列a，b的可能取值中，成立的是（)A. a=1，b=1B. a=﹣1，b=1C. a=2，b=2D. a=﹣2，b=﹣24.如图，直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，以CD为边作矩形ANCD，点A在x轴上．双曲线y= 经过点B，与直线CD交于点E，则点E的坐标为（）A. （，﹣）B. （4，﹣）C. （，﹣）D. （6，﹣1）5.已知直线y=x﹣3与函数y=的图象相交于点（a，b），则a2+b2的值是（）A. 13B. 11C. 7D. 56.已知一次函数y1=kx+2（k＜0）与反比例函数y2= （m≠0）的图象相交于A、B两点，则实数m的取值范围是（）A. m＞0B. m＜0C. m＞1D. m＜17.如图，已知直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y= （k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为（）A. （2，4）B. （1，8）C. （2，4）或（1，8）D. （2，4）或（8，1）8.一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是( )A. -2＜x＜0或x＞1B. -2＜x＜1C. x＜-2或x＞1D. x＜-2或0＜x ＜19.如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2= （x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x=3时，EF= ；④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410.如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（）A. B. C.D.11.如图，反比例函数y1= 的图象与正比例函数y2=k2x的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. x＞2C. x＞2或﹣2＜x＜0D. x＜﹣2或0＜x ＜212.如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象交于（2，m）和（n，﹣1）两点，观察图象，下列判断正确的是（）A. 当x＞2时，y1＜y2B. 当x＜2时，y1＜y2C. 当x＞n时，y1＜y2D. 当x＜n时，y1＜y2二、填空题13.如图，一次函数y1=k1+b与反比例函数y2= 的图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，则y2＜y1时，x的取值范围是________．14.已知y=﹣x与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为﹣3，则点B 的坐标为________．15.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是________．16.已知函数y1=x（x＞0），y2= （x＞0）的图象如图，有下列结论：①两函数图象的交点A的坐标为（3，3）；②当x＞3时，y2＞y1；③BC=4；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确的结论有________．17.如图，动点A在曲线y= （x＞0）上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点M，N，当NE：DM=1：2时，图中的阴影部分的面积等于________．18.如图，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点是A（2，1），若y1＞y2＞0，则x的取值范围为________．19.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为________．三、解答题20.如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为8，AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，交AB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）四边形OCDB的面积．21.已知双曲线y=和直线y=ax+b相交于A（﹣1，4）和B（2，m）两点，试确定双曲线和直线的函数关系式．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．答案解析部分一、单选题1.如图，点P（﹣2，3）在双曲线上，点E为该双曲线在第四象限图象上一动点，过E的直线与双曲线只有一个公共点，并与x轴和y轴分别交于A、B两点，则△AOB面积为（）A. 24B. 12C. 6D. 不确定【答案】B【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵点P（﹣2，3）在双曲线上，∴双曲线的解析式为y=﹣．设直线AB的解析式为y=kx+b．联立，得kx2+bx+6=0，∵直线与双曲线只有一个公共点，∴△=b2﹣4•k•6=0，即b2=24k．∵直线y=kx+b与x轴和y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣，），B（0，b），∴△AOB面积=•|﹣|•|b|===12．故选B．【分析】先利用待定系数法求出双曲线的解析式为y=﹣，再设直线AB的解析式为y=kx+b，联立直线与双曲线的解析式得出关于x的一元二次方程，根据△=0得出b2=24k，把b2=24k 代入△AOB面积的表达式即可求解．2.如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. x＜﹣1或x＞1B. x＜﹣1或0＜x＜1C. ﹣1＜x＜0或0＜x＜1D. ﹣1＜x＜0或x＞1【答案】D【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】根据A、B的横坐标，结合图象即可得出当y1＜y2时x的取值范围．【解答】∵正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（-1，2)、B（1，-2)两点，y1＜y2，∴此时x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1，故答案为：D3.若y1=bx和没有交点，则下列a，b的可能取值中，成立的是（)A. a=1，b=1B. a=﹣1，b=1C. a=2，b=2D. a=﹣2，b=﹣2 【答案】B【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：A、把a=1，b=1代入得：y=x，y=，当x=时，x=±1，故本选项错误；B、同理把a=﹣1，b=1代入得：y=﹣x，y=，当x=﹣时，方程无解，图形无交点，故本选项正确；C、同理代入后得：y=2x，y=，当2x=时，x=±1，故本选项错误；D、代入得：y=﹣2x，y=，当﹣2x=﹣时，x=±1，故本选项错误；故选：B．【分析】把a、b的值代入得到解析式，联立推出方程，若方程无解，说明两函数无交点，反之就有交点，进行判断即可．4.如图，直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，以CD为边作矩形ANCD，点A在x轴上．双曲线y= 经过点B，与直线CD交于点E，则点E的坐标为（）A. （，﹣）B. （4，﹣）C. （，﹣）D. （6，﹣1）【答案】D【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：根据题意，直线y=﹣x+m与x轴交于C，与y轴交于D，分别令x=0，y=0，得y=m，x=2m，即D（0，m），C（2m，0），又AD⊥DC且过点D，所以直线AD所在函数解析式为：y=2x+m，令y=0，得x=﹣m，即A（﹣m，0），作BH⊥AC于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠DAO=∠BCH，在△AOD和△CHB中∴△AOD≌△CHB（AAS），∴BH=OD=m，CH=OA= m，∴OH= m，∴B点的坐标为B（m，﹣m）又B在双曲线双曲线y= （k＜0）上，∴m•（﹣m）=﹣6，解得m=±2，∵m＞0，∴m=2，∴直线CD的解析式为y=﹣x+2，解，得和，故点E的坐标为（6，﹣1），故选D．【分析】根据一次函数图象是点的坐标特征求得D（0，m），C（2m，0），然后根据垂线的性质求得A（﹣m，0），进而根据三角形全等求得B（m，﹣m），代入y= 求得m 的值，得出直线y=﹣x+2，最后联立方程，解方程即可求得．5.已知直线y=x﹣3与函数y=的图象相交于点（a，b），则a2+b2的值是（）A. 13B. 11C. 7D. 5【答案】A【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：根据题意得b=a﹣3，b=，所以a﹣b=3，ab=2，所以a2+b2=（a﹣b）2+2ab=32+2×2=13．故选A．【分析】利用反比例函数与一次函数的交点问题得到b=a﹣3，b=，则a﹣b=3，ab=2，再利用完全平方公式变形得到a2+b2=（a﹣b）2+2ab，然后利用整体代入的方法计算即可．6.已知一次函数y1=kx+2（k＜0）与反比例函数y2= （m≠0）的图象相交于A、B两点，则实数m的取值范围是（）A. m＞0B. m＜0C. m＞1D. m＜1【答案】B【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：（1）将y1=kx+2代入y2= 中，整理得：kx2+2x﹣m=0．∵一次函数y1=kx+2（k＜0）与反比例函数y2= （m≠0）的图象相交于A、B两点，∴方程kx2+2x﹣m=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4k•（﹣m）=4+4km＞0，∵k＜0，∴m＜﹣．对比四个选项即可知B符合题意．故选B．【分析】将一次函数解析式代入反比例函数解析式中整理后即可得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个交点即可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式△=4+4km＞0结合k＜0即可得出m＜﹣，对照四个选择即可得出结论．7.如图，已知直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y= （k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为（）A. （2，4）B. （1，8）C. （2，4）或（1，8）D. （2，4）或（8，1）【答案】D【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y= 上，∴=﹣2，∴k=8，∴双曲线的函数解析式为y= ．过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称，∴A（4，2），∴OE=4，AE=2，设点C的坐标为（a，），则OF=a，CF= ，当a＜4时，则S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，= ×a× + （2+ ）（4﹣a）﹣×4×2= ，∵△AOC的面积为6，∴=6，整理得a2+6a﹣16=0，解得a=2或﹣8（舍弃），∴点C的坐标为（2，4）．当a＞4时，则S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，= ×a× + （2+ ）（a﹣4）﹣×4×2= ，∵△AOC的面积为6，∴=6，整理得a2﹣6a﹣16=0，解得a=﹣2（舍去）或8，∴点C的坐标为（8，1）．故选D．【分析】首先利用待定系数法即可解决．过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE=6，列出方程即可解决．8.一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是( )A. -2＜x＜0或x＞1B. -2＜x＜1C. x＜-2或x＞1D. x＜-2或0＜x ＜1【答案】A【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】根据图象可以知道一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0)的图象的交点的横坐标，若y1＞y2，则根据图象可以确定x的取值范围．【解答】如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0)的图象的交点的横坐标分别为x=-2或x=1，若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面，x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．故选A．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．9.如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2= （x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x=3时，EF= ；④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：对于直线y1=2x﹣2，令x=0，得到y=﹣2；令y=0，得到x=1，∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA和△CDA中，，∴△OBA≌△CDA（AAS），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴S△ADB=S△ADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确；∴C（2，2），把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y2= ，由函数图象得：当0＜x＜2时，y1＜y2，选项②错误；当x=3时，y1=4，y2= ，即EF=4﹣= ，选项③正确；当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项④正确，故选C【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到CD=OB，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断y1＜y2时x的范围，以及y1与y2的增减性，把x=3分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断．10.如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（）A. B. C.D.【答案】D【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质可知．当y2＞y1＞0时，在第一象限内，反比例函数y1在正比例函数y2的下方，从而求出x的取值范围．【解答】根据图象可知当y2＞y1＞0时，x＞2．故选D．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题11.如图，反比例函数y1= 的图象与正比例函数y2=k2x的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. x＞2C. x＞2或﹣2＜x＜0D. x＜﹣2或0＜x ＜2【答案】D【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A（2，1），∴B（﹣2，﹣1），∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜﹣2时函数y1的图象在y2的上方，∴使y1＞y2的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．故答案为：D．【分析】反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，得到A、B两点关于原点对称，由A（2，1），得到B（﹣2，﹣1），由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜﹣2时函数y1的图象在y2的上方，所以使y1＞y2的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2.12.如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象交于（2，m）和（n，﹣1）两点，观察图象，下列判断正确的是（）A. 当x＞2时，y1＜y2B. 当x＜2时，y1＜y2C. 当x＞n时，y1＜y2D. 当x＜n时，y1＜y2【答案】D【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象交于（2，m）和（n，﹣1）两点，且2＞n，∴当x＜n或0＜x＜2时，y1＜y2．故选D．【分析】找出直线在反比例函数图象的下方的自变量x的取值即可．二、填空题13.如图，一次函数y1=k1+b与反比例函数y2= 的图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，则y2＜y1时，x的取值范围是________．【答案】x＜﹣1或0＜x＜2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，y1＜y2，当x＜﹣1或0＜x＜2时，y2＜y1，故答案为x＜﹣1或0＜x＜2．【分析】根据一次函数与反比例函数图象的交点、结合图象解答即可．14.已知y=﹣x与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为﹣3，则点B 的坐标为________．【答案】（3，﹣4）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：令x=﹣3代入y=﹣x，∴y=4，∴A（﹣3，4）将A（﹣3，4）代入y= ，∴k=﹣12，∴联立解得：或∴B的坐标为（3，﹣4）故答案我：（3，﹣4）．【分析】将x=﹣3代入y=﹣x求出点A的坐标，然后将点A的坐标代入反比例函数中求出k的值，最后联立两函数解析式求出点B的坐标15.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是________．【答案】（﹣2，﹣3）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．故答案为（﹣2，﹣3）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．16.已知函数y1=x（x＞0），y2= （x＞0）的图象如图，有下列结论：①两函数图象的交点A的坐标为（3，3）；②当x＞3时，y2＞y1；③BC=4；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确的结论有________．【答案】①④【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：由题意可得，（x＞0）解得，x=3，将x=3代入y1=x，得y1=3，∴两函数图象的交点A的坐标为（3，3），故①正确；由图象可知，当x＞3时，y1＞y2，故②错误；将y=1.5代入y1=x得，x=1.5，将x=1.5代入y2= 得，y2=6，∴BC=6﹣1.5=4.5，故③错误；由图象可知，当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小，故④正确；故答案为：①④．【分析】根据题意可以求得两函数图象的交点A的坐标，从而可以判断①；根据点A的坐标可以判断②；根据点B的纵坐标可以分别求出点B、C的坐标，从而可以得到BC的值，从而可以判断③；根据函数图象可以判断④．17.如图，动点A在曲线y= （x＞0）上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点M，N，当NE：DM=1：2时，图中的阴影部分的面积等于________．【答案】【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，∴△NEG∽△DMF，∴= = ，设EG=t，则MF=2t，∴A（t，），∵AC=AE，AD=AB，∴AE=t，AD= ，DF= ，MF=2t，∵△ADE∽△FMD，∴AE：DF=AD：MF，即t：= ：2t，即t2= ，图中阴影部分的面积S= •t•t+ • • = + = ，故答案为：．【分析】作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△NEG∽△MDF，于是得到= = ，设EG=t，则MF=2t，然后根据△ADE∽△FMD，据此即可得到关于t的方程，求得t2的值，进而求解．18.如图，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点是A（2，1），若y1＞y2＞0，则x的取值范围为________．【答案】0＜x＜2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为2，∵由函数图象可知，当0＜x＜2时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，∴当y1＞y2＞0时，x的取值范围是0＜x＜2．故答案为：0＜x＜2．【分析】根据函数图象可直接得出结论．19.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为________．【答案】﹣20【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A（x1，y1）、B （x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1=﹣x2，y1=﹣y2，∴（x2﹣x1）（y2﹣y1）=x2y2﹣x2y1﹣x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=﹣5×4=﹣20．故答案为：﹣20．【分析】正比例函数的图象与反比例函数y=﹣的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=﹣x2，y1=﹣y2，将（x2﹣x1）（y2﹣y1）展开，依此关系即可求解．三、解答题20.如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为8，AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，交AB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）四边形OCDB的面积．【答案】解：（1）∵A点的坐标为（8，y），∴OB=8，∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，∴=，∴OA=10，由勾股定理得：AB==6，∵点C是OA的中点，且在第一象限内，∴C（4，3），∵点C在反比例函数y=的图象上，∴k=12，∴反比例函数解析式为：y=；（2）作CE⊥x轴于点E．则E的坐标是（4，0）．OE=BE=4，CE=3．在y=中，令x=8，解得y=，则BD=．则S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CEBD=OE•CE+（CE+BD）•BE=×3×4+（3+）×4=6+9=15．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义，求出OA的值，然后根据勾股定理求出AB的值，然后由C点是OA的中点，求出C点的坐标，然后将C的坐标代入反比例函数y=中，即可确定反比例函数解析式；（2）作CE⊥x轴于点E，然后根据S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CEBD即可求解．21.已知双曲线y=和直线y=ax+b相交于A（﹣1，4）和B（2，m）两点，试确定双曲线和直线的函数关系式．【答案】解：把A（﹣1，4）代入y=得k=﹣1×4=﹣4，所以反比例函数解析式为y=﹣，把B（2，m）代入y=﹣得2m=﹣4，解得m=﹣2，把A（﹣1，4），B（2，﹣2）代入y=ax+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣2x+2．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】先把A（﹣1，4）代入y=求出k得到反比例函数解析式为y=﹣，再利用反比例函数解析式确定B（2，m），然后把A点和B点坐标代入y=ax+b得到关于a和b 的方程组，于是解方程组求出a、b即可得到一次函数解析式．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．【答案】解：（1）点C（﹣6，﹣1）在反比例函数y=的图象上，∴m=﹣6×（﹣1）=6，∴反比例函数的关系式为y=，∵点D在反比例函数y=上，且DE=3，∴y=3，代入求得：x=2，∴点D的坐标为（2，3）．∵C、D两点在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的关系式为y=x+2．（2）由图象可知：当x＜﹣6或0＜x＜2时，一次函数的值小于反比例函数的值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）先由点C的坐标求出反比例函数的关系式，再由DE=3，求出点D的坐标，把点C，点D的坐标代入一次函数关系式求出k，b即可求一次函数的关系式．（2）由图象可知：一次函数的值小于反比例函数的值．。
反比例函数(含答案)
例1 已知一次函数2y x k =-的图象与反比例函数5k y x+=的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式． 解： 依题意，由两个函数解析式得所以一次函数和反比例函数的解析式分别为例注意： 解本题的关键是正确理解什么叫y 1与x+1成正比例，y 2与x 2成反比例，即把x+1与x 2看成两个新的变量．典型例题四例 （上海试题，2002）如图，直线221+=x y 分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，x PB ⊥轴，B 为垂足，9=ABP S ∆（1）求点P 的坐标；（2）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧．作x RT ⊥轴，T 为垂足，当BRT ∆与AOC ∆相似时，求点R 的坐标．那么2-=b BT ，b RT 6=. ①当RTB ∆∽AOC ∆时，CO BT AO RT =，即2==COAOBT RT ， ∴226=-b b ，解得3=b 或1-=b （舍去）. ∴ 点R 的坐标为()2,3.②RTB ∆∽ COA ∆时，AO BT CO RT =，即21==AO CO BT RT ， ∴2126=-b b ，解得131+=b 或131-=b （舍去）. ∴点R 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2113,131. 综上所述，点R 的坐标为()2,3或⎪⎫⎛-+113,131.y例 B.（（解 ：（1）设点A 的坐标为(m,n)，那么n AB m OB =-=,.∵ AB OB S ABO ⋅=∆21，∴.4,2)(21-==⋅-mn n m 又mk n =，∴4-==mn k .∴ 双曲线：x y 4-=，直线：4+-=x y .（2）解由xy 4-=，4+-=x y 组成的方程组，得2221+=x ，2221-=y ；例 A 、B 求B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长能否等于3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由. 解：（1）过点B 作x BH ⊥轴于点H . 在OHB ∆Rt 中，.3,31tan BH HO HO BH HOB =∴==∠由勾股定理，得222OB HO BH =+. 又10=OB ，.3,1,0.)10()3(222==∴>=+∴HO BH BH BH BH ∴ 点B （－3，－1）.∵ ∴ ∴ （∵ ∴ ∴ 令 ).31(321)(2122m m GA BH DO GA DO BH DO S +-=+=⋅+⋅=由已知，直线经过第一、二、三象限， ∴ 0>b ，即03>-mm..03,0>-∴>m m由此得 .30<<m ∴ ).31)(3(21mm S +-=即 ).30(292<<-=m mm S (3）过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3.证明如下：S ∆由得 ∵ ∴ ∴ ∴ 即 则 aa 2121令 .321=-x x 则 .9324)21(2=-⋅-+-aa a a 整理，得 01472=+-a a . ∵ ,012174)4(2<-=⨯⨯--=∆∴ 方程01472=+-a a 无实数根.因此过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3.典型例题八例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 [ ]； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 [ ]； (3)圆面积与半径的关系 [ ]； (4)圆面积与半径平方的关系 [ ]；(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 [ ]； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 [ ]；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 [ ]； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 [ ]；(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 [ ]； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 [ ]．说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-反比例函数和一次函数交点问题(含解析)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-反比例函数和一次函数交点问题1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y= kx（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3（1）求反比例函数y= kx的解析式；（2）若直线y=﹣x+m与反比例函数y= kx（x＞0）的图象相交于两个不同点E、F（点E在点F的左边），与y轴相交于点M①则m的取值范围为（请直接写出结果）②求ME•MF的值．2．如图所示，直线y1=−x+6与反比例函数y2=k x（k≠0，x>0）的图象交于点Q(m，2)、点P．（1）求m的值及反比例函数的解析式．（2）根据图象，写出y1>y2时x的取值范围．3．如图，已知反比例函数y= mx（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC△x轴于C，交直线AB于点N，MD△y轴于D，NE△y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S=S2﹣S1，求S的最大值．4．如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=k x（k为常数且k≠0）的图象相交于A(−1,m)，B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，使平移后的图象与反比例函数y=k x的图象有且只有一个交点，求b的值．5．如图，一次函数与反比例函数y= mx的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上的一动点，试确定点P使PA+PB最小，并求出点P的坐标．6．如图，直线y=mx+n(m≠0)与双曲线y=k x(k≠0)交于A、B两点，直线AB与坐标轴分别交于C、D两点，连接OA，若OA=2√10，tan∠AOC=13，点B(−3,b).（1）分别求出直线AB与双曲线的解析式；（2）连接OB，求S△AOB.7．定义：若一次函数y=ax+b与反比例函数y=k x同时经过点P（x，y）则称二次函数y=ax2+bx−k为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点P为关联点．例如：一次函数y=x+2与反比例函数y=8x，都经过（2，4），则y=x2+2x−8就是两个函数的“关联函数”．（1）判断y=2x+1与y=3x是否存在“关联函数”，如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”．如果不存在，请说明理由；（2）已知：整数a，b，c满足条件c<b<8a，并且一次函数y=(1+b)x+ 2a+2与反比例函数y=2021x存在“关联函数” y=(a+c)x2+(10a−c)x−2021，求a的值．（3）若一次函数y=x+m和反比例函数y=m 2+13x在自变量x的值满足m≤x≤m+6的情况下．其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．8．如图，直线y1=2x−6与反比例函数y2=k x的图象交于点A(4,2)，（1）求k的值及另一个交点的坐标；（2）当y1<y2时，求x的取值范围.9．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k x的图象经过点A（1，4），B（m，n）．（1）求反比例函数y=k x的解析式；（2）若二次函数y=(x−1)2的图象经过点B，求代数式m 2−2m−34−n+1mn的值；（3）若反比例函数y=k x的图象与二次函数y=a(x−1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．10．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数y=k x（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．11．如图，已知A(−4，12)，B(−1，m)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=−2x(x<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D.（1）求一次函数解析式及m的值；（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标.12．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C，交AB于D，已知OC＝12，OA＝4 √3，△AOC＝60°（1）求反比例函数y＝kx（k≠0）的函数表达式；（2）连结CD，求△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一个动点，以AP为一边，在AP的右上方作正方形APEF，在点P的运动过程中，是否存在一点P使顶点E落在△OABC的边所在的直线上，若存在，请求出此时OP的长，若不存在，请说明理由．13．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y =mx交于A(1，t+2)，B(﹣2t，﹣1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；（2）点C(x1，y1)和D(x2，y2)是反比例函数y =mx图象上任意两点，①若x1＜x2＜0，p =y1+y28，q =2x1+x2，试判断p、q的大小关系，并说明理由；②若x1＜﹣4，0＜x2＜1，过C、D两点分别作直线AB的垂线，垂足分别为E、F，当x1x2=﹣4时，判断四边形CEFD的形状，并说明理由.14．如图，已知点D在反比例函数y= mx的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan△OAC= 25．（1）求反比例函数y= mx和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求△BMC的度数．15．如图，直线y=ax+6经过点A(−3，0)，交反比例函数y=k x(x>0)的图象于点B(1，m)．（1）求k的值；（2）点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作DC⊥y 轴交线段AB于点C，连接AD，求△ACD的面积的最大值．16．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= nx（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD△x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两函数图象的另一个交点坐标；（3）直接写出不等式；kx+b≤ nx的解集．答案解析部分1．【答案】（1）解：设D 的坐标是（4，a ），则A 的坐标是（4，a+3）．又∵点C 是OA 的中点， ∴点C 的坐标是（2， a+32），∴4a=2× a+32 =k ，解得a=1，k=4，∴反比例函数的解析式为y= 4x；（2）m ＞4；82．【答案】（1）解：将点 Q(m ，2) 代入直线 y 1=−x +6 中得： 2=−m +6 ，解得： m =4 ，将点 Q(4，2) 代入 y 2=k x 得： 2=k 4，∴k =8 ，∴反比例函数的解析式为： y 2=8x；（2）解：联立 {y 1=−x +6y 2=8x 得： −x +6=8x ，整理得： x 2−6x +8=0 ，解得： x =2 或 x =4 ， 当 x =2 时， y 1=y 2=4 ， 当 x =4 时， y 1=y 2=2 ， ∴P(2，4) ， Q(4，2) ，∴由函数图象可得，当 y 1>y 2 时x 的取值范围为： 2<x <4 ．3．【答案】（1）解：把A （1，3）的坐标分别代入y= mx 、y=﹣x+b ，∴m=xy=3，3=﹣1+b ， ∴m=3，b=4（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为y= 3x ，一次函数的解析式为y=﹣x+4，∵直线MC△x 轴于C ，交直线AB 于点N ，∴可设点M 的坐标为（x ， 3x），点N 的坐标为（x ，﹣x+4），其中，x ＞0，又∵MD△y 轴于D ，NE△y 轴于E ，∴四边形MDOC 、NEOC 都是矩形， ∴S 1=x• 3x=3，S 2=x•（﹣x+4）=﹣x 2+4x ，∴S=S 2﹣S 1=（﹣x 2+4x ）﹣3=﹣（x ﹣2）2+1．其中，x ＞0， ∵a=﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，∴当x=2时，S取最大值，其最大值为14．【答案】（1）解：由题意，将点A(−1,m)代入一次函数y=x+5得：m=−1+5=4∴A(−1,4)将点A(−1,4)代入y=k x得：k−1=4，解得k=−4则反比例函数的表达式为y=−4 x；（2）解：将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位得到的一次函数的解析式为y=x+5−b联立{y=x+5−b y=−4x整理得：x2+(5−b)x+4=0∵一次函数y=x+5−b的图象与反比例函数y=−4x的图象有且只有一个交点∴关于x的一元二次方程x2+(5−b)x+4=0只有一个实数根∴此方程的根的判别式Δ=(5−b)2−4×4=0解得b1=1,b2=9则b的值为1或9．5．【答案】（1）解：将A（1，4）代入y= m x，∴m=4，∴反比例函数的解析式为：y= 4 x（2）解：将B（4，n）代入y= 4 x，∴n=1，设C与A关于x轴对称，∴C（1，﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+b，将C（1，﹣4）和B（4，1）代入y=kx+b，∴解得{k=53b=−173∴一次函数的解析式为：y= 53x﹣173令y=0代入y= 53x﹣173∴x= 175∴P （ 175，0）6．【答案】（1）解：如图，作 AE ⊥x 轴于点 E∵tan∠AOC =AE OE =13 ，∴ 设 AE =x ， OE =3x ，则 OA =√AE 2+OE 2=√10x =2√10 ， ∴x =2 ，∴ 点 A 的坐标为 (−6,2) ，代入 y =kx，得： k =−12 ，则反比例函数解析式为 y =−12x，当 x =−3 时， y =4 ， ∴ 点 B 的坐标为 (−3,4) ，将点 A(−6,2) 、 B(−3,4) 代入 y =mx +n ，得： {−6m +n =2−3m +n =4， 解得： {m =23n =6， ∴ 直线 AB 的解析式为 y =23x +6 ；（2）解：在直线 y =23x +6 中，当 x =0 时， y =6 ，即点 D(0,6) ，当 y =0 时， 23x +6=0 ，解得 x =−9 ，即点 C(−9,0) ，∴S △AOB =S △COD −S △AOC −S △BOD=12×9×6−12×9×2−12×6×3 =9 .7．【答案】（1）解：存在关联点和关联函数，理由如下：{y =2x +1y =3x， 整理得： 2x 2+x −3=0 ，(x −1)(2x +3)=0 ，解得： x 1=1 ， x 2=−32， 所以，关联点为（1，3）或（ −32，－2）， 关联函数为： y =2x 2+x −3（2）解：由题意知： {y =(1+b)x +2a +2y =2021x， 整理得： (1+b)x 2+(2a +2)x −2021=0 ，因此可得： {1+b =a +c 10a −c =2a +2， 解得： {b =9a −3c =8a −2， ∵c <b <8a ，∴8a −2<9a −3<8a ，解得： 1<a <3 ，∵ a 是整数，∴a =2（3）解：由一次函数 y =x +m 和反比例函数 y =m 2+13x得：“关联函数”的解析式为 y =x 2+mx −(m 2+13) ，函数的对称轴为：x ＝− 12m ； 当m ＋6≤− 12m 时，即m≤−4， x ＝m ＋6，函数取得最小值，即 (m +6)2+m ⋅(m +6)−(m 2+13)=6 ， 解得：m ＝－17或－1（舍去）；当m ＜− 12m ＜m ＋6，即−4＜m ＜0， 函数在x ＝− 12 m 处取得最小值，即 (−12m)2+m ⋅(−12m)−(m 2+13)=6 ，无解；当m≥0时，函数在x ＝m 处，取得最小值，即 m 2+m ⋅m −(m 2+13)=6 ， 解得：m ＝± √19 （舍去− √19 ），综上，m ＝－17或 √19 ，故“关联函数”的解析式为y=x2−17x−302或y=x2+√19x−32．8．【答案】（1）把A(4,2)代入y=k x中得：2=k4，解得k=8，∴y=8 x联立方程组得{y=2x−6y=8x，解得，{x=4y=2或{x=−1y=−8∵A（4，2）∴另一个交点坐标为(−1,−8).（2）由图象可知，不等式y1<y2的解集为0<x<4或x<−1 9．【答案】（1）解：将A（1，4）代入函数y＝k x得：k=4反比例函数y＝kx的解析式是y=4x（2）解：∵B（m，n）在反比例函数y＝kx上，∴mn=4，又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点B（m，n），∴(m−1)2=n，即n-1=m2-2m∴m 2−2m−34−n+1mn=mn(m2−2m−3)−4(n+1)4mn=−54（3）解：由反比例函数的解析式为y=4x，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．∴反比例函数y=4x的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）．如图，当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2；当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－2 9.∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0），∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－2 9.10．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得：0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数y=k x的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y= 2 x（2）解：反比例函数y= 2x，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= 1 3，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：13≤y≤211．【答案】（1）解：把B(−1，m)代入反比例函数y=−2x得，m=2，y=kx+b的图象过点A(−4，12)，B(−1，2)，则{−4k+b=1 2−k+b=2，解得{k=12b=52，∴一次函数的解析式为y=12x+5 2（2）解：连接PC、PD，如图，设P(x，12x+52)，由△PCA和△PDB面积相等得1 2×12×(x+4)=12×|−1|×(2−12x−52)，解得x=−52，∴y=12x+52=54，∴P点坐标是(−52，5 4)12．【答案】（1）解：如图1，过点C作CG△x轴于点G∴△OGC＝90°∵OC＝12，△AOC＝60°∴cos△AOC＝OGOC=12，sin△AOC＝OGOC=√32∴OG＝12OC＝6，CG＝√32OC＝6 √3∴C（6，6 √3）∵反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C∴6 √3＝k6解得：k＝36 √3∴反比例函数的函数表达式为y＝36√3x（2）解：如图2，过点D作DH△BC于点H∵OA＝4 √3，点A在x轴上∴A（4 √3，0）∵四边形OABC是平行四边形∴BC△OA，BC＝OA＝4 √3∴x B＝x C+BC＝6+4 √3，y B＝y H＝y C＝6 √3∴B （6+4 √3 ，6 √3 ）设直线AB 解析式为y ＝ax+b∴{4√3a +b =0(6+4√3)a +b =6√3 解得： {a =√3b =−12∴直线AB ：y ＝ √3 x ﹣12∵点D 为线段AB 与反比例函数图象的交点∴{y =36√3x y =√3x −12 解得： {x 1=6√3y 1=6 或 {x 2=−2√3y 2=−18 （舍去） ∴D （6 √3 ，6）∴DH ＝6 √3 ﹣6∴S △BCD ＝ 12 BC•DH ＝ 12×4 √3 ×（6 √3 ﹣6）＝36﹣12 √3 （3）解：存在点P 使顶点E 落在△OABC 的边所在的直线上． 如图3，过点P 作PM△x 轴于点M ，过点E 作EN△直线PM 于点N∴△AMP ＝△PNE ＝90°∵C （6，6 √3 ）∴直线OC 解析式为y ＝ √3 x∵点P 在线段OC 上∴设点P 坐标为（m ， √3 m ）（0≤m≤6）∴OM ＝m ，PM ＝ √3 m∴AM ＝OA ﹣OM ＝4 √3 ﹣m∵四边形APEF 是正方形∴AP ＝PE ，△APE ＝90°∴△EPN+△APM ＝△APM+△PAM ＝90°∴△EPN ＝△PAM在△PNE 与△AMP 中{∠PNE =∠AMP ∠EPN =∠PAM PE =AP∴△PNE△△AMP（AAS）∴PN＝AM＝4 √3﹣m，NE＝PM＝√3m∴x E＝x N+NE＝m+ √3m，y E＝y N＝MN＝PM+PN＝√3m+4 √3﹣m∴E（m+ √3m，√3m+4 √3﹣m）①若点E落在直线OC上，则√3m+4 √3﹣m＝√3（m+ √3m）解得：m＝√3∴P（√3，3），OP＝√(3+√3)2=2√3②若点E落在直线BC上，则√3m+4 √3﹣m＝6 √3解得：m＝3+ √3∴P（3+ √3，3 √3+3），OP＝√(3+√3)2+(3√3+3)2=6+2√3③若点E落在直线AB上时，直线AB：y＝√3x﹣12∴√3（m+ √3m）﹣12＝√3m+4 √3﹣m解得：m＝3+ √3，即点E落在直线BC与直线AB交点处综上所述，OP＝2 √3或（6+2 √3）时，点E落在△OABC的边所在的直线上．13．【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：1×(t+2)=﹣1×(﹣2t)，解得：t=2，故点A、B的坐标分别为(1，4)、(﹣4，﹣1)，故反比例函数表达式为：y =4 x；将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k=1，b=3，故一次函数的表达式为：y=x+3；（2）解：①p＜q，理由：设反比例函数过点C(x1，y1)、D(x2，y2)，则y1=4x1，y2=4x2，p =18(y1+y2) =18（4x1+4x2）=x1+x22x1x2，q =2x1+x2，p﹣q =x1+x22x1x2−2x1+x2=（x1−x2）22x1x2（x1+x2），∵x1＜x2＜0，∴x1x2＞0，x1+x2＜0，∴p﹣q＜0，故p＜q；②由题意知，点C 、D 的坐标分别为(x 1， 4x 1 )、(x 2， 4x 2)， 设直线CD 的表达式为：y=ax+b ，将点C 、D 的坐标代入上式得 {ax 1+b =4x 1ax 2+b =4x 2 ，解得：a =−4x 1x 2 ， ∵x 1x 2=﹣4=﹣4a ，解得：a=1.∵a=k=1，∴CD△AB ，又∵CE△DF ，∴四边形CEFD 为平行四边形，又∵CE△AB ，∴四边形CEFD 为矩形.14．【答案】（1）解：∵A （5，0），∴OA=5．∵tan∠OAC =25， ∴OC OA =25，解得OC=2， ∴C （0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B （0，3），BD△x 轴，∴D （﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴y =−6x， 设直线AC 关系式为y=kx+b ，∵过A （5，0），C （0，﹣2），∴{0=5k +b −2=b ，解得 {k =25b =−2， ∴y =25x −2 ； （2）解：∵B （0，3），C （0，﹣2），∴BC=5=OA ，在△OAC 和△BCD 中{OA =BC ∠AOC =∠DBC OC =BD∴△OAC△△BCD （SAS ），∴AC=CD ，∴△OAC=△BCD ，∴△BCD+△BCA=△OAC+△BCA=90°，∴AC△CD ； （3）解：△BMC=45°．如图，连接AD ，∵AE=OC ，BD=OC ，AE=BD ，∴BD△x 轴，∴四边形AEBD 为平行四边形，∴AD△BM ，∴△BMC=△DAC ，∵△OAC△△BCD ，∴AC=CD ，∵AC△CD ，∴△ACD 为等腰直角三角形，∴△BMC=△DAC=45°． 15．【答案】（1）解：把A(−3，0)代入y =ax +6，得−3a +6=0， 解得a =2，∴直线的函数表达式为y =2x +6，∴当x =1时，y =2×1+6=8，∴B(1，8)，把B(1，8)代入反比例函数y =k x，得k =1×8=8． （2）解：设点C 的坐标为(x ，2x +6)，由于DC ⊥y 轴，所以点D 的纵坐标为2x +6，∴点D(82x+6，2x +6)， ∴S △ACD =12CD ×(2x +6)=12(82x+6−x)×(2x +6)=−x 2−3x +4=−(x +32)2+254， ∴当x =−1.5时，S △ACD 最大值=254，答：S △ACD 的最大值为254． 16．【答案】（1）解：∵OB=2OA=3OD=6，∴OB=6，OA=3，OD=2，∵CD△OA ，∴DC△OB ，∴OB CD =AO AD， ∴6CD = 35， ∴CD=10，∴点C 坐标（﹣2，10），B （0，6），A （3，0），∴{b =63k +b =0 解得 {k =−2b =6， ∴一次函数为y=﹣2x+6．∵反比例函数y= n x 经过点C （﹣2，10），∴n=﹣20，∴反比例函数解析式为y=﹣ 20x（2）解：由 {y =−2x +6y =−20x解得 {x =−2y =10 或 {x =5y =−4 ， 故另一个交点坐标为（5，﹣4）（3）解：由图象可知kx+b≤ n x 的解集：﹣2≤x ＜0或x≥5。
反比例函数与一次函数的交点问题(1)
反比例函数与一次函数的交点问题1、（2003•甘肃）已知一次函数y=kx+k 的图象与反比例函数的图象在第一象限交于B （4，n ），求k ，n 的值．2、（2002•盐城）若反比例函数的图象经过点（1，3） （1）求该反比例函数的解析式；（2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标．3、（2002•咸宁）已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数，当k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点？4、（2002•贵阳）已知正比例函数y=kx 与反比例函数y=的图象都过A （m ，1）点． 求：（1）正比例函数的解析式；（2）正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标． 5、（2001•吉林）如图，已知反比例函数xk2y =﹣1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+k （1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 上，求点A 的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P 把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由． 6、（2001•北京）已知一次函数y=3x ﹣2k 的图象与反比例函数xk 3y -=的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标．7、（2000•西城区）已知：反比例函数xk=y 和一次函数y=mx+n 图象的一个交点为A （﹣3，4），且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数与一次函数的解析式．8、（2000•兰州）一次函数y=kx+b 与反比例函数x y 2=的图象的两个交点的横坐标是21和﹣1，求一次函数的解析式． 9、（2000•福建）已知反比例函数xmy =且在x=310、（1999•辽宁）已知一次函数y=mx+n 该直线与双曲线的另一个交点坐标．11、（1999•海淀区）已知一次函数y=2x ﹣k 其中有一个交点的纵坐标为﹣412、如图，已知直线x y 21=与双曲线y =两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线xk=y （k ＞0）上一点C 的面积．13、如图，已知一次函数y=﹣x+2B 两点，且A 点的横坐标与B （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．14、已知反比例函数xky =AB⊥x 轴于B ，Rt△AOB 面积为3．（1）求k 和m 的值；（2）若直线y=ax+b 经过点A ，并且经过反比例函的图象上另一点C （n ，23-） ①求直线y=ax+b 解析式；②设直线y=ax+b 与x 轴交于M ，求△AOC 的面积． 16、已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y 象相交于A ，B 两点，其中A 点的横坐标与B 是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）在y 轴是否存在一点P 使△OAP 请在坐标轴相应位置上用P 1，P 2，P 3请说明理由．17、如图，已知一次函数y 1=kx+b 象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 求：（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积；（3）并利用图象指出，当x 为何值时有y 1＞y 2y 1＜y 2．18、如图已知一次函数y 1=﹣x+a 与x 轴、y 点和反比例函数xk=2y 交于A 、B 两点，且点A 点B 的坐标是（3，m ）．求：（1）a ，k ，m 的值，C 、D （2）利用图象直接写出，当x 在什么取值范围时，y 1＞y 2？19B 两点，过A 作AC⊥x 轴于点C ．已知OA 坐标为﹣3．（1）求点A （2）求直线AB 的解析式． 20、如图，A 、B 两点在函数xky =（1）求k 的值及直线AB 的解析式；（2点．请直接写出图中直线AB 格点的个数．21、如图，直线y=x+n 与x 轴交于点A ，与曲线x4y =在第一象限内交于点C （m ，4）（1）求m 和n 的值；（2）若将直线AB 绕点A 顺时针旋转l 的解析式．22、已知一次函数y=x+2与反比例函数y =的距离是10，求a 、b 23、如图，已知一次函数x y 21=A ，B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2（3。
中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。
中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析
中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析一、反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B（3，﹣2），∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q（n，﹣），∴﹣ =﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P（1，n﹣﹣1），∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2（n﹣1）2，∴n=﹣4或6，∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．2．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合【含答案】
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系中，点A(m ，n)（m ＞0）在双曲线y ＝ 上.4x （1）如图1，m ＝1，∠AOB ＝45°，点B 正好在y ＝ （x ＞0）上，求B 点坐标； 4x （2）如图2，线段OA 绕O 点旋转至OC ，且C 点正好落在y ＝ 上，C(a ，b)，试求m 与a4x 的数量关系.2．如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= 的图象交于P 、Q 两点，PA ⊥x 轴于点A ，mx 一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C ，点B，其中OA=6，且 ．12OC CA（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△APQ 的面积；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．3．如图，已知一次函数y 1=k 1x+b （k 1为常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2= （k 2为常数，2k x 且k 2≠0）的图象相交于A （1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若A 1（m 1，n 1），A （m 2，n 2），A 3（m 3，n 3）为反比例函数图象上的三点，且m 1＜m 2＜0＜m 3，请直接写出n 1、n 2、n 3的大小关系式；（3）结合图象，请直接写出关于x 的不等式k 1x+b ＞ 的解集．2k x 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x﹣2与双曲线y= (k≠0)相交于A，B 两点，且点Akx 的横坐标是3.（1）求k 的值；（2）过点P(0，n)作直线，使直线与x 轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M ，与双曲线y=kx (k≠0)交于点N ，若点M 在N 右边，求n 的取值范围.5．已知双曲线y= 和直线y=kx+4．6x （1）若直线y=kx+4与双曲线y= 有唯一公共点，求k 的值．6x（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．6．如图，已知A （﹣2，﹣2），B （1，4）是一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象和反比例函数（m≠0）的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C.my x =（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOC 的面积；（3）结合图象直接写出不等式的解集.mkx b x +＜7．如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y 1=kx+b(k0）与反比例函数y 2= （m≠0）的图象交mx 于第二、第四象限A ，B 两点，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，AD=4，sin ∠AOD= ，且点B 的45坐标为（n ，-2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）将一次函数y 1=kx+b(k0）向下移动2个单位的函数记为y 3，当y 3<y 2时，求x 的取值范围。
备考2023年中考数学一轮复习-函数_反比例函数_反比例函数与一次函数的交点问题-综合题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-函数_反比例函数_反比例函数与一次函数的交点问题-综合题专训及答案反比例函数与一次函数的交点问题综合题专训1、(2019宿迁.中考真卷) 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点.（1）求一次函数表达式；（2）求的面积.2、(2019山西.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点.已知点C的坐标是（6，-1），D（n，3）.（1）求m的值和点D的坐标.（2）求的值.（3）根据图象直接写出：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？3、(2016乐山.中考真卷) 如图，反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．（1）求这两个函数解析式；（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求m的值．4、(2018济南.中考真卷) 如图1，反比例函数的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，），射线AC与轴交于点C，轴，垂足为D．（1）求和a的值；（2）直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线轴，与AC相交于N，连接CM，求面积的最大值．5、(2022新余.中考模拟) 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= （n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤ 的解集．6、(2019武汉.中考模拟) 矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4.分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E.（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（2）连接EF、AB，求证：EF∥AB；（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式.7、(2022邯郸.中考模拟) (2018·南充) 如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．（1）求直线与双曲线的解析式．=3，求点P的坐标．（2）点P在x轴上，如果S△ABP8、(2016资阳.中考真卷) 如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y= （k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．9、(2020镇江.中考真卷) 如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y ＝﹣的图象交于点A(n，2)和点B.（1） n＝________，k＝________；（2）点C在y轴正半轴上.∠ACB＝90°，求点C的坐标；（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围.10、(2020河南.中考模拟) 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴分别交于两点，且.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点与点关于轴对称，连接，求的面积. 11、(2020北京.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点B．（1）求的值及点C的坐标；（2）若点是轴上一点，且，直接写出点P的坐标．12、已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A(1，4)和点B(， -2)．（1）求m的值及一次函数的关系式；（2）求△OAB的面积；（3）当时，求的取值范围．13、(2022九下·株洲开学考) 如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C(−3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.（1）求一次函数的解析式；（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A，B 两点，且AC=2BC，求m的值.14、对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图（1）中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则.（1）如图（1），若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（1，4）、（-3，0）.求直线的解析式；（2）如图（2），直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、，直线、分别与x轴于点D、E；①求证：直线与直线为“等腰三角线”；②过点D作x轴的垂线，在直线上存在一点F，连结，当时，求出线段的值.（用含n的代数式表示）15、如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）．（1）求一次函数的表达式．（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．反比例函数与一次函数的交点问题综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
中考一次函数与反比例函数[含答案]
反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . (1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第4题图5. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x (x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC . (1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第5题图6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称并说明理由．第7题图8. 如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第8题图9. 如图，点B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4.(1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图答案1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴12xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为2yx；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝22＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴2 2xx=，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，23,215k b kk b b+=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(53，0)，即点M的坐标为(53，0)．第1题解图2．解：(1)∵反比例函数y＝2x图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m， ∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx ＋b ≤nx的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x=-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求，∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53，令y＝0，得x＝－5，则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第4题解图5．解：(1)∵一次函数y1＝14x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝mx，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝8 x；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC 与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数8yx=，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx=；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第6题解图(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴OBBC＝BACD或OBDC＝BABC，即442＝2CD或4DC＝242，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．7．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝kx 的图象上，∴(3＋32t )×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分) ②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)， 设点D 的坐标是(x ，33x －3)，∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第7题解图8．解：(1)∵双曲线y ＝kx 经过点D (6，1)，∴6k ＝1，解得k ＝6；(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴， ∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)，∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得，∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1，设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f cc c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +，∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD . 9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a)，∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a)2＋a 2，∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a)2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，,2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩联立2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩解得（舍去），∴C 点坐标为(2，2)， 第9题解图∵点B 的横坐标为4，∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12)，∴AB ＝4－12＝72，CM ＝4－2，∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝12×(4－2)×72 ＝7－724；(3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2a|，∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|，∴(a －2)2＝14×222(2)a a -，即(a －2)2＝14×222((a a a +⨯-，∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)，∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。
备考2022年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数与一次函数的交点问题-综合题专训及答案
备考2022年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数与一次函数的交点问题-综合题专训及答案反比例函数与一次函数的交点问题综合题专训1、(2017山西.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于点D，函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．（1）求函数y= 的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；（2）求△AEF的面积．2、(2017峄城.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y= （m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．3、(2019宁江.中考模拟) 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x>0）的图象交于A（2，-1）、B（，n）两点，点C的坐标为（0，2），过点C的直线l与x轴平行。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积。
4、(2019丹阳.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，函数（，是常数）的图像经过A(2，6)，B(m，n)，其中m>2.过点A作轴垂线，垂足为C，过点作轴垂线，垂足为，AC与BD交于点E，连结AD，，CB.（1）若的面积为3，求m的值和直线的解析式；（2）求证：；（3）若AD//BC，求点B的坐标 .5、(2013衢州.中考真卷) 如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2= （x＞0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）两点．（1）求函数y2的表达式；（2）观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小．6、(2017宿州.中考模拟) 如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（n，6），点B的坐标为（12，1）．（1）分别求m、k、b的值．（2）点C为y轴上一动点，若S△ABC=15，求点C的坐标．7、(2017巨野.中考模拟) 如图，已知直线y=﹣x+4与反比例函数y= 的图象相交于点A（﹣2，a），并且与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．8、(2018武汉.中考模拟) 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B （4，1），C（4，3），反比例函数的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；（3）对于一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围．（不必写过程）9、(2017黄石.中考模拟) 如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A点、B点，双曲线C：y= （x＞0）．（1）当k=﹣1，b=2 时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；（2）当b=2 时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．（3）①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2，猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系．10、(2017东莞.中考模拟) 如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y= （k 为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3）求△PAB的面积．11、(2015佛山.中考真卷) 若正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点坐标是（﹣2，4）（1）（1）求这两个函数的表达式；（2）（2）求这两个函数图象的另一个交点坐标．12、(2018天水.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（x＞0）的图象与一次函数y=kx－k的图象交点为A（m，2）．（1）求一次函数的表达式；（2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，如果P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，请直接写出P的坐标．13、(2020兰州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出时，x的取值范围；（3）过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．14、(2019江西.中考模拟) 如图在平面直角坐标系中反比例函数y＝的图象经过点P(4，3)和点B(m，n)(其中0＜m＜4)，作BA⊥x轴于点A，连接PA、OB，过P、B两点作直线PB，且S△AOB ＝S△PAB（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标.15、(2020宝应.中考模拟) 如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点，训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线y＝上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y＝x上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示）．（1）发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(，)、B(，)和C(，)；（2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．反比例函数与一次函数的交点问题综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--反比例函数与一次函数交点问题
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--反比例函数与一次函数交点问题一、综合题1．如图，直线y1=3x﹣5与反比例函数y2= k−1x的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．（1）求k和n的值；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，双曲线L：y= k x(x>0)过点A(a，b)(0<a<2)、B(2，1)。
过点A作AC△x轴，垂足为C。
（1）求L的解析式；（2）当△ABC的面积为2时，求点A的坐标；（3）点P为双曲线L上A，B之间(包括A，B两点)的动点，直线l1：y=mx+1过点P。
在(2)的条件下，若y=mx+1具有y随x的增大而增大的性质，请直接写出m的取值范围(不必说明理由)。
3．如图，已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P(2，3)，点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．（1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式．（2）当点D的纵坐标为9时，求ΔAEP的面积．（3）若直线OD上存在一点M，点M的横坐标为m，ΔAEM的面积为S，直接写出S关于m的解析式，并写出定义域．4．在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y=mx(m>0、x>0)、y=n x(n<0、x<0)于点M、N，（1）若m=4，MN△x轴，S△MON=6，求n的值；（2）若a=5，PM=PN，点M的横坐标为3，求m-n的值；（3）如图，若m=4，n=-6，点A（d,0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB=4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y=mx(m>0、x>0)、y=nx(n<0、x<0)都有交点，求d的范围.5．如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m≠0，x＜0）的图象交于点A（-3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求sin△ABO的值；（3）当x＜0时，比较y1与y2的大小．6．如图，已知反比例函数y1＝k x的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A（1，4）和点B（m，－2）．（1）求这两个函数的关系式；（2）如果在x轴上找一点C使△ABC的面积为18，求点C坐标．7．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=k x的图象交于A(2,2)，B(4,1)两点.（1）求这两个函数的表达式；（2）在反比例函数y=k x第三象限的图象上有一点P，且点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标.8．已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－8x的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y =k x（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C.（1）求k的值及点C的坐标；（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积.10．如图，已知直线y=mx+b（m≠0）与双曲线y= k x（k≠0）交于A（﹣3，﹣1）与B（n，6）两点，连接OA、OB．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）求△AOB的面积．11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知△ACB=90°，A（0，2），C（6，2）.D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC=3S△ADC.反比例函数y1=k x（k≠0）的图象经过点D.（1）求反比例函数的解析式；（2）若AB所在直线解析式为y2=ax+b(a≠0)，当y1>y2时，求x的取值范围.12．若反比例函数y＝k x与一次函数y＝2x－4的图象都经过点A(a，2)．（1）求反比例函数y＝kx的表达式；（2）当反比例函数y＝kx的值大于一次函数y＝2x－4的值时，求自变量x的取值范围．13．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=k x（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．14．如图，直线y1=mx与双曲线y2=k x交于点A、B，过点A作AP△x轴，垂足P点的坐标是(−2，0)，连接BP，且S△ABP=4．（1）求正比例函数y1=mx和反比例函数y2=k x的解析式．（2）当y1<y2时，求x的取值范围．15．如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝4x（x>0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M，N两点．（1）求一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出kx＋b－4x>0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．16．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=k x（k≠0）的图象交于A（﹣3，2），B（2，n）．（1）求反比例函数y=k x的解析式；（2）求一次函数y=ax+b的解析式；（3）观察图象，直接写出不等式ax+b＜kx的解集．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵点B（n，﹣6）在直线y=3x﹣5上．∴-6=3n-5，解得：n= −1 3．∴B（−13，-6）；∵反比例函数y=k−1x的图象也经过点B（−13，-6），∴k-1=-6×( −13)=2，解得：k=3；（2）解：设直线y=3x﹣5分别与x轴，y轴相交于点C，点D，当y=0时，即3x﹣5=0，x= 5 3，∴OC= 5 3，当x=0时，y=3×0-5=-5，∴OD=5，∵点A（2，m）在直线y=3x﹣5上，∴m=3×2-5=1，即A（2，1）．∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD=12×(53×1+53×5+13×5)=356（3）解：由图象可知y1＞y2时自变量x的取值范围为：−13<x<0或x＞2．2．【答案】（1）解：将B(2，1)代入y= k x，得k=2，∴L的解析式为y= 2 x（2）解：∵点A(a，b)在反比例函数上，∴b= 2 a，∵S△ABC= 12b(2-a)=2，即12b(2−2b)=2，∴b=3，点A的坐标为( 23，3)（3）解：m的取值范围为0<m≤3提示：当点P与点A重合时，把( 23、3)代入y=mx+1，解得m=3∵y=mx+1具有y随x的增大而增大的性质，∴m>0，∴m的取值范围为0<m≤33．【答案】（1）解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P(2，3)，∴3=2k1，3=k22，∴k1=32，k2=6，∴正比例函数解析式为y=32x ，反比例函数解析式为y=6x；（2）解：当y=9=6x时，x=23，∴A(23，9)，把x=23代入y=32x，得y=1，∴E(23，1)，∴AE=9−1=8，∴S△AEP=12⋅AE⋅|x P−x A|=12×8×|2−23|=163；（3）解：由题意得，S△AEM=12⋅AE⋅|x M−x E|=12×8×|m−23|，∴S关于m的解析式为S={4m−83(m>23)−4m+83(m<23)．4．【答案】（1）解：点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），则S△MON=6= 12×MN×OP= 12×（4a- na）×a解得：n=-8（2）解：点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），∵PM=PN，则ma=-na，解得：m=-n，若a=5，点M的横坐标为3，则点M（3，5），故m=3×5=15=-n，故m-n=30（3）解：点A（d，0），则点B（d+4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d+4，4），设正方形交两个反比例函数于点G、H，则点G、H的坐标分别为（d，- 6d）、（d+4，4d+4），若正方形ABCD与y= mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，则HD≥0且CG≥0，即{4+6d≥04−4d+4≥0，且d＜0，d+4＞0，解得：-3≤d≤ −3 2，故d的范围为：-3≤d≤ −3 2 .5．【答案】（1）解：把A(－3，1)代入y2＝mx得m＝xy＝－3×1＝－3，∴反比例函数的解析式为y＝−3x.过点A做AD△y轴于D，∵A(－3，1)，∴AD＝3.∵S△AOB＝12OB•AD，∴12OB•3＝6，OB＝4.∴B(0，4).把A(－3，1).B(0，4)代入y1＝kx＋b得{−3k＋b＝1b＝4，∴{k＝1b＝4,.∴一次函数的解析式为y＝x＋4（2）解：∵在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝BO－OD＝4－1＝3∴△ABO＝45°∴sin△ABO＝sin45°＝√22（3）解：由{y＝−3xy＝x＋4得{x1＝−1y1＝3，{x2＝−3y2＝1.∴C(－1，3).∴当x<－3或－1<x<0时，y2> y1当－3<x<－1时， y 2 > y 16．【答案】（1）解：∵函数y 1=k x的图象过点A(1，4)， ∴4=k 1， ∴k=4，即y 1=4x， 又∵点B(m ，-2)在y 1=4x的图象上， ∴m=-2，∴B(-2，-2)，又∵一次函数y 2=ax+b 的图象过A ，B 两点，∴{−2a +b =−2a +b =4，解之得{a =2b =2， ∴y 2=2x+2．综上可得y 1=4x，y 2=2x+2． （2）解：设直线AB 交x 轴于点D ，易求D （-1 ，0）设C(x ，0)，∵s ΔABC =s ΔADC +s ΔBCD ，∴12y A |x +1|+12|y B ||x +1|=18， 12×4×|x +1|+12×2×|x +1|=18 3|x+1|=18，解得：x=5或x=-7，∴C(5，0)或(-7，0)．7．【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为 y =k x， 将点 A(2,2) 代入 y =k x中，得 k =4 ， ∴反比例函数的表达式为 y =4x；设一次函数的表达式为 y =kx +b ，将点 A(2,2) ， B(4,1) 代入 y =kx +b 中，得 {2k +b =24k +b =1， 解得 {k =−12b =3， ∴一次函数的表达式为 y =−12x +3 （2）解：如图，作直线 AB 的平行线，当其与反比例函数的图象只有一个交点 P 时，此时点 P 到直线 AB 的距离最短，设直线 PM 的解析式为 y =−12x +n ，则 4x =−12x +n ， 去分母，得 x 2−2nx +8=0 ，由题意得， Δ=0 ，∴4n 2−32=0 ，解得 n 1=−2√2 ， n 2=2√2 （不合题意，舍去）.∴x 2+4√2x +8=0 ，解得 x 1=x 2=−2√2 ，∴在 y =4x中，当 x =−2√2 时， y =−√2 . ∴点 P 的坐标为 (−2√2,−√2) .8．【答案】（1）解：令反比例函数y=- 8x中x=-2，则y=4， ∴点A 的坐标为（-2，4）； 反比例函数y=- 8x 中y=-2，则-2=- 8x，解得：x=4， ∴点B 的坐标为（4，-2）． ∵一次函数过A 、B 两点， ∴{4=−2k +b −2=4k +b ，解得： {k =−1b =2， ∴一次函数的解析式为y=-x+2 （2）解：设直线AB 与y 轴交于C ， 令为y=-x+2中x=0，则y=2， ∴点C 的坐标为（0，2），∴S △AOB = 12 OC•（x B -x A ）= 12×2×[4-（-2）]=6 （3）解：观察函数图象发现： 当x ＜-2或0＜x ＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围为x ＜-2或0＜x ＜4．9．【答案】（1）解：把点 A(2，6) 代入 y =k x， k =2×6=12 ， ∴ 反比例函数的解析式为 y =12x， ∵ 将点 A 向右平移2个单位，∴x =4 ，当 x =4 时， y =124=3 ， ∴B(4，3) ，设直线 AB 的解析式为 y =mx +n ，由题意可得 {6=2m +n 3=4m +n， 解得 {m =−32n =9， ∴y =−32x +9 ，当 x =0 时， y =9 ，∴C(0，9) ；（2）解：由（1）知 CD =9−5=4 ，∴S ΔABD =S ΔBCD −S ΔACD =12CD ⋅|x B |−12CD ⋅|x A |=12×4×4−12×4×2=4 .10．【答案】（1）解：把（﹣3，﹣1）代入y= k x 得k=3， 则反比例函数的解析式是y= 3x； 把（n ，6）代入y= 3x 得n= 12． 根据题意得： {−3m +b =−112m +b =6 ， 解得： {m =2b =5， 则一次函数的解析式是y=2x+5（2）解：在y=2x+5中，令x=0，解得y=5，则S △AOB = 12 ×5×（ 12 +3）= 35411．【答案】（1）解：∵A （0，2），C （6，2），∴AC=6，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BC=6，∵S △ABC =3S △ADC ，∴BC=3DC ，∴DC=2，∴D （6，4），∵反比例函数y 1=k x（k≠0）的图象经过点D ， ∴k=6×4=24，∴反比例函数的解析式为y 1=24x； （2）解：∵C （6，2），BC=6，∴B （6，8），把点B 、A 的坐标分别代入y 2=ax +b 中，得{6a +b =8b =2， 解得：{a =1b =2， ∴直线AB 的解析式为y 2=x +2，解方程x+2=24x， 整理得：x 2+2x-24=0，解得：x=4或x=-6，∴直线y 2= x+2与反比例函数y 1=24x的图象的交点为（4，6）和（-6，-4）， ∴当y 1>y 2时，0<x<4或x<-6.12．【答案】（1）解：将A （a ，2）代入一次函数y=2x-4中得：2=2a-4，即a=3， ∴A （3，2），将x=3，y=2代入反比例解析式得：k=6，则反比例解析式为y= 6x； （2）解：联立两函数解析式得： {y =6x y =2x −4，解得： {x =3y =2 或 {x =−1y =−6 ，即两函数的两交点分别为（3，2），（-1，-6），作出两函数图象，如图所示：则由函数图象得：反比例函数y= 6x的值大于一次函数y=2x-4的值时，自变量x 的取值范围为x ＜-1或0＜x ＜3．13．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b 与双曲线y=k x（x ＞0）交于A （1，3）， ∴k=1×3=3，∴y=3x， ∵B （3，y 2）在反比例函数的图象上，∴y 2=33=1， ∴B （3，1），∵直线y=ax+b 经过A 、B 两点，∴{a +b =33a +b =1解得{a =−1b =4， ∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P （4，0）（2）解：如图，作AD△y 轴于D ，AE△x 轴于E ，BF△x 轴于F ，BG△y 轴于G ，AE 、BG 交于H ，则AD△BG△x 轴，AE△BF△y 轴，∴CD OC =AD OP ，PF PE =BF AE =PB PA， ∵b=y 1+1，AB=BP ，∴1y 1+1=x 16， PF PE =BF AE =12， ∴B （6+x 12，12y 1） ∵A ，B 两点都是反比例函数图象上的点，∴x 1•y 1=6+x 12•12y 1， 解得y 1=2，代入1y 1+1=x 16，解得x 1=2， ∴A （2，2），B （4，1）．（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x 1，x 2，x 0之间的关系为x 1+x 2=x 0．14．【答案】（1）解：过点B 作BD△AP 于点D ，交y 轴于E ，∵点P 的坐标为（-2，0），∴OP=2，根据题意得点A 、B 关于原点对称，∴BE=DE=OP=2，∴BD=4，又S △ABP =4，∴12AP ⋅4=4， ∴AP=2，∴点A 的坐标为（-2，-2），代入y 1=mx ，得m=1；代入y 2=k x，得k=4，∴正比例函数的解析式为y 1=x ，反比例函数y 2=k x的解析式为y 2=4x ； （2）解：由（1）可知点B 的坐标为（2，2），由图象可知，当x<-2或0<x<2时y 1<y 2．15．【答案】（1）解：∵点A 在反比例函数y ＝ 4x 上，∴4m＝4.解得m ＝1，∴点A 的坐标为（1，4）．又∵点B 也在反比例函数y ＝ 4x 上，∴42＝n ，解得n ＝2，∴点B 的坐标为（2，2）．又∵点A ，B 在y ＝kx ＋b 的图象上，∴{k +b =42k +b =2 解得 {k =−2b =6∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6 （2）解：由图象可得，当 1<x<2 时，直线在双曲线的上方，∴这时 kx ＋b> 4x,即kx ＋b － 4x>0 ,∴ x 的取值范围为1<x<2 . （3）解：∵直线y ＝－2x ＋6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0）．∴S △AOB ＝S △AON －S △BON ＝ 12 ×3×4－ 12×3×2＝3. 16．【答案】（1）解：把A （﹣3，2）代入反比例解析式得：k=﹣6，则反比例解析式为 y =−6x（2）解：把B （2，n ）代入反比例解析式得：n=﹣3，即B （2，﹣3），把A （﹣3，2）与B （2，﹣3）代入y=ax+b 中得： {−3a +b =22a +b =−3，解得：a=﹣1，b=﹣1，则一次函数解析式为y=﹣x+1 （3）解：∵A （﹣3，2），B （2，﹣3），∴结合图象得：不等式ax+b ＜ k x的解集为﹣3＜x ＜0或x ＞2。